Đang tải... (xem toàn văn)
Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
1 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x 0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 − − → thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0 . Ký hiệu f’(x 0 ), y’(x 0 ) Đặt ∆x = x – x 0 , ta có x = x 0 + ∆x và đặt ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 ) thì x y lim'y 0x ∆ ∆ = →∆ Ký hiệu dy/dx, df/dx 2 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: x y lim'y 0x ∆ ∆ = +→∆ x y lim'y 0x ∆ ∆ = −→∆ - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx 3 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và 2 ' v u'vv'u v u − = Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 4 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1 (y) thì hàm số x = f -1 (y) có đạo hàm tại y = f(x): )]y(f['f 1 )x('f 1 )y()'f( 1 1 − − == Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 5 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (x α )’ = αx α-1 (a x )’ = a x lna (e x )’ = e x alnx 1 )'x(log a = x 1 )'x(ln = (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx xcos 1 )'tgx( 2 = xsin 1 )'gx(cot 2 −= 2 x1 1 )'x(arcsin − = 2 x1 1 )'x(arccos − −= 2 x1 1 )'arctgx( + = 2 x1 1 )'gxcotarc( + −= 6 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) 2 2 2 2 dx fd , dx yd Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f (n) (x), y (n) (x). n n n n dx fd , dx yd 7 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v) (n) = u (n) + v (n) ∑ = − = n 0k k)kn(k n )n( v.uC)uv( trong đó u (0) = u, v (0) = v Ví dụ: Cho y = x α (α ∈ R, x > 0), y = ke x , tìm y (n) 8 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv 2 v udvvdu v u d − = 9 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f( n-1) khả vi, ta ký hiệu d (n) y = y (n) dx n (d (n) f = f (n) dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 10 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho )c('f ab )a(f)b(f = − − Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). . Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞/∞. Ví dụ: xlnxlim 5 0x +→ )4/ x(tg)x4(lim 2 2x π− → )tgx xcos 1 (lim 2/x − π→ 3. Dạng vô định: 0 0 , 1 ∞ , ∞. )!1n( )c(f x !n )0(f .x !2 )0("f x !1 )0('f )0(f)x(f + + + +++++= 14 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: