ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2019 Cơng trình hồn thành tại: Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạmĐại học Huế Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Văn Thiện Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt không gian xạ ảnh Pn := Pnk , với k trường đóng đại số Gọi ℘1 , , ℘s iđêan nguyên tố vành đa thức R := k[x0 , , xn ] tương ứng với điểm P1 , , Ps Cho m1 , , ms số nguyên dương Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps lược s đồ chiều không xác định iđêan I := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘m s gọi Z := m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn Chú ý iđêan I tập điểm béo tập gồm hàm đại số nội suy tập điểm P1 , , Ps triệt tiêu với số bội m1 , , ms Đề tài tập điểm béo nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác Ví dụ giả thuyết Nagata chặn cho bậc hàm nội suy đến chưa giải (xem [13]) Trong luận án này, chúng tơi quan tâm đến số quy Castelnuovo-Mumford vành R/I Với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps xác định iđêan I, vành tọa độ Z A := R/I Vành A = ⊕t≥0 At vành phân bậc s Cohen-Macaulay 1-chiều có bội e(A) := i=1 mi +n−1 n Hàm Hilbert Z xác định HA (t) := dimk At , tăng chặt đạt số bội e(A), dừng Chỉ số quy Z định nghĩa số nguyên bé t cho HA (t) = e(A) ký hiệu reg(Z) Chỉ số quy reg(Z) số quy Castelnuovo-Mumford reg(A) vành tọa độ A Vấn đề tìm chặn cho số quy reg(Z) nhiều người quan tâm có nhiều kết Năm 1961, Segre (xem [19]) chặn cho số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps cho khơng có ba điểm chúng nằm đường thẳng P2 : reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, với m1 ≥ · · · ≥ ms m1 + · · · + ms , Cho tập điểm béo tùy ý Z = m1 P1 + · · · + ms Ps P2 Năm 1969 Fulton (xem [12]) đưa chặn cho số quy Z sau: reg(Z) ≤ m1 + · · · + ms − Chặn mở rộng cho tập điểm béo tùy ý Pn Davis Geramita (xem [9]) Họ chứng minh dấu xảy tập điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Pn Một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn gọi vị trí tổng qt khơng có j + điểm P1 , , Ps nằm j -phẳng với j < n Năm 1991, Catalisano (xem [6], [7]) mở rộng kết Segre cho tập điểm béo vị trí tổng quát P2 Vào năm 1993, Catalisano, Trung Valla (xem [8]) mở rộng kết cho tập điểm béo vị trí tổng quát Pn , họ chứng minh được: reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, m1 + · · · + ms + n − n , với m1 ≥ · · · ≥ ms Năm 1996, N.V Trung đưa giả thuyết sau (xem [24]): Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo tùy ý Pn Khi reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n , Tj = max q l=1 mil j +j−2 Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Hiện chặn gọi chặn Segre Giả thuyết có số người làm tốn quan tâm Chúng xin đề cập vài kết gần liên quan đến giả thuyết Chặn Segre chứng minh không gian xạ ảnh với số chiều n = 2, n = (xem [22], [23]) cho tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2Ps P4 (xem [24]) Thiện; trường hợp n = 2, n = Fatabbi Lorenzini đưa chứng minh độc lập khác (xem [10], [11]) Năm 2012, Bennedetti, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho tập n + điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 Pn (xem [2]) Năm 2013, Tú Hùng chứng minh chặn Segre cho tập gồm n + điểm hầu đồng bội không suy biến Pn (xem [28]) Năm 2016, Ballico, Dumitrescu Postinghen chứng minh chặn Segre cho trường hợp n + điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + · · · + mn+3 Pn+3 Pn (xem [4]) Năm 2017, Calussi, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho trường hợp s điểm béo Z = mP1 +· · ·+mPs Pn với s ≤ 2n−1 (xem [5]) Cho tập điểm béo tùy ý Pn Năm 2018, Nagel Trok chứng minh giả thuyết N.V Trung chặn Segre (xem [18, Theorem 5.3]) Một vấn đề khác nhiều người quan tâm tính giá trị reg(Z) Tuy nhiên tốn khó hơn, việc tính giá trị reg(Z) đạt cho số tập điểm béo với điều kiện định Nhắc lại với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps nằm đường thẳng Pn Davis Geramita (xem [9]) chứng minh reg(Z) = m1 + · · · + ms − Một đường cong hữu tỷ chuẩn Pn đường cong có phương trình tham số: x0 = tn , x1 = tn−1 u, , xn−1 = tun−1 , xn = un Cho tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn , với m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms Năm 1993, Catalisano, Trung Valla công thức tính reg(Z) hai trường hợp sau: Nếu s ≥ P1 , , Ps nằm đường cong hữu tỷ chuẩn Pn (xem [8, Proposition 7]), s reg(Z) = max m1 + m2 − 1, ( mi + n − 2)/n i=1 Nếu n ≥ 3, ≤ s ≤ n + 2, ≤ m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms P1 , , Ps nằm vị trí tổng quát Pn (xem[8, Corollary 8]), reg(Z) = m1 + m2 − Năm 2012, Thiện (xem [25, Theorem 3.4]) tính số quy reg(Z) cho tập s + điểm béo cho chúng không nằm (s − 1)-phẳng Pn với s ≤ n Khi đó, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max q l=1 mil +j−2 j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j = 1, , n Tại thời điểm bắt đầu thực đề tài vào năm 2013, tốn tính số quy chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tổng quát tốn mở Mục đích nghiên cứu Năm 2013 chúng tơi thực đề tài "chỉ số quy tập điểm béo không gian xạ ảnh" Mục đích chúng tơi nghiên cứu số quy tập điểm béo Chúng tơi cơng thức tính số quy chặn cho số trường hợp cụ thể Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập gồm s điểm béo ví trí tổng quát r-phẳng α Pn với s ≤ r + Chúng đưa công thức sau (xem Định lý 2.1.1): reg(Z) = max T1 , Tr , T1 = max mi + mj − i = j; i, j = 1, , s , m1 + · · · + ms + r − Tr = r Nếu m1 = · · · = ms = m, ta gọi Z = mP1 + · · · + mPs tập s điểm béo đồng bội Trong trường hợp này, chúng tơi tính số quy cho tập s điểm béo đồng bội Z = mP1 + · · · + mPs cho P1 , , Ps không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + 3, m khác sau (xem Định lý 2.2.6): reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j = 1, , n Cùng với việc tính số quy tập điểm béo, chúng tơi chứng minh chặn Cho Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 tập gồm 2n + điểm kép Pn cho khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Khi đó, chúng tơi chứng minh kết sau (xem Định lý 3.1.3): reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n = TZ , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Với tập điểm Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 gồm 2n + điểm kép khơng suy biến Pn cho khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng, chứng minh kết sau (xem Định lý 3.2.3): reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n = TZ , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu - Tính số quy tập điểm béo không gian xạ ảnh Pn - Tìm chặn cho số quy tập điểm kép không gian xạ ảnh Pn 3.2 Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này, phạm vi nghiên cứu thuộc lĩnh vực Đại số giao hốn Hình học đại số Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng để đạt kết phương pháp đại số tuyến tính Catalisano, Trung Valla [8] Chúng sử dụng Bổ đề 1.2.1 (xem [8, Lemma 1]) để tính reg(R/I) cách quy nạp theo số điểm Để chặn cho reg(R/(J + ℘a )), dùng Bổ đề 1.2.2 (xem [8, Lemma 3]) tìm siêu phẳng tránh điểm qua tất điểm lại với số bội thích hợp Việc tìm siêu phẳng thỏa mãn điều kiện không dễ dàng Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bài toán số quy tập điểm béo giúp đánh giá chiều iđêan đa thức triệt tiêu tập điểm phân biệt với số bội tương ứng, vấn đề mà toán mở Bài toán có liên quan đến giả thuyết Nagata chặn cho bậc hàm nội suy mà chưa giải Tổng quan cấu trúc luận án 6.1 Tổng quan luận án Nội dung luận án nghiên cứu số quy xác định tập điểm béo Kết chứng minh Segre (xem [19]) tác giả chặn cho số quy tập điểm béo Z = m1 P1 +· · ·+ms Ps vị trí tổng quát P2 : reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, m1 + · · · + ms với m1 ≥ · · · ≥ ms , sau N.V Trung tổng quát hóa thành giả thuyết mà nêu phần Lý chọn đề tài Ngồi việc tìm chặn cho số quy tập điểm béo, người ta quan tâm đến việc tính số quy Năm 1984, Davis Geramita (xem [9]) tính số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Pn Năm 1993, Catalisano, Trung Valla (xem [8]) tính số quy tập điểm béo nằm đường cong hữu tỷ chuẩn Pn Năm 2012, Thiện (xem [25]) tính được số quy tập s + điểm béo cho chúng không nằm (s − 1)-phẳng Pn Luận án tập trung tính số quy chặn dựa giả thuyết N.V Trung có kết sau: Trong phần thứ luận án (Chương 2), chúng tơi quan tâm đến việc tính số quy tập điểm béo, tốn khó Cho đến kết đạt được cơng bố tạp chí quốc tế tốn Trong luận án chúng tơi tính số quy tập điểm béo hai trường hợp sau: Với tập s điểm béo vị trí tổng quát r-phẳng Pn với s ≤ r +3 Chúng tơi cơng thức tính số quy sau Định lý 2.1.1 Cho P1 , , Ps điểm phân biệt vị trí tổng quát nằm r-phẳng α Pn với s ≤ r + Cho m1 , , ms số nguyên dương Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Khi reg(Z) = max T1 , Tr , T1 = max mi + mj − i = j; i, j = 1, , s , m1 + · · · + ms + r − Tr = r Tiếp theo, công thức tính số quy tập s điểm béo đồng bội không nằm (r − 1)-phẳng với s ≤ r + Định lý 2.2.6 Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + m số nguyên dương, m khác Gọi Z = mP1 + · · · + mPs tập điểm béo đồng bội Khi đó, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j = 1, , n Các kết cơng bố báo [26] Bài tốn tính số quy tập điểm béo toán mở Trong phần thứ hai luận án (Chương 3), nghiên cứu giả thuyết N.V Trung chặn cho số quy tập điểm béo Chúng chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp sau: Định lý 3.1.3 Cho X = {P1 , , P2n+1 } tập gồm 2n + điểm phân biệt Pn cho khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 Đặt TZ = max Tj j = 1, , n , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Khi đó, reg(Z) ≤ TZ Định lý 3.2.3 Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập không suy biến gồm 2n + điểm phân biệt cho n + điểm X nằm (n − 2)phẳng Pn Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 Đặt TZ = max Tj j = 1, , n , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Khi đó, reg(Z) ≤ TZ Các kết công bố báo [20] [21] 6.2 Cấu trúc luận án Trong luận án này, phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia thành ba chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày lại khái niệm số tính chất liên quan đến số quy Các khái niệm kết cần thiết cho việc trình bày hai chương sau luận án Tiết 1.1 trình bày khái niệm vành phân bậc môđun phân bậc, Hàm Hilbert Đa thức Hilbert môđun phân bậc hữu hạn sinh Từ chúng tơi trình bày khái niệm tập 17 Chapter THE REGULARITY INDEX OF THE SET OF s FAT POINTS NOT ON A (r − 1)-PLANE, WITH s ≤ r + As we present in the preamble, computing the regularity index of reg(Z) is a different problem Hence, the problem to exactly determine reg(Z) only obtains with specific conditions of fat points We mention the three following results which was presented in the previous section In 1984, Davis and Geramita (see [9]) proved that reg(Z) = m1 + · · · + ms − if and only if P1 , , Ps lie on a line in Pn In 1993, Catalisano, Trung and Valla (see [8]) showed a formula to compute reg(Z) when the points P1 , , Ps are on a rational normal curve in Pn In 2012, Thien (see [25]) showed a formula to compute reg(Z) for the set of fat points Z = m1 P1 + · · · + ms+2 Ps+2 in Pn with P1 , , Ps+2 not on a (s − 1)-plane in Pn , s ≤ n The content of this chapter is divided into two periods In Period 1, we give a formula to compute the regularity index of s fat points in general position on a r-plane α in Pn with s ≤ r + (Theorem 2.1.1) In Period 2, we give a formula to compute the regularity index of s equimultiple fat points not on a (r − 1)-plane in Pn with s ≤ r + (Theorem 2.2.6) Finally, we conclude Chapter The main results of this chapter are extracted quoted from the article [26] 2.1 The regularity index of s fat points in general position on a r-plane α with s ≤ r + A set of s points P1 , , Ps in Pn is said to be in general position on a linear r-space α if all points P1 , , Ps lie on the α and no j + of these points lie on a linear j -space for j < r 18 Recall that a rational normal curve in Pn is a curve whose parametric equations: x0 = tn , x1 = tn−1 u, , xn−1 = tun−1 , xn = un The following theorem will show a formula to compute the regularity index s fat points in genenal position on a r-plane in Pn with s ≤ r + Theorem 2.1.1 Let P1 , , Ps be distinct points in general position on a r-plane α in Pn with s ≤ r+3 Let m1 , , ms be positive integer and Z = m1 P1 +· · ·+ms Ps Then, reg(Z) = max{T1 , Tr }, where T1 = max mi + mj − i = j; i, j = 1, , s , Tr = m1 + · · · + ms + r − r Corollary 2.1.2 Let P1 , , Ps be distinct points in Pn with s ≤ Let m be a positive integer and Z = mP1 + · · · + mPs Then, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , where Tj = max qm + j − j Pi1 , , Piq lie on a j -plane , j = 1, , n 2.2 The regularity index of s equimultiple fat points not on a (r − 1)-plane with s ≤ r + The following lemma will help us to find out a sharp upper bound for the regularity index of s fat points in Pn Lemma 2.2.1 Let P1 , , Ps , P be distinct points Pn such that for r arbitrary points {P1 , , Ps }, there always exists a (r − 1)-plane passing through these r 19 points and avoiding P Let m1 , , ms be positive integers Consider the set {P1 , , Ps } with the chain of multiplicities (m1 , , ms ) Assume that t is an integer such that t≥ mj , s i=1 mi +r−1 r j = 1, , s Then, there exist t (r − 1)-planes, say L1 , , Lt avoiding P such that for every points Pj ∈ {P1 , , Ps }, there are mj (r − 1)-planes of {L1 , , Lt } passing through the Pj Lemma 2.2.2 Let X = {P1 , , Ps+3 } be a set of distinct points lie on a splane in Pn with ≤ s ≤ n, such that there is not any (s − 1)-plane containing s + points of X and there is not any (s − 2)-plane containing s points of X Let ℘1 , , ℘s+3 be the homogeneous prime ideals of the polynomial ring R = k[x0 , , xn ] corresponding to the points P3 , , Ps+3 Assume that there is a (s−1)- plane, say α, containing s + points P1 , , Ps+1 and there is a (s − 1)-plane, say β, containing s + points P3 , , Ps+3 Let m be a positive integer For j = 1, , n, put Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq lie on a j -plane Then, reg(R/(J + ℘m s+3 )) ≤ max Tj j = 1, , n , m where J = ℘m ∩ · · · ∩ ℘s+2 Proposition 2.2.3 Let X = {P1 , , Ps+3 } be a set of distinct points lie on a s-plane but X is not in general position and X does not lie on a (s − 1)-plane in Pn with ≤ s ≤ n Let m be a positive integer Assume that ℘1 , , ℘s+3 are the homogeneous prime ideals of the polynomial ring R = k[x0 , , xn ] corresponding to the points P1 , , Ps+3 With j = 1, , n, put Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq lie on on j -plane Then, there exists a Pi0 ∈ X such that reg(R/(J + ℘m i0 )) ≤ max Tj where J = ∩i=i0 ℘m i j = 1, , n , 20 The following proposition will give a sharp upper bound for the regularity index of s + eqimultiple fat points not on a (s − 1)-plane Proposition 2.2.4 Let X = {P1 , , Ps+3 } be a set of distinct points not on a (s − 1)-plane in Pn with s ≤ n, and m be a position integer Let Z = mP1 + · · · + mPs+3 be the equimultiple fat points Then, reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n , where Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq lie on a j -plane Next we shall show a formula to compute the regularity index of s + equimultiple fat points not on a (s − 1)-plane Theorem 2.2.5 Let X = {P1 , , Ps+3 } be a set of distinct points not on a (s − 1)-plane in Pn with s ≤ n, and m be a positive integer, m = Let Z = mP1 + · · · + mPs+3 be an equimultiple fat points Then reg(Z) = max Tj j = 1, , n , where Tj = max mq + j − |Pi1 , , Piq lie on a j -plane , j j = 1, , n The following theorem will show a formula to compute the regularity index of s equimultiple fat points not on a (r − 1)-plane with s ≤ r + Theorem 2.2.6 Let X = {P1 , , Ps } be a set of distinct points not on a (r − 1)plane in Pn with s ≤ r + 3, and m be a position integer, m = Let Z = mP1 + · · · + mPs be a equimultiple fat points Then reg(Z) = max Tj j = 1, , n , where Tj = max j = 1, , n mq + j − j Pi1 , , Piq lie on a j -plane , 21 2.3 Conclusion of Chapter In this chapter, we obtain the following main results: (1) Giving a formula to compute the regularity index of s fat points in general position on a r-plane α in Pn with s ≤ r + (Theorem 2.1.1) (2) Giving a formula to compute the regularity index of s equimultiple fat points not on a (r − 1)-plane in Pn with s ≤ r + (Theorem 2.2.6) 22 Chapter SEGRE’S UPPER BOUND FOR THE REGULARITY INDEX OF s DOUBLE POINTS IN Pn WITH 2n + ≤ s ≤ 2n + We mention the following N.V Trung’s conjecture whose was given in 1996 (see [24]): Conjecture: Let Z = m1 P1 + · · · + ms Ps be arbitrary fat points in Pn Then reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n , where Tj = max q l=1 mil j +j−2 Pi1 , , Piq lie on a j -plane This upper bound nowadays is called the Segre’ upper bound The Segre’s upper bound is proved to be right in the projective space with n = 2, n = (see [22], [23]), for the case of double points Z = 2P1 + · · · + 2Ps in P4 (see [24]) by Thien; also case n = 2, n = 3, independently by Fatabbi and Lorenzini (see [10], [11]) In 2012, Bennedetti, Fatabbi and Lorenzini proved the Segre’s upper bound for any set n + non-degenerate fat points Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 in Pn (see [2]) In 2013, Tu and Hung proved the Segre’s bound for any set n + almost equimultilpe, non-degenerate fat points in Pn (see [28]) In 2016, Ballico, Dumitrescu and Postinghel proved the Segre’s bound for the case n + non-degenerate fat points Z = m1 P1 + · · · + mn+3 Pn+3 in Pn (see [4]) In 2017, Calussi, Fatabbi and Lorenzini also the proved Segre’s upper bound for the case s fat points Z = mP1 + · · · + mPs in Pn , with s ≤ 2n − (see [5]) 23 In 2016, Nagel and Trok proved the Segre’s upper bound to be right (see [18, Theorem 5.3]) The content of this chapter is divided into two period In Period 1, we prove N.V Trung’s conjecture for the regularity index of s = 2n + double points such that there are not any n + points lying on a (n − 2)-plane in Pn In Period 2, we prove N.V Trung’s conjecture for the regularity index of s = 2n + nondegenerate double points such that there are not any n + points lying on a (n − 2)-plane in Pn There main results in this chaper are extracted on the articles [20] and [21] 3.1 Segre’s upper bound for the regularity index of a set of 2n + double points such that there are not any n + points lying on a (n − 2)-plane in Pn The following propositions are the important results to prove of Segre’s upper bound Proposition 3.1.1 Let X = {P1 , , P2n+1 } be a set of 2n + distinct points such that there are not any n + points of X lying on a (n − 2)-plane in Pn Let ℘i be the homogeneous prime ideal corresponding Pi , i = 1, , 2n + Consider the set of double points Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 Put Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq lie on a j -plane , TZ = max Tj j = 1, , n Then, there exists a point Pi0 ∈ X such that reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , where ℘2k J= k=i0 24 Proposition 3.1.2 Let X = {P1 , , P2n+1 } be a set of 2n + distinct points such that there are not any n + points of X lying on a (n − 2)-plane in Pn Let Y = {Pi1 , , Pis }, ≤ s ≤ 2n, be a subset of X Let ℘i be the homogeneous prime ideal corresponding Pi , i = 1, , 2n + Consider the set of double points Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 Put Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq lie on a j -plane , TZ = max Tj | j = 1, , n Then, there exists a point Pi0 ∈ Y such that reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , where ℘2k J= Pk ∈Y \{Pi0 } The following theorem is the main result of this section Theorem 3.1.3 Let X = {P1 , , P2n+1 } be a set of 2n + distinct points in Pn such that there are not any n + points of X lying on a (n − 2)-plane Consider the set of double points Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 Put TZ = max Tj | j = 1, , n , where Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq lie on a j -plane Then reg(Z) ≤ TZ 25 3.2 Segre’s upper bound for the regularity index of 2n+2 non-degenerate double points such that there are not any n + points lying on a (n − 2)-plane in Pn In this section, we shall prove the Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + non-degenerate double points and there are not any n + points of X lying on a (n − 2)-plane To prove the main result, we use the following proposition Proposition 3.2.1 Let X = {P1 , , P2n+2 } be a non-degenerate set of 2n + distinct points such that there are not n + points of X lying on a (n − 2)-plane in Pn Let ℘i be the homogeneous prime ideal corresponding Pi , i = 1, , 2n + 2, and Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 Put Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq lie on a j -plane , TZ = max Tj j = 1, , n Then, there exists a point Pi0 ∈ X such that reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , where ℘2k J= k=i0 From Proposition 3.1.1, Proposition 3.1.2 and Proposition 3.2.1 we get the following corollary Corollary 3.2.2 Let X = {P1 , , P2n+2 } be a non-degenerate set of 2n + distinct points such that there are not any n + points of X lying on a (n − 2)plane in Pn Let Y = {Pi1 , , Pis }, ≤ s ≤ 2n + 1, be a subset of X Let ℘i be the homogeneous prime ideal corresponding Pi , i = 1, , 2n + 1, and Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 26 Put Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq lie on a j -plane , TZ = max Tj j = 1, , n Then, there exists a point Pi0 ∈ Y such that reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , where ℘2k J= Pk ∈Y \{Pi0 } The following theorem is the main result of this section Theorem 3.2.3 Let X = {P1 , , P2n+2 } be a non-degenerate set of 2n + distinct points such that there are not any n + points of X lying on a (n − 2)-plane in Pn Consider the following double points Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 Put TZ = max Tj j = 1, , n , where Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq lie on a j -plane Then reg(Z) ≤ TZ 3.3 Conclusion of Chapter In this chapter, we obtain the following results: (1) Proving N.V Trung’s conjecture for the regularity index of 2n+1 double points such that there are not any n + points lying on a (n − 2)-plane in Pn (Theorem 3.1.3) (2) Proving N.V Trung’s conjecture for the regularity index of 2n + nondegenerate double points such that there are not any n + points lying on a (n − 2)-plane in Pn (Theorem 3.2.3) 27 CONCLUSION OF THE DISSERTATION This dissertation cares about the regularity index of the fat points in Pn We compute the regularity index and its upper bound on N.V Trung’conjecture We obtain the following main results Firstly, we compute the regularity index of the set of fat points and this is difficult problem Nowadays, there are few results of this problem In this dissertation, we compute the regularity index for the set of fat points in the following two cases: • We give a formula to compute the regularity index of s fat points in general position on a r-plane α in Pn with s ≤ r + (Theorem 2.1.1) • We give a formula to compute the regularity index of s equimultiple fat points not on a (r − 1)-plane in Pn with s ≤ r + (Theorem 2.2.6) The above results are new and they were published in the article [26] So far, The problem to compute the regularity index for a set of fat points to is still open Secondly, we study the N.V Trung’s conjecture about the upper bound for regularity index of the set of fat points We proved the N.V Trung’s conjecture to be right in following two cases: • We prove N.V Trung’s conjecture for the regularity index of 2n + double points such that there are not any n + points lying on a (n − 2)-plane in Pn (Theorem 3.1.3) • We prove N.V Trung’s conjecture for the regularity index of 2n + non- degenerate double points such that there are not any n + points lying on a (n − 2)-plane in Pn (Theorem 3.2.3) The above results were published on the articles [20], [21] Recently, on the articcle [18], Nagel and Trok proved N.V Trung’s conjecture to be right in general case 28 LIST OF ARTICLES RELATED DIRECTLY TO THE DISSERTATION (1) Thien P.V and Sinh T.N (2017), On the regularity index of s fat points not on a linear (r − 1)-space, s ≤ r + 3, Comm Algebra, 45, 4123-4138 (2) Sinh T.N (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + double points in Pn , Hue University Journal of Science, 26, 19-32 (3) Sinh T.N and Thien P.V (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + non-degenerate double points in Pn , Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 46, 327-340 THE RESULTS OF THE DISSERTATION WERE REPORTED AND DISCUSSED AT: The results of the dissertation were reported and discussed at the 9th Vietnamese Mathematical Conference in 08-2018 in Nha Trang-Khanh Hoa 29 REFERENCES Atiyah M.F and Macdonald I.G (1969), Introduction to Commutative Algebra, University of Oxford Benedetti B., Fatabbi G and Lorenzini A (2012), Segre’s bound and the case of n + fat points of Pn , Comm Algebra 40, 395-5473 Brodmann M.P and Sharp (1998), Local Cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press Ballico E., Dumitrescu O and Postinghel E (2016), On Segre’s bound for fat points in Pn , J Pure and Appl Algebra 220, Issue, 23072323 Calussi G., Fatabbi G and Lorenzini A (2017), The regularity index of up to 2n − equimultiple fat points of Pn , J Pure Appl Algebra 221, 1423-1437 Catalisano M.V (1991), Linear systems of plane curves through fixed fat points of P2 , J Algebra 142, no 1, 81-100 Catalisano M.V (1991), Fat points on a conic, Comm Algebra 19, 21532168 Catalisano M.V., Trung N.V and Valla G.(1993), A sharp bound for the regularity index of fat points in general position, Proc Amer Math Soc 118, 717-724 Davis E.D and Geramita A.V (1984), The Hilbert function of a special class of 1-dimensional Cohen - Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Paper in Pure and Appl Math 67, 1-29 10 Fatabbi G (1994), Regularity index of fat points in the projective plane, J Algebra 170, 916-928 11 Fatabbi G and Lorenzini A (2001), On the sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J Pure Appl Algebra 161, 91-111 30 12 Fulton W (1969), Algebraic Curves, Math Lect Note Series, Benjamin, New York 13 Harbourne B (2001), On Nagata’s conjecture, Journal of Algebra 236, 692-702 14 Harris J (1992), Algebraic Geomeotry, Springer-Verlag 15 Hartshorne R (1977), Algebraic Geomeotry, Springer-Verlag 16 Kunz E (1985), Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Springer-Verlag 17 Matsumura H (1970), Commutative Algebra, W A Benjamin, Inc., New York 18 Nagel U and Trok B (2018), Segre’s regularity bound for fat point schemes, (accepted 30/3/2018 at Annali della Scuola Normale Superiore) 19 Serge B (1961), Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti Convergno Intern di Torino , 15-33 20 Sinh T.N (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + double points in Pn , Hue University Journal of Science, 26, 19-32 21 Sinh T.N and Thien P.V (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + non-degenerate double points in Pn , Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 46, 327-340 22 Thien P.V (1999), On Serge bound for the regularity index of fat points in P2 , Acta Math Vietnamica 24, 75-81 23 Thien P.V (2000), Serge bound for the regularity index of fat points in P3 , J Pure and Appl Algebra 151, 197 - 214 24 Thien P.V (2002), Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double points in P4 , Comm Algebra 30, 5825-5847 25 Thien P.V (2012), Regularity index of s + fat points not on a linear (s-1)-space, Comm Algebra, 40, 3704-3715 31 26 Thien P.V and Sinh T.N (2017), On the regularity index of s fat points not on a linear (r − 1)-space, s ≤ r + 3, Comm Algebra, 45, 4123-4138 27 Trung N.V (1994), An algebraic approach to the regularity index of fat points in Pn Kodai Math J 17, 382-389 28 Tu N.C and Hung T.M (2013), On the regularity index of n+3 almost equimultiple fat points in Pn Kyushu J Math 67, 203-213 ... Tính số quy tập điểm béo khơng gian xạ ảnh Pn - Tìm chặn cho số quy tập điểm kép không gian xạ ảnh Pn 3.2 Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này, phạm vi nghiên cứu chúng tơi thuộc lĩnh vực Đại số. .. tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.2.3) 27 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Luận án quan tâm đến số quy tập điểm béo không gian xạ ảnh Pn Chúng tập trung tính số quy chặn... đến việc tính số quy tập điểm béo, tốn khó Cho đến kết đạt toán khiêm tốn Trong luận án chúng tơi tính số quy tập điểm béo trường hợp sau: • Đưa cơng thức tính số quy tập s điểm béo ví trí tổng