TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA VẬT LÝ TIỂU LUẬN PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Dương Thị Diễm My TRẦN NGỌC ƯỚC Mã SV: 17S1031081 Lớp: Lý 2A Huế, ngày 22 tháng 12 năm 2018 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn cô giáo Dương Thị Diễm My tận tình giảng dạy giúp đỡ em suốt trình học tập để làm tiểu luận này,đã tạo hội để em thực nghiên cứu đề tài bỏ thời gian để đọc tiểu luận Tuy có nhiều cố gắng khơng thể tránh khỏi sai sót phần tiểu luận nên mong thầy cô thông cảm cho chúng em Sau mong thầy đóng góp thêm ý kiến để em có kinh nghiệm Em xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ THỰC TIỄN CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Bài 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY Bài 2: DAO ĐỘNG CỦA DÂY DÀI VÔ HẠN Bài 3: DAO ĐỘNG CỦA DÂY HỮU HẠN CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 11 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lí học nghành khoa học tự nhiên có liên quan chặt chẽ đến ngành khoa học khác Đặc biệt tốn học cơng cụ khơng thể thiếu để giúp cho ngành vật lí phát triển Các lý thuyết vật lý sử dụng ngơn ngữ tốn học để nhận cơng thức xác miêu tả đại lượng thu nghiên cứu xác vật lý hay giá trị ước lượng tiên đoán hệ Những kết thí nghiệm hay thực nghiệm vật lý biểu giá trị số Càng sâu vào nghiên cứu ta thấy vật lý tốn học có giao thoa với Những phương pháp tốn học dùng vật lí đa dạng, từ phương trình vật lí tốn ta xây dựng loạt phương trình dao động như: phương trình dao động sợi dây, phương trình truyền nhiệt, Các kiến thức vơ cần thiết để sinh viên tiếp thu hiểu rõ phương trình vật lí, làm tảng cho kiến thức vật lí phức tạp Chính vậy, em chọn đề tài “Dao động sợi dây hữu hạn” để nghiên cứu Mong đề tài tài liệu tham khảo giúp ích cho bạn sinh viên Mục đích Phân loại giải số tập phương trình dao động sợi dây Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp toán học để thiết lập giải tập phương trình dao động sợi dây Đối tượng nghiên cứu Các toán dao động sợi dây hữu hạn Phương pháp ngiên cứu Nghiên cứu lí luận: -Vật lí lí thuyết -Phương pháp giải tích tốn học Thực hành: -Giải tập theo dạng chia Ý nghĩa đề tài Nếu mực tiêu thực cách hiệu mang lại ý nghĩa lớn giúp sinh viên khoa vật lí dễ dàng việc giải tập liên quan tới dao động sợi dây thuộc chuyên ngành vật lí lí thuyết Cấu trúc tiểu luận Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Cơ sở lí thuyết Bài 1: Lập phương trình dao động sợi dây Bài 2: Dao động dây dài vô hạn Bài 3: Dao động dây hữu hạn Phương trình Phương trình khơng Chương 3: Một số tập ví dụ Bài tập dao động dây dài vô hạn Bài tập dao động tự dây hữu hạn Bài tập dao động cưỡng dây hữu hạn PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ THỰC TIỄN Phương trình sóng gọi phương trình Hypebolic, đóng vai trò quan trọng vật lý ngành kỹ thuật, thiết lập sở nghiên cứu dao động của: dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện từ trường Ở đây, ta chủ yếu nghiên cứu phương trình sóng dao động sợi dây CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Bài 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY Phương trình dao động sợi dây phương trình sóng (phương trình Hypebolic) Xét sợi dây mảnh có độ dài l, căng ngang với hai đầu mút cố định, dây đàn hồi dao động bé nên lực căng T điểm sợi dây Ở trạng trái cân bằng, dây nằm dọc theo trục Ox, dao động xảy dây di chuyển vng góc với Ox mặt phẳng qua Ox Tổng hình chiếu lực căng dây theo phương Ou là: T sin  − T sin 1 Giả sử ngoại lực tác dụng lên dây trọng lực Mật độ phân bố ngoại lực tác dụng lên dây là: −  g ( x, t ) x2 Tổng hợp ngoại lực tác dụng lên dây là: −   g ( x, t )dx x1 Với  mật độ khối dây,  = const (vì dây đồng nhất) Gia tốc điểm dây: utt =  u2 t Áp dụng định luật II Newton: x2 x2 x1 x1 (T sin  − T sin 1 ) −   g ( x, t )dx =   utt ( x, t )dx (*) Vì dao động bé nên : sin  = tg + tg  Suy ra: T sin  − T sin 1 = T u x  tg = u = ux x x2 x = x2 − T ux x = x1 =  T u xx dx x1 Thay vào phương trình (*), ta có: x2  T u xx −  g ( x, t ) −  utt ( x, t ) dx = x1  −T u xx +  g ( x, t ) +  utt ( x, t ) = với (a = T  0)   utt − a u xx = − g ( x, t ) Phương trình utt − a u xx = − g ( x, t ) phương trình dao động sợi dây Bài 2: DAO ĐỘNG CỦA DÂY DÀI VÔ HẠN  Xét tốn dao động dây dài vơ hạn Hình dạng dây thời điểm ban đầu u ( x, 0) = f ( x) vận tốc ban đầu ut ( x,0) = F(x) Hàm f ( x) , F(x) xác định toàn x Ta có dạng tốn lí sau: Tìm nghiệm u ( x, t ) , −  x  +, t  phương trình utt − a 2u xx = (1) Thỏa mãn điều kiện ban đầu: u ( x, 0) = f ( x) ut (x,0) = F ( x) Cách giải: Dùng phương pháp đổi biến:  x =  =  = x + at  x    = x − at t = a t = −a u x = u  x + u x = u + u u xx = u  x + u x + u  x + u x = u + 2u + u ut = u t + ut = a(u − u ) u tt = a ( u t + ut − u t − ut ) = a ( u − 2u + u ) Thay vào phương trình (1): −4a 2u =     u  u = 1 ( )  =0      u( , ) =  1 ( )d + ( )  u( , ) =  ( ) + ( ) với  ( ), ( ) tìm điều kiện ban đầu Trở biến cũ: u(x, t) =  (x − at) +  (x + at) u t (x, t) =  (x − at) (2) n  +  (x + at) t t Từ điều kiện ban đầu, ta có: { u ( x, 0) =  (x) + (x) = f(x) (3) u t (x, t) = a ( − (x) + (x) ) = F ( x) (4) Tích phân vế (4) từ đến x x x x 0 a   − (x1 ) + (x1 ) dx1 =  F ( x1 ) d x1  a  − ( x) +  (0) + ( x) − (0)  =  F ( x1 ) d x1 x   ( x) −  ( x) =  F ( x1 ) d x1 + c (*) a0 với c =  (0) −  (0) Từ (3)   ( x) = f ( x) −  ( x) thay vào phương trình (*) x  1 c  ( x ) = f ( x ) − F ( x1 ) d x1 −   2a   x  ( x) = f ( x) + F ( x ) d x + c 1  2a 0  Đặt hệ thức vào (2) ta nghiệm: x + at 1 u ( x, t ) =  f ( x + at ) + f ( x − at )  + F ( x)dx 2a x −at Đây công thức D’Alembert Bài 3: DAO ĐỘNG CỦA DÂY HỮU HẠN Dao động tự sợi dây hữu hạn (Phương trình nhất)  Bài tốn 1: Xét sợi dây hữu hạn có chiều dài l, hai đầu mút dây bị gắn chặt Tìm dao động sợi dây, biết sợi dây có hình dạng ban đầu f(x), vận tốc ban đầu F(x) Bài tốn tốn lí: Tìm nghiệm phương trình: utt − a u xx = (1) , với  x  l, t  Thỏa mãn điều kiện biên: u (0, t ) = u (l , t ) = (2) điều kiện ban đầu: u( x,0) = f ( x), ut ( x,0) = F ( x) (3)  Cách giải: Sử dụng phương pháp tách biến Bước 1: Tìm nghiệm phương trình (1) dạng tích hàm phụ thuộc vào t hàm phụ thuộc vào x u ( x, t ) = X ( x).T (t ) với X ( x)  0, T (t )  Phương trình (1) tương đương: X ( x).T (t ) − a X ( x).T (t ) =   X ( x) − b X ( x) = X ( x) T (t ) = =b X ( x) a T (t ) T (t ) − a b.T (t ) = Áp dụng điều kiện biên (2), ta có: u (0, t ) = X (0).T (t ) =  X (0) =   u (l , t ) = X (l ).T (t ) =  X (l ) = Bước 2: Giải phương trình với bước riêng biệt kết hợp điều kiện biên Giải phương trình: X ( x) − b X ( x) = (4) TH1: Giả sử b =  phương trình (4) có nghiệm là: X ( x) = c1.e x + c2 e−  x c1 + c2 = Điều kiện biên cho ta:  l − l c1.e + c2 e c = (loại cho nghiệm tầm  = c2 = thường) TH2: Nếu b=0 phương trình (4) có nghiệm: X ( x) = c1 x + c2 c2 = c = (loại cho nghiệm tầm  c1l + c2 = c1 = Điều kiện biên cho ta:  thường) TH3: Nếu b  , giả sử b = − = (i)2 phương trình (4) có nghiệm là: X ( x) = c1.cos  x + c2 sin  x c1 = c1 cos l + c2 sin l = Điều kiện biên cho ta:  Để phương trình khơng có nghiệm tầm thường thì: c2  đó: sin l =  l = k   = k l (với k = 1, 2,3, ) Vậy nghiệm phương trình (4) là: X k ( x) = Ck sin k x l   X ( x) +  X ( x) = X ( x) T (t ) = = −   2 X ( x) a T (t ) T (t ) + a  T (t ) = Áp dụng điều kiện biên (2), ta có: ux (0, t ) = X (0).T (t ) =  X (0) =    X (l ) = u (l , t ) = X (l ).T (t ) = Phương trình X ( x) +  X ( x) = có nghiệm là: X ( x) = c1 cos  x + c2 sin  x X ( x) = −c1 sin  x + c2 cos  x c2 = c1 cos l = Điều kiện biên cho ta:  Để phương trình khơng có nghiệm tầm thường thì: c1  đó: cos l =  l = (2k + 1) Vậy X k ( x) = Ck cos  = (2k + 1) 2l (với k = 0,1, 2,3, ) (2k + 1) x 2l   k =0 k =0 Vậy nghiệm u( x, t ) =  uk (x, t ) =  Tk (t ).cos (2k + 1) x 2l Giả sử hàm f(x,t) phân tích thành chuỗi theo cos:  f( x, t ) =   k (t ).cos k =0 (2k + 1) x 2l Thay vào phương trình vtt − a v xx = f ( x, t ) ta được:   Tk (t ) cos k =0  (2k + 1) x (2k + 1) x  (2k + 1) x  (2k + 1)  + a  Tk (t )  cos =  ( t ) cos  k  2l 2l 2l 2l  k =0 k =0  (2k + 1) a   Tk (t ) +   Tk (t ) =  k (t ) 2l  (*) (với k=0,1,2,3 ) Nghiệm phương trình (*): 35 Tk (t ) = ak (t ).cos k t + bk (t ).sin k t với k = (2k + 1) a 2l Tk (t ) = ak (t ).cos k t + bk (t ).sin k t + k  −ak (t ).sin k t + bk (t ).cos k t  chọn ak (t ) , bk (t ) cho: ak  (t ).cos k t + bk  (t ).sin k t = (**) Tk  (t ) = −k  ak  (t ).sin k t − bk  (t ).cos k t  − k  ak (t ).cos k t + bk (t ).sin k t    Thay vào (*): Tk (t ) + a ( k ) Tk (t ) =  k (t )  −k  ak  (t ).sin k t − bk  (t ).cos k t  =  k (t ) (***)   l t  −1  ( ) sin k d + c1 ak (t ) = k 0 k  Từ (**) (***) suy ra:  t b (t) =  ( ) cos   d + c k  k k 0 k  Áp dụng điều kiện ban đầu: v( x, 0) = vt ( x, 0) =  Tk (0) = Tk  (0) =  ak (0) = bk (0) =  c1 = c2 =  Tk (t ) = ak (t).cos k t + bk (t).sin k t = = −1 k k t   k ( ).sin k cos k t +  k ( ).cos k sin k t d t  k ( ).sin k (t −  )d  Trong đó: f( x, t ) =   k (t ).cos k =0 (2k + 1) x 2l  (2k + 1) x A.e − t x (2k + 1) x  k (t ) =  A.e − t cos x cos dx = cos cos dx  l 2l 2l l 2l 2l l l x  cos 2l cos l (2k + 1) x l dx = với k = 2l 36   (t ) =  T0 (t ) = Ae−t l = Ae−t l t Ae  sin  (t −  )d với  = − a 2l du = −e − d u = e −   Đặt  dv = sin  (t −  )d v = cos  (t −  )   t −  e sin  (t −  )d = e −  = e − t − cos t  + t e  − t cos  (t −  ) + t  0 e − cos  (t −  ) d cos  (t −  )d du ' = −e − d u ' = e −  Đặt   −1 dv ' = cos  (t −  )d v ' = sin  (t −  )   t −  e cos  (t −  )d = −e− sin  (t −  ) t  − t  0 e − sin  (t −  )d t   e−t − cos t − = −  +  e cos  (t −  )d      0  t −t  − sin t e − cos t    − e cos  ( t −  ) d  = : 1 +    −  0        − sin t e −t − cos t   − sin t e−t − cos t = − = −  2 1+ 2 1+ 2    1+  − sin t A  e −t − cos t  − sin t e − t − cos t   T0 (t ) =  +  −      1+ 2 1+ 2   A  e −t − cos t  sin t e −t − cos t  = 2 − −    1+ 2 1+ 2  A  − cos t −  cos t + e −t + e −t −  sin t + cos t − e −t    2  1+ 2  −t A  − cos t + e  −  sin t  = 2    1+ 2  = Kết luận nghiệm toán là: 37 u( x, t ) = a A  −k cos t + e−t −  sin t  x với  =  cos  2l   1+  2l  utt − a uxx = f ( x, t ) = A.e −t (1) VD3: Tìm nghiệm phương trình sau:{ u ( x, 0) = s inx , ut ( x,0) =  (2) u (0, t ) = u (l , t ) = (3) Cách giải: Nghiệm toán tổng nghiệm hai hệ sau: vtt − a v xx = A.e − t w tt − a w xx = (𝐵) { v( x,0) = 0, vt ( x,0) = (𝐶) { w( x,0) = sinx, w t ( x,0) =  v(0, t ) = v(l , t ) = w(0, t ) = w(l , t ) =  Giải hệ (C): Sử dụng phương pháp tách biến kết hợp điều kiện biên ta có nghiệm hệ là:  w( x, t ) =  (ak cos k =1 ak ak k x t + bk sin t ) sin l l l Theo điều kiện ban đầu l  k x dx ak =  sin x.sin l l  w( x, 0) = sin x    l  w t ( x, 0) =  b =  sin k x dx  k ak  l  k x 1  k x   k x   0 sin x.sin l dx = 0 − cos  x + l  − cos  x − l   dx l l 1  k = −   cos 1 + 0 l  l   k  xdx −  cos  − l   l    xdx    l l 1 (l + k ) x (l + k ) x l (l − k ) x (l − k ) x l  = −   cos d −  cos d  0 l l l + k l l l − k  1 l (l + k ) x l l (l − k ) x l  =−  sin − sin 0  l + k l l − k l  l  sin(l + k ) sin(l − k )  =−  −  l + k l − k  38 l  sin(l + k ) sin(l − k )  sin(l − k ) sin(l + k )  ak = −  − = − l  l + k l − k  l − k l + k k x l k x l 2l 2l bk =  sin dx = − cos = − (cos k − 1) = 1 − (−1) k   ak l ak k l ak  ak  l  sin(l − k ) sin(l + k )  ak 2l ak − t + (1 − (−1) k ) sin  cos l − k l + k  l ak  l k =1    Vậy w( x, t ) =    Giải hệ (B): Nghiệm tổng quát (B) có dạng:   k =1 k =1 u( x, t ) =  uk (x, t ) =  Tk (t ).sin k x l Thay vào phương trình (1) ta phương trình:  Tk (t ) + a ( k ) Tk (t ) =  k (t ) l (với k=1,2,3 ) , đặt k = ( (*) k a ) l Trong đó:  k (t ) = k x Ae − t k x −t Ae sin dx = sin dx   l l l l l l = A.e − t −l k x l −2 A.e − t cos = ( cos k − 1) l k l k = A.e − t 1 − (−1) k  k Tk (t ) = k t   k ( ).sin k (t −  )d = A.e − 1 − (−1) k .sin k (t −  ) d k 0 k  t k t A 1 − (−1)  − = 0 e sin k (t −  )d k k Theo kết VD2:  e − t − cos t  − sin t e − t − cos t   − e sin  ( t −  ) d  = +  −   k 0    1+ 2 1+ 2    t 39  k x t  sin l  Tk (t ) = k A 1 − (−1)   e − t − cos k t +  k k  k k   −k sin k t e − t − cos k t   −   +  + k   k  A 1 − (−1) k   e −t − cos k t k sin k t e −t − cos k t  = − −   kk 1 + k + k   A 1 − (−1) k   − cos k t − k cos k t + e − t + e − tk − k sin k t + cos k t − e −t  =   kk + k   k − t 2 A 1 − (−1)   −k cos k t + e k − k sin k t  =   kk + k   Vậy nghiệm hệ (B) là: A 1 − (−1) k   −k cos k t + e −tk − k sin k t  k x v( x, t ) =    sin 2 kk + k l k =1    Kết luận ngiệm toán là: u( x, t ) = w( x, t ) + v( x, t )   sin(l − k ) sin(l + k )  ak 2l ak =   − t + (1 − (−1) k ) sin  cos l − k l + k  l ak  l k =1   k x t  sin l  A 1 − (−1) k   −k cos k t + e − tk − k sin k t  k x +   sin 2 kk + k l k =1    utt − a uxx = At sin VD4: Tìm nghiệm phương trình: x l u ( x, 0) = Ax, ut ( x, 0) = { u (0, t ) =  , u (l , t ) =  Cách giải: Nhận xét: Đây toán dao động sợi dây với độ lệch đầu mút so với vị trí cân ln số Với tốn ta biến đổi dạng tổng x l quát cách đặt hàm phụ w( x, t ) =  + (  −  ) Sao cho: u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t ) 40  vtt + w tt = a vxx + a wxx + Atsin  vtt = a vxx + a wxx + Atsin   x x l l − w tt  vtt = a 2vxx + Atsin x l u (0, t) = v(0, t) + w(0, t ) =   v(0, t) =  − w(0, t ) =  −  = u (l, t) = v(l, t) + w(l, t ) =   v(l, t) =  − w(l, t ) =  −  = u ( x, 0) = v(x, 0) + w(x, 0) = Ax  v(x, 0) = Ax − w(x, 0) = Ax −  − ut ( x, 0) = vt ( x, 0) + w t ( x, 0) =  vt ( x, 0) = vtt = a 2vxx + Atsin x l v(0, t) = , v(l, t) = Suy hệ: (A) { v(x, 0) = Ax −  − x (  −  ) , vt ( x,0) = l Nghiệm (A) nghiệm hệ sau: v(1)tt = a 2v(1) xx v( ) (0, t) = , v( ) (l, t) = (𝐵) { v(1) (x, 0) = Ax −  − v ( 2)tt = a v (C) ( 2) xx x (  −  ) , v(1)t ( x,0) = l + Atsin x l ( 2) v (0, t) = 0, v( 2) (l, t) = ( 2) ( 2) { v (x, 0) = , v t ( x, 0) = Giải hệ (B): Nghiệm tổng quát (B) có dạng: v(1) ( x, t ) = (ak cos ak ak k t + bk sin t ) sin x l l l Theo điều kiện ban đầu  x k x  dx  Ax −  − (  −  )  sin  l 0 l l  l ak = 2( − ) 2A k x 2 k x k x = x sin dx − sin dx − x sin dx    l l l l l l l l l 41 x ( − ) l Ta có: l  x sin k x −l k x l l k x dx = x cos + cos dx  l k l k l l −l l2 −l k = cos k + 2 sin k = ( −1) k k k (  −  ) −l 2 A −l 2 l k k ak = ( −1) + ( cos k − 1) − ( −1) l k l k l k ( ) k k −2 Al ( −1) 2 ( −1) − (  −  )( −1) = + + k k k  k k = − Al ( −1) + 2 ( −1) +  +     k k bk =  ak k k k − Al ( −1) + 2 ( −1) +  +   cos t sin x   l l k =1 k   v ( ) ( x, t ) =  Giải hệ (C):   k =1 k =1 Nghiệm hệ (C) có dạng: v(2) ( x, t ) =  v(2) (x, t ) =  Tk (t ).sin Thay vào phương trình v( 2)tt = a 2v  Tk (t ) + a ( k ) Tk (t ) =  k (t ) l ( 2) (*) xx + Atsin x ta phương trình: l (với k=1,2,3 ) (đặt k = x k x At l dx = = At với (k = 1) Trong đó:  k (t ) =  Atsin sin l l l l l T1 (t ) = t 1 0  ( ).sin 1 (t −  )d = t 1 0 A sin 1 (t −  ) d t t  A1  cos  ( t −  ) − cos 1 (t −  )d    1 1  1 1  t  A  t sin 1t  A  sin 1t  At =  + sin 1 (t −  )  =  + = t+ 1  1 1 12  12  1   1  1 = A k x l t   sin 1 (t −  )d = 42 ak ) l  v( ) ( x, t ) = A  sin 1t   x a với 1 = t+  sin  l 1  1  l Vậy v( x, t ) = v(1) ( x, t ) + v( 2) ( x, t )  ak k A k k − Al ( −1) − 2 ( −1) +  +   cos t sin x+   l l 1 k =1 k  = (với 1 =  sin 1t   x sin t + 1  l  a ) l Kết luận nghiệm toán là: u ( x, t ) = w( x, t ) + v( x, t ) x A  sin 1t   x   ak k k k =  + (  −  ) + t + + − Al ( −1) − 2 ( −1) +  +   cos t sin x  sin   l 1  1  l l l k =1 k VD5: Tìm nghiệm hệ sau: utt = a 2u xx + sin 2t với  x  L 2L sin 2t ux (0, t ) = , u x (L, t ) = sin a a { u ( x, 0) = , ut ( x, 0) = −2sin 2x a Cách giải: Tìm nghiệm hệ dạng: u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t )  Đặt w( x, t ) = f ( x) sin 2t Thay vào phương trình ta được: vtt + w tt = a (vxx + w xx ) + sin 2t  vtt − f ( x)sin 2t = a 2vxx + a f ( x)sin 2t + sin 2t  vtt = a2vxx + F ( x, t ) (*) với F ( x, t ) =  a f ( x) + f ( x) + 1 sin 2t Để phương trình (*) đơn giản, ta chọn: 43  a f ( x) + f ( x) + 1 sin 2t = F ( x, t ) = w x (0,t)=0 { w x (L, t ) = f ( x) + f (0)sin2t =0  2L sin sin 2t a a { f (L) sin 2t = 2L sin sin 2t a a f ( x) = − 2 a a f (0) =  { 2L sin a a f (L) = Giải phương trình f ( x) + f ( x) = M cos f ( x) = − M f ( x) = ta được: a2 2x 2x + N sin +P a a 2x 2x sin + N cos a a a a Kết hợp điều kiện: =0 N =0 a 2L 2x 2L f (L) = sin  − M sin = sin  M = −1 a a a a a a f (0) =  N  f ( x) = − cos f ( x) = 2x +P a 2x sin a a f ( x) = 2x cos a a Thay vào phương trình khơng 4 2x  2x  −1 f ( x) = −  cos +  − cos + P  = 2 a a a a a  a  a −1 P= f ( x) + Như vậy: w( x, t ) = −  cos  2x  +  sin 2t a 4 44 Ta có: w( x, 0) = 2x  2x  w t (x,t)= −  cos +  cos 2t  w t (x,0)= − cos − a 2 a  Từ điều kiện ban đầu: u ( x, 0) =  v( x, 0) + w( x, 0) =  v( x, 0) = 2x 2x ut ( x, 0) = −2 cos  vt ( x, 0) + w t ( x, 0) = −2 cos  vt ( x, 0) = a a  Từ ta suy hệ mới:  vtt − a vxx =  vx (0, t ) = vx (L, t ) =   v(x, 0) = 0.v t (x, 0) =  Giải hệ phương pháp tách biến v( x, t ) = X ( x).T (t ) với X ( x)  0, T (t )  Phương trình vtt − a 2vxx = tương đương: X ( x).T (t ) − a X ( x).T (t ) =   X ( x) +  X ( x) = X ( x) T (t ) = = −   2 X ( x) a T (t ) T (t ) + a  T (t ) = Áp dụng điều kiện biên (2), ta có: vx (0, t ) = X (0).T (t ) =  X (0) =    X (L) = vx (L, t ) = X (L).T (t ) = Phương trình X ( x) +  X ( x) = có nghiệm là: X ( x) = c1 cos  x + c2 sin  x X ( x) = −c1 sin  x + c2 cos  x 45 c2 = c1 sin l = Điều kiện biên cho ta:  Để phương trình khơng có nghiệm tầm thường thì: c1  đó: sin l =  l = k   = Vậy X k ( x) = Ck cos k l (với k = 0,1, 2,3, ) k x l Giải phương trình: T (t ) + (a )2 T (t ) = ak ak  T (t ) = Ak cos t + Bk sin t l l (với  = k ) l Vậy nghiệm tổng quát:   k =0 k =1 u ( x, t ) =  uk ( x, t ) = Qt + R +  (ak cos ak ak k x t + bk sin t ) cos l l l Xác định ak , bk , Q , R từ điều kiện ban đầu  k x  R + ak cos =0 v( x, 0) =   l   k =1  1  v ( x , 0) = k a k x t   Q+ b k cos =  l l k =0   R = ak =   R = ak = bk = L k x    b k = cos =0  k a l  Q =  Q =   v ( x, t ) = t Kết luận nghiệm toán u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t )  u ( x, t ) = t 1 2x  −  + cos  sin 2t 4 a  46 VD6: Cho sợi dây với đầu gắn chặt, q trình dao động kích thích cách truyền xung lực I vào điểm x0 Tìm dao động sợi dây, độ lệch ban đầu , tính lượng riêng dao động điều hòa Cách giải: Cho thời điểm ban đầu xung lực I phân bố đoạn x0 −   x  x0 +  Như vận tốc tác dụng lên đoạn là: v0 = I 2 với  mật độ khối lượng theo chiều dài sợi dây Nghiệm có dạng: n x0 4L I  n n x n at sin sin sin sin  2  →0  a 2 L L L L n =1 n u ( x, t ) = lim n  sin L I  n  L = lim  lim  →0  a 2  → n  L  n =1 n  L  n x0 2I n x n at = sin sin sin   a  n =1 n L L L   n x0 n x n at sin sin  sin L L L   Năng lượng dao động điều hòa thứ n bằng: E= n x0 L2 sin , M = L M L Nghiệm tìm cách đặt vận tốc ban đầu có dạng: ut ( x, 0) = I   ( x − x0 ) hàm Delta Dỉac 47 KẾT LUẬN Qua thời gian thực đề tài, với cố gắng thân với giúp đỡ giáo viên hướng dẫn, em hoàn thành đề tài đạt số kết sau:  Đề tài cập nhật số nội dung sau: - Xây dựng phương trình dao động sợi dây - Phân loại toán dao động sợi dây hữu hạn Dao động tự sợi dây hữu hạn Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn - Đưa cách giải với dạng giải số ví dụ cụ thể  Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]Nguyễn Chính Cương (2009), Bài tập phương pháp tốn lí, NXB ĐHSP Hà Nội [2]Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp tốn lí, NXB Giáo dục [3]Phan Huy Thiện, Tuyển tập tập phương trình tốn lý, NXB Giáo dục [4]Trần Viết Điền, Bài giảng Toán vật lý, ĐHSP Huế 48 49 ... Bài 3: DAO ĐỘNG CỦA DÂY HỮU HẠN Dao động tự sợi dây hữu hạn (Phương trình nhất)  Bài tốn 1: Xét sợi dây hữu hạn có chiều dài l, hai đầu mút dây bị gắn chặt Tìm dao động sợi dây, biết sợi dây có... hạn Bài 3: Dao động dây hữu hạn Phương trình Phương trình khơng Chương 3: Một số tập ví dụ Bài tập dao động dây dài vô hạn Bài tập dao động tự dây hữu hạn Bài tập dao động cưỡng dây hữu hạn PHẦN... PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY Phương trình dao động sợi dây phương trình sóng (phương trình Hypebolic) Xét sợi dây mảnh có độ dài l, căng ngang với hai đầu mút cố định, dây đàn hồi dao động bé