CHƯƠNG II: ĐA THỨC Định lý Bezout Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a f(a) Hệ quả: Nếu a nghiệm f(x) f(x) chia hết cho x – a Dạng Tính giá trị đa thức Bài tốn: Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp giá trị x, y vào đa thức để tính Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến) Viết P(x) = a0xn + a1xn−1 + + an dạng P(x) = ( (a0x + a1)x + a2)x + )x + an Vậy P(x0 ) = ( (a0x0 + a1)x0 + a2 )x0 + )x0 + an Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn Từ ta có cơng thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ Giải máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M - Thực dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak Ví dụ 1.1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính A = 3x5 − 2x4 + 3x2 − x x = 1,8165 4x3 − x2 + 3x + Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans Aán phím: 8165 = ( 3Ans ^5 − Ans ^4 + 3Ans x2 − Ans + 1) ÷ ( Ans ^3 − Ans x2 + 3Ans + 5) = Kết quả: 1.498465582 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X Aán phím: 8165 SHIFT STO X ( 3ALPHA X ^5 − ALPHA X ^4 + 3ALPHA X x2 − ALPHA X + 1) ÷ ( ALPHA X ^3 − ALPHA X x2 + 3ALPHA X + 5) = Kết quả: 1.498465582 Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner áp dụng hiệu máy fx-220 fx-500A, máy fx-500 MS fx-570 MS nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím = xong Để kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x vào biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị Ví dụ 1.2: Tính A = 3x5 − 2x4 + 3x2 − x x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 4x3 − x2 + 3x + Khi ta cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: ( −) 235678 SHIFT STO X Dùng phím mũi tên lên lần (màn hình lại biểu thức cũ) ấn phím = xong  Trong kỳ thi dạng tốn ln có, chiếm đến điểm thi Khả tính tốn dẫn đến sai số thường khơng nhiều biểu thức q phức tạp nên tìm cách chia nhỏ tốn tránh vượt giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 kết (máy tính tính kết thu kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn) Dạng 2: Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + r, r số (khơng chứa biến x) Thế x = − b b ta P( − ) = r a a b a Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P( − ), lúc dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1 Ví dụ 2.1: (Sở GD TPHCM, 1998) x14 − x9 − x5 + x4 + x2 + x − 723 Tìm số dư phép chia:P= x − 1,624 Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: 624SHIFT STO X ALPHA X ^14 − ALPHA X ^9 − ALPHA X ^5 + ALPHA X ^4 + ALPHA X ^2 + ALPHA X − 723 = Kết quả: r = 85,92136979 Dạng Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho ax +b m + r = b a hay m = -r = - P( − ) Như tốn trở dạng tốn Ví dụ 3.1: Xác định tham số (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x+6.- Giải Số dư a = − (−6) + 7(−6) + 2( −6) + 13( −6)  Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: (−) SHIFT STO X ( −) ( ALPHA X ^ + ALPHA X x3 + ALPHA X x2 + 13 ALPHA X ) = Kết quả: a = -222 Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3? Giải – Số dư a2 = - 3( −3) + 17( −3) − 625 => a = ± − 3( −3) + 17( −3) − 625 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (−) ( ( (−) ) x3 + 17 ( (−) ) − 625 ) = Kết quả: a = ± 27,51363298 Chú ý: Để ý ta thấy P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757 Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) a2 = 757 => a = 27,51363298 a = - 27,51363298 Vi du3.3 Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 H.Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m Khi đó: P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)     Ta có: P1  −  + m = ⇒ m = − P1  −   3  3 2 Tính máy giá trị đa thức P1(x) x = − ta m = Vi du3.4: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa thức có nghiệm chung x0 = H.Dẫn: x0 = 1 nghiệm P(x) m = − P1   , với P1(x) = 3x2 - 4x + 2 x0 = 1 nghiệm Q(x) n= −Q1   với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 2   Tính máy ta được: m = − P1   = 2   ;n = −Q1   = 2 Vi du3.5: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m;Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm H.Dẫn: Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 a) Giải tương tự VD 3.4, ta có: m = ;n = b) P(x) M(x - 2) Q(x) M(x - 2) ⇒ R(x) M(x - 2) Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - = (x - 2)(x + x + 3), x2 + x + > với x nên R(x) có nghiệm x = Ví dụ 3.6 Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x Tim giá trị m để f(x) + m chia hết cho x+6 Với m vừa tìm câu T ính giá trị đa thức P(x) = f(x) + m cho: 1+ x= 3 1+ 1+ 1− + 1− 1− Giải: f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết d ạng f(x) + m = Q(x)(x+6) đ ó f(-6) + m = ⇔ m = - f(-6) HS lập quy trình tính đ úng k ết ⇔ m = - f(-6) = - (- 642)= 642 Với m = 642 ta đa thức P(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x + 642 Học sinh tính x = Thay x = vào tính đ úng P(1) = 665 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số P ( x ) thỏa mãn điều kiện đó: Ví dụ 4.1: (5 điểm) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c a) Tìm a, b, c biết x nhận giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 P(x) có giá trị tương ứng 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b) Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 12x – c) Tìm giá trị x P(x) có giá trị 1989 Giải: a) Thay giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2 + c 1,44a + 1,2b + c = 1993  ta hệ 6,25a + 2,5b + c = 2045 13,69a + 3,7b + c = 2123  Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Giải hệ phương trình ta a =10 ; b =3 ; c = 1975 b) Số dư phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 giá trị P(-2,5) đa thức P(x) x=-2,5 ĐS ; 2014,375 c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0 x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126 Ví dụ 4.2:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1) Xác định số hữu tỉ a b để x = 7− 7+ nghiệm P(x); 2) Với giá trị a, b tìm tìm nghiệm lại P(x) Giải: x = 6- 35 ⇒ b = − x − ax =6+ 35 -(6- 35 )2 - a(6- 35 ) x (a+13) = b+6a+65 = ⇒ a = -13 ; b =13 ⇒ P(x) =x3-13x2+13x-1 (x-1)(x2-12x+1) = ⇒ x = ; x ≈ 0,08392 x ≈ 11,916 Ví dụ 4.3:Xác định hệ số a, b, c đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư chia cho (x – 14) có số dư Hướng dẫn: Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r ⇒ P(a) = r Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 =  2197.a + 169b + 13.c = 2008  Tính máy rút gọn ta hệ ba phương trình : 27a + 9b + 3c = 2009  2744 + 196b + 14c = 2010  Tính máy :a = 3,693672994 ≈ 3,69 b = –110,6192807 ≈ –110,62 c = 968,2814519 ≈ 968,28 Dạng Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có cơng thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3 Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng quát : Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) Cách giải: - Để tìm dư: ta giải tốn Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 - Để tìm hệ số đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương phép b a chia đa thức P(x) cho (x + ) Ví dụ 5.1 Tìm thương số dư phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – Giải -Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (−) 5SHIFT STO M × ALPHA M + = (-5) × ALPHA M − = (23) × ALPHA M + (−) = (-118) × ALPHA M + = (590) × ALPHA M + = (-2950) × ALPHA M + = (14751) × ALPHA M + (−)1 = (-73756) Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – = = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756 Ví dụ5.2: Tìm thương dư phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có: 1 -5 -2 -3 -5 590 118 * Tính máy tính giá trị sau: ( −) SHIFT STO × ANPHA M + = + -2950 14751 -1 73756 M (-5) : ghi giấy -5 (23) : ghi giấy 23 × ANPHA M × ANPHA M - = (-118) : ghi giấy -118 × ANPHA M + = (590) : ghi giấy × ANPHA M + = (-2950) : × ANPHA M + = (14751) : ghi giấy 14751 × ANPHA M - (-73756) : ghi giấy -73756 - = = 590 ghi giấy -2950 x7 - 2x5 - 3x4 + x - = = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) – 73756 Vi du5.3: Tìm thương dư phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Vi du 5.4: Chia x8 cho x + 0,5 thương q1(x) dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 thương q2(x) dư r2 Tìm r2 ? H.Dẫn: - Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lược đồ Hoocner, ta tính hệ số đa thức q1(x), q2(x) số dư r1, r2: 0 0 0 − − − 16 − 32 64 − − -1 − 16 − 16 64 − VËy: r2 = − 128 256 16 16 Dạng Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Áp dụng n-1 lần dạng tốn 2.4 ta phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n Ví dụ6.1 Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – Giải -Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để q 1(x) r0 Sau lại tiếp tục tìm qk(x) rk-1 ta bảng sau: -3 -2 x4-3x2+x-2 0 1 q1(x)=x3+1, r0 = 3 28 q2(x)=x3+3x+1,r1=28 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 q4(x)=1=a0, r0 = Vậy x – 3x + x – = + 28(x-3) + 27(x-3) + 9(x-3)3 + (x-3)4 Dạng Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức Nếu phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri ≥ với i = 0, 1, …, n nghiệm thực P(x) khơng lớn c Ví dụ 7.1: Cận nghiệm dương đa thức x – 3x3 + x – c = (Đa thức có hai nghiệm thực gần 2,962980452 -0,9061277259) Nhận xét:  Các dạng toán 2.4 đến 2.6 dạng toán (chưa thấy xuất kỳ thi) dựa vào dạng tốn giải dạng tốn khác phân tích đa thức thừa số, giải gần phương trình đa thức, …  Vận dụng linh hoạt phương pháp giải kết hợp với máy tính giải nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không sử dụng công thức Cardano phức tạp Do yêu cầu phải nắm vững phương pháp vận dụng cách khéo léo hợp lí làm Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Dạng.8 tính giá trị đa thức biết số giá trị khác đa thức Ví dụ 8.1 Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + Bậc H(x) nhỏ bậc P(x) + Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:  a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + = 16a + 8b + 4c + 2d + e + = 1 1  81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + = ⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1  256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 1 1  625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x5 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) ⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Ví dụ 8.2 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải tương tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = Ví dụ 8.3 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 ; P(9) = Tính A = P (5) − P(6) =? P (7) H.Dẫn: - Giải tương tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + được: A = x( x + 1) Từ tính P (5) − P(6) = P (7) Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = ⇒ a, b, c nghiệm hệ phương trình: a + b + c + =  9a + 3b + c + 11 =  25a + 5b + c + 27 =  a = −1  ⇒ MTBT ta giải được: b = c = −2  ⇒ g(x) = f(x) - x2 - Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+ x2 + Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = nên: d =10 a + b + c + d =12   8a + 4b + 2c + d =  27 a + 9b +3c + d =1 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 lấy phương trình cuối trừ cho phương trình đầu giải hệ gồm phương trình ẩn a, b, c MTBT cho ta kết quả: a = ; b = − f ( x) = 25 ; c = 12; d = 10 ⇒ 25 x − x + 12 x + 10 ⇒ f (10) = 2 Ví dụ8.5: Chođa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) dư f(-1) =-18 Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 - Giải tương tự 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ tính f(2005) = Ví dụ 8.6 Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45 Giải: Tính giá trị P(x) x = 1, 2, 3, ta kết : 1+a-b+c+d-2007=9 a-b+c+d=2015 32+16a-8b+4c+2d-2007=21 16a-8b+4c+2d=1996   ⇔    243+81a-27b+9c+3d-2007=33 81a-27b+9c+3d=1797 1024+256a-64b+16c+4d-2007=45 256a-64b+16c+4d=1028 (1) (2) (3) (4) Lấy hai vế phương trình (1) nhân với 2, 3, trừ vế đối vế với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta hệ phương trình bậc ẩn : -14a+6b-2c=2034  -78a+24b+6c=4248 -252a+60b-12c=7032  Tính máy a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 d = 4211 Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007 Q(1,15) = 66,15927281 ≈ 66,16 Q(1,25) = 86,21777344 ≈ 86,22 Q(1,35) = 94,91819906 ≈ 94,92 10 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 x = -2,1345 H.Dẫn: - Áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( x − 1)(1 + x + x + + x ) x10 − = x −1 x −1 Từ tính P(0,53241) = Tương tự: Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = x x9 − x −1 Từ tính Q(-2,1345) = Bài tập1.5:Cho đa thức P( x) = 13 82 32 x − x + x − x + x 630 21 30 63 35 a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nên P( x) = ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x −1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) 2.5.7.9 Vì só ngun liên tiếp ln tìm số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x ngun tích: ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên Bài tập1.6:Cho P ( x ) = 35 x − 37 x + 60080 x − 10 x + 2007 x − 20070 Q ( x ) = a bx + c + x − 10 x + 2007 a) Với giá trị a, b, c P(x) = Q(x) với x thuộc tập xác định b) Tính giá trị P(x) x = P ( x) −13 Tính n để T ( x) = x − 10 x2 + 2007 − n chia hết cho x + ( )( ) Bài tập1.7:Cho đa thức P(x) = x +5x3 - 3x2 + x - Tính giá trị P(1,35627) Giải: P(1,35627) = 10,69558718 Bài tập1.8:Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4 T ính giá trị P(x) (làm tròn đến 0,0001) cho x nhận giá trị : - 2, π , 1, - Bài tập1.9:Cho đa thức f(x) = x + x + x + 2008 15 Tính giá trị f(x) cho x nhận giá trị: ; -1 ; 3; - ; 12 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Chứng minh rằng: f(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Giải: f(x) = x + x + x + 2008 15 Đặt A = x + x + x 15 Ta CM: A số nguyên với x nguyên dương từ f(x) số nguyên 1 8x x + x + = x5 + x3 + x 15 15 1 1 = x5 + x3 + x - x - x 5 x −x x −x +x Thật vậy: A = Ta CM x5 - x Chia hết cho 5; x3 - x chia hết cho thật vậy: x5 - x = x(x4 - 1)= x(x2 - 1)(x2 + 1) =x(x2 - 1)(x2 - + 5) = x(x2 - 1)(x2 - 4) + 5x(x2 - 1) =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1) (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho x5 − x nên nguyên5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5 x3 − x x - x = x(x -1) = (x-1)x(x+1) chia hết nguyên 3 Vậy tốn CM xong Dạng Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Bài tập: 2.1(Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư phép chia x5 − 6,723x3 + 1,857x2 − 6,458x + 4,319 x + 2,318 Bài tập2.2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) 4 Cho P( x) = x + 5x − 4x + 3x − 50 Tìm phần dư r1, r2 chia P(x) cho x – x-3 Tìm BCNN(r1,r2)? Bài tập2.3:Tìm dư phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5) Giải: 5 5 5 - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ P   = 0.Q   + r ⇒ r = P   2 2 2   Tính máy ta được: r = P   = 2 x5 − 6,723x3 + 1,857x2 − 6,458x + 4,319 Bài tập2.4:Tính số dư r phép chia x + 2,318 Bài tập2.5:: Tìm số dư phép chia sau: 13 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 a) x3 – 9x2 – 35x + cho x – 12 b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617 Bài tập2.6:Cho f(x) = 2x6-4x5+7x4-11x3-8x2+5x-2007 Gọi r1 r2 số dư phép chia f(x) cho x-1,12357 x+0,94578 Tính B=0,(2006)r1-3,(2007)r2 Dạng Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Bài tập3.1: a)Viết phương trình ấn phím để: Tìm m để đa thức x5 + 5x4 + 3x3 − 5x2 + 17x + m− 1395 chiahết cho ( x + 3) b) Với giá trị m đa thức 4x5 + 9x4 − 11x2 + 29x − + 3mchia hết cho 6x + Bài tập3.2:Tìm m để đa thức x5 + 5x4 + 3x3 − 5x2 + 17x + m− 1395 chia hết cho ( x − 3) Bài tập3.3:Cho đa thức P ( x) = x − 3x + 4x − 5x + 6x + m a) Tìm số dư r phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) m = 2005 b) Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5 c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x4 + x3 + x2 + x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10 Kết m = -9090 b) Tìm nghiệm đa thức P(x) với giá trị vừa tìm m Kết x1 = -10, x2 ≈ (2,5đ) 9,49672 (2,5đ) Bài tập3.5:Cho ®a thøc P(x) = x4 - 4x3 - 19x2 + 106x + m a)Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x + b) Với m tìm đợc câu a), tìm số d r chia đa thøc P(x) cho x – Dạng 4: Tìm điều kiện tham số P ( x ) thỏa mãn điều kiện đó: Bài tập4.1: Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – chia hết cho x – Hãy tìm giá trị m, n tính tất nghiệm đa thức Bài tập4.2:Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị 5, 4, 3, 1, -2 x = 1, 2, 3, 4, Tính giá trị a, b, c, d, e tính gần nghiệm đa thức 14 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Bài tập4.3:Xác định hệ số a , b ,c đa thức P( x) = ax + bx + cx − 2007 để cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư , chia cho (x – 3) có số dư chia cho (x - 14) có số dư ( Kết lấy với chữ số phần thập phân ) Giải: Lập luận đưa đến hệ điểm; tìm a,b,c ý cho điểm Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28 Bài tập4.4Cho hai đa thức sau: f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b a)Tìm điều kiện a b để hai đa thức f(x) g(x) có nghiệm chung x = 0,25 ? b) Cho đa thức:Q(x) =5x5 - x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32 Sử dụng phím nhớ Lập quy trình tìm số dư phép chia đa thức Q(x) cho 2x + 3? c)Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + d)Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 + Tính P(2 ) + Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + Bài tập4.5:Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 giá trị x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45 Bài tập4.6:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 a) Tìm số dư chia P(x) cho x – ? b) Tìm số dư chia P(x) cho 2x + ?’ Bài tập4.7:Biết đa thức Q(x) = x4 + mx3 - 44x2 + nx - 186 chia hết cho x + nhận x = nghiệm Hãy tính giá trị m n tìm tất nghiệm lại Q(x) Giải Tõ gi¶ thiÕt => Q(-2) = Q(3) = => m = 6; n = -11 tìm m, n x2 = -2 Từ giả thiết => Q(x) cã nghiƯm nguyªn x3 ≈ => Q(x) = (x+2)(x-3)(x +7x-31) 3,076473219 Dùng máy giải ph/tr bậc => x4 nghiệm lại -10,076473219 Bi tập4.8:Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45(Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài tập4.8:Biết số dư phép chia đa thức x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 – ax + cho (x + 5) 2007 Tìm a Dạng 5: Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức 15 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x) ? Bài tập5.2:Cho P(x) = x − x3 + x + a)Tìm biểu thức thương Q(x) chia P(x) cho x – b)Tìm số dư phép chia P(x) cho x – xác đến chữ số thập phân Bài tập5.3:Tìm số dư phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652 Tìm hệ số x2 đ thức thương phép chia Dạng Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Dạng Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức Dạng8 tính giá trị đa thức biết số giá trị khác đa thức Bài tập8.1: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e cho biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) P(11) ? Bài tập8.2:Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, giá trị tương ứng đa thức P(x) 8, 11, 14, 17 Tính giá trị đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15 Bài tập8.3:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9 viết quy trình để tính P(9) P(10) ? Bài tập8.4:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 a) Tìm số dư chia P(x) cho x - ? b) Tìm số dư chia P(x) cho 2x + ? Bài tập8.5:Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45 (Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài tập8.6:Cho P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + + m P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18) Bài tập8.7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11 (H(x) = x ) (H(x) = 2x +3) a Tìm a, b, c, d b Tính A = P ( 15 ) + P ( −12 ) + 15 20 Giải: a, C1: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)(x – 4) + 2x + Suy a, b, c, d C2: Giải hệ phương trình , suy a, b, c, d a a = - 10, b = 35 c = - 48, d = 27 16 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 b, Nhập P(x) = x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27 vào máy b 3400.8000 Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ; Calc nhập (-)12 shift Sto B; Nhập ( Alpha A + Alpha B ) : 20 + 15 = Bài tập8.8: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = , P(-2) = , P(3) = 24 , P(-4) = 29 Tính giá trị a , b , c , d P(40) , P(2008) ? Bài tập8.9: Cho P ( x) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = 0,5 , P(2) = , P(3) = 4,5 , P(4) = (H(x) =1/2 x2) Tính giá trị a , b , c , d P(8) , P(2007) ? Bài tập7.10: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = , Q(2) = , Q(3) = , Q(4) = 11 (H(x) = 2x +3) Tính giá trị Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Hướng dẫn Q(1) = = 2.1 + 3; Q(2) = = 2.2 + 3; Q(3) = = 2.3 + ; Q(4) = 11 = 2.4 + Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) (H(x) = 2x +3) Bài tập8.12: Cho P(x) = x + ax + bx + cx + dx + e Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 (H(x) = 2x2 +1) Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) Bài tập8.13: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = Hãy viết quy trình để tính P(9) P(10) ? (H(x) = x2) Bài tập8.14: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Có P(1) = 0,5 ; P(2) = ; P(3) = 4,5 ; P(4) = Tính P(2002), P(2003) (H(x) =1/2 x2) Bài tập8.15: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50 Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) Bài tập8.16: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 Tính P(2007) (H(x) =x3-x2) Bài tập8.17: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c 1  3 89  1 1 ; f−  = − ; f  = 108 500  2 5 2 Tính giá trị gần f   3 Biết : f   = (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a,b,c) Bài tập8.18:- Bài tập8.16: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 18 , P(4) = 48 Tính P(2007) ? (H(x) =x3-x2) Bài tập8.19: Cho đa thức f ( x ) = x + ax + bx + cx + d Biết f (1) = 6; f ( 2) = 11; f ( 3) = 16; f ( 4) = 21 (H(x) = 5x +1) a) Hãy tính giá trị f ( 5); f ( 6); f ( ) ; f ( 8); f ( 9) ( trình bày vắn tắt lời giải) b) Tìm số tự nhiên n nhỏ cho f ( n ) chia hết cho 24 ( trình bày vắn tắt lời giải) Giải 17 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 f ( x ) = x + x = 1;2;3;4;5 ⇒ g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) có nghiệm 1; 2; 3; 4; ⇒ g ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − ) hay f ( x ) = ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) + ( x + 1) Thay x = 5; 6; 7; 8; ta f ( 5) = 50; f ( 6) = 151; f ( ) = 396; f ( 8) = 881; f ( 9) = 1726 Bài tập8.20: Cho đa thức P(x) có bậc thoả mãn: P(1) = -1, P(2) = 2, P(3) = 7, P(4) = 14, P(5) = 24 Tính P(26), P(27), P(28), P(29), P(30) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=1/24;,b = -5/12;c =59/24; d= -25/12; e=-1) Kết P(26) = 13.324, P(27) = 15.677, P(28) = 18.332, P(29) = 21.314, P(30) = 24.649 (5đ) Bài tập8.21: Cho đa thức P(x) = x + ax + bx + c Biết rằng: P(1945) = 1945 ; P(1954) = 1954 ; P(1975) = 1975 (H(x) = x ) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=-5874;,b = 11501055,19;c =-7506045115) a) Tính P(2005) b) Đặt Q(x) = P(x) + m Tìm giá trị m để đa thức Q(x) chia hết cho (x - 2005,05) (chính xác đến chữ số thập phân) Bài tập8.22: Cho P( x) = x + ax3 + bx + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P (20) − P (10) (H(x) = 2x +3) Bài tập8.23: Đa thức P( x) = x + ax + bx + cx + dx + ex + f có giá trị 3; 0; 3; 12; 27; 48 x nhận giác trị 1; 2; 3; 4; 5; (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=) a) Xác định hệ số a, b, c, d, e, f P(x) b) Tính giá trị P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 Bài tập8.24: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e bieát P(1) = , P(2) = , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 (H(x) = 2x2 -1) Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) vaø P(11) ? Bài tập8.25: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e cho biết P(-1) = -2 , P(2) = , P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;) Tính P(38) vaø P(40) ? Bài tập8.26: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d 18 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 bieát P(1) = 0,5 , P(2) = , P(3) = 4,5 , P(4) = Tính giá trò a , b , c , d vaø P(8) , P(2007) ? Bài tập8.27: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d bieát P(1) = , P(-2) = , P(3) = 24 , P(-4) = 29 Tính giá trò a , b , c , d vaø P(40) , P(2008) ? (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;) Bài tập8.28: Cho P( x) = x + ax + bx + cx + d coù P(0) = 12,P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60 a)Xaùc đònh hệ số a, b, c, d P( x ) b)Tính P(66) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;) (H(x) =1/2 x2) Bài tập tổng hợp Bài tập1: : (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b Với m vừa tìm câu a tìm số dư r chia P(x) cho 3x-2 phân tích P(x) tích thừa số bậc c Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x-2 d Với n vừa tìm phân tích Q(x) tích thừa số bậc Bài tập2: : (Thi khu vực 2002, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;e=) Bài tập3: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 (H(x) = 2x +3) Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) Bài tập4: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n a Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho x – b Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm Bài tập5: : (Thi khu vực, 2003, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 P(x) có nghiệm x = Tìm m? b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) (H(x) = 2x2 +1) Bài tập6: (Sở SG Cần Thơ 2002) Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c Biết f( ) = 89 ;f(− ) = − ;f( ) = 108 500 19 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Tính giá trị gần f( ) ? Bài tập7: (Thi vào lớp 10 chuyên toán cấp III Bộ GD, 1975) Phân tích biểu thức sau ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32 Từ kết câu suy biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 số chẵn với số nguyên n Bài tập11: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984) Có xác số ngun dương n để (n + 1)2 số nguyên n + 23 Hãy tính số lớn Bài tập12: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988) Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + cho x – số dư Chia P(x) cho x – số dư -4 Hãy tìm cặp (M,N) biết Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1) (x-2) Bài tập13: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai –Cát Tiên, 2004) Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,3648 b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55) c Với m vừa tìm điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) x -2,53 4,72149 34 6,15 6+ 7 P(x) Bài tập14: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004) 1.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,17 với x= -7,1254 7x y-x y3 +3x y+10xy4 -9 2.Cho x=2,1835 y= -7,0216 Tính F= 5x -8x y +y3 x -6,723x +1,658x -9,134 3.Tìm số dư r phép chia : x-3,281 4.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2 Bài tập15: : (Sở GD Lâm Đồng, 2005) a Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + c Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)? (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=) Bài tập16: (Sở GD Phú Thọ, 2004) Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N? Bài tập17: : (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: 20 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 a Các hệ số b, c, d đa thức P(x) b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x – c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x +3 Bài tập18: : (Sở GD Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x) b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +7 d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7) Bài tập19: Cho đa thức: P( x) = x + a x + b x + c.x + d a) Tính giá trị đa thức P(x) x = -2 với a = c = -2007 b = d = 2008 b) Với giá trị d đa thức P(x)  ( x -2 ) với a = 2; b = -3; c = c) Tìm số dư hệ số x2 phép chia đa thức P(x) cho x - với a = d = -2; b = c= d) Cho biết: { P (1) = P(2) = P (3) = 11 P (4) = 14 (H(x) = 3x +2) 1) Tính P(5) đến P(10) 2) Tính: A = ( P(8) − P(6) ) − 2007 2008 3) Tìm hệ số a, b, c, d, đa thức P(x) (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;) Bài tập20: (Sở GD Thái Nguyên, 2003) a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)? (HDgiải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;) b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x)? Bài tập21: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 k, k ∈ Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001.Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) hợp số H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 1999a + b + 2000 = a = −1 ⇔ ⇔ 2000a + b + 2001 = b = −1 ⇒ g(x) = f(x) - x - * Tính giá trị f(x): - Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) 21 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 ⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Từ tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – )64 Bài tập22: Tính tổng hệ số đa thức xác đến đơn vị Giải: Tổng hệ số đa thức Q(x) giá trị đa thức x = Gọi tổng hệ số đa thức A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264 Để ý : 264 = ( 232 ) = 42949672962 Đặt 42949 = X ; 67296 = Y Ta có : A = ( X.105 +Y)2 = X 1010 + 2XY.105 + Y Tính máy kết hợp với giấy ta có: X2.101 = 2XY.1 05 = Y2 = A = 446 6 0 00 0 0 08 0 0 87 6 446 4 7 95 6 Vậy A = 18446744073709551616 Cho x + y = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000 1000 Bài tập23: 1000 Giải: Đặt a = x1000, b = y1000 Ta có: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244 3 3 Khi : a + b = (a + b) - 3ab(a + b) = (a + b) - ( a + b) − ( a + b2 ) Đáp số : A = 184,9360067 Bài tập24: Cho: P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + + m biết: P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18) Bài tập25: Tìm nghiệm gần phương trình: a) 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = b) 3x3+2,735x2+4,49x+0,98 = x = 0,145 x = 0,245 Bài tập26: Tìm nghiệm phương trình: a) x − x + − x + x + 10 = 29 b) x − x + − x − 10 x + 50 = x = 0,20 x = 0,25 22 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 ⋅ ( a + b) Bài tập27: 3 Cho P ( x ) = x − 15 x + 16 x + m Q ( x ) = x − 81x + 182 x + n a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + ? b)Với m vừa tìm , Tính số dư r chia P(x) cho x – phân tích đa thức P(x) thành tích thừa số bậc ? c) Tìm n để nghiệm P(x) nghiệm Q(x) , biết nghiệm phải khác – 0,5 ? Phân tích đa thức Q(x) thành tích thừa số bậc ? Bài tập28: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9,P(4) = 11 (H(x) = 2x +3) a) Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b) Tính giá trị P(10) , P(11) , P(12) , P(13) c) Viết lại P(x) với hệ số số nguyên d) Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x + 5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập29: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = - , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = (H(x) = 2x -7) a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trị P(22) , P(23) , P(24) , P(25) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (7x -5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Hãy điền kết tính vào vng Bài tập30: Cho P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e biết P(1)=1, P(-2) = 4, P(3) =9, P(-4) =16, P(5)=25 (H(x) = x2 ) a)Tìm hệ số a , b, c , d f đa thức P(x) b)Tính giá trị P(20) , P(21) , P(22) , c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (x + 3) Bài tập31: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = , P(2) = 13 , P(3) = 33 , P(4) = 61 a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trị P(5) , P(6) , P(7) , P ( 8) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x - 5) Bài tập32: a Cho P ( x) = x + ax + bx + cx + d biết P(1)= 0, P(2)=4, P(3)=18, P(4)=48 Tính P(2007) ? b) Cho đa thức P ( x) = x + 5x − 4x + 3x − 50 Gọi r1 phần dư phép chia P(x) cho x r2 phần dư phép chia P(x) cho x - Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ? Bài tập33: Cho hai đa thức P ( x) = x + ax + bx + c ; Q ( x) = x − 10x + 40x − 125x − P ( −9) 2 39 407 561         ; P  ÷= a) Tính a, b , c P  ÷, biết P  ÷ = ; P  ÷ =  3  2   64  5 125 23 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 b) Với a, b, c tìm trên, Tìm thương T(x) số dư G(x) phép chia đa thức Q(x) cho x – 11 c) Chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) + Q(x) số chẵn với số nguyên x Bài tập34: a) Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e biết P(-1) = -2 , P(2) = ,P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 Tính P(38) P(40) ? b) Cho dãy số xác định công thức xn+1 = 4xn3 + ( n∈ N , n ≥ 1) xn2 + biết x1 = Tính x5 ? c) Phân tích đa thức thành nhân tử : A = 5x − 4x − 11x + 4x + 5 Bài tập35: Cho đa thức P ( x) = 5x + 8x − 12x + 7x − 1+ 3m a) Tính số dư r phép chia P(x) cho x – 4,138 m = 2007 ? b) Tính giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho 3x + ? c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = m2 có giá trị ? Bài tập36: a) Tìm nghiệm gần phương trình : x9 + x – = b) Cho A = 532588 B = 110708836 Tìm ƯCLN (A ,B ) BCNN(A,B ) ? c) Tìm số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377 Bài tập37: Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480 Tìm hệ số b , c, d , f(x) Tìm hệ số x2 phép chia f(x) cho x + Giải Theo ta có: f(1) = + + b + c + d = - 18 f(2) = 64 + + 4b + 2c + d f(3) = 486 + 27 + 9b + 3c + d Tức ta có hệ: b + c + d = −16  4b + 2c + d = −23 9b + 3c + d + −36  Gi ải hệ pt ta được: b= -2; c=2; d=- 15 Vậy f(x) = 2x5 + x3 - 3x2 - 2x - 15 Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta đ ược: F(x) = (x+3)(2x4 - x3 + x2 - 60x + 182) - 561 Vậy hệ số x2 phép chia Bài tập38: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 c) P(x) có nghiệm x = Tìm m Bài tập39: Cho đa thức P ( x) = x − 3x + 4x − 5x + 6x + m a)Tìm số dư r phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) m = 2005 b)Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5 c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = 24 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 Bài tập40: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b)Với m tìm câu a ) , tìm số dư r chia P(x) cho 3x – phân tích P(x) thành tích thừa số bậc Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x – c)Với n tìm , phân tích Q(x) tích thừa số bậc Bài tập41: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm giá trị m n để P(x) Q(x) chia hết cho x – b) Với giá trị m n tìm , chứng tỏ R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm Bài tập42: Cho đa thức F(x)= x4+5x3-4x2+3x+a G(x)=-3x4+4x3-3x2+2x+b; H(x)=5x5-x4-6x3+27x2-54x+32 a)Tìm a, b để F(x) G(x) có nghiệm chung x=0,25 b)Sử dụng phím nhớ, lập quy trình bấm phím tìm số dư phép chia Q(x) cho 2x+3 Bài tập43: Cho đa thức P ( x) = x + bx + cx + d biết P(1) = - 15 , P(2) = - 15 , P(3) = - a)Tìm hệ số b, c , d đa thức P(x) b)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (x – 4) c)Tìm số dư r2 phép chia P(x) cho (2x + 3) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập44: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d biết P(1) = - , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = a) Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b) Tính giá trị P(22) , P(23) , P(24) , P(25) c) Viết lại P(x) với hệ số số nguyên Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (7x -5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập45: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c a)Tìm a , b , c biết x nhận giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 P(x) có giá trị tương ứng 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b)Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 12x – c)Tìm giá trị x P(x) có giá trị 1989 Bài tập46: Cho Q(x)=22x3+ 2x-2008 a) Tính Q ( 14 2) b) Tìm m để Q(x) + m3 chia hết cho x-5 Bài tập47: Cho đa thức f(x) Biết f(x) chia x-3 dư 7, chia x-2 dư 5, chia (x-2)(x-3) thương 3x dư a) Tìm f(x) b) Tính xác tổng f(2007)+f(2008)+f(2009) Bài tập48: Cho ña thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d 25 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 bieát P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = 11 a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trò P(10) , P(11) , P(12) , P(13) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x + 5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập49: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d bieát P(1) = - , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trò P(22) , P(23) , P(24) , P(25) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (7x -5) ( xác đến chữ số phần thập phân ) Bài tập50: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e bieát P(1) = , P(-2) = , P(3) = , P(-4) = 16 , P(5) = 25 a)Tìm hệ số a , b, c , d f đa thức P(x) b)Tính giá trò cuûa P(20) , P(21) , P(22) , P ( π ) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (x + 3) Bài tập51: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d bieát P(1) = , P(2) = 13 , P(3) = 33 , P(4) = 61 a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x) b)Tính giá trò cuûa P(5) , P(6) , P(7) , P ( 8) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x - 5) Bài tập52: 3 Cho P ( x ) = x − 15x + 16 x + m vaø Q ( x ) = x − 81x + 182 x + n a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + ? b)Với m vừa tìm , Tính số dư r chia P(x) cho x – phân tích đa thức P(x) thành tích thừa số bậc ? c) Tìm n để nghiệm P(x) nghiệm Q(x) , biết nghiệm phải khác – 0,5 ? Phân tích đa thức Q(x) thành tích thừa số bậc ? 26 Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679 ... với máy tính giải nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không sử dụng công thức Cardano phức tạp Do yêu cầu phải nắm vững phương pháp vận dụng cách khéo léo hợp lí làm Nguồn: http://www.violet.vn/Thanhtom1679