Đáp án câu 5: Đề: Cho x, y, z là các số thực t/m: x 2 + xy + y 2 = 1 - 3 2 z 2 (*) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của D = x + y + z. Bài làm: Cách 1: Từ (*) ta có : 2 x 2 + 2xy + 2y 2 = 2 - 3z 2 <=> x 2 + 2xy + y 2 + z 2 + 2yz + 2zx = 2 - 2z 2 - x 2 - y 2 + 2yz + 2zx <=> (x + y +z) 2 = 2 – (x – z) 2 – (y – z) 2 (* *) Ta có : 2 – (x – z) 2 – (y – z) 2 ≤ 2 , Dấu “ = “ Xảy ra khi x = y = z Vậy từ (* *) Ta có : D 2 = 2 – (x – z) 2 – (y – z) 2 ≤ 2 => D ≤ 2 hay - 2 ≤ D ≤ 2 Vậy: D min = - 2 <=> x = y = z = 2 3 − D max = 2 <=> x = y = z = 2 3 Cách 2: Từ D = x + y + z => x + y = D – z , nên từ (*) => xy = (x+y) 2 + 3 2 z 2 - 1 = (D - z) 2 + 3 2 z 2 - 1 Vậy x, y là nghiệm của pt: X 2 – (D - z)X + [(D-z) 2 + 3 2 z 2 - 1 ] = 0 (1) Pt luôn có nghiệm nên: ' X ∆ = (D-z) 2 - 4[(D-z) 2 + 3 2 z 2 - 1 ] ≥ 0 <=> - 3(D-z) 2 - 6z 2 + 4 ≥ 0 <=> 9z 2 – 6Dz + 3D 2 - 4 ≤ 0 ta xem là BPT ẩn z và vì luôn có nghiệm ( nếu 9z 2 – 6Dz + 3D 2 - 4 = 0 vô nghiệm, thì 9z 2 – 6Dz + 3D 2 - 4 > 0 ∀ z ) Nên pt : 9z 2 – 6Dz + 3D 2 - 4 = 0 luôn có nghiệm <=> ' z ∆ = 9D 2 – 9(3D 2 – 4) ≥ 0 hay D 2 ≥ 2 => D ≤ 2 hay - 2 ≤ D ≤ 2 D = 2 => ' z ∆ = 0 => Nghiệm kép: z 1 = z 2 = 3 D ( = z) => 9z 2 – 6Dz + 3D 2 - 4 = 0 => ' X ∆ = 0 => x = y = 2 D z− = 3 D Vậy: D min = - 2 <=> x = y = z = 3 D = 2 3 − D max = 2 <=> x = y = z = 3 D = 2 3 (CÁC CÂU 5 CÁC ĐỀ KHÁC CHỈ KHÁC NHAU VỀ KÝ HIỆU) . z 2 - 1 = (D - z) 2 + 3 2 z 2 - 1 Vậy x, y là nghiệm của pt: X 2 – (D - z)X + [(D-z) 2 + 3 2 z 2 - 1 ] = 0 (1) Pt luôn có nghiệm nên: ' X ∆ = (D-z). nghiệm nên: ' X ∆ = (D-z) 2 - 4[(D-z) 2 + 3 2 z 2 - 1 ] ≥ 0 <=> - 3(D-z) 2 - 6z 2 + 4 ≥ 0 <=> 9z 2 – 6Dz + 3D 2 - 4 ≤ 0 ta xem là BPT ẩn z và