 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Chuyên đề 1: DÃY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = = (1) Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát n 1 = − a.(a+ n) a a+ n - - - Chứng minh - - - n ( a + n) − a a+n a 1 = = − = − a.(a + n) a.( a + n) a.( a + n) a.( a + n) a a + n  ∗ Bài 1.1: Tính 3 3 + + + + 5.8 8.11 11 14 2006.2009 10 10 10 10 + + + + c) C = 7.12 12.17 17.22 502.507 a) A = 1 1 + + + + 6.10 10.14 14.18 402.406 4 4 + + + + d) D = 8.13 13.18 18.23 253.258 b) B = ∗ Bài 1.2: Tính: 1 1 1 1 + + + + + + + + b) B = 2.9 9.7 7.19 252.509 10.9 18.13 26.17 802.405 3 − + − + + − c) C = 4.7 5.9 7.10 9.13 301.304 401.405 a) A = ∗ Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn: x 1 1 − − − − − = 2008 10 15 21 120 1 1 15 c) 3.5 + 5.7 + 7.9 + + (2 x + 1)(2 x + 3) = 93 a) b) 4 4 29 + + + + + = x 5.9 9.13 13.17 41.45 45 ∗ Bài 1.4: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta có: 1 5 1 n a) 2.5 + 5.8 + 8.11 + + (3n − 1)(3n + 2) = 6n + 5 5n b) 3.7 + 7.11 + 11 15 + + (4n − 1)(4n + 3) = 4n + ∗ Bài 1.5: Chứng minh với n ∈ N ; n ≥ ta có: 3 3 + + + + < 9.14 14.19 19.24 (5n − 1)(5n + 4) 15 ∗ Bài 1.6: Cho A = ∗ Bài 1.7: 4 16 16 + + + chứng minh: < A < 15.19 19.23 399.403 81 80 Cho dãy số : 2 ; ; ; 4.11 11 18 18.25 a) Tìm số hạng tổng quát dãy b) Gọi S tổng 100 số hạng dãy Tính S ∗ Bài 1.8: Cho A = 1 1 + + + + Chứng minh < A < 9 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Cho A = 2 2 1003 + + + + A< 2 Chứng minh: 2008 2007 ∗ Bài 1.10: Cho B = 1 1 334 + + + + B< 2 Chứng minh: 2007 2006 ∗ Bài 1.11: Cho S = 1 1 + + + S< 2 Chứng minh: 12 409 ∗ Bài 1.12: Cho A = 9 9 + + + + A< 2 Chứng minh: 11 17 305 ∗ Bài 1.9: ∗ Bài 1.13: Cho B = + ∗ Bài 1.14: Cho A = ∗ Bài 1.15: Cho B = 24 48 200.202 + + + Chứng minh: B > 99,75 25 49 2012 11 18 27 1766 20 20 + + + + Chứng minh: 40 < A < 40 16 25 1764 43 21 2 32 52 99 Tìm phần nguyên B + + + + + 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 ∗ Bài 1.16: Cho C = + + 15 2499 + + Chứng minh C > 48 16 2500 ∗ Bài 1.17: Cho M = 1 + + + Chứng minh M < 1+ + 1+ + + + + + + 59 ∗ Bài1.18: 1.4 2.5 3.6 98.101 + + + + Chứng minh 97 < N < 98 2.3 3.4 4.5 99.100 Cho N = • Mở rộng với tích nhiều thừa số: 2n 1 = − a(a + n)(a + 2n) a (a + n) (a + n)(a + 2n) Chứng minh: 2n ( a + 2n) − a a + 2n a 1 = = − = − a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n) (a + n)(a + 2n) 3n 1 = − a (a + n)(a + 2n)(a + 3n) a (a + n)(a + 2n) (a + n)(a + 2n)(a + 3n) ∗ Bài 1.19: Tính S = 2 + + + 1.2.3 2.3.4 37.38.39 ∗ Bài 1.20: Cho A = 1 1 + + + Chứng minh A < 1.2.3 2.3.4 18.19.20 ∗ Bài 1.21: Cho B = 36 36 36 + + + Chứng minh B < 1.3.5 3.5.7 25.27.29 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT ∗ Bài 1.22: Cho C = 5 + + + Chứng minh C < 5.8.11 8.11 14 302.305.308 48 ∗ Bài 1.23: Chứng minh với n ∈ N; n > ta có: A= ∗ Bài 1.24: 1 1 + + + + < 4 n Tính M = 1 + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30 1 + + + 100 ∗ Bài 1.25: Tính P = 511 521 + + + + 1.2 3.4 5.6 99.100 1.3 2.4 3.5 (n − 1)(n + 1) 1002.1004 Bài 1.26: Tính: Q = 3.5 + 5.7 + 7.9 + + (2n − 1)(2n + 1) + + 2005.2007 Bài 27: Tính: R = 2 32 42 2006 + + + + 1.3 2.4 3.5 2005.2007 22 23 n +1 2006 + + + + + + Bài 1.28: Cho S = n 2005 2005 + 2005 + 2005 + 2005 + 2005 + So sánh S với 1002 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Chứng minh rằng: a) 1 = − n(n + 1) n n + b) k  1 = k − ÷ n(n + 1)  n n + 1 Áp dụng Tính: 1 1 + + + + + 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 3 3 B= + + + + + 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 A= Bài 2: Chứng minh rằng: a) k 1 = − n(n + k) n n + k b) 1 1  =  − n(n + k) k  n n + k ÷  Áp dụng Tính: DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT 2 2 + + + + + 1.3 3.5 5.7 95.97 97.99 1 1 B= + + + + + 1.4 4.7 7.10 94.97 97.100 A= Bài 3: Tính: 3 3 + + + + 5.8 8.11 11 14 2006.2009 1 1 + + + + b) B = 6.10 10.14 14.18 402.406 x ∈ N Bài 4: Tìm , biết: 1 1 44 + + + + = 1.2 2.3 3.4 x(x + 1) 45 Bài 5: Chứng minh ∀n∈ N : 1 1 n + + + + = 2.5 5.8 8.11 (3n − 1)(3n + 2) 6n + Bài6: Tìm x∈ N , biết: 1 1 15 + + + + = 3.5 5.7 7.9 (2x + 1)(2x + 3) 93 Bài 7: Chứng minh ∀n∈ N : 1 1 n + + + + = 3.7 7.11 11.15 (4n − 1)(4n + 3) 12n + a) A = Bài 8: Chứng minh ∀n∈ N : 1 1 n + + + + = 3.7 7.11 11.15 (4n − 1)(4n + 3) 4n + Bài 9: Chứng minh rằng: a a 1  =  − n(n + k) k  n n + 1÷  1 b) = − n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) ( n + 1) ( n + 2) a) c) a n( n + k) ( n + 2k) = a  1  −  2k  n( n + k) ( n + k) ( n + 2k) Bài 10: Tính: 7 7 + + + + 10.11 11.12 12.13 69.70 6 6 b) B = + + + + 15.18 18.21 21.24 87.90 3 3 c) C = + + + + 1.3 3.5 5.7 49.51 a) A = Bài 11: Tính S = 2 + + + 1.2.3 2.3.4 37.38.39  ÷ ÷  DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 12: Cho A = 1 1 + + + Chứng minh A < 1.2.3 2.3.4 18.19.20 Bài 13: Cho B = 36 36 36 + + + Chứng minh B < 1.3.5 3.5.7 25.27.29 Bài 14: Cho C = 5 + + + Chứng minh C < 5.8.11 8.11 14 302.305.308 48 Bài 15: Tìm x∈ N , biết: a) 1 1 11 + + + + = 1.6 6.11 11.16 ( 5x + 1) ( 5x + 6) 56 b) 1 2 + + + + = 21 28 36 x( x + 1) Bài 16: Tính: A= 2 2 + + + + 5.8 8.11 11.14 2006.2009 Bài 17: Tìm x∈ N , biết: 1 + + + + = 15 35 63 (2x + 1) ( 2x + 3) Bài 18: Chứng minh ∀n∈ N : 7 7 7n + + + + = 2.5 5.8 8.11 (3n − 1)(3n + 2) 6n + Bài 19: Tìm x∈ N , biết: 1 1 + + + + + = 10 15 21 120 x Bài 20: Chứng minh ∀n∈ N : 3 3 n + + + + = 3.7 7.11 11.15 (4n − 1)(4n + 3) 4n + Bài 21: Tính: B= 5 5 + + + + 6.10 10.14 14.18 402.406 Bài 22: Cho A = 1 1 + + + + Chứng minh < A < 9 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT HD : *cm : A < 1 1 ⇒ A< + + + + 1.2 2.3 3.4 8.9 1 1 1 ⇒ A < − + − + − + + − 2 3 ⇒ A < 1− ⇒ A< Bài 23: Cho A = *cm : A > 1 1 + + + + 2.3 3.4 4.5 9.10 1 1 1 1 ⇒ A > − + − + − + + − 3 4 10 1 ⇒ A> − 10 ⇒ A> ⇒ A> 2 2 1003 + + + + A< 2 Chứng minh: 2008 2007 HD : A< 2 2 + + + 3.5 5.7 7.9 2007.2009 Bài 24: Cho B = 1 1 334 + + + + B< 2 Chứng minh: 2007 2006 Bài 25: Cho S = 1 1 + + + S< 2 Chứng minh: 12 409 Bài 26: Cho A = 9 9 + + + + A< 2 Chứng minh: 11 17 305 24 48 200.202 + + + Chứng minh: B > 99,75 25 49 2012 11 18 27 1766 20 20 Bài 28: Cho A = + + + + Chứng minh: 40 < A < 40 16 25 1764 43 21 Bài 27: Cho B = + Bài 29: Tính : A = + HD : 1 + + + 100 2 2 1 1 ⇒ 2A = 1+ + + + + 99 2 2 ⇒ A = 2A − A = 1− 100 ⇒ A = 1− 100 1 1 Bài 30: Tính: C = + + + + 99 2 2 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT HD : 1 1 ⇒ 4C = + + + + + 97 2 2 ⇒ 3C = 4C − C = − 97 ⇒C= − 97 3.2 1 1 + − + + 99 − 100 2 2 2 1 1 + − 10 + − 58 2 2 Bài 31: Tính: B = − Bài 32: Tính: D = − 2001 + + + + 2001 Chøng minh r»ng A< 5 5 16 11 Bài 34: Chứng minh rằng: A = + + + + 12 < 5 5 16 2001 Bài 35: A = − + − + + 2001 Chøng minh r»ng A > 5 5 36 Bài 33: Cho A= (2) Dãy 2: Dãy luỹ thừa Bài 2.1: Tính : A = + 1  n  với n tự nhiên a  1 + + + 100 2 2 1 1 + − + + 99 − 100 2 2 2 1 + + + 99 2 2 1 1 + − 10 + − 58 2 2 Bài 2.2: Tính: B = − Bài 2.3: Tính: C = + Bài 2.4: Tính: D = − 26 3n − + + n Chứng minh A > n − 27 3 10 28 398 + + + + 98 Chứng minh B < 100 27 Bài 2.5: Cho A = + + Bài 2.6: Cho B = + DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 2.7: Cho C = + Bài 2.8: Cho D = 5 5 + + + 99 Chứng minh: C < 4 19 + 2 + 2 + + 2 Chứng minh: D < 2 3 10 Bài 2.9: Cho E = + 100 + + + 100 Chứng minh: E < 3 10 3n + 11 + + + n với n ∈ N* Chứng minh: F < 3 11 302 + + + 100 Chứng minh: < G < 3 13 19 601 + + + 100 Chứng minh: < H < 3 Bài 2.10: Cho F = + Bài 2.11: Cho G = + Bài 2.12: Cho H = + Bài 2.13: Cho I = 11 17 23 605 + + + + 100 Chứng minh: I < 3 3 13 22 904 17 + + + 101 Chứng minh: K < 3 11 15 403 + + + 100 Chứng minh: L < 4,5 3 Bài 2.14: Cho K = + Bài 2.15: Cho L = + CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT - DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT A- Kiến thức cần nắm vững: I Dóy số viết theo qui luật: 1) Dóy cộng 1.1) Xột cỏc dóy số sau: a) Dóy số tự nhiờn: 0; 1; 2; 3; 4; (1) b) Dóy số lẻ: 1; 3; 5; 7; (2) c) Dóy cỏc số chẵn: 0; 2; 4; 6; (3) d) Dóy cỏc số tự nhiờn lớn chia cho dư 1: 4; 7; 10; 13; (4) Trong dóy số trờn, số hạng kể từ số hạng thứ 2, lớn số hạng đứng liền trước số đơn vị: +) Số đơn vị dóy (1) +) Số đơn vị dóy (1) (2) +) Số đơn vị dóy (4) Khi ta gọi dóy cỏc trờn "dóy cộng" 1.2) Cụng thức tớnh số hạng thứ n dóy cộng (khi biết n d) - Xột dóy cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an a2 = a1 + d Ta cú: a3 = a1 + 2d ; a4 = a1 + 3d ; Tổng quỏt: an = a1 + (n − 1)d (I) DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Trong : n gọi số số hạng dóy cộng d hiệu hai số hạng liờn tiếp Từ (I) ta cú: n = an − a1 +1 d (II) Cơng thức (II) giúp ta tính số số hạng dóy cộng biết : Số hạng đầu a1 , số hạng cuối an hiệu d hai số hạng liờn tiếp 1.3) Để tính tổng S số hạng dóy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an Ta viết: S = a1 + a2 + L + an −1 + an S = an + an −1 + L + a2 + a1 Nờn 2S = (a1 + an ) + (a2 + an −1 ) + L + (an −1 + a2 ) + (an + a1 ) = ( a1 + an )n (a + a ) Do đó: S = n (III) Chỳ ý: Trường hợp đặc biệt tổng n số tự nhiên liên tiếp bắt đàu từ S = 1+ + + +L + n = n(n + 1) B- BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 viột liờn tiếp liền cỏc số hạng dóy số lẻ 1; 3; 5; 7; Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số c) Tớnh: S = + + + L + 2n + với (n ∈ N ) d) Tớnh: S = + + + L + 2n với (n ∈ N * ) Bài 3: Cú số hạng dóy sau tận cựng hay khụng? 1;1 + 2;1 + + 3;1 + + + 4; Hướng dẫn: Số hạng thứ n dãy bằng: n(n + 1) Nếu số hạng thứ n dãy có chữ số tận n(n + 1) tận Điều vơ lí n(n + 1) tận 0, 2, Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng dóy số tự nhiờn từ đến 100 tạo thành số A Tính tổng chữ số A b) Cũng hỏi viết từ đến 1000000 Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số vào vị trí dóy số (khụng làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xét số 100 Từ đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: 99; 98; 97;… cặp có tổng chữ số 18 Tổng chữ số 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thêm số 100 có tổng chữ số ĐS: 901 b) Tương tự: ĐS: 27000001 S1 = + 2, S = + + 5, Bài 5: Cho S3 = + + + 9, S = 10 + 11 + 12 + 13 + 14, Tớnh S100 ? Hướng dẫn: Số số hạng S1, , S99 theo thứ tự 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 6: Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố với số mũ băng bao nhiêu? Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 cỏc dóy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; b) 1.4; 4.7; 7.10; Bài 8: Cho A = + + 32 + 33 + + 320 ; B = 321 : Tớnh B − A Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau: a ) A = + + 22 + 23 + + 2007 b) B = + + 22 + 23 + + n c) C = + 22 + 24 + + 22008 d ) D = + 22 + 24 + + 22 n e) E = + 23 + 25 + + 22007 f ) F = + 23 + 25 + + 22 n +1 Bài 10: Tổng quỏt Tớnh : a) S = + a + a + a + + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) b) S1 = + a + a + a + + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) c) S2 = a + a + a + + a n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * ) Bỡa 11: Cho A = + + 42 + 43 + + 499 , B = 4100 Chứng minh rằng: A < B Bài 12: Tớnh giỏ trị biểu thức: a ) A = + 99 + 999 + + 999 123 50 ch÷sè b) B = + 99 + 999 + + 999 123 200 ch÷sè (NCPTT6T1) SUY NGHĨ TRấN MỖI BÀI TOÁN Giải hàng trăm toán mà cốt tỡm đáp số dừng lại thỡ kiến thức thu lượm chẳng bao Cũn giải ớt tập mà lại luụn suy nghĩ trờn đó, tỡm thờm cỏch giải, khai thỏc thờm ý toỏn, đường tốt để lên học toán Dưới thí dụ Bài toỏn : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 B = A.3 Tớnh giỏ trị B Lời giải : Theo đề ta có : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 Trước hết, ta nghĩ rằng, tốn u cầu tính tổng A, ta có : A = B/3 = 330 10 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bây giờ, ta tạm thời quên đáp số 990 mà ý tới tớch cuối cựng 9.10.11, 9.10 số hạng cuối A 11 số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp Ta dễ dàng nghĩ tới kết sau : Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1).n thỡ giỏ trị B = A.3 = (n - 1).n.(n + 1) Cỏc bạn cú thể tự kiểm nghiệm kết cỏch giải tương tự Bõy ta tỡm lời giải khỏc cho toỏn Lời giải : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 Ta chưa biết cách tính tổng bỡnh phương số lẻ liên tiếp 1, liên hệ với lời giải 1, ta có : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Hoàn tồn hợp lí ta nghĩ đến tốn tổng quát : Bài toỏn : Tớnh tổng : P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 Kết : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kết cú thể chứng minh theo cỏch khỏc, ta xem xột sau Loạt toán sau kết liên quan đến toán toán Bài toỏn : Tớnh tổng : Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2 Bài toỏn : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 C = A + 10.11 Tớnh giỏ trị C Theo cỏch tớnh A toán 1, ta kết : C = 10.11.12/3 Theo lời giải toán 1, ta đến kết : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) Tỡnh cờ, ta lại cú kết toỏn tổng quỏt : tớnh tổng bỡnh phương số tự nhiên chẵn liên tiếp, Bài toỏn : Chứng minh : 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Từ đây, ta tiếp tục đề xuất giải toán khác Bài toỏn : Tớnh tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502 Bài toỏn : Cho n thuộc N* Tớnh tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2 Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn n lẻ ; áp dụng kết toán 2, toán cách giải toán Bài toỏn cú kết nhất, khụng phụ thuộc vào tớnh chẵn lẻ n Bài toỏn : Chứng minh : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải : 11 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Xét trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có đpcm Lời giải : Ta cú : 13 = 13 23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13 ……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13 Cộng vế đẳng thức trờn : 13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 – 3(1 + + + … + n) – (n + 1) = (n + 1)2.(n + 1) – 3.n.(n + 1)/2 – (n + 1) = (n + 1)[2(n + 1)2 – 3n + 2]/2 = (n + 1).n.(2n + 1)/2 => 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bài toỏn : Tớnh giỏ trị biểu thức : A = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202 Lời giải : Đương nhiên, ta tách A = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + … + 192) ; tính tổng số ngoặc đơn tỡm kết toỏn Song ta cũn cú cỏch giải khỏc sau : A = (22 -12) + (42 – 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 – 1) + (4 + 3)(4 – 3) + … + (20 + 19)(20 – 19) = + + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210 Trở lại toán Phải toán cho B = A.3 vỡ số tự nhiờn liền sau nhóm : 1.2 Nếu thỡ ta cú thể giải toán sau : Bài toỏn 10 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] : = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : = 8.9.10.11/4 = 1980 Tiếp tục hướng suy nghĩ trên, ta có kết tổng quát toán 10 : Bài toỏn 11 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1) Đáp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 ) 2) TỪ MỘT BÀI TỐN TÍNH TỔNG Chúng ta tốn tính tổng quen thuộc sau : Bài toỏn A : Tớnh tổng : Lời giải : Vỡ = ; = ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta cú toỏn khú chút xíu Bài : Tớnh tổng : Và tất nhiên ta nghĩ đến toán ngược Bài : Tỡm x thuộc N biết : 13 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Hơn ta có : ta cú toỏn Bài : Chứng minh : Do vậy, cho ta toỏn “tưởng khó” Bài : Chứng tỏ tổng : khụng phải số nguyờn Chỳng ta nhận a1 ; a2 ; ; a44 số tự nhiên lớn khác thỡ Giúp ta đến với toán Hay Khú sau : Bài : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 cho Ta cũn cú cỏc toỏn “gần gũi” với toỏn sau : Bài : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ; a44 thỏa Chứng minh rằng, 44 số này, tồn hai số Bài : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa a1 < a2 a3 < < a44 < a45 Cỏc bạn cũn phỏt điều gỡ thỳ vị ? Bài toỏn 2: Tớnh nhanh: 1 1 1 + + +L + + 3 3 3 1 1 1 b) B = + + + + L + 2007 + 2008 3 3 3 1 1 1 c) C = + + + + L + n −1 + n ; n ∈ N ∗ 3 3 3 a) A = + Bài toỏn 3: (Bài toỏn tổng quỏt toỏn 2) a Tớnh nhanh: S = + 14 1 1 + + + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) a a a a a DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài tốn 3: Tính tổng 100 số hạng dóy sau: a) 1 1 ; ; ; ; 1.2 2.3 3.4 4.5 b) ; 1 ; ; , 66 176 336 Hướng dẫn: b) Ta thấy = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do số hạng thứ n dóy cú dạng (5n – 4)(5n + 1) Bài toỏn 4: Tớnh tổng: 1 1 + + +L + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 + + +L + b) S = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008 1 1 ∗ c) S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + L + n.( n + 1).(n + 2) ; (n ∈ N ) a) S = Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị biểu thức: 1 1 1+ + +L + + 97 99 a) A = 1 1 + + +L + + 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1 + + +L + + b) B = 99 984 97 99 100 + + +L + 99 Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: (1 + 1 1 1 100 100 100 100 ) + ( + ) + ( + ) +L + ( + ) = + + +L 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 100 − 100 − 100 − 100 − 99 + + +L + = 99 100   99   100 100 100 b) Biến đổi số chia: =  + + + L + 99 ÷ −  + + + L + 99 ÷ =  1  1 1 = 100 + 100  + + L + ÷− 99 = + 100  + + L + + ÷ 99  99 100  2 2 Biểu thức 100 lần số bị chia Vậy B = 100 Bài toỏn 6: Tỡm tớch 98 số hạng dóy: 1 1 1 ; ; ; ; ; 15 24 35 Hướng dẫn: số hạng dóy viết dạng: 16 25 36 ; ; ; ; ; 15 24 35 22 32 52 62 ; ; ; ; ; Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 15 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT 992 98.100 22 32 42 52 62 992 99 A= × × × × L = Ta cần tớnh: 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50 Do số hạng thứ 98 có dạng (3) Dãy 3: Dãy dạng tích phân số viết theo quy luật: 15 24 2499 16 25 2500 Bài 3.1: Tính: A = Bài 3.2: Cho dãy số: ,1 ,1 1 1 ,1 ,1 , 15 24 35 a) Tìm số hạng tổng quát dãy b) Tính tích 98 số hạng dãy  1       Bài 3.3: Tính: B = 1 − 1 − 1 − 1 −  1 −    10  15   199 Chứng minh: C < 200 201 99 1 Chứng minh: < D < 100 15 10 Bài 3.4: Cho C = Bài 3.5: Cho D =      Bài 3.6: Tính: E =  + 1 + 1 + 1  2    + 1   99        − 1 Bài 3.7: Tính: F =  − 1 − 1 − 1  2 Bài 3.8: Tính: G =     100  15 899 2 30 30 31 10 62 64 Bài 3.9: Tính: H = Bài 3.10: Tính: 16 780  I = 101.10001.100000001 100   000  n −1c / s DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT −1       Bài 3.11: Cho K =  − 1 − 1 − 1  − 1 So sánh K với 2     100        Bài 3.12: So sánh L = 1 − 1 − 1 −  1 −  với    4  20  21 1   11     với Bài 3.13: So sánh M = 1 − 1 − 1 −  1 −    16   100  19 2 32 50 1.3 2.4 3.5 49.51 Bài 3.14: Tính: N =      10  Bài 3.15: Tính P = 1 − 1 − 1 −  1 −     7  7        Bài 3.16: Tính: Q = 1 − 1 − 1 −  1 −    7  2007       Bài 3.17: Tính: T =  −  −  −   − 2 1  Bài 3.18: So sánh: U =  Bài 3.19: Cho V = 1 +  1  7 2   99  1.3.5.7 39 V = 20 21.22.23 40 −1      1 + 1 +  1 +  Chứng minh V < 1.3  2.4  3.5   99.101  Bài 3.20: Cho S = 200 Chứng minh: 201 < S < 400 199 10 208 Chứng minh: A < 12 210 25 Bài 3.21: Cho A = Bài 3.22: Tính: B = 12 2 100 1.2 2.3 3.4 100.101  1999  1999  1999   1999  1 + 1 + 1 +  1 +      1000   Bài 3.23: Tính: C =  1000  1000  1000   1000  1 + 1 + 1 +  1 +      1999        Bài 3.24: Tính: D = 1 − 1 − 1 −  1 −   Bài 3.25: Cho E = 1 −    25   (2n − 1)   , với n ∈ N, n ≥   1    1 −  1 −  +  + +   + + + + n  17 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT F = n+2 E với n ∈ N* Tính n F         1 + 1024  H = 2047 Bài 3.26: Cho G = 1 + 1 + 1 + 1 +    16  256    Tính: G + H n n 1.3 + 3.5 + 15.17 + 255.257 + (2 − 1)(2 + 1) + I = Bài 3.27: Cho với n ∈ N n 16 256 65536 22 Chứng minh: I < 1 1 ;1 ;1 ;1 16 ; 3 3 Bài 3.28: Cho dãy số: ;1 a) Tìm số hạng tổng quát dãy b) Gọi A tích 11 số hạng dãy Chứng minh nhiên c) Tìm chữ số tận B = n 13 97 32 + 2 Bài 3.29: Cho A = n 6 62 a) Chứng minh : M = số tự − 2A 3 − 2A n B = 62 n +1 −1 với n ∈ N A số tự nhiên B b) Tìm n để M số nguyên tố n 37 1297 62 + A = Bài 3.30: Cho n 32 34 32   1     B = 1 + 1 + 1 + .1 +  1 + n  với n ∈ N         a) Chứng minh : 5A – 2B số tự nhiên b) Chứng minh với số tự nhiên n khác 5A – 2B chia hết cho 45 n n 13 97 + 2 A = Bài 3.31: Cho ( với n ∈ N ) Chứng minh: A < n 32 34 32 (4) Tính hợp lí biểu thức có nội dung phức tạp: 18 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 98) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 Bài 4.1: Tính: A = Bài 4.2: Tính: B = Bài 4.3: 1 1 + + + + 1.300 2.301 3.302 101.400 Tính: C = 1 1 + + + + 1.102 2.103 3.104 299.400 Bài 4.4:   1 100 − 1 + + + +  100   Tính: D = 99 + + + + 100 Bài 4.5: 1 1 + + + + 51 52 53 100 Tính: E = 1 1 + + + + 1.2 3.4 5.6 99.100 Bài 4.6: 5 15 15 + − 15 − + 27 : 11 121 Tính F = 8 16 16 8− + − 16 − + 27 11 121 Bài 4.7:  1  1 1,2 : 1  3 +  :  15  −  4 Tính G =  43  0,32 + 5 −  : 25  56  Bài 4.8: 98 99 92 + + + + + 92 − − − − − 99 98 97 : 10 11 100 Tính H = 1 1 1 1 + + + + + + + + 100 45 50 55 500 Bài 4.9: 2 4 + − 4− + − 19 43 1943 : 29 41 2941 Tính I = 3 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941 Bài 4.10: 12 12 12 3 − − 3+ + + 289 85 : 13 169 91 Tính K = 4 7 4− − − 7+ + + 289 85 13 169 91 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 98.1 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 5− 2− 12 − 19 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT 1.2 + 2.4 + 3.6 + 4.8 + 5.10 3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 + 15.20 Bài 4.11: Tính L = Bài 4.12:     1,6 : 1 1,25  1,08 −  : 25   +  + 0,6.0,5 : Tính M = 1  0,64 −  − .2 25  17  Bài 4.13: 1 94 38  11 −6 :8 Tính N = 11 Bài 4.14:  Tính P = 10101. Bài 4.15: 1 1 + + + + 99 Tính Q = 1 1 + + + + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 Bài 4.16: 1 1 + + + + 200 Tính R = 198 199 + + + + + 199 198 197 5 1591 1517  43 5  + −   111111 222222 3.7.11 13.37  1+ với tổng A gồm 26 số hạng sau: 1002 22 2n+1 22006 A= + + + + + n 2006 2005 + 20052 + 20052 + 20052 + Bài 1: So sánh HD: Với số tự nhiên m, k lớn ta có: m m mk + m − mk + m 2m − = = k −1 k +1 ( k − 1) ( k + 1) k −1 m m 2m ⇒ = − ( *) k +1 k −1 k −1 n Trong đẳng thức (*) cho k 2005; 20052 ; 20052 ; ; 20052 ; ; 20052 tương ứng 2; 22 ; 23 ; ; 2n+1; ; 22006 ta được: 20 2006 m DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT 2 22 = − 2005 + 2005 − 20052 − 22 20052 + = 23 20052 + 22 20052 − 20052 − 2004 +1 22006 20052 2005 23 = 22005 20052 23 − +1 24 − 20052 − 20052 − = = 22005 20052 2004 22006 20052 2005 − 22006 − 20052 − 2005 −1 22007 − 20052 2006 −1 Cộng theo vế 26 đẳng thức ta 22007 2 − < = = 2006 2005 − 20052 − 2005 − 2004 1002 Bài 2: So sánh với tổng A gồm 11 số hạng sau: 16 n 11 A = + + + n +1 + + 12 5 5 A= HD: Tinh A = A − A Bài 3: Chứng minh 1 1 1 < + + + + + < 65 40 n 2004 HD: Với n > ⇒ ( n − 1) n ( n + 1) = n3 − n < n3  1 1 =  − ÷ ( n − 1) n ( n + 1)  ( n − 1) n n ( n + 1) ÷ n  1 1 1 =  − Với n > ⇒ >  n ( n + 1) ( n + )  n ( n + 1) ( n + 1) ( n + )  n A Bài 4: Tính , biết: B 1 1 A= + + + + + 2.32 3.33 n ( n + 30 ) 1973.2003 Suy B= < 1 1 + + + + + 2.1974 3.1975 n ( n + 1972 ) 31.2003 HD: 1 k − = n n + k n( n + k ) Tính 30A 1972B Bài 6: Tính tổng sau: 21 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT S= ( n − 1) ( n + 1) 1.3 2.4 + + + 3.5 5.7 ( 2n − 1) ( 2n + 1) HD: ( n − 1) ( n + 1) ( 2n − 1) ( 2n + 1)  3 1 4n −   = = = 1 − − = −  ÷ 4n − 4n −  ( 2n − 1) ( 2n + 1)   2n − 2n +  15 9999 Bài 7: So sánh giá trị biểu thức A = + + + + với 98 99 16 10000 n2 − HD: n2 − = 1− n2 n2 1 < 2< n ( n + 1) n ( n − 1) n Bài 8: Tìm tỉ số A B, biết rằng: A= 1 1 + + + + + 1.1981 2.1982 n ( 1980 + n ) 25.2005 B= 1 1 + + + + + 1.26 2.27 m ( 25 + m ) 1980.2005 HD: Tính 1980A 25B Bài 9: Xét tổng A gồm 2006 số hạng sau A = sánh A với HD: Cách 1: n +1 n = n+2 n −1 − Cách 2: Tính 2A - A 22 n+3 2n 2 + 2 + + n +1 n + + 2007 22006 Hãy so ... SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT 992 98.100 22 32 42 52 62 992 99 A= × × × × L = Ta cần tớnh: 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50 Do số hạng thứ 98 có dạng (3) Dãy 3: Dãy dạng tích phân số viết theo quy luật:...  n −1c / s DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT −1       Bài 3.11: Cho K =  − 1 − 1 − 1  − 1 So sánh K với 2     100        Bài 3.12: So sánh L = 1 − 1 − 1 −... + 12 + 13 + 14, Tớnh S100 ? Hướng dẫn: Số số hạng S1, , S99 theo thứ tự 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 6: Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 100! chứa