Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM 2011-2012 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN - Vòng 1 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2 điểm) 1. Cho hàm số có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M. 2. Tìm m để hàm số có cực đại. Câu 2 (2 điểm) 1. Giải phương trình 2. Giải hệ phương trình Câu 3 (2 điểm) 1. Chứng minh . Từ đó suy ra trong mọi tam giác nhọn ABC ta có . 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . Câu 4 (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a. 2. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN. Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh …………………Hết…………………. Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… 2 1 x y x − = + 2 9 9y x m x= + + 2012 2012 1005 1 sin x cos x 2 + = 2 2 2 2 1 1 1 x x y y x y xy + + = + − + − = 9 3 tan sin ( 3 ), 0; 2 2 2 x x x x π π + ≥ + − ∀ ∈ ÷ 9 3 tan tan tan sin sin sin 2 A B C A B C+ + + + + ≥ 2 4 4 16y x x x= + + − − − 3a · 0 45MAN = 2 2 2 1a b c+ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5( ) 3 3 3 a ab b bc c ca a b c a ab c b bc a c ca b + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + ĐỀ THI CHÍNH THỨC Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:……………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Điểm I 1 CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M 1,00 . 0,25 Tiếp tuyến của (C) tại M có pt Tiệm cận đứng có phương trình Tiệm cận ngang có phương trình 0,25 , 0,25 (không phụ thuộc vào a, đpcm) 0,25 2 Tìm m để hàm số có cực đại 1,00 TXĐ: , (I) 0,25 TH 1. nên suy ra hàm số đồng biến trên , không có cực trị. 0,25 TH 2. là điểm cực tiểu loại 0,25 TH 3. là điểm cực đại. Vậy hàm số có cực đại 0,25 II 1 Giải phương trình (1) 1,00 Đặt . (1) có dạng: (2) 0,25 Xét hàm số ; 0,25 Vậy 0,25 hay (1) () 0,25 2 Giải hệ phương trình 1,00 2 ( ) ; , 1 1 a M C M a a a − ∈ ⇒ ≠ − ÷ + 2 2 3 3 ' '( ) ( 1) ( 1) y y a x a = ⇒ = + + 2 3 2 ( ) ( 1) 1 a y x a a a − = − + + + ( )∆ 1 ∆ 1x = − 2 ∆ 1 ( 1;1)y I= ⇒ − 1 5 1; 1 a A A a − ∆ ∩ ∆ = ⇒ − ÷ + ( ) 2 2 1;1B B a∆ ∩ ∆ = ⇒ + 1 1 5 1 6 . 1. 2 2 . .2 1 6 2 2 1 2 1 IAB a S IA IB a a a a − = = − + = + = + + 2 9 9y x m x= + + ¡ 2 2 2 9 ' 9 , '' 9 ( 9) 9 mx m y y x x x = + = + + + 2 2 ' 0 9 9 0 9 9y x mx x mx= ⇔ + + = ⇔ + = − ⇔ 2 2 2 2 2 0 0 81( 9) ( 81) 81.9 mx mx x m x m x < < ⇔ + = − = 2 2 81 9 9 . 9 9 9( )m m m x x x x≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ ≤ < + ∀ 2 2 9 9 ' 0, 9 x mx y x x + + = > ∀ + ¡ 1 2 27 9 ( ) 81 m I x m − > ⇒ ⇔ = − 1 1 2 2 1 1 9 ''( ) 0 ( 9) 9 m y x x x x = > ⇒ + + 9m⇒ > 2 2 27 9 ( ) 81 m I x m < − ⇒ ⇔ = − 2 2 2 2 2 2 9 ''( ) 0 ( 9) 9 m y x x x x = < ⇒ + + ⇔ 9m < − 2012 2012 1005 1 sin x cos x 2 + = [ ] 2 sin , 0;1t x t= ∈ 1006 1006 1005 1 (1 ) 2 t t+ − = [ ] 1006 1006 ( ) (1 ) , 0;1f t t t t= + − ∈ 1005 1005 '( ) 1006[ (1 ) ]f t t t= − − 1 '( ) 0 2 f t t= ⇔ = [ ] 1005 1005 0;1 1 1 1 (0) (1) 1, min ( ) 2 2 2 f f f f t = = = ⇒ = ÷ 1 (2) 2 t⇔ = ⇔ 2 1 sin cos2 0 2 4 2 x x x k π π = ⇔ = ⇔ = + k Z∈ 2 2 2 2 1 1 (1) 1 (2) x x y y x y xy + + = + − + − = ĐK: . 0,25 Kết hợp với (2) ta được 0,25 0,25 Thử lại ta có và thỏa mãn hệ pt Vậy hệ có 2 nghiệm như trên 0,25 III 1 Chứng minh . 1,00 Xét hàm số trên Vì cùng dấu với . Bảng biến thiên của x 0 - 0 + Vậy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên . Tương tự, cộng lại ta được 0,25 0,25 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 1xy y x x y x y y x x y⇔ = − + ⇒ = + − − ⇔ − = − 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1)( 1)x xy y y x y x⇒ − + = − + + − − + 2 2 (1) 1 1x y y x⇔ − = − − + 1y ≥ 2 2 2 2 2 1 0 2 0 2 1 x y x x xy y x x y xy − = − = ⇒ − = ⇔ = + − = 2 0 & (2) 1 1x y y= ⇒ = ⇔ = ± 2 2 1 1 2 2 & (2) 3 1 3 3 3 y x x x x y= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = ± 0, 1x y= = 1 2 , 3 3 x y= = 9 3 tan sin ( 3 ), 0; 2 2 2 x x x x π π + − ≥ − ∀ ∈ ÷ 9 ( ) tan sin 2 f x x x x= + − 0; 2 π ÷ 3 2 2 2 2 2 1 9 2cos 9cos 2 (2cos 1)(cos x 4cos 2) '( ) cos cos 2 2cos 2cos x x x x x f x x x x − + − − − = + − = = 2 0; 0 cosx<1 (cos 2) 4cos 0 '( ) 2 x x x f x π ∈ ⇒ < ⇒ − − < ⇒ ÷ 1 2cos x− ( )f x 3 π 2 π '( )f x ( )f x 3 ( 3 ) 2 π − 9 3 ( ) tan sin ( 3 ), 0; 2 2 2 f x x x x x π π = + − ≥ − ∀ ∈ ÷ 3 x π = , , 0; 2 A B C π ∈ ⇒ ÷ 9 3 tan sin ( 3 ) 2 2 A A A π + ≥ + − Kết hợp với ta có đpcm 0,25 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1,00 TXĐ: . Đặt . Bình phương ta được . Dấu bằng có khi x= Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có .D bằng có khi x=0 Do Khi đó (loại) . Vậy khi x=0, khi x= 0,25 0,25 0,25 0,25 IV 1 Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a 1,50 Tương tự 0,25 0,25 (1) (2) 0,25 0,25 Do 0,25 A B C π + + = 9 9 tan tan tan sin sin sin ( ) ( 3 ) 2 2 A B C A B C A B C π + + + + + ≥ + + + − 2 4 4 16y x x x= + + − − − 4 ± 4 ± 2 8 2 ( 4)(4 ) 8t x x= + + − ≥ 4 4 , 0t x x t= + + − ≥ [ ] 4;4D = − [ ] 4;4 2 2;4 max max ( ) 2 2y f t − = = C' D' B' C A B D S , ( ) 'BC AB BC SA BC SAB BC AB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ' ' ( ) 'SC P SC AB AB SBC AB SB⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ [ ] 4;4 2 2;4 min min ( ) 0y f t − = = 'AD SD⊥ 2 8 2 ( 4)(4 ) 8 ( 4) (4 ) 16t x x x x= + + − ≤ + + + − = . ' ' ' . ' ' . ' 'S AB C D S AB C S AD C V V V= + 2 2 . ' ' 2 2 2 2 . ' ' '. '. 3 3 9 . . . . 4 5 20 S AB C S ABC V SB SC SB SB SC SC SA SA V SB SC SB SC SB SC = = = = = (2 2) 2 2, (4) 0f f= = 2 2 . ' ' 2 2 2 2 . ' ' '. '. 3 3 9 . . . . 4 5 20 S AD C S ADC V SD SC SD SD SC SC SA SA V SD SC SD SC SD SC = = = = = 3 2 . . 1 1 3 . . 3 3 2 6 S ABC S ADC a V V a a= = = '( ) 1, '( ) 0 1f t t f t t= − + = ⇔ = 2 2 8 1 ( ) 4, 2 2;4 2 2 t y f t t t t t − = = − = − + + ∈ 0 2 2 4t t≥ ⇒ ≤ ≤ Cộng (1) và (2) theo vế ta được 0,25 2 Tìm max và min của thể tích khối chóp S.AMN 1,50 ( Hình vẽ trang cuối) . Đặt ; Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho 0,25 (*) 0,25 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CMN ta được 0,25 0,25 Thế vào (*) ta được Đặt . 0,25 , , Vậy khi khi 0,25 V 1,00 ta có 0,25 0,25 3 3 . ' ' . ' ' . ' ' ' 3 3 9 9 9 3 3 3 . 20 20 10 6 20 3 3 6 6 S AB C S AD C S AB C D V V a a V a a + = + ⇔ = = ,BM x DN y= = · · ,ABM ADP AM AP BAM DAP∆ = ∆ ⇒ = = [ ] , 0;x y a∈ DP BM x= = . 1 . . 3 3 S AMN AMN V S a= · · · · · · 0 0 0 45 45 45MAN BAM DAN NAP DAP DAN= ⇒ + = ⇒ = + = 1 1 . ( ) 2 2 MAN PAN MAN PAN S S AD PN a x y⇒ ∆ = ∆ ⇒ = = = + 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )MN MC CN x y a x a y= + ⇔ + = − + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )x y xy a x ax a y ay xy a x y a+ + = + − + + − ⇔ + + = 2 a ax y x a − ⇔ = + 2 1 ( ) 2 MAN a ax S a x x a − = + + 2 2 2 2 2 2 ( ) '( ) . 2 2 ( ) a x a a x ax a f x f x x a x a + + − = ⇒ = ÷ + + '( ) 0 ( 2 1)f x x a= ⇔ = − 2 (0) ( ) 2 a f f a= = 2 (( 2 1) ) ( 2 1)f a a− = − [ ] 2 0; max ( ) 2 a a f x⇒ = [ ] 2 0; min ( ) ( 2 1) a f x a= − 3 . 3 max 6 S AMN a V = , , M B N C M C N D ≡ ≡ ≡ ≡ 3 . 3( 2 1) min 3 S AMN a V − = ( 2 1)MB ND a= = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5( ) 3 3 3 a ab b bc c ca a b c a ab c b bc a c ca b + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + , 0x y∀ > 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y xy x xy y x y y + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 2( 1) ( 3 ) 3 3 a ab a ab a ab a ab c a ab c a ab c + + + + ⇒ = ≥ + + − + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 a b a c ab a b c a c + = + − − ≥ + + + − − 0,25 Tương tự, cộng lại ta được Đẳng thức xảy ra 0,25 2 ( ) 5 3 2 2 5 2 5 a a a a a b b b c c a b c + + + + + + + + + + + ≥ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 2 (10)( ) 2 20 a b c a a a a a b b b c c+ + + + + + + + + + + = = 1 3 a b c⇔ = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5( ) 3 3 3 a ab b bc c ca a b c a ab c b bc a c ca b + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + x y x 45 0 A D B C M N P . đi m M cắt hai ti m cận tại A và B. Gọi I là giao đi m của hai ti m cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí đi m M. 2. T m m để. ⇔ = = ,BM x DN y= = · · ,ABM ADP AM AP BAM DAP∆ = ∆ ⇒ = = [ ] , 0;x y a∈ DP BM x= = . 1 . . 3 3 S AMN AMN V S a= · · · · · · 0 0 0 45 45 45MAN BAM DAN NAP
