Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9 Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0. Chứng minh hằng đẳngthức: cbacba 111111 222 ++=++ HD. ++ +++++=++= cabcabcabcab cbacba VT 111 2 111 2 111111 222222 VP cbacbaabc cba cbabca b abc a abc c cba =++= ++= ++ ++= ++ ++= 111111 2 111 2 111 222 Bài tập 2: Chứng minh rằng số: 532 ++ là số vô tỉ. HD.Giả sử: a =++ 532 (a hữu tỉ ).Thế thì 532 =+ a .Bình phơng hai vế ta đợc: 2 56525625 2 2 a aaa =++=+ , tiếp tục BPHV ta có: a a a a aa 2 56 4 30 4 30256 2 4 4 2 ==++ (hiển nhiên a # 0 ), 30 là số hữu tỉ,vô lí . Vậy 532 ++ là số vô tỉ. Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức: ( ) 2 2 1 11 1 + ++= a a A với a # 0; b)Tính giá trị tổng: 22 2 1 1 1 1 ++= B + 22 3 1 2 1 1 ++ + 22 4 1 3 1 1 ++ ++ 22 100 1 99 1 1 ++ . HD. a). = + +++++ = + ++++ = + ++= 22 2222 22 2222 22 2 )1( 12)1( )1( )1()1( )1( 11 1 aa aaaaa aa aaaa aa A [ ] 22 2 22 22 22 22 22 222 )1( 1)1( )1( 1)1(2)1( )1( 1)1(2)1( )1( 122)1( + ++ = + ++++ = + ++++ = + ++++ = aa aa aa aaaa aa aaaa aa aaaa 2 2 )1( 1 + ++ = aa aa ; Với a > 0 nên A > 0 và )1( 1 2 + ++ = aa aa A . b) Từ câu a suy ra: ( ) 1 11 1 )1( 1 1 )1( 1)1( )1( 1 1 11 1 2 22 + += + += + ++ = + ++ = + ++= aaaaaa aa aa aa a a A . Do đó: = +++ ++ ++ += 100 1 99 1 1 . 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1B .99,99 100 1 100 100 1 99 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 99 == ++++= Bài tập 4. Rút gọn biểu thức: a) A = nn + ++ + + + + + 1 1 . 43 1 32 1 21 1 b) B = 1009999100 1 . 4334 1 3223 1 22 1 + ++ + + + + + c) C = 10099 1 . 43 1 32 1 21 1 + + Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ HD.a) Ta hoán đổi vị trí hai số hạng ở mẫu rồi trục căn thức: 1 12 12 12 12 1 21 1 = = + = + làm tơng tự ta đợc: 1 .342312 1 1 . 1 34 1 23 1 12 ++++= ++ + + = nn nn A 11 .342312 =++++= nnn . b) 1009999100 1 . 4334 1 3223 1 22 1 + ++ + + + + + = B = )99100(99100 1 . )34(34 1 )23(23 1 )12(2 1 + ++ + + + + + = )99100(99100 1 . )34(34 1 )23(23 1 )12(2 1 + ++ + + + + + = )99100(99100 )99100( . )34(34 )34( )23(23 )23( )12(12 )12( ++ + + = 99100 )99100( . 34 )34( 23 )23( 12 )12( ++ + + = 10 9 10 1 1 100 1 99 1 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 ==++++ . c)Trục căn thức rồi rút gọn. Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức: ( )( ) + + ++ = 2 22 1 11 x zy xA ( )( ) + + ++ 2 22 1 11 y xz y ( )( ) 2 22 1 11 z yx z + ++ . HD. Thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + y 2 ta đợc: xy + yz + zx + y 2 = ( xy + y 2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z ); Tơng tự thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + x 2 ta đợc xy + yz + zx + x 2 = ( z + x ) ( x + y ); xy + yz + zx = 1 vào 1 + z 2 ta đợc xy + yz + zx + z 2 = ( y + z ) ( z + x ); Thay tất cả vào biểu thức A rút gọn ta đợc kết quả: xzyzxyA 222 ++= Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức: ( )( ) + + ++ = 2 22 3 33 3 x zy x yz B ( )( ) + + ++ 2 22 3 33 3 y xz y zx ( )( ) 2 22 3 33 3 z yx z xy + ++ . HD. Thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + y 2 ta đợc: xy + yz + zx + y 2 = ( xy + y 2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z ); Tơng tự thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + x 2 ta đợc xy + yz + zx + x 2 = ( z + x ) ( x + y ); xy + yz + zx = 3 vào 3 + z 2 ta đợc xy + yz + zx + z 2 = ( y + z ) ( z + x ); Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = 3. Bài tập 7. Cho ba số thực a, b, c # 0 và cbcaba +++=+ . Chứng minh rằng: 0 111 =++ cba . HD. cbcacbcabacbcabacbcaba ++++++=++++=++++=+ .2)()( 22 22222 )).(().()(.22 ccbcacabcbcaccbcaccbcac =+++++=++=++= 0 22 =++=+++ bcacabccbcacab , chia hai vế cho abc ta đợc: 0 111 =++ cba . Bài tập 8. Cho xzyzxyzyx ++=++ trong đó x, y, z là các số dơng. Chứng minh rằng: zyx == . HD. Nhân hai vế đẳng thức với 2 ta đợc: )(2)(2 xzyzxyzyxxzyzxyzyx ++=++++=++ zyxxzzyyx ===++ 0)()()( 222 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ Bài tập 9. Chứng minh rằng: a)Nếu a > 1, với mọi n N ta đều có: n n n n a a a a a a 11 = + ; b)Nếu 0,0 ba thì 0 =+=+ abbaba ; c) ( ) 0 333 =++=+ baabbaba HD.a) n n n n n n n n n n a a a a aa a aaaa a a aVT 11 . 1 . 1 = = = += , với a > 1, với mọi n N . b)Với 0,0 ba bình phơng hai vế ta đợc: 0022 ==++=+ abababbaba . c) Lập phơng hai vế ta đợc: ( ) 00)(333 22 =+=++++=+ baabbaababbababa Bài tập 10: Chứng minh nếu 3333 cbacba ++=++ thì với mọi n tự nhiên lẻ ta có: nnnn cbacba ++=++ . Bài tập 11.Cho byaxzczaxyczbyx +=+=+= ,, và zyx ++ # 0. Tính giá trị của biểu thức: cba B + + + + + = 1 2 1 2 1 2 . HD. Cộng vế với vế ta đợc: )(2 czbyaxzyx ++=++ , thay thích hợp ta đợc: z zyx cczczzzyx 2 1)1(2)(2 ++ =++=+=++ ; tơng tự ta có; x zyx a y zyx b 2 1 2 1 ++ =+ ++ =+ ; thay vào B ta đợc: 24 )(4444 2 2 2 2 2 2 == ++ ++ = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ = zyx zyx zyx z zyx y zyx x z zyx y zyx x zyx B Bài tập 12. Chứng minh rằng nếu x xt t yt y xy 1 11 + = + = + thì tyx == , x. y. t = 1. HD. Ta có: x t t y y x x xt t yt y xy 1111 11 +=+=+= + = + = + Cộng trừ vế với vế ta đợc: ty ty yt yx == 11 ; xt xt tx ty == 11 ; yx yx xy xt == 11 ; Nhân vế với vế ta đợc: yx yx xt xt ty ty xttyyx = .))()(( ; ( )( ) 1 )( ))()(( = = tyx xyt yxxtty xttyyx hoặc tyxxttyyx ===== 0;0;0 Bài tập 13. Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn ( ) 222 2 cbacba ++=++ . Tính giá trị biểu thức: abc c acb b bca a P 222 2 2 2 2 2 2 + + + + + = . HD. ( ) 0222222 222222222 2 =++++=+++++++=++ cabcabcbacabcabcbacbacba bcabcacaabbccabcabcabcab ====++ ,,0 , thay vào P ta đợc: cabcabc c bcabacb b caabbca a abc c acb b bca a P + + + + + = + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ )()()()()()( 222 cbacbc c bacbab b cabcaa a + + + + = ))(())(())(())(())(())(( 222222 cacb c cbba b baca a cacb c bcba b baca a + = + + = ))()(( )( ))()(( )( ))()(( )( 222 bacacb bac cacbba cab cbbaca cba + = = ++ = + = ))()(( )( ))()(( )()()( 22222222 cbbaca bcaccbabcba cbbaca bacacbcba [ ] 1 ))()(( ))()(( ))()(( )()()( ))()(( ))(( ))()(( )())(()( ))()(( )( 2 222222 = = = + = ++ = ++ = cbbaca cabacb cbbaca cbcbaacb cbbaca bcacabacb cbbaca cbbccbcbacba cbbaca bccbacabcba Bài tập 14. Cho 0 =++ cba và a,b,c # 0. Chứng minh rằng: 222 2 222 2 222 2 666 bac c acb b cba a A + + = là số nguyên. HD. ( ) [ ] (*),22)(0 222222 2 2 bccbabccbacbacbacba =++==+==++ ; Biến đổi tơng tự ta có đợc: *);*(*,2(**),,2 222222 abbaccaacb == Thay (*),(**),(***) và A ta đợc: **)*(* )(3 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 333 222222 abc cba ab c ca b bc a ab c ca b bc a A ++ =++=++= Ta lại có: ( ) [ ] )33()(0 22333 3 3 bccbcbacbacbacba +++==+==++ )(3)(3)33( 33333322333 abccbacbbccbabccbcba =+++=+++=++ *)***(*,3 333 abccba =++ Thay (*****) vào (****) ta đợc: 39 3.3)(3 333 === ++ = abc abc abc cba A Bài tập 15. Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn: 0 =++ z c y b x a và 1 =++ c z b y a x . Tính *)*(*; 2 2 2 2 2 2 c z b y a x M ++= . HD. Ta có 122211 2 2 2 2 2 2 2 2 =+++++= ++=++ ca zx bc yz ab xy c z b y a x c z b y a x c z b y a x (*)212112 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ++ = ++=++= +++++ abc zxbyzaxyc ca zx bc yz ab xy c z b y a x ca zx bc yz ab xy c z b y a x ; Ta lại có: (**);000 =++= ++ =++ cxybxzayz xyz cxybxzayz z c y b x a ; Thay (*), (**) vào (***) ta đợc: 1 0 21 2 2 2 2 2 2 ==++= abc c z b y a x M Bài tập 16. Cho các số dơng a, b, c và cba ,, chứng minh rằng nếu: ( )( ) cbacbaccbbaa + + ++= + + thì c c b b a a = = . HD.Bình phơng hai vế ta đợc: bcaccbabcabaccbbaaaaccccbbbbaaccbbaa + + + + + + + + = + + + + + 222 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ bcaccbabcabaaaccccbbbbaa + + + + + = + + 222 0)2()2()2( = + + + + + bcccbbcbacaacccaabbbaaba 0)()()( 222 = + + bccbaccaabba bccbaccaabbabccbaccaabba = = = = = = ,,0)(,0)(,0)( c c b b a a c c b b c c a a b b a a = = = = = ;; . Bài tập 17: a)Cho ( ) 1198 1 . 11998 1 1997.2 1 1998.1 1 ++ + +++= kk S . Hãy so sánh S và 1999 1998 2 . b)Cho 1199 1 . 1997.3 1 1998.2 1 1999.1 1 ++++= A . Hãy so sánh A > 1,999. HD. áp dụng BĐT: ba ab abba + + 21 2 . Ta có: a) = ++ ++ ++ + + + + + 1198 1 11998 2 19963 2 19972 2 19981 2 kk S 1999 1998 2 1198 1 1999 1998 2 ++= b) Tơng tự câu a. Bài tập 18.Tìm x, y sao cho zyxzyx +=+ .DDK: x 0 0,0,0, + zyxzy HD. BPHV ta đợc: xyyxzzyxzzyxyxzzyx 2.2)()( 22 ++=+++++=++ xyzzyx 2.2 =+ , BPHV ta đợc: 0).( 2 =+=+ xyzyzxzxyzzyx zyxyzzxyzzxzxyzxz ====== ,,0)).((0)()( . Bài tập 19. Cho ( ) ( ) 20062006.2006 22 =++++ bbaa , hãy tính tổng a + b. HD : ( ) ( ) ( ) ( ) 2006200620062006.2006 2222 +=+++++ aaaabbaa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (*),20062006 200620062006200620062006 2006200620062006. 22 2222 2222 ++=+ +=+++=++ +=++ baba aabbaabb aaaabb Làm tơng tự ta đợc: (**),20062006 22 ++=+ abba Cộng vế với vế (*) và (**) ta đợc: ( ) 02 =+ ba vậy 0 =+ ba . Bài tập 20. Chứng minh rằng nếu 0 =+ zyx thì 0 111 = + + + + + zyxyxzxzy . HD. xyzyxzxyyxzyxzyx 22)(0 2 2 =+=++=+=+ ; xzyzxyxzzxyzxzyx 22)()(0 22 =+=+==+ ; yzxzyxyzzyxzyzyx 22)()(0 22 =+=+==+ Thay các kết quả ta đợc: 0 22222 1 2 1 2 1111 = + =+=+= + + + + + xyz zyx xyz z zxy y xyz x xyzxyz zyxyxzxzy Bài tập 21.Tính giá trị biểu thức ( )( ) ( )( ) ( )( ) xyzyxzxzyzyxM ++= 444444 với x,y,z > 0 thoả mãn 4 =+++ xyzzyx . Bài tập 22. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một là: b ac a cb c ba + = + = + . Tính giá trị biểu thức + + += a c c b b a M 1.1.1 . Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ HD. bacacbcba cba cba bac accbba b ac a cb c ba 2,2,22 )(2 =+=+=+= ++ ++ = ++ +++++ = + = + = + 8 82 . 2 . 2 1.1.1 === + + + = + + += cba cba a b c a b c a ca c cb b ba a c c b b a M Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9 Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0. Chứng minh hằng đẳngthức: cbacba 111111 222 ++=++ Bài tập 2: Chứng minh rằng số: 532 ++ là số vô tỉ. Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức: ( ) 2 2 1 11 1 + ++= a a A với a # 0; b)Tính giá trị tổng: 22 2 1 1 1 1 ++= B + 22 3 1 2 1 1 ++ + 22 4 1 3 1 1 ++ ++ 22 100 1 99 1 1 ++ . Bài tập 4. Rút gọn biểu thức: a) A = nn + ++ + + + + + 1 1 . 43 1 32 1 21 1 b) B = 1009999100 1 . 4334 1 3223 1 22 1 + ++ + + + + + c) C = 10099 1 . 43 1 32 1 21 1 + + Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức: ( )( ) + + ++ = 2 22 1 11 x zy xA ( )( ) + + ++ 2 22 1 11 y xz y ( )( ) 2 22 1 11 z yx z + ++ . Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức: ( )( ) + + ++ = 2 22 3 33 3 x zy x yz B ( )( ) + + ++ 2 22 3 33 3 y xz y zx ( )( ) 2 22 3 33 3 z yx z xy + ++ . Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ Bài tập 7 . Cho ba số thực a, b, c # 0 và cbcaba +++=+ . Chứng minh rằng: 0 111 =++ cba . Bài tập 8. Cho xzyzxyzyx ++=++ trong đó x, y, z là các số dơng. Chứng minh rằng: zyx == . Bài tập 9. Chứng minh rằng: a)Nếu a > 1, với mọi n N ta đều có: n n n n a a a a a a 11 = + ; b)Nếu 0,0 ba thì 0 =+=+ abbaba ; c) ( ) 0 333 =++=+ baabbaba Bài tập 10.Cho byaxzczaxyczbyx +=+=+= ,, và zyx ++ # 0. Tính giá trị của biểu thức: cba B + + + + + = 1 2 1 2 1 2 . Bài tập 11. Chứng minh rằng nếu x xt t yt y xy 1 11 + = + = + thì tyx == , x. y. t = 1. Bài tập 12. Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn ( ) 222 2 cbacba ++=++ . Tính giá trị biểu thức: abc c acb b bca a P 222 2 2 2 2 2 2 + + + + + = . Bài tập 13. Cho 0 =++ cba và a,b,c # 0. Chứng minh rằng: 222 2 222 2 222 2 666 bac c acb b cba a A + + = là số nguyên. Bài tập 14. Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn: 0 =++ z c y b x a và 1 =++ c z b y a x . Tính *)*(*; 2 2 2 2 2 2 c z b y a x M ++= . Bài tập 15. Cho các số dơng a, b, c và cba ,, chứng minh rằng nếu: ( )( ) cbacbaccbbaa + + ++= + + thì c c b b a a = = . Bài tập 16: a)Cho ( ) 1198 1 . 11998 1 1997.2 1 1998.1 1 ++ + +++= kk S . Hãy so sánh S và 1999 1998 2 . b)Cho 1199 1 . 1997.3 1 1998.2 1 1999.1 1 ++++= A . Hãy so sánh A > 1,999. HD. áp dụng BĐT: ba ab abba + + 21 2 . Ta có: Bài tập 17.Tìm x, y sao cho zyxzyx +=+ .DDK: x 0 0,0,0, + zyxzy Bài tập 18. Cho ( ) ( ) 20062006.2006 22 =++++ bbaa , hãy tính tổng a + b. Bài tập 19. Chứng minh rằng nếu 0 =+ zyx thì 0 111 = + + + + + zyxyxzxzy . Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ Bài tập 20. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một là: b ac a cb c ba + = + = + . Tính giá trị biểu thức + + += a c c b b a M 1.1.1 . 9 . a)Cho ( ) 1 198 1 . 1 199 8 1 199 7.2 1 199 8.1 1 ++ + +++= kk S . Hãy so sánh S và 199 9 199 8 2 . b)Cho 1 199 1 . 199 7.3 1 199 8.2 1 199 9.1 1 ++++=. > 1 ,99 9. HD. áp dụng BĐT: ba ab abba + + 21 2 . Ta có: a) = ++ ++ ++ + + + + + 1 198 1 1 199 8 2 199 63 2 199 72 2 199 81 2 kk S 199 9 199 8 2 1 198