Đang tải... (xem toàn văn)
Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơĐiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH DIỆU HẰNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Ngành: Tốn giải tích Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2018 ii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ Tác giả Đinh Diệu Hằng iii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, giáo thuộc trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghệ thông tin truyền thông - Đại học Thái Nguyên, Khoa Khoa học bản, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến nhà khoa học, thầy, cô giáo Hội đồng cấp đóng góp ý kiến để tác giả hồn thiện Luận án hoàn chỉnh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình ln động viên, chia sẻ khích lệ để tác giả hồn thành luận án tiến sĩ Tác giả Đinh Diệu Hằng iii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iii iv Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vii iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán cân 7 1.2 Tách tập lồi không tương giao vi phân hàm lồi 1.3 Dưới vi phân Clarke, vi phân Michel – Penot vi phân Dini 1.3.1 Dưới vi phân Clarke, vi phân Michel – Penot 11 11 1.3.2 1.3.3 Đạo hàm Dini vi phân Dini Một số kết bổ trợ 14 16 1.4 Phần tựa tương đối 1.5 Hàm lồi suy rộng 16 18 Điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ 2.1 Điều kiện tối ưu ngôn ngữ vi phân Clarke 2.1.1 2.1.2 20 21 Nghiệm hữu hiệu yếu Nghiệm hữu hiệu toàn cục iv 21 25 v 2.1.3 Nghiệm hữu hiệu 2.2 Điều kiện tối ưu ngôn ngữ vi phân Michel – Penot 2.2.1 2.2.2 Nghiệm hữu hiệu yếu nghiệm hữu hiệu toàn cục Nghiệm hữu hiệu 26 30 31 34 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ 39 3.1 Điều kiện tối ưu cho tốn cân vectơ khơng có ràng buộc 40 3.1.1 Điều kiện cần tối ưu cho toán (VEP) 40 3.1.2 Điều kiện đủ tối ưu cho toán (VEP) 3.2 Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ có ràng buộc 3.2.1 3.2.2 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu (CVEP) Điều kiện đủ tối ưu cho toán (CVEP) 43 45 46 48 3.3 Áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ 3.3.1 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân 50 vectơ Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu vectơ 50 52 3.3.2 Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ với ràng buộc cân 55 4.1 Điều kiện cần tối ưu Fritz John 4.1.1 Phát biểu toán 4.1.2 4.1.3 Điều kiện cần tối ưu Fritz John cho toán (VEPEC) 57 Điều kiện cần Fritz John với điều kiện quy (VEPEC– RC) 4.2 Điều kiện cần tối ưu Kuhn – Tucker 4.2.1 56 56 Các điều kiện quy (VEPEC–CQ1) (VEPEC– CQ2) 59 61 61 4.2.2 Điều kiện cần Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu 62 4.2.3 toán (VEPEC) Điều kiện cần Kuhn – Tucker cho trường hợp Fx (.) khả vi chặt 64 vi 4.3 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu 4.3.1 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu (VEPEC) 65 65 4.3.2 Ví dụ 4.4 Áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ 68 toán tối ưu vectơ 4.4.1 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân 69 vectơ (VVIEC) 69 Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu vectơ (VOPEC) 70 4.4.2 Kết luận chung 74 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 76 Tài liệu tham khảo 77 iv Danh mục ký hiệu chữ viết tắt (V EP EC) Bài toán cân vectơ với ràng buộc cân (V V IEC) Bài toán bất đẳng thức vectơ với ràng buộc cân (V OP EC) Bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc cân (V EP EC − CQ1) Điều kiện quy cho tốn (VEPEC) (V V IEC − CQ1) Điều kiện quy cho toán (VVIEC) (V OP EC − CQ1) Điều kiện quy cho tốn (VOPEC) (V EP ), (V EP1 ) Bài tốn cân vectơ khơng ràng buộc (CV EP ), (CV EP1 ) Bài toán cân vectơ có ràng buộc (V OP ), (V OP1 ) Bài tốn tối ưu vectơ khơng ràng buộc (CV OP ), (CV OP1 ) Bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (V V I), (V V I1 ) Bất đẳng thức biến phân vectơ không ràng buộc (CV V I), (CV V I1 ) Bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc t.ư., tương ứng X∗ Khơng gian tôpô đối ngẫu X ξ, x Giá trị phiếm hàm ξ ∈ X ∗ x ∈ X f (¯ x; v) Đạo hàm theo phương Clarke f x¯ theo phương v ∂f (¯ x) Dưới vi phân Clarke f x¯ f ♦ (¯ x; v) Đạo hàm Michel - Penot f x¯ theo phương v ∂ M P f (¯ x) Dưới vi phân Michel - Penot f x¯ ∂D f (¯ x) Dưới vi phân Dini f x¯ f + (x; v) Đạo hàm Dini f x¯ theo phương v f − (x; v) Đạo hàm Dini f x¯ theo phương v Df (x; v) Đạo hàm Dini f x¯ theo phương v vii viii df (x; v) Đạo hàm Hadamard f x¯ theo phương v ∇G f (¯ x) Đạo hàm Gâteaux f x¯ theo phương v ∇f (¯ x) Đạo hàm Fréchet f x¯ T (C; x) Nón tiếp tuyến Clarke C x¯ TC (x) Nón tiếp liên C x¯ N (C; x) Nón pháp tuyến Clarke C x¯ ∈ C NC (x) Nón pháp tuyến C x¯ ∈ C: cực nón tiếp liên D∗ Nón đỗi ngẫu D D0 Nón cực D T Phép chuyển vị T∗ Toán tử liên hợp toán tử T intC Phần C riC Phần tương đối C qriC Phần tựa tương đối C coC Bao lồi C conecoA Nón sinh bao lồi A linA Bao tuyến tính A Mở đầu Lý thuyết điều kiện tối ưu cho toán tối ưu phát triển từ giai đoạn sớm toán học Khởi đầu nghiên cứu toán phép tính biến phân cổ điển với điều kiện tối ưu mơ tả dạng phương trình Euler Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết toán điều khiển tối ưu qui hoạch toán học cho kết dạng nguyên lý cực đại Pontryagin qui tắc nhân tử Lagrange Năm 1965 A.YA Dubovitsky A.A Milyutin đưa lý thuyết điều kiện cần tối ưu ngơn ngữ giải tích hàm Lược đồ tổng quát Dubovitsky – Milyutin bao hàm tất toán quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu biến phân cổ điển Sau cơng trình Dubovitsky – Milyutin, nhiều kết điều kiện cần tối ưu tổng quát khác đời kết R.V Gamkrelidze – G.L Kharatishvili, L.W Neustadt, H Halkin, A.D Ioffe – V.M Tikhomirov, B.N Pshenichnyi, F.H Clarke, B.D Craven, Bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinh kinh tế, kỹ thuật, giao thông vận tải số ngành khoa học xã hội Các điều kiện tối ưu không trơn phát triển mạnh mẽ ngôn ngữ vi phân Clarke, Michel – Penot, Mordukhovich (xem [13], [14], [20], [23], [30]–[32], [37]–[41], [44], [45], [67], [68]) Jeyakumar – Luc tổng quát hóa khái niệm vi phân đưa khái niệm vi phân suy rộng (convexificator) đóng, khơng lồi cho hàm vô hướng [29] Jacobian xấp xỉ cho hàm vectơ [28] Từ đó, điều kiện tối ưu ngôn ngữ vi phân suy rộng Jacobian xấp xỉ phát triển mạnh (xem chẳng hạn [28], [29], [38], [39], [41], tài liệu tham khảo đó) Một số nhà tốn học Việt Nam có đóng góp đáng kể việc nghiên cứu toán cân toán bất đẳng thức biến phân giáo sư Hoàng Tụy, Phạm Hữu Sách, Đinh Thế Lục, Phan Quốc Khánh, Nguyễn Đông Yên, Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Đỗ Văn Lưu, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bường, Nguyên Năng Tâm nhiều giáo sư khác (xem chẳng hạn [28, 29], [33], [36], [40, 41], [47], [56], [59, 60], [65] ) Bài toán cân vectơ Blum – Oettli [9] đưa năm 1994 Lớp toán cân vectơ bao gồm nhiều lớp toán quan trọng như: toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ, toán điểm bất động, toán bù vectơ, toán cân Nash vectơ Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ toán bất đẳng thức biến phân vectơ nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu (xem [1], [2], [9], [12], [15], [19], [22]–[25], [40]–[42], [46], [52], [53], [61]–[64]) Giannessi – Mastroeni – Pllegrini [19] dẫn điều kiện đủ tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ không gian hữu hạn chiều, Morgan – Romaniello [46] thiết lập điều kiện Kuhn – Tucker cho bất đẳng thức tựa biến phân suy rộng vectơ không gian Hilbert Các điều kiện tối ưu cho ε – nghiệm bất đẳng thức biến phân vectơ không gian Banach Yang – Zeng [64] thiết lập Các điều kiện tối ưu [61], [63] thiết lập cách chứng minh tương đương bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ Gong ([23] - [25]) dẫn điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục cho tốn cân vectơ khơng có ràng buộc điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ có ràng buộc với hàm khả vi Các điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc không trơn loại đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập qua vi phân Clarke Michel – Penot vấn đề cần nghiên cứu Trong luận án, nghiên cứu vấn đề Borwein – Lewis (1992, [10]) đưa vào khái niệm phần tựa tương đối (quasirelative interior) tập lồi không gian vô hạn chiều Trong không gian hữu hạn chiều phần tựa tương đối trùng với phần tương đối Cammaroto – Bella (2005, [11]) sử dụng khái niệm phần tựa tương đối Borwein – Lewis [10] thay cho phần để 69 ∂−tựa lõm x¯ C Ta có ∂g(¯ x) = [0, 1] × {0}, ∂G(¯ x) = [−1, 0] × {0}, ∂H(¯ x) = [− 12 , 0] × {0}, T (C, x¯) = R2− , N (C, x¯) = R2+ Điều kiện (4.16) ¯ = ν¯ = χ¯ = 1: với Λ = (1, 0), λ (0, 0) ∈ [−2, 0] × {0} + 1.[0, 1] × {0} − 1.[−1, 0] × {0} − 1.[− , 0] × {0} + R2+ Như vậy, giả thiết Định lý 4.5 thỏa mãn Vì vậy, x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán 4.4 Áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ 4.4.1 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVIEC) Từ điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu (VEPEC) phần trước, ta thiết lập điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVIEC) toán tối ưu vectơ (VOPEC) Trước hết ta trình bày điều kiện cần Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu toán bất đẳng thức biến phân (VVIEC) Giả sử (B1 , B2 ) phân hoạch B, tức B = B1 ∪ B2 B1 ∩ B2 = ∅ Định lý 4.6 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán (VVIEC); g1 , , gm , h1 , , hp , G1 , , Gr , H1 , , Hr Lipschitz địa phương x; Điều ¯ ∈ Rm , kiện quy (VVIEC–CQ1) Khi đó, tồn ρ¯ ∈ Q∗ \ {0}, λ ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ λ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ B2 ), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ B1 ), cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∗ ∈ T (¯ x) ρ¯ + i∈I(¯ x) − µ ¯j ∂hj (¯ x) − j=1 χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) ν¯k ∂Gk (¯ x) k∈A∪B (4.24) l∈D∪B Chứng minh Đặt F (¯ x, y) = T (¯ x)(y − x¯) Khi đó, Fx¯ (¯ x) = Bởi ánh xạ T (¯ x)(.) tuyến tính liên tục, khả vi chặt x¯ Vì vậy, ánh xạ Fx¯ (.) khả vi chặt x¯ Ds Fx¯ (¯ x) = T (¯ x) (4.25) 70 Áp dụng Định lý 4.4 cho toán (VVIEC), ta suy tồn ρ¯ ∈ Q∗ \ {0}, ¯ ∈ Rm , λ ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ λ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ B2 ), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ B1 ), cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∗ ∈ [Ds Fx¯ (¯ x)] ρ¯ + j=1 i∈I(¯ x) − ν¯k ∂Gk (¯ x) − k∈A∪B µ ¯j ∂hj (¯ x) χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) l∈D∪B Từ bao hàm thức (4.25) ta suy (4.24) Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn bất đẳng thức biến phân (VVIEC) phát biểu sau: Định lý 4.7 Giả sử x¯ ∈ K; g1 , , gm , h1 , , hp , G1 , , Gr , H1 , , Hr ¯ ∈ Rm , λ ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ Lipschitz địa phương x¯; tồn ρ¯ ∈ Q∗ \ {0}, λ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ A ∪ B), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ D ∪ B) cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∗ ∈ T (¯ x) ρ¯ + i∈I(¯ x) − ν¯k ∂Gk (¯ x) − k∈A∪B µ ¯j ∂hj (¯ x) j=1 χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) l∈D∪B Giả sử C tập lồi, ánh xạ gi (i ∈ I(¯ x)) ∂−tựa lồi x¯ C, Gk (k ∈ A ∪ B), Hl (l ∈ D ∪ B) ∂−tựa lõm x¯ C, hj (j = 1, , p) ∂−tựa tuyến tính x¯ C Khi đó, x¯ nghiệm hữu hiệu yếu (VVIEC) Chứng minh Định lý 4.7 hệ trực tiếp Hệ 4.1 4.4.2 Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu vectơ (VOPEC) Sau đây, chúng tơi trình bày điều kiện cần Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu vectơ (VOPEC) Định lý 4.8 Giả sử x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán (VOPEC); hàm f hàm khả vi liên tục Fréchet x¯ với đạo hàm Fréchet ∇f (¯ x); hàm g1 , , gm , h1 , , hp , G1 , , Gr , H1 , , Hr Lipschitz địa phương x; Điều 71 ¯ ∈ Rm , kiện quy (VOPEC–CQ1) Khi đó, tồn ρ¯ ∈ Q∗ \ {0}, λ ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ λ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ B2 ), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ B1 ), cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∈ ρ¯∇f (¯ x) + µ ¯j ∂hj (¯ x) j=1 i∈I(¯ x) − ν¯k ∂Gk (¯ x) − k∈A∪B χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) (4.26) l∈D∪B Chứng minh Với F (x, y) = f (y) − f (x), ta có Fx (x) = f khả vi chặt x, Ds f (x) = ∇f (x) (4.27) Áp dụng Định lý 4.4 cho toán (VOPEC), ta suy tồn ρ¯ ∈ Q∗ \ {0}, ¯ ∈ Rm , λ ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ λ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ B2 ), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ B1 ), cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∗ ∈ [Ds Fx (x)] ρ¯ + j=1 i∈I(¯ x) − ν¯k ∂Gk (¯ x) − k∈A∪B µ ¯j ∂hj (¯ x) χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) l∈D∪B Từ bao hàm thức (4.27), ta suy điều phải chứng minh Sau đây, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu vectơ (VOPEC) Định lý 4.9 Giả sử x¯ ∈ K; f hàm khả vi liên tục Fréchet x¯; hàm g1 , , gm , h1 , , hp , G1 , , Gr , H1 , , Hr Lipschitz địa phương ¯ ∈ Rm , λ ¯ i ≥ (∀i ∈ I(¯ x¯; tồn ρ¯ ∈ Q∗ \ {0}, λ x)), µ ¯ ∈ Rp , ν¯ ∈ Rr , ν¯k ≥ (∀k ∈ A ∪ B), χ¯ ∈ Rr , χ¯l ≥ (∀l ∈ D ∪ B) cho p ¯ i ∂gi (¯ λ x) + ∈ ρ¯∇f (¯ x) + i∈I(¯ x) − ν¯k ∂Gk (¯ x) − k∈A∪B µ ¯j ∂hj (¯ x) j=1 χ¯l ∂Hl (¯ x) + N (C, x¯) l∈D∪B Giả sử C tập lồi, hàm gi (i ∈ I(¯ x)) ∂−tựa lồi x¯ C, hàm Gk (k ∈ A ∪ B), Hl (l ∈ D ∪ B) ∂−tựa lõm x¯ C, hj (j = 1, , p) 72 ∂−tựa tuyến tính x¯ C Khi đó, x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán (VOPEC) Chứng minh Định lý hệ trực tiếp Hệ 4.1 73 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương trình bày điều kiện Fritz John Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ với ràng buộc cân (VEPEC) ngôn ngữ vi phân Clarke Nội dung chương trình bày số vấn đề sau đây: - Các điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vectơ khơng trơn có ràng buộc cân (VEPEC) ngôn ngữ vi phân Clarke; - Các điều kiện cần Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn (VEPEC) ngơn ngữ vi phân Clarke với điều kiện quy thích hợp; - Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu toán (VEPEC) với giả thiết tính lồi suy rộng; - Áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ 74 Kết luận chung Luận án trình bày điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ tốn biến phân vectơ ngơn ngữ vi phân Clarke vi phân Michel – Penot Các kết mà luận án thu bao gồm: 1) Trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu tồn cục tốn bất đẳng thức biến phân vectơ với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón ràng buộc tập ngơn ngữ vi phân Clarke với điều kiện quy thích hợp sử dụng kết A Jourani [32] Các điều kiện đủ thiết lập với điều kiện tính ∂−tựa lồi đặt hàm ràng buộc Khi sử dụng kết D.V Luu [37], điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc theo nón lồi đa diện ràng buộc tập qua vi phân Michel – Penot thiết lập 2) Trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ ngơn ngữ phần tựa tương đối Bằng cách sử dụng Định lý tách Cammaroto – Bella [11], chứng minh điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán khơng có ràng buộc ngơn ngữ vi phân Clarle Các điều kiện đủ tối ưu thiết lập với giả thiết tính ∂−giả lồi hàm mục tiêu Sử dụng kết Jiménez – Novo [31] nón giao hai tập, chúng tơi chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu tốn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập qua vi phân Clarke Dini Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu tốn chứng minh với giả thiết tính ∂−giả lồi ∂D −tựa lồi Các kết áp dụng để dẫn điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức vectơ tốn tối ưu vectơ 74 75 3) Trình bày điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vectơ khơng trơn với ràng buộc cân (VEPEC) ngôn ngữ vi phân Clarke Với điều kiện quy thích hợp cho toán với ràng buộc cân bằng, điều kiện cần Kuhn – Tucker thiết lập Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu với giả thiết tính lồi suy rộng chứng minh Chú ý để thiết lập điều kiện cần cho (VEPEC) tập chấp nhận K, ta xét toán cân vectơ (VEP1) tập K1 với K1 ⊆ K Để thiết lập điều kiện đủ cho (VEPEC), ta xét toán cân vectơ (VEP2) tập K2 với K ⊆ K2 Các kết áp dụng áp cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ Hướng nghiên cứu tiếp theo: 1) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho tốn cân với ràng buộc nón khơng trơn qua Jacobian suy rộng Clarke Jacobian xấp xỉ 2) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho toán cân với ràng buộc cân không trơn qua vi phân suy rộng Jacobian xấp xỉ 3) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân hai cấp không trơn qua vi phân Clarke vi phân Michel – Penot 76 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án D V Luu and D D Hang (2014), "On optimality conditions for vector variational inequalities", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 412, 792-404 (SCI) D V Luu and D D Hang (2014), "Efficient solutions and optimality conditions for vector equilibrium problems", Mathematical Methods Operations Research, 79, 163-177 (SCIE) D V Luu and D D Hang (2015), "On efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems with equilibrium constraints", Numerical Functional Analysis and Optimization, 36: 1622–1642 (SCIE) Đinh Diệu Hằng (2015), "Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ qua phần tựa tương đối", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái Nguyên, Tập 144, số 14, 223-227 76 77 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đinh Diệu Hằng, Đỗ Văn Lưu (2013), "Nghiệm hữu hiệu yếu điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái Nguyên, Tập 104, số 04, 159-163 [2] Đinh Diệu Hằng (2015), "Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ qua phần tựa tương đối", Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, Tập 144, số 14, 223-227 [3] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội [5] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội [6] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội [7] Đỗ Văn Lưu (1999), Lý thuyết điều kiện tối ưu, NXB Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội [8] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội 77 78 Tiếng Anh [9] E Blum, W Oettli (1994), "From optimization and variational inequalities to equilibrium problems", Math Stud., 63, 127-149 [10] J M Borwein, A Lewis (1992), "Partially-finite convex programming, Part 1: Quasirelative interiors and duality theory", Math Programming, 57, 15-48 [11] F Cammaroto and B Di Bella (2005), "Separation theorem based on the quasirelative interior and application to duality theory", J Optim Theory Appl., 125, 223-229 [12] G.-Y Chen and B.D Craven (1989), "Approximate dual and approximate vector variational inequality for multiobjective optimization", Austral Math Soc Ser A, 47, 418-423 [13] F.H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley Interscience, New York [14] B D Craven (1989), "Nonsmooth multiobjective programming", Number Funct Anal and Optim., 10, 49-64 [15] P Daniele (2008), "Lagrange multipliers and infinite-dimensional equilibrium problems", J Glob Optim., 40, 65-70 [16] N Dunford and J.T Schwartz (1958), Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, New York [17] M L Flegel and C Kanzow (2003), "A Fritz John approach to first order optimality conditions for mathematical programs with equilibrium constraints", Optimization, 52, 277-286 [18] M L Flegel and C Kanzow (2005), "On the Guignard constraints qualifications for mathematical program with equilibrium constraints", Optimization, 54, 517-534 [19] F Giannessi, G Mastroeni and L Pellegrini (2000), "On the theory of vector optimization and variational inequalities, image space analysis and 79 separazation", in: Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria: Mathematical Theories, F Giannessi (ed.), Kluwer, Dordrecht, 153-215 [20] G Giorgi, B Jiménez, V Novo (2004), "On constraint qualifications in directionally differentiable multiobjective optimization problem", RAIRO Oper Res 38, 255-274 [21] I V Girsanov (1972), "Lectures on Mathematical Theory of Extremum Problems", Springer-Verlage, Berlin, Heidenberg [22] X H Gong (2008), "Optimality conditions for vector equilibrium problems", J Math Anal Appl., 342, 1455-1466 [23] X.H Gong (2010), "Scalarization and optimality conditions for vector equilibrium problems", Nonlinear Anal., 73, 3598-3612 [24] X.H Gong (2012), "Optimality conditions for vector equilibrium problems with constraints", J Math Anal Appl., 342, 1455-1466 [25] X.H Gong (2012), "Optimality conditions for efficient solution to the vector equilibrium problems with constraints", Taiwanese J.Math 16, 1453-1473 [26] H Halkin (1974), "Implicit functions and optimization problems without continuous differentiability of the data", SIAM J Control, 12, 229-236 [27] A D Ioffe, V M Tikhomirov (1974), "Theory of Extremum Problems", Nauka, Moscow (in Russian) [28] V Jeyakumar, D.T Luc (1998), "Approximate jacobian matrices for continuous maps and C -optimization", SIAM J Control Optim 36, 1815-1832 [29] V Jeyakumar, D.T Luc (1999), " Nonsmooth calculus, minimality and monotonicity of convexificators", J Optim Theory Appl., 101, 599-253 [30] B Jiménez and V Novo (2002), "A finite dimensional extension of Lyusternik theorem with applications to multiobjective optimization", J Math Anal Appl., 270, 340-356 80 [31] B Jiménez, V Novo (2003), "Optimality conditions in directionally differentiable Pareto problems with a set constraint via tangent cones", Numer Funct Anal Optim., 24, 557-574 [32] A Jourani (1994), "Constraint qualifications and Lagrange multipliers in nondifferentiable programming problems", J Optim Theory Appl., 81, 553-548 [33] P Q Khanh and L.T Tung (2013), "First and second-order optimality conditions using approximations for vector equilibrium problems with constraints", J Global Optim., 55, 901-920 [34] Z.-Q Luo, J.-S Pang, D Ralph, and S.-Q Wu (1996), "Exact penalization and stationary conditions of mathematical programs with equilibrium constraints", Math Programming, 75, 19-76 [35] Z.-Q Luo, J.-S Pang, D Ralph (1996), Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Cambridge, UK, Cambridge University Press [36] D T Luc (2008), Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economical Systems 319, Springer-Verlag, 1989 [37] D.V Luu (2012), "Necessary conditions for efficient in terms of the Michel – Penot subdifferentials", Optimization, 61, 1099-1117 [38] D.V Luu (2014), "Necessary and sufficient conditions for efficiency via convexificators", J Optim Theory Appl., 160, 510-526 [39] D.V Luu (2014), "Convexificators and necessary conditions for efficiency", Optimization, 63, 321-335 [40] D V Luu (2018), "Second-order necessary efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems", Journal of Global Optimization, 70, 437–453 [41] D.V Luu (2016), "Optimality condition for local efficient solutions of vector equilibrium problems via convexificators and applications", J Optim Theory Appl., 171, 643-665 81 [42] B C Ma and X H Gong (2011), "Optimality conditions for vctor equilibrium problems in normed spaces", Optimization, 60, 1441-1455 [43] H Maure, J Zowe (1979), "First and second - order necessary and sufficient optimality conditions for infinite - dimensional programming problems", Mathematical Programming, 16, 98-110 [44] P Michel, J.-P Penot (1984), "Calcul sous-différentiel pour des fonctions lipschitziennes et nonlipschitziennes", C R Acad Pris Sér I Math 12, 269-272 [45] B.S Mordukhovich, Y Shao (1995), "On nonconvex subdifferential calculus in Banach spaces", J Convex Anal., 2, 211-228 [46] J Morgan, M Romaniello (2006), "Scalarization and Kuhn - Tucker like conditions for weak vector generalized quasivariational inequalities", J Optim Theory Appl., 130, 309-316 [47] L.D Muu, N.V Hien, N.V Quy (2008), "On Nash-Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions", J Glob Optim 41, 351-364 [48] L.W Neustadt (1969), "A general theory of extremals", J Computer and System Sciences, 3, 57-92 [49] J V Outrata (1999), "Optimality conditions for a class of mathematical programs with equilibrium constraints", Math Oper Res., 24, 627-644 [50] J V Outrata (2000), "A generalized mathematical program with equilibrium constraints", SIAM J Contr Optim., 38, 1623-1638 [51] J.-S Pang and M Fukushima (1999), "Complementarity with constraint qualifications and Bstationarity conditions for mathematical programs with equilibrium constraints", Comput Optim Appl., 13, 111-136 [52] Q S Qiu (2009), "Optimality conditions for vector equilibrium problems with constraints", J Ind Manag Optim., 5, 783-790 [53] F Raciti (2008), "Equilibrium conditions and vector variational inequalities: a complex relation", J Glob Optim., 40, 353-360 82 [54] R.T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton [55] T.W.Reiland (1987), "A geometric approach to nonsmooth optimization with sample applications", Nonlinear Anal., 11, 1169-1184 [56] P H Sach, L A Tuan (2013), "New scalarizing approach to the stability analysis in parametric generalized Ky Fan inequality problems", J Optim Theory Appl 157, 347-364 [57] S Scholtes and M Stohr (1999), "Exact penalization of mathematical programs with equilibrium constraints", SIAM J Contr Optim., 37, 617-652 [58] W Schrotzek (2007), "Nonsmooth Analysis", Springer, Berlin, Heidelberg, New York [59] N X Tan, T T T Duong (2012), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", J Glob Optim 52, 711-728 [60] H Tuy (1972), "Convex inequalities and the Hahn-Banach theorem", Diss Math XCVII [61] D.E Ward and G.M Lee (2002), "On relations between vector optimization problems and variational inequalities", J Optim Theory Appl., 113, 583-596 [62] Z F Wei and X H Gong (2010), "Kuhn-Tucker optimality conditions for vector equilibrium problems", J Inequal Appl., ID: 842715 [63] X Q Yang (1993), "Generalized convex functions and vector variational inequalities", J Optim Theory Appl., 79, 563 − 580 [64] X Q Yang, X Y Zheng (2008), "Approximate solutions and optimality conditions of vector variational inequalities in Banach spaces", J Gobal Optim., 40, 455 - 462 [65] N D Yen (2016), "An introduction to vector variational inequalities and some new results", Acta Math Vietnam 41,505-529 83 [66] J J Ye (1999), "Optimality conditions for optimization problems with complementarity constraints", SIAM J Optim., 9, 374-387 [67] J.J Ye (2001), "Multiplier rules under assumptions of differentiability and Lipschitz continuity", SIAM J Control Optim., 39, 1441-1460 [68] J J Ye (2007), "Necessary and sufficient optimality conditions for mathematical programs with equilibrium constraints", J Math Anal Appl., 307, 350-369 ... hiệu toán cân vectơ 39 3.1 Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ khơng có ràng buộc 40 3.1.1 Điều kiện cần tối ưu cho toán (VEP) 40 3.1.2 Điều kiện đủ tối ưu cho toán (VEP) 3.2 Điều. .. để dẫn điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức vectơ toán tối ưu vectơ Bài toán cân vectơ với ràng buộc cân (hay gọi ràng buộc bù) bao gồm toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ. .. biến phân vectơ toán tối ưu vectơ 3.3.1 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân 50 vectơ Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu vectơ