PHƯƠNG TRÌNH I PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ Bài Giải phương trình: x  Bài Giải phương trình: x  x2  x  3  40  4x2  x  2 Bài Giải phương trình:  x  1  3x  x  1  x  Bài Giải phương trình:  x  x  1  x  3 x  x  x  1   Bài Giải phương trình: x   x  1 x  x  0 Bài Giải phương trình: 4x 3x  1 x  x  x  10 x  2 Bài Giải phương trình:  x  3  x    x    x  10   24 x    Bài Giải phương trình: x  x  x  x  2 x Bài Giải phương trình: x  x3  x  x   Bài Giải phương trình: x  x  x  x   Bài 10.Giải phương trình:  x  3   x    16 4 Bài 11 Giải phương trình:  x     x  3  4 Bài 12.Giải phương trình:   x    x    32 Bài 13.Giải phương trình: x  x  56   7x tốn-ĐHSP Hà Nội) II PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ  21x  22  (Thi vào lớp 10 năm 2014 chuyên x3  Bài Giải phương trình:  x  x  x  Bài Giải phương trình: x    x   x Bài Giải phương trình: x   x x   x  x  x  Bài Giải phương trình: x  x   Bài Giải phương trình: x   3x   x  x  Bài Giải phương trình: x   x   x   Bài Giải phương trình: x  x   x2  x   1   x  x  x  1 4 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 TP Hà Nội) Bài Giải phương trình: x   x  x  Bài Giải phương trình: ( x  4)( x  1)  x  x   Bài 10 Giải phương trình: Bài 11 x2 1  3x  Giải phương trình: x  x x x   x   x  2 x  x   16 Giải phương trình: x  x    x   x  (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011 TP Hà Nội) Bài 12 Bài 13 Giải phương trình: x  2( x  1) x  x   x   Bài 14 Giải phương trình: Bài 15 Giải phương trình: 2( x  2)  x  Bài 16 Giải phương trình: 2( x  2)  x  Bài 17 2 Giải phương trình: 2  x   x   x  x  Bài 18 Giải phương trình: x  3x    Bài 19 Giải phương trình: x   3x   x   x  Bài 20 Giải phương trình: x    x  x   x2  5x Bài 21 Giải phương trình: x    x  13 Bài 22 Giải phương trình: x   x  x  14 Bài 23 Giải phương trình: x  x   x   Bài 24 Giải phương trình: x  14 x  11  x  10  x  x 1    x  x2  Bài 25 Giải phương trình: x  x  2 x    (Đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội năm học 2013-2014) Bài 26 Giải phương trình: x3  3x  3x   Bài 27 Giải phương trình: x  11x  21  3 x  Bài 28 Giải phương trình: x   10  x  x  12 x  40 Bài 29 Giải phương trình: x2  x   x  x2   x2  x  PHƯƠNG TRÌNH I PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ Dạng 1: Phương trình dạng x  a2 x2  x  a b  ax � ax � b �x  � x xa � xa� � x2 � � x2 � ��  a � � � b �x  a � �x  a � Sau đặt ẩn phụ y  x2 xa VD: Giải phương trình x2 x   40 Đáp số 2;6 a)  x  3 b) x  4x2  x  2  Đáp số 1; Dạng 2: Phương trình dạng A. f  x    B f  x .g  x   C. g  x   0  Chia hai vế cho  g  x   , đặt t  f  x  g  x Ví dụ: Giải phương trình: a) b) x x  1  3x  x  1  x  Đáp số 1  x  1  x  3 x  x  x  1 Đáp số   c) x   x  1 x  x  0 Ax Bx  e Dạng ax  bx  c ax  dx  c  Chia từ mẫu số phân số cho x đặt ẩn t  x  c  x 4x 3x   Đáp số ; 2 x  x  x  10 x  2 Dạng Phương trình hồi quy ax  bx  cx  dx  e 0, với Ví dụ: Giải phương trình: a) x  x3  x  x   Đáp số 1; b) x  x3  x  x   Đáp số 1;3 Dạng Phương trình dạng  x  a    x  b   c Phương pháp đặt t  x  ab VD: Giải phương trình a b   e d a)  x  3   x    16 Đáp số: 5; 3 4 b)  x     x  3  Đáp số: 2;3 4 c)   x    x    32 Hướng dẫn: Đặt y  x  Đáp số: 4; 5 II PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp 1: Biến đổi Dạng 1: Biến đổi tương đương Bài 1: Giải phương trình  x  x  x  Giải:  2x  x2  x  � �x  �0 ��  x  x2   x  2 � �x �2 �� 2x  6x  � �x �2 � � �� x0 �� x3 �� � x3 Vậy S   3 Bài 2: Giải phương trình x    x   2x Giải: ĐKXĐ: 4 �x � x    x   2x � x    x   2x � x    3x    x    x  � x    3x  x 2 x  �0 � � ��  x  1   3x  x � � �x � �� 2 � 2x  7x  � � x0 Ta thấy x=0 thỏa mãn ĐKXĐ phương trình Vậy S   0 Dạng 2: Biến đổi đưa phương trình tích Bài 1: Giải phương trình x   2x x   x  x2  4x  Giải: ĐKXĐ: x �1 x   2x x   x  x  4x    � x  1 x 1  2x �     x 1 1   x   2x 1 x 1  � x   x   1 �� �  x    2 � Giải (1): x   2x  � x   2x �x �0 �� �x   x �x �0 � �x  � �� � �� x �� � � x 1 Giải (2): 1 x 1  � x0 Vậy S   0;1 Bài 2: Giải phương trình x2  x   Giải: ĐKXĐ: x �5 x2  x   � x   x  5  x  x    �  x  x  5  x   � x x5 x x5  x x5   x  1  � x x5  �� � x   x 1 �  21 1  17 � ; Vậy S  � � � � Dạng 3: Biến đổi đưa phương trình hệ Bài 1: Giải phương trình x   x   x  x  Giải: ĐKXĐ: x �0 x   3x   x  x  � 3x   x   x  x  � 5x    x  1  x    3x  1  x   �  5x   x  x  3  x  x  3 � x  x   x  12 x � 2x2  x   � x 1 Thử lại ta thấy x=1 thỏa mãn phương trình cho Vậy S   1 Bài 2: Giải phương trình x 1  x   x   Giải: ĐKXĐ: x �� x 1  x   x   � x 1  x    x  � 2x   33 x 1 x  3  x 1  x     x  2  x   x      x  2 x    x      x  2 � x 1 x  � x 1  3  x  1  x  3  x    x  �  x  1  x  3  x     x   � � x  2 Thử lại ta thấy x=-2 thỏa mãn phương trình cho Vậy S   2 Dạng 4: Biến đổi đưa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài 1: Giải phương trình x  x   x  x   Giải: x2  2x   x2  x 1  � x 1  2x 1  Sau xét trường hợp suy kết 1 Bài 2: Giải phương trình x   x  x    x  x  x  1 4 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 TP Hà Nội) Giải: vt>=0 nên để phương trình có nghiệm vp>=0 � x  x  x  �0 �  x  1  x  1 �0 Ta có phương trình:  ۳ x 1 x   x  x    x  x  x  1 4 2 � � 1� x   �x  �   x  x  x  1 � 2� � x2  x  � x 1   x  x  x  1 1   x3  x  x  1 2 suy kết Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Dạng 1: Đặt ẩn phụ hoàn toàn Bài 1: Giải phương trình ( x  4)( x  1)  x  x   Giải: Đặt x  x   t  t �0  �  x    x  1  x  x   t  Khi phương trình cho có dạng: t   3t  � t  3t   t  (tm) � �� � t  1(loai) � Với t=4, suy x2  5x   � x  x  14  x  7 � �� x2 � Vậy S   7; 2 Bài 2: Giải phương trình x   x   3x  2 x  x   16 Gợi ý: Đặt Vậy S   3 2x   x   t  t  0 Bài 3: Giải phương trình x  x x2 1  3x  x Gợi ý: Chia hai vế phương trình cho x dặt x  t  t �0  x � 1� � Vậy S  � � � � Dạng 2: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Bài 1: Giải phương trình x  x    x   x  (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011 TP Hà Nội) Giải: Đặt x2   t  t  0 � x2  t  Khi phương trình cho có dạng: t  ( x  4)t  x  t4 � �� tx � Với t=4, suy x2   x  3 � �� x3 � Với t=x, suy x2   x � x �� Vậy S   3;3 Bài 2: Giải phương trình x  2( x  1) x  x   x   Giải: Đặt x2  x   t  t  0 � x2  t  x  Khi phương trình cho có dạng: t  2( x  1)t  x   t 1 � �� t  2 x  � Với t=1, suy x2  x   � x2  x  x  1 � �� x0 � Với t=1-2x, suy x2  x    x  x �0 � � � �2 �x  x     x  � �x � �� � 3x  x  � � x0 Vậy S   1;0 Dạng 3: Đặt hai ẩn phụ đưa hệ Bài 1: Giải phương trình  x  x   Giải: ĐKXĐ x �1 Đặt  x  a,  x  b  b �0  Khi ta có hệ: a b 1 � �3 a b 1 � b  1 a � � � �3 a    a  1  � b  1 a � � �3 a  a  2a  � � a0 � � � b 1 � � � a 1 � �� � b0 � � � a  2 � � � � b3 � � Vậy S   1; 2;10 Dạng 4: Đặt hai ẩn phụ đưa phương trình Bài Giải phương trình 2( x  2)  x3  Giải: Đặt a  x  x  1, b  x  Suy phương trình có dạng: 2a  5ab  2b  a  2b � � � b � a � � 37 Bài 2: Giải phương trình Từ suy nghiệm x  C Hướng dẫn: đặt u   x, v  x  3, 2 u  v   uv 4 3 Đáp số: x  1, x  Bài 3: Giải phương trình   2  x   x   x  3x  Hướng dẫn: a   x , b   x � 2(2a  b)  ab  2a  b � 2a  (b  4)a  2b  b  � x  Bài 4: Giải phương trình x  3x    x  x2  Hướng dẫn: Đặt: a  x  x  1; b  x  x  ab �3 Suy đáp số: x  Phương pháp 3: nhân liên hợp: * 3.1: Nhân liên hợp trực tiếp Bài 1: Giải phương trình x   x   x   x  � 2a  b   Giải: ĐKXĐ: x �1 Khi đó: 10 8x   3x   x   x  �    8x   x    3x   x   x 3 x3  0 8x   x  3x   x  x3  � � � 1 �   (1) 3x   x  � 8x   x  � Dễ thấy VT(1)>0 nên (1) vô nghiệm Vậy S   3 * 3.2: Nhân liên hợp gián tiếp x    x  x   x2  5x Bài Giải phương trình Phân tích: Dùng máy tính nhận biết phương trình có nghiệm x = Giải: Điều kiện: �x �4 x    x  x   x2  x �    x  1     x 1   x    x2  5x   x  3 x 3 x3    (x  3)  x  1 x  1  x 1 2x   x3 � � � �   2x  1 (1) � x  1 2x    x 1 � Chứng minh (1) vô nghiệm dựa vào điều kiện, ý biết số nghiệm phương trình dùng máy tính Bài Giải phương trình x    x  13 Phân tích: Dùng máy tính nhận biết phương trình có nghiệm x=4 Giải: Điều kiện: x � Khi đó: x    x  13 �3 �    2x 1    x  4 2x 1   3   3x    x  4   3x    3x  0 x4 � � 6 ��    1 � x   3   3x    3x  � VT(1) > nên suy (1) vô nghiệm * Phương pháp 4: phương pháp đánh giá : Bài Giải phương trình x   x  x  14 11 Giải : x   x  x  14 �   x     x  3  � x3 Tương tự cách giải ta có ý tương tự Bài Giải phương trình a) x  x   x   b) x  14 x  11  x  10 c) x  x  2 x    (Đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội năm học 2013-2014) d) x3  3x  3x   Đáp số : a) x=5 3 � 13 b) x  c) x=4 1 d) x  1 3 Bài Giải phương trình x  11x  21  3 x  Giải : Do x  11x  21  nên để phương trình có nghiệm x   � x  Khi áp dụng bđt cosi ta : 3 x   3 2.2.(x  1) �2   x   x  (Dấu = xảy x=3) x  11x  21   x  3  x  �x  (Dấu = xảy x=3) Vậy phương trình cho tương đương với x=3 Bài Giải phương trình x   10  x  x  12 x  40 Giải: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số khơng âm ta có  x    10  x  x   10  x  x   10  x   �  4 2 4 �x   � x6 Dấu xảy � 10  x  �   x  12 x  40  x  12 x  36    x    �4 �x   10  x � x  Vậy phương trình có nghiệm x = Dấu xảy � �x   Bài Giải phương trình x2  x 1  x  x2   x2  x  Giải: 12 Vì x  x  �0 x  x  �0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si số hạng vế trái ta x2  x 1  x2  x được: x  x  1 � (1)  2 x  x2   x  x2  (2) x  x  1 �  2 x2  x x  x2  2 Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: x  x   x  x  �   x  nên theo đề 2 ta có : x  x  �x  �  x  1 �0 Đẳng thức xảy x = Thử lại ta thấy x = thoả Vậy phương trình có nghiệm x =     13 ... � x0 V? ??y S   0;1 Bài 2: Giải phương trình x2  x   Giải: ĐKXĐ: x �? ?5 x2  x   � x   x  5? ??  x  x    �  x  x  5? ??  x   � x x? ?5 x x? ?5  x x? ?5   x  1  � x x? ?5  ��... xảy x=3) V? ??y phương trình cho tương đương v? ??i x=3 Bài Giải phương trình x   10  x  x  12 x  40 Giải: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số khơng âm ta có  x    10  x  x   10  x...  x   x  (Đề thi tuyển sinh v? ?o lớp 10 năm học 2 010- 2011 TP Hà Nội) Giải: Đặt x2   t  t  0 � x2  t  Khi phương trình cho có dạng: t  ( x  4)t  x  t4 � �� tx � V? ??i t=4, suy x2