Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kê
Câu 1: Hãy chứng minh thể tích khơng gian pha K khí lý tưởng gồm N hạt có khối lượng m đựng bình tích V có lượng tồn phần E : Γ = const.V N ( 2m ) Giải Không gian Γ 3N E 3N hệ N khí không gian 6N chiều dX=dXpdXq dX q = dV1dV2 dVN ⇒ Γ q = ∫ dX q = V N ( Xq ) E= ( P12 + P22 + + P32N ) = P ⇒ 2mE = P12 + P22 + + P32N = P 2m Γp Để tính ta quan niệm cách đơn giản nguyên tố tầng cầu cấu p → p + dp tạo mặt cầu (mặt siêu diện lượng) có bán kính khơng gian 3N chiều d Γ p = d ( π P N ) = 4π NP N −1dP P = 2mE ⇒ d Γ p = 4π N ⇒ Γp : ( 2mE ) ( 2mE ) 3N 3N N −1 m dE 2mE 3N ⇒ Γ = Γ q Γ p = const.V N ( 2m ) E Câu 2: Viết biểu thức entropi khí Van de Vanxơ có N phân tử chiếm thể tích V, nhiệt độ T Giải: Tích phân trạng thái khí thực: N2 Z = Z lt 1 + β÷ V Ψ = −kT ln Z ; Zlt = (2π mθ ) N V N Năng lượng tự N! ∞ N N 2β N a ln 1 + β ÷= = − 4V0 ÷ ; β = ∫ 4π f (r )r 2dr V kT 2V 2V V0: thể tích phân tử N 2kT a Ψ th = Ψ lt − − b÷ V kT a, b số không phụ thuộc vào p, T mà phụ thuộc vào loại chất khí Entropi: kN 2b ∂Ψ th Sth = − = S − ÷ lt V ∂T V 3 Slt = kN ln V + kN ln T + S0 ; S0 = kN ln(2π km) + kN − kN ln N 2 Câu 3: Hãy tính độ cao trung bình cột khơng khí mặt đất(ở lượng khơng khí 29, lấy g=9,8m/s2, k=1,38.10-23J/K Giải: 0o C) Biết phân tử Áp dụng phân bố Boltzmann trường lực: U dW = Bexp - dxdydz; B= kT U ∫∫∫ exp - kT dxdydz z = ∫ zdW ( z ) ∞ z= mgz dz kT ∫ zexp 0 ∞ mgz dz kT ∫ exp 0 z ≈ 7,85km Câu 4: Sử dụng định lý phân bố động theo bậc tự định lý Virian tính lượng trung bình dao động tử điều hòa tuyến tính chuyển động tác dụng lực chuẩn đàn hồi − kq nhiệt độ T Trong q tọa độ suy rộng Giải p kq H= + 2m ∂H p ∂H ⇒ = ; = kq ∂p m ∂q ∂H ∂H p = q = kT ∂p ∂q p kq H= + = kT 2m U = ax Câu 5: Tính lượng trung bình dao động tử nhiệt độ T theo định lý Virian Với a hệ số tỉ lệ, k số Boltzmann gọi m khối lượng dao tử Giải Năng lượng dao động tử viết dạng p2 H= + ax ; Ed = kT 2m ∂H ∂H = 4ax3 ; x = 4ax ∂x ∂x ∂H ∂H x = 4ax = kT ⇒ x = kT ∂x ∂x 1 E = kT + kT U = ax ⇒ Câu 6: Sử dụng định lý Virian, tìm lượng trung bình hạt chuyển động U (q ) = α q 2n trường lực nhiệt độ T, với n số tự nhiên, α hệ số tỉ lệ, k số Boltzmann Giải H= p2 + α q n ; Ed = kT 2m U = α q 2n ⇒ ∂U ∂U = 2α nq n −1; q = 2α nq n = nU ∂q ∂q ∂U 1 q = 2nU = kT ⇒ U = kT ∂q 2n 1 E = kT + kT 2n 00 Câu 7: Ở độ cao C, áp suất khơng khí giảm lần so với mặt đất (độ cao 0) ? Lấy g=9,8m/s2, số Boltzmann k=1,38.10-23J/K Biết phân tử lượng khơng khí 29 Giải Áp dụng công thức phong vũ biểu: mgh ph = p0 exp kT ph = p0 ph mgh = exp − = p0 kT h= kT ln ≈ 8, 6km mg Câu 8: Tìm lượng tự N phân tử khí lí tưởng đơn nguyên tử tương đối tính chiếm thể tích V nhiệt độ T, lượng xung lượng thỏa mãn hệ thức ε = cp , với c hệ số tỉ lệ Giải Z= N Zk N! ∞ Z k = ∫ exp{-H/θ }dX = V ∫ exp{X cp }4π p dp kT ∞ ε 4π V −ε / kT (kT )3 p = ⇒ Zk = ∫ e ε d ε ⇒ Z k = 4π V c c c N 8π Vk 3T Z= ÷ N c3 8π Vk 3T F = −kT ln Z = kT ln N !− NkT ln ÷ c Câu 9: Tính lượng E, lượng tự nhiệt dung khí Van de Vanxơ có N phân tử nhiệt độ T Giải Tích phân trạng thái khí thực: z = N2 zlt + 1 + β÷ V zlt = (2π mθ )3 N V N Năng lượng tự doFth=-kTlnz, N N 2β N a ln 1 + β ÷= = − 4V0 ÷ V kT 2V 2V Flt − Fth = N! V0: thể tích phân tử N kT a − b÷ V kT ∂ ln Z N 2a = NkT − ∂T V ∂E CV = ( ) = Nk ∂T Eth = kT Câu 10: Hãy viết phân bố Maxwell – Boltzmann cho khí lí tưởng bao quanh khối hấp dẫn có bán kinh R Hãy xét xem việc áp dụng phân bố vào trường hợp ta xét có hợp lí hay khơng? Giải Thế phân tử riêng lẻ có khối lượng m nằm cách tâm khối hấp dẫn M U ( r ) = −a mM , R ≤ r0 → µ < 0) Tính lượng trung bình nhiệt dung hệ N hạt khơng tương tác nhiệt độ T hai trạng thái lượng tử không suy biến Đêbai Giải Z = (e − biểu thức dấu tích ε0 k0T +e − ε1 k0T ε0 ε1 −ε − k0T N ) = e (1 + e k0T ) N Nε Tc − ε −ε Tc = ⇒ Z = e k0T (1 + e T ) N k0 T − c ∂ ln Z E = k0T = N ε + Nk0Te T ∂T 2 e T − c T +1 −2 T T − c ∂E Tc − Tc CV = ( )V = Nk0 ÷ e 1 + e T ÷ ∂T T ε0 ε1 , với TC nhiệt độ Câu 15: Tính lượng trung bình nhiệt dung hệ N hạt dao động tử điều hoà hai ε n = hν (n + 1) chiều độc lập có mức lượng: suy biến (n+1) lần nhiệt độ T Giải Tổng thống kê Z hệ bao gồm dao động tử điều hoà hai chiều là: ∞ −hν (n + 1) Z = ∑ ( n + 1) exp kT − Đặt hν =β kT , ta có ∞ Z = ∑ (n + 1) e{ − β ( n+1)} = − ∂ ∂β ∞ ∑ e{ − β (n+1)} = − ∂ eβ β = β ∂β e − (e − 1) − hν Z= e kT − hν (1 − e kT ) Năng lượng trung bình nhiệt dung hệ xác định công thức: E = kT ∂ ln Z 2hν ÷ = N hν + hν ÷ ∂T e kT − ∂E hν −2 hν CV = ÷ = Nk ÷ sh ÷ kT 2kT ∂T V Câu 16: Giả sử chất khí lí tưởng lượng tử (gồm N hạt đựng thể tích V) tuân theo ε µ −ε n(ε ) = exp -α - = exp thống kê Maxwell-Boltzmann: ngun tố khơng gian µ kT kT Hãy tìm số pha phân tử, tức số trạng thái vi mơ phân tử ε đó, tương ứng với khoảng lượng từ đến nguyên tố h3 Giải ε + dε , biết thể tích pha Theo thống kê Maxwell-Boltzmann, số hạt trung bình có lượng µ −ε n(ε ) = exp kT Γ0 = Thể tích khơng gian pha ứng với phân tử khí lí tưởng: 3 4π V (2m) ε ε dε d Γ = 4π mV 2mε d ε Thể tích khơng gian pha ứng với khoảng lượng d Γ 4π mV 2mε d ε Số ô pha h3 = h3 = dN (ε ) Câu 17: Tìm lượng cực đại electron kim loại nhiệt độ 0K Với h, m, n tương ứng số Plăng, khối lượng số electron có đơn vị thể tích Giải Số electron có lượng nằm E E+dE : dn = 4π (2m)3/2 EdE h3 Số electron có đơn vị thể tích : Emax 4π (2m)3/ EdE n = ∫ dn = ∫ h3 4π (2m)3/2 n= h3 Emax 4π (2m)3/2 Emax 3/2 EdE = h3 ∫ 2/3 Emax h 3n = ÷ 2m 8π I= +∞ ∂f ∫ ∂E ÷dE = −1 −∞ Câu 18: Chứng minh rằng: Dirac f(E) làm hàm phân bố Fermi- Giải: f (E) = I= +∞ ∂f E − µ ⇒ =− exp ∂E E − µ KT E−µ exp + KT exp + 1 KT KT ∞ ∂f ∫−∞ ∂E ÷dE = −−∞∫ E − µ exp dE KT E − µ KT exp + 1 KT E − µ E −µ x = exp exp ⇒ dx = dE KT KT KT Khi E → -∞ x→ 0; E→+∞ x→+∞ ∞ I = −∫ dx ∞ = = −1 ( x + 1) x + +∞ ∂f ∫−∞ ∂E ÷dE = −1 Câu 19: Tính số tồn phần trạng thái lượng tử chất khí nhiệt độ T Chứng minh số hạt khí nhỏ nhiều so với số trạng thái điều kiện sau thỏa mãn: ( 2π mkT 3/ ) ≥N h2 Với h, k, m, N tương ứng số Plăng, số Boltzomann, khối lượng số phân tử khí có đơn vị thể tích Giải Ở nhiệt độ T, giá trị trung bình xung lượng phân tử là: p: mε : mkT ∆Γ : V p : ( mkT ) V Thể tích khơng gian pha: Số trạng thái Ở nhiệt độ T, giá trị trung bình xung lượng phân tử là: p: mε : mkT Thể tích khơng gian pha: ∆Γ : V p : ( mkT ) V ∆Γ ( mkT ) Ω= : V h h3 Số trạng thái số hạt khí nhỏ nhiều so với số trạng thái 3 ( mkT ) V ≥ N ⇒ 2π mkT ≥ N h3 h2 ÷ trùng với điều kiện suy biến Câu 20: Chứng minh nhiệt độ cao U= thức Nhν max + NkT + NkTc ν max Boltzomann N, Tc − hν e kT Z= 1− e 3N = ν max ∫ o − hν kT ⇒ ln Z = dn(ν ) = ν max ∫ T ? TC , nội vật rắn tuân theo công Biết h, k, tương ứng số Plăng, số số nguyên tử, nhiệt độ tần số Đêbai vật rắn Giải ln Z (ν )dn(ν ) ; ln Z (ν ) = − hν − hν − ln 1 − e kT 2kT 4π Vν 3max 4π Vν 3max 12π Vν dν Nν dν ⇒ υ = ⇒ dn ( ν ) = = υ3 3N υ3 ν max hν kT x = kT ⇒ dν = h dx T = hν max c k ln Z = T −9 N Tc − 9N ÷ T Tc Tc T ∫x ln(1 − e− x ) dx Khi nhiệt độ cao cách gần Tc T Tc T 3 1T T 1T ∫0 x ln(1 − e )dx = ∫0 x ln xdx = Tc ÷ ln Tc ÷ − Tc ÷ −x ln Z = −9 N Tc N Tc − ln T T Nội vật rắn nhiệt độ cao U = kT N Tc NTc T N ∂ ln Z = kT + kTc + NkT = ∂T 3T Tc T Nếu tính E0 ta có U = E0 + NkT + NkTc ; E = Nhν max ÷+ N ... kT 2kT ∂T V Câu 16: Giả sử chất khí lí tưởng lượng tử (gồm N hạt đựng thể tích V) tn theo ε µ −ε n(ε ) = exp -α - = exp thống kê Maxwell-Boltzmann: nguyên tố không gian µ... dε , biết thể tích pha Theo thống kê Maxwell-Boltzmann, số hạt trung bình có lượng µ −ε n(ε ) = exp kT Γ0 = Thể tích khơng gian pha ứng với phân tử khí lí tưởng: 3 4π V (2m) ε ε dε... Với ε kT Câu 12: Giả sử chất khí lượng tử khối lượng m chứa thể tích V nhiệt độ T tuân theo thống kê Boze-Einstein Fecmi-Dirac, giả sử độ suy biến Đặt B = eα ; F(B) = ∞ ∞ x x dx; G(B) = dx x