BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI LÝ THỊ MAI PHƢƠNG CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ ei  ejγ TRONG MƠ HÌNH Seesaw VÀ INVERSE Seesaw C Vật lý lý thuyết vật lý toán M 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT N ƣ ƣ GS.TS Vũ A T ấn TS P X â Hƣơ HÀ NỘI, 2018 Đặ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÝ THỊ MAI PHƯƠNG CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ ei → ej γ TRONG MƠ HÌNH SEESAWEESAW VÀ INVERSE SEESAW Chun ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 44 01 03 Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỌ HUỆ HÀ NỘI, 2018 Lời cảm ơn Trước tiên, xin chân thành cảm ơn TS Lê Thọ Huệ, người thầy nghiêm khắc chuyên môn, thân thiện đời sống, hướng dẫn tơi tận tình, hiệu suốt trình làm luận văn Thầy cầu nối đưa đến với Lý thuyết trường, lĩnh vực khó Vật lý nhiều thú vị Tôi xin cảm ơn bạn học viên cao học khóa 20 Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Tơi xin cảm ơn bạn Nguyễn Thị Quỳnh Lâm có thảo luận hữu ích hồn thiện luận văn Tơi xin cảm ơn đồng chí lãnh đạo đồng nghiệp Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện động viên thời gian học tập làm luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn hỗ trợ chủ nhiệm thành viên thực đề tài mã số 103.01-2017.29 NAFOSTED tài trợ Lời cảm ơn cuối tơi xin dành cho gia đình người thân ln ủng hộ, động viên sát cánh bên Hà Nội, tháng 06 - 2018 Học viên Lý Thị Mai Phương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực khơng trùng lặp với luận văn có Tơi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2018 Học viên Lý Thị Mai Phương Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu 1 Giới thiệu mơ hình 1.1 1.2 Mơ hình Seesaw tổng qt 1.1.1 Giới thiệu mơ hình 1.1.2 Đỉnh tương tác 1.1.3 Ma trận trộn khối lượng ma trận trộn neutrino Mơ hình inverse Seesaw Biểu thức giải tích cho biên độ tỉ lệ rã nhánh ei → ej γ 13 2.1 Bề rộng rã riêng phần tỉ lệ rã nhánh 13 2.2 Các ký hiệu định nghĩa hàm Passarino-Veltman 16 Biểu thức tính hàm B1 18 2.2.2 Biểu thức tính hàm Ci 19 2.2.3 2.3 (i) 2.2.1 Biểu thức tính hàm Ci,00,ij 20 Biểu thức tính biên độ rã 22 2.3.1 Giản đồ Feynman, biên độ rã tỉ lệ rã nhánh 22 2.4 Kiểm tra đồng thức Ward 38 2.5 So sánh với kết biết 40 2.5.1 Trường hợp 1: Mơ hình với neutrino Dirac phải 2.5.2 Trường hợp 2: Biểu thức gần cho mơ hình Seesaw Kết khảo sát thảo luận 40 42 43 3.1 Xác định vùng không gian tham số 43 3.2 Kết tính số thảo luận 44 Kết luận 46 Danh mục cơng trình 48 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết mơ hình chuẩn (standard model-SM) mơ hình vật lý hạt thành cơng dự đốn xác hầu hết kết thực nghiệm Tuy nhiên có số hạn chế định, vấn đề liệu thực nghiệm neutrino Trong mơ hình chuẩn, lepton phân làm ba hệ, hệ bao gồm lepton mang điện e, µ, τ neutrino phân cực trái tương ứng Các neutrino có khối lượng khơng khơng có chuyển hóa lẫn hệ lepton (sự dao động neutrino) Nhưng thực nghiệm neutrino có khối lượng khác khơng dù nhỏ tồn dao động neutrino Sự dao động chứng cho vi phạm số lepton hệ giới hạt bản, vượt ngồi dự đốn mơ hình chuẩn Chính vậy, chế nguồn gốc sinh khối lượng dao động neutrino xét đến mô hình mở rộng mơ hình chuẩn (BSM-beyond the SM) Mơ hình đơn giản giải vấn đề neutrino mơ hình Seesaw, cụ thể chế Seesaw đưa để giải thích vấn đề Mơ hình Seesaw mở rộng từ SM cách thêm vào đơn tuyến neutrion phân cực phải, dẫn đến xuất số hạng tương tác Yukawa số hạng khối lượng vi phạm số lepton, nguồn gốc sinh khối lượng cho tất neutrino mơ hình Cơ chế Seesaw giúp giải thích hợp lý neutrino hoạt động (active neutrino) có khối lượng nhỏ thực nghiệm phát hiện, đồng thời neutrino có khối lượng lớn, thoát khỏi tầm phát thiết bị dò Sự xuất neutrino dẫn đến xuất đỉnh tương tác mới, vi phạm số lepton, làm xuất trình rã vi phạm số lepton hệ (LFV) lepton mang điện (cLFV) ei → ej γ (j = j) tính đến đóng gớp nhiễu loạn bậc cao Theo đó, Lagrangian khơng xuất đỉnh tương tác ei ej Aµ + h.c bổ đính bậc vòng cho số hạng hiệu dụng dạng eAµ ej [qν σ µν (σL PL + σR PR )] ej + h.c Số hạng dẫn đến trình rã nhánh ei → ej γ khơng có giới hạn dự đốn SM Các thừa số σ µν tốn tử chiếu trái-phải PL,R xây dựng theo ma trận chiral γ5 Các hệ số vơ hướngσL,R tính từ giản đồ đóng góp bậc cao Các tính tốn nghiên cứu cho q trình rã hai mơ hình Seesaw tối thiểu (minimal Seesaw-MSS) inverse Seesaw (ISS) nghiên cứu nhiều công bố, sử dụng hệ thức giải tích gần khối lượng lepton mang điện không khối lượng neutrino nhỏ Hiện hệ thức gần thiết lập theo hàm giải tích xác áp dụng vào giải số Mơ hình Seesaw mơ hình đơn giản dùng để kiểm tra thống kết gần kết giải tích xác Vì tơi chọn đề tài: Q trình rã vi phạm số lepton hệ ei → ej γ mô hình Seesaw Inverse Seesaw Mục đích nghiên cứu • Xây dựng chi tiết hệ thức tính bề rộng rã nhánh ei → ej γ hai mơ hình MSS ISS • So sánh kết giải tích gần xác thơng qua khảo sát số Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu mơ hình Seesaw inverse Seesaw • Tính biên độ kiểm tra khử phân kỳ biên độ trình rã ei → ei γ chuẩn unitary • Khảo sát số để so sánh đặc điểm giống khác tỉ lệ rã nhánh dự đốn hai mơ hình Đối tượng nghiên cứu • Q trình rã ei → ei γ hai mơ hình Seesaw MSS ISS Phương pháp nghiên cứu • Quy tắc Feynman • Lý thuyết trường lượng tử • Ứng dụng phần mềm Mathematica giải số Chương Giới thiệu mơ hình 1.1 1.1.1 Mơ hình Seesaw tổng qt Giới thiệu mơ hình Phổ hạt mơ hình khác với mơ hình chuẩn (SM) có thêm K neutrino phân cực phải NR,I ∼ (1, 1, 0) với I = 1, 2, , K [6] Lagrangian thoả mãn điều kiện bất biến nhóm chuẩn SU (2)L ⊗ U (1)Y là: −∆L = Yν,aI ψL,a φNR,I + (NR,I )c MN,IJ NR,J + h.c., (1.1) a = 1, 2, số hệ fermion; I, J = 1, 2, , K số neutrino thêm vào; ψL,a = (νL,a , eL,a )T lưỡng tuyến T lepton (NR,I )c = CNR,I Lưỡng tuyến Higgs boson SM ký hiệu √ T φ = (φ+ , φ0 )T = G+ , (h + iG + v)/ , có dạng tương đương z W φ = iσ2 φ∗ = (φ0∗ , −φ− )T Phổ Higgs SM gồm Higgs trung hoà CP-chẵn h ba Goldstone boson boson W ± Z Giá trị trung bình chân khơng (VEV) thành phần Higgs trung hoà là: φ = √v = 174 GeV (tương đương v = 246 GeV) Các trạng thái ban đầu neutrino hoạt động viết sau: νL = (νL,1 , νL,2 , νL,3 )T , (νL )c ≡ ((νL,1 )c , (νL,2 )c , (νL,3 )c )T , NR = (NR,1 , NR,2 , , NR,K )T , (NR )c = ((NR,1 )c , (NR,2 )c , , (NR,K )c )T Trong sở ban đầu νL ≡ (νL , (NR )c )T (νL )c = ((νL )c , NR )T , Lagrangian (1.1) cho số hạng khối lượng neu- 40 (m21 + m22 )m2nb + (C1 + C2 + C0 ) m2W m21 (1) m22 (2) m2nb (1) (2) − B1 − B1 − (B0 + B0 − 2C00 ) + 4C00 mW mW mW (2) B1 + 2C00 (m21 + m2nb ) =− + m22 2 m2 − m1 mW (1) B1 + 2C00 (m22 + m2nb ) − + m21 2 m1 − m2 mW (1) (2) (B0 − B0 ) (m21 + m22 )m2nb × − m21 − m22 m2W m21 (1) m22 (2) m2nb (1) (2) − B1 − B1 − (B0 + B0 − 2C00 ) + 4C00 mW mW mW (2) (m22 + m2nb ) B1 =− + m22 2 m2 − m1 mW (1) (m21 + m2nb ) B1 + m21 − 2 m1 − m2 mW 2 2m22 m2nb 2m1 mnb (1) (2) B0 − B0 − 2 2 mW (m1 − m2 ) mW (m2 − m1 ) = −D2L − D3L Từ ta rút điều phải chứng minh Kết luận Sử dụng ký hiệu hàm PV, chúng tơi xây dựng biểu thức tính hệ số đóng góp vào rã ei → ej γ, qua kiểm tra đồng thức Ward 2.5 2.5.1 So sánh với kết biết Trường hợp 1: Mơ hình với neutrino Dirac phải Trường hợp liên hệ đến mơ hình đơn giản giải thích số hạng khối lượng neutrino tương tự trường hợp lepton mang điện quark, cách thêm vào ba neutrino đơn tuyến phải, ví dụ 41 [8] Đóng góp vào rã µ → eγ có dạng C νR SM R m1 eg = 32π L∗ L U1b U2b [2(C2 + C11 + C12 ) b=1 m + 2nb (C0 + mW C11 + C12 − 2C1 − C2 ) , (2.48) L mnb khối lượng neutrino nb (b = 1, 2, 3), Uab ma trận trộn neutrino biết Từ thực nghiệm ta biết giá trị mnb nhỏ so với khối lượng hạt biết Chúng tơi tìm lại kết Cheng-Li [8] từ biểu thức (2.48) cách khai triển gần hàm PV theo chuỗi luỹ thừa = Dạng chung thu từ khai triển C νSM1 R tb ≡ m2nb /m2W a0 + a1 tb + O(t2b ) Số hạng a0 bị khử xuất tổng L L b U1b∗ U2b = Vì vậy, đóng góp trường hợp số hạng bậc tb Các kết gần trường hợp tính trực tiếp phương pháp tham số hoá Feynman Sử dụng kết hàm PV trường hợp xung lượng không [2], biểu thức gần cho hàm PV gần bậc tb (M1 = mnb , M2 = mW ) C0 = − , m2W tb + , 4m2W 4MW tb =− + , 9mW 18m2W 1 tb = C11 = − + 18m2W 36m2W C2 = C1 = − C11 = C22 C12 = C21 Thay kết vào (2.48) chúng tơi tìm C νSM1 R eg 32π L∗ L U1b U2b b=1 2m2nb m4W 1 + + 18 36 (2.49) 42 m2nb + m4W −1 − 1 − +3× 18 eg × = 4mW 32π L∗ L mnb U1b U2b mW b=1 (2.50) Kết hoàn toàn trùng với kết Cheng-Li đưa [8] 2.5.2 Trường hợp 2: Biểu thức gần cho mơ hình Seesaw Đóng góp vào biên độ rã cLFV ei → ej γ mô hình Seesaw tổng quát viết gần sau CR eg = − 32π K+3 U1iL U2iL∗ [2(−C2 + C11 + C12 ) i=1 m + 2ni (C0 + mW C11 + C12 + 2C1 + C2 ) (2.51) Đặt ti = m2ni /m2W Trong giới hạn m21 = m22 → ta có [2]: C0 C11 −1 + ti − ti ln(ti ) − 4ti + 3t2 − 2t2 ln(ti ) = , C1 = C2 = − , m2W (ti − 1)2 4(ti − 1)3 −2 + 9ti − 18t2i + 11t3i − 6t3i ln(t) = C22 = 2C12 = (2.52) 18m2W (ti − 1)4 Biểu thức gần CR là: CR eg = − 32π K+3 U1iν U2iν∗ i=1 eg ≡ − 128π m2W 10 − 43ti + 78t2i − 49t3i + 4t4i + 18t3i ln(ti ) 12m2W (ti − 1)4 K+3 U1iν U2iν∗ G(ti ) (2.53) i=1 Kết thu hoàn toàn phù hợp với kết có tài liệu [10, 11], dòng cuối (2.53) có hàm G(ti ) xác √ định theo [11] Sử dụng hệ thức GF = 2g /(8m2W ) số điện từ αem = e2 /(4π) ta thu biểu thức có [11] viết cho q trình rã µ → eγ Tuy nhiên kết khác với tài liệu [13] 43 Chương Kết khảo sát thảo luận 3.1 Xác định vùng không gian tham số Trong mơ hình Seesaw, tất số liệu thực nghiệm neutrino góc trộn tham số đầu vào Trong phần khảo sát số, xét trường hợp phân bậc thông thường mn1 ≤ mn2 ≤ mn3 Trường hợp phân bậc ngược cho kết tương tự Trong trường hợp phân bậc thông thường, giá trị hợp lý tham số dao động neutrino thu từ thực nghiệm [12]: ∆m221 = 7.45 × 10−5 eV2 , ∆m231 = 2.147 × 10−3 eV2 , s212 = 0.306, s223 = 0.446, s213 = 0.0231, (3.1) ∆m2a1 = m2νa − m2νa (a = 2, 3) Các tham số khác xác định δ = α = β = Do tỉ lệ rã cLFV phụ thuộc nhỏ vào khối lượng neutrino hoạt động chưa biết, cố định mn1 = 10−12 GeV Giá trị thoả mãn đầy đủ tất giới hạn thực nghiệm biết Để khảo sát hai mơ hình Seesaw thường ISS, xét K = cho mô hình Seesaw thường, K = cho mơ hình ISS, có neutrino νaR neutrino Xa Kết mơ hình Seesaw thường có thêm ba neutrino mới, mơ hình ISS có thêm sáu neutrino đơi có khối lượng suy biến Để minh hoạ xét trường hợp neutrino 44 có khối lượng khơng suy biến, cụ thể mn4 = 2mn5 = 3mn6 cho mơ hình Seesaw thường Trong mơ hình ISS mn4 = 2mn5 = 3mn6 , mn7 = mn4 , mn8 = mn5 mn9 = mn6 Các giá trị thực nghiệm khác bao gồm khối lượng lepton mang điện me,µ,τ , khối lượng boson chuẩn mW , số tương tác điện từ e, lấy từ [12] Mơ hình ISS chứa tham số µX vi phạm số lepton Giới hạn xét đến µX ≤ O(10−8 ) GeV 3.2 Kết tính số thảo luận Với gía trị thực nghiệm tham số cho phần trên, tham số tự mô hình Seesaw thường liên quan đến Br(ei → ej γ) mn1 Đối với mơ hình ISS, tỉ lệ rã cLFV phụ thuộc hai tham số mn1 tham số vi phạm số lepton µX Đồ thị biểu diễn tỉ lệ rã nhánh Br(ei → ej γ) cho hình 3.1 Các ISS MSS 10-8 Br(ei →e j γ) Br(ei →e j γ) 1.× 10-29 1.× 10-34 1.× 10-39 1.× 10-44 1.× 10-49 100 τ→μγ τ→μγ, app τ→eγ τ→eγ, app μ→eγ 1000 10-11 τ→μγ 10-14 τ→eγ μ→eγ 10-17 μ→eγ,app 104 105 mn1 [GeV] 106 107 10-20 1000 105 107 109 mn1 [GeV] Hình 3.1: Tỉ lệ rã nhánh Br(ei → ej γ) theo hàm khối lượng neutrino nặng mn1 dự đốn mơ hình MSS (trái) ISS (phải) Các đồ thị màu đen hình phải vẽ theo hàm gần (2.53) kết khảo sát số cho thấy mơ hình Seesaw thường dự đoán tỉ lệ rã nhánh cLFV nhỏ nhiều so với mơ hình ISS Nếu so với giới hạn thực nghiệm bậc O(10−13 ) cho Br(µ → eγ) O(10−8 ) 45 cho Br(τ → τ γ, eγ), tỉ lệ rã cLFV khó quan sát Ngược lại, mơ hình ISS cho Br(µ → eγ) đạt đến giới hạn quan sát thực nghiệm Để sso sánh với kết gần có [11], chúng tơi vẽ thêm đồ thị tính theo hàm gần giới hạn mơ hình MSS, cụ thể đồ thị màu đen hình 3.1 Kết cho thấy phù hợp hai cách tính 46 KẾT LUẬN Các mơ hình Seesaw lớp mơ hình giải thích hợp lý khối lượng dao động neutrino phù hợp với liệu thực nghiệm cách thêm vào đơn tuyến SU (2)L neutrino phải vi phạm số lepton Hệ mơ hình dự đốn tồn tượng vật lý vi phạm định luật bảo toàn số lepton số lepton hệ Trong số đó, q trình rã vi phạm số lepton hệ ei → ej γ nghiên cứu từ sớm Hiện thực nghiệm tiếp tục tìm kiếm kênh rã Về lý thuyết, biểu thức xác định kênh rã đưa nhiều tài liệu công bố khoa học Tuy nhiên, chi tiết tính tốn để rút hệ thức chưa trình bày chi tiết, đặc biệt hệ thức tính xác Vì luận văn trình bày chi tiết cách tính tỉ lệ rã nhánh ei → ej γ mơ hình Seesaw Các kết luận văn tóm lược sau: • Giới thiệu mơ hình Seesaw tổng quát ma trận trộn neutrino đủ để giải thích liệu thực nghiệm khối lượng dao động neutrino • Đưa tương tác liên quan đến đóng góp bậc vòng vào biên độ rã ei → ej γ xét chuẩn unitary • Tính tất hệ số vơ hướng cho đóng góp vòng vào biên độ rã ei → ej γ, biểu diễn theo hàm PV xác Từ đó, chúng 47 tơi kiểm chứng đồng thức Ward, khẳng định tính xác kết tính, đồng thời giải thích biểu thức tính bề rộng rã nhánh tỉ số rã nhánh ei → ej γ liên hệ với hệ số CL,R • Từ kết tính xác, chúng tơi tìm lại kết gần đưa tài liệu cơng bố • Từ kết tính trên, chúng tơi tiến hành khảo sát số Kết cho thấy cách tính gần xác phù hợp với Ngồi chúng tơi được: i) mơ hình MSS dự đoán tỉ số rã nhánh cLFV nhỏ so với giới hạn tìm thấy thực nghiệm nay; ii) giới hạn mơ hình ISS, tỉ số rã nhánh cLFV τ → µγ µ → eγ nằm giới hạn quan sát thực nghiệm, 48 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH • N.T.Q.Lam, L.T.M.Phuong, N.H.Thao , N.T.Ha (2018), Lepton flavor violating decays of charged leptons in Zee model, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội số 54 (Đã chấp nhận đăng) 49 Tài liệu tham khảo [1] J C Romão, Modern Techniques for One-Loop Calculations (2006), https://porthos.tecnico.ulisboa.pt/OneLoop/one-loop.pdf [2] L Lavoura (2003), Eur.Phys.J C 29 191 [3] G ’t Hooft and M Veltman (1979), Nulc.Phys B 153 365 [4] A Denner and S Dittmaier (2006), Nucl.Phys B 734 62, e-Print: hep-ph/0509141 [5] L T Hue, L D Ninh, T T Thuc and N T T Dat, “Exact oneloop results for li → lj γ in 3-3-1 models,” (2018) Eur Phys J C 78 no.2, 128 [arXiv:1708.09723 [hep-ph]] [6] A Ibarra, E Molinaro and S T Petcov, “TeV Scale See-Saw Mechanisms of Neutrino Mass Generation, the Majorana Nature of the Heavy Singlet Neutrinos and (ββ)0ν -Decay,” (2010), JHEP 1009 108 [arXiv:1007.2378 [hep-ph]] [7] J A Casas and A Ibarra, “Oscillating neutrinos and muon —> e, gamma,” Nucl Phys B 618 (2001) 171 [hep-ph/0103065] [8] T P Cheng and L F Li, “Gauge Theory Of Elementary Particle Physics,” Oxford, Uk: Clarendon (1984) 536 P (Oxford Science Publications) 50 [9] M E Peskin and D V Schroeder, “An Introduction to quantum field theory”(1995), Westview Press, Perseus Books Group [10] T P Cheng and L.-F Li, Phys Rev Lett 45, 1908 (1980) [11] A Ibarra, E Molinaro and S T Petcov, “Low Energy Signatures of the TeV Scale See-Saw Mechanism,” Phys Rev D 84 (2011) 013005 [arXiv:1103.6217 [hep-ph]] [12] C Patrignani et al (Particle Data Group) (2016), Chinese Physics C, 40, 100001 [13] E Arganda, M J Herrero, X Marcano and C Weiland (2015), Phys Rev D 91, 015001 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÝ THỊ MAI PHƯƠNG CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ ei → ej γ TRONG MƠ HÌNH SEESAWEESAW VÀ INVERSE SEESAW Chun ngành: Vật... chọn đề tài: Q trình rã vi phạm số lepton hệ ei → ej γ mơ hình Seesaw Inverse Seesaw 3 Mục đích nghiên cứu • Xây dựng chi tiết hệ thức tính bề rộng rã nhánh ei → ej γ hai mơ hình MSS ISS • So... mới, vi phạm số lepton, làm xuất trình rã vi phạm số lepton hệ (LFV) lepton mang điện (cLFV) ei → ej γ (j = j) tính đến đóng gớp nhiễu loạn bậc cao Theo đó, Lagrangian không xuất đỉnh tương tác ei