SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN ( hệ số 1 – môn Toán chung) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) ***** Bài 1: (1,5 điểm) Cho 2 1 1 1 1 1 x x x P x x x x x + + + = + − − − + + a. Rút gọn P b. Chứng minh P <1/3 với và x#1 Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: (1) a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. b. Gọi là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức c. Tìm hệ thức giữa và không phụ thuộc vào m. Câu 3: (2,5 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q. a. Chứng minh DM . AI = MP . IB b. Tính tỉ số Câu 5: (1,0 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng: S GIO DC &O TO TNH BèNH NH CHNH THC THI TUYN SINH TRUNG HC PH THễNG NM HC 2009-2010 Mụn thi: TON ( h s 1 mụn Toỏn chung) Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) ***** LC GII Cõu1: Điều kiện: x 0 và x 1. P = 2 1 x x x + + 1 1 x x x + + + - 1 ( 1)( 1) x x x + + = 3 2 ( ) 1 x x + + 1 1 x x x + + + - 1 1x = 2 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x + + + + + + + = ( 1)( 1) x x x x x + + = 1 x x x+ + b/. Với x 0 và x 1 .Ta có: P < 1 3 1 x x x+ + < 1 3 3 x < x + x + 1 ; ( vì x + x + 1 > 0 ) x - 2 x + 1 > 0 ( x - 1) 2 > 0. ( Đúng vì x 0 và x 1) Cõu2: a. ' = m 2 3m + 4 = (m - 2 3 ) 2 + 4 7 >0 m. Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt b)P = x 1 2 + x 1 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 4(m - 1) 2 2 (m-3) = (2m - 2 5 ) 2 + m 4 15 4 15 VậyP min = 4 15 với m = 4 5 c. Theo Viét: = =+ 3 )1(2 21 21 mxx mxx => = =+ 622 22 21 21 mxx mxx <=> x 1 + x 2 2x 1 x 2 4 = 0 không phụ thuộc vào m Câu3:Tự giải Câu 4 : Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác góc ADB = góc BCA=> ∆ MPD ®ång d¹ng víi ∆ ICA => IA MP CI DM = => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1). Ta cã gãc ADC = gãc CBA, Gãc DMQ = 180 0 - AMQ=180 0 - gãc AIM = gãc BIA. Do ®ã ∆ DMQ ®ång d¹ng víi ∆ BIA => IA MQ BI DM = => DM.IA=MQ.IB (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy ra MQ MP = 1 Câu 5: Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ³ + + + Lược giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 a a ab ab ab ab ab a a a b b b b + - = = - ³ - = - + + + (1)(vì 2b £ 1+b 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 b b bc bc bc bc bc b b b c c c c + - = = - ³ - = - + + + (2) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 c c ca ca ca ca ca c c c a a a a + - = = - ³ - = - + + + (3) Dễ dàng chứng minh ab+ac+bc £ 3(4) từ Cộng các BĐT (1),(2),(3) vế theo vế và từ (4) suy ra 2 2 2 3 . §T xÈy ra khi a=b=c=1(§ ) 1 1 1 2 2 a b c ab ac bc a b c PCM b c a + + + + ³ + + - ³ + + + ĐThức Xẩy ra khi a=b=c=1 . điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ³ + + + Lược giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 a a ab ab ab ab ab a a a b b b b + -. GIO DC &O TO TNH BèNH NH CHNH THC THI TUYN SINH TRUNG HC PH THễNG NM HC 2009-2010 Mụn thi: TON ( h s 1 mụn Toỏn chung) Thi gian: 120 phỳt (khụng k