CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC A Lý thuyết chuyên đề A Trong trình giải toán thức bậc hai ta cần ý điều sau đây: Điều kiện để biểu thức A có nghĩa A �0 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa A �0 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa A > A Điều kiện để biểu thức B có nghĩa A �0 ; B > � � A �0 � � � � � �B �0 � �A �0 � � � � � �B �0 � AB � Điều kiện để biểu thức có nghĩa � � A �0 � � � � � � �B > � � � A �0 � � A � � � � �B < Điều kiện để biểu thức B có nghĩa � ( A) Ta ln có ( A) Tương tự 3 =A với điều kiện A �0 ( định nghĩa bậc hai) =A �A (khiA �0) A2 = A = � � � - A (khiA < 0) � Do Hằng đẳng thức 10 Ta có AB = A B A �0 ; B �0 AB = 11 12 B Tuy nhiên A A = B B A �0 B > A2 B = A B ( A ) = A2 ۳ A � A B ( khiA �0; B �0) � A B =� � � � - A - B ( khiA < 0; B < 0) (nếu B �0 ); C A B = A B ( A �0 B �0 ); A B =- A2 B (nếu A �0 B �0 ) A A B = B (nếu B > ) 13 Trục thức mẫu: B C A- B C = A- B D A + B A �0 B �0 ; A �B E C A+ B C = A- B A- B F ( A �0 B �0 ; A �B ) C A- B C = A - B2 G A + B ( A �0 ; A �B ) C A +B C = A - B ( A �0 ; A �B ) H A - B 14 Một số biến đổi a ) A = A A ( ) ( ) ( ) ( ) ( b) A � A = A ) A �1 ( c) A B �B A = A B d ) A- B = ( A- A+ B B e) A + B �2 AB = ( A� B ) ) ) ( A ) +( B ) = ( B =( A) - ( B ) =( f ) A A +B B = g) A A - B )( A� B 3 3 )( B ) ( A + A + B AA- ) AB + B ) AB + B 15 Một số phương trình bản: 2 I A = B � A = �B A2 = B � A = � B (với B �0 ) J 16 Một số bất phương trình bản: �A �0 � �A > � A �0 A � � � � � � � � �B �0 � �B �0 ; �B > � �B < ( A B K dấu) A �0 A A � A � � �0 � � >0 �� � � � � � � B �B > � �B < ; B �B > � �B < ( A B L dấu) � A �0 A � � � A.B �0 � � A.B < � � � � � � � � �B �0 � �B �0 ; �B < � �B > ( A B trái M dấu) �A �0 � �A > � A �0 A A ( A B trái dấu) N B Bài tốn tính giá trị biểu thức Bài 1: Thực phép tính: (2 a) c) ) - 40 + 90 : : 640 2a - b) ( ) ( 1- +1 - ) +2 a 128a với a �0 18a + Bài giải (2 a) ( ) ) 2 - 40 + 90 : : 640 = 5.2 - 10 + 10 : : 10 ( )( ( ) ) = 10 - 10 + 10 : : 10 =- 10 : 10 = b) ( ) +1 - = +1 = +1- c) 2a - ( ( 1- ) ) + = +1 - 1- - +2 (Vì - +2 3 >1 ) +1 + = = + 18a3 + a 128a = 2a 32.2.a a + a - 82.2.a = 2a - a 2a + 2a - 2a = 2a - 3a 2a ( Vì a �0 ) Bài 2: (GK I THCS Ngơ Sĩ Liên năm 2018- 2019) Tính: A = 18 - 50 + B = 27 - 3- + 3 C= 7+ 8- + Bài giải A = 18 - 50 + = 32.2 - 52.2 + 2.2 = - 10 + =1 3- 3 + = 32.3 - +13 3 B = 27 - C= 7+ = 7- 2- = 7- 2- 8- + ( ( ) = ( ) = ( Vì = 3 - +1 - ) 7- )( 7- 7+ 7- + = 77- + ( 2- ) - =1 - +1 + 7- 1+ >1 ) Bài 3: (GK I THCS Giảng Võ năm 2018- 2019) Thu gọn biểu thức sau: a) A = 12 - + ( ) +5 B = 54 + 28 - 24 - 63 2 b) C= c) 13 + + 4- 18 10 Bài giải A = 12 - + = 3- ( ) +5 + +5 = 3- = - 2.3 + + + = + +5 = ( 3- ) + +5 ( Vì > ) 5 B = 54 + 28 - 24 - 63 = 32.6 + 2.7 - 2.6 - 32.7 2 2 = 6 +5 - - = - Bài 4: (GK I THCS Tân Mai năm 2018- 2019) Thực phép tính: 48 - 75 a) 33 +5 11 b) +2 - c) 2a - 6- - 50a - a + 32a với a �0 Bài giải 48 - 75 a) 33 1 +5 = - 52.3 11 22 10 - 17 3 +5 =- + = 3 = - 10 - b) +2 - = ( 6- - ) ( +1 - = +1 - 11 +5 11 = + +1 - ) - - = +1 - +1 - ( Vì - +1 - 23 5- 1- >1 ) =0 c) 2a - 50a - a + 32a = 2a - 52.2a - a a + 42.2a = 2a - 2a - a a +16 2a =- 2a a +16 2a ( Vì a �0 ) Bài 5: (GK I THCS Nguyễn Tất Thành) Tính giá trị biểu thức: � A =� 28 � � � B= ( ) 12 - +1 + ( � 7� + 21 � � � � - - 4� � � �3 - ) � � � � +1� Bài giải � A =� 28 � � � 12 - ( + 21 =- 21 + 21 = = - 3- ) � � � 7� + 21 = 22.7 � � � � � � 22.3 - � 7� + 21 � � � B= ( ) +1 + 2 � - - 4� � � �3 - ( � � � � +1� ) = + + - - ( +1- +1 3- +1 = + + 2 - )( ( ) ) - - ( Vì > ) = +2 +4 - - = Bài 6: (GK I THCS Tây Hồ) Tính giá trị biểu thức: a) A = 18 - + C= c) +1 b) + 3- B= ( 16 25 + 144 81 ) 3- Bài giải 2 a) A = 18 - + = - 2 + = - + = 2 16 42 B= 25 + 144 = - + 122 = - +12 = 12 81 9 b) +1 C= c) = ( ( + 3- ) 3- )( +1 - ) ( 3- ( ) 3- ( ) +3 )( 3- ) +3 + 3- = - 2- ( Vì > ) = - + +3 +5 - = 3 +6 Bài 7: (GK I THCS Chu Văn An) Thực phép tính: a) ( 24 c) 48 - 21 + 48 - 6) +12 21 - 48 b) �1 � � � � �5 � 16 � + 5� : 20 � � � ( ) +5- +3 3- Bài giải a) ( 24 - 6) +12 = 48 - ( ( 22.6 - ) 42.3 - +12 ) = 6- 3- +12 = 12 - 18 - +12 = - 32.2 - +12 = - 12 +12 = b) �1 � � 16 � = � + 5� : 20 � � � � 5 � � �1 � � � � � 20 = + = 20 20 100 = 21 +12 - ( = ) - 1 + + = 100 = 10 21 - 48 = 21 + 42.3 - 21 + 48 - c) �1 42 � + 5� � � � � 20 21- 42.3 21 - 12 = 12 + 2.2 3.3 + - ( 2 +3 - ) 12 - 2.2 3.3 + 2 - = +3 - - = + - ( Vì > ) Bài 8: (GK I Quận Hà Đơng) Thực phép tính rút gọn: A= a) ( 3- ( 3- ) ( + ) +13 � � 10 75 � � B =� 45 20 + : � � � � 15 � � � b) Bài giải a) A= ) + ( ) +13 = 3- + +13 = - + +13 = 16 ) � � 10 � �3 75 � 75 � � � � B =� 45 20 + : = 5 + � � � � � � � � 15 � 15 � 10 � � � � b) ( ) = 5- 5+ 3 = =6 10 C Bài giải mẫu chuyên đề rút gọn Q= Bài 1: Cho biểu thức x + x - 10 x- x - x- x- ( x �0; x �9) x +2 (Vì > Rút gọn biểu thức Q Tính giá trị Q x = 16 Q= Tìm giá trị x Q> Tìm giá trị x cho Tìm giá trị lớn Q Bài giải mẫu Với x �0; x �9 = = = = x ( ( Q= x + x - 10 x- x +2 x - x + x - 10 ) x - +2 ( x + x - 10 )( x- x +2 x + x - 10 - ( ( ) x- ) x- x- - x- )( )( x- x + x - 10 - x + - ( )( x- x +2 Vậy với x �0; x �9 x- x- - ) ) x +3 Q= x +2 ) ( = ( ) x- x- )( x- 1 = = 16 + + Vậy x = 16 Q= ) x +2 x +2 Thay x = 16 ( thỏa mãn x �0; x �9 ) vào Q ta được: Q= x +2 x +2 x +2 - x +2 x- x- = x +2 Q= � 3 1 = � = x + � x =1 � x =1 x +2 ( thỏa mãn x �0; x �9 ) Vậy với x = Q> � Vì Q= 1 > � x +2 1 9- x - 7- x - >0 � >0 � > ( 1) x +2 x +2 x +2 x �0 với x �0; x �9 nên � ( 1) � - x + > với x �0; x �9 x > � x < � x < 49 � �x < 49 � � �x �9 Kết hợp với điều kiện x �0; x �9 nên � � �x < 49 � � Q> � x � 9 Vậy với � Vì x �0 với x �0; x �9 nên x +2 x + �2 với x �0; x �9 ‫ޣ‬ với x �0; x �9 Vậy Q đạt giá trị lớn x = ( thỏa mãn x �0; x �9 ) � 1 P =� + � � �x - x xBài 2: Cho biểu thức � x +1 � : � � x - x +1 với x > 0; x �1 1� Rút gọn biểu thức P Tìm x để P =- Tính giá trị P ( )( ) x - x - =0 Tính giá trị P x = - + +11 Tìm tất giá trị x để P< - x Q = + 3P x Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài giải mẫu � � P=� + �x x - x� Với x > 0; x �1 thì: ( = 1+ x x ( ) x- ( ) x- x +1 Vậy với x > 0; x �1 �x= ( ) = x- x P= x- x x � x =1 � x = ( thỏa mãn x > 0; x �1 ) x= Ta có ( x- =- � x - =x P= Vậy ) � � x +1 : � 1� x - � P =- �x = � x = loai ) �x - = � � ( � �� �� 1�� � � x = x = ( TM ) x = � x - x - =0 � � � � � )( ) - - P= = =- 1 1 x= 4 Với Ta có x = - + +11 = - 5.2 + + +11 2 < �x +3 � 2 >- � 13 x +3 B> Vậy với x > 0; x �9 2 > 1- = 3 x +3 Bài 87: ( Trích đề thi HK I Quận Hai Bà Trưng 2018- 2019) Cho hai biểu thức A= x +1 x +2 x- B= + x - x - x - x + với x �0; x �4; x �9 a) Tính giá trị biểu thức A x= b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm tất giá trị nguyên x để B < A Bài giải a) Với x= thỏa mãn x �0; x �4; x �9 1 +1 +1 x +1 � A= = =2 =- 1 x- - - 2 Vậy với x= A =- b) Với x �0; x �4; x �9 B= = x +2 x- x +2 x- + = + x - x - x +6 x - x - x - x +6 x +2 + x- x ( x- ) x- - ( ) x- = x +2 + x- ( x- )( x- x- ) = = ( ( = = x +2 ( )( ) x- + x- )( x- x- x + x - 12 )( x- x ( ( x- ) = ) )( x- x- ) ( )( x- ) ( x - 3) = ( 3)( x - 2) ( x- )( 3)( ) ) 2) x - +4 x- x +4 x- x- x- x +4 x- B0 x- x- x - 5- x +3 x - x +4 x - x - x +5 >0 � >0 � B Bài giải với a) Với x = 25 thỏa mãn điều kiện x �0; x �4; x �9 25 + = 25 - �B= Vậy với x = 25 B= b) Với x �0; x �4; x �9 x +3 x +2 x- x +3 + + = x - 3- x x - x +6 x- A= x +3 x- = = = ( x +2 + x- x )( x +3 ) ( x- - ( ( x- )( ) ( x- - x +2 x- )( x - 3- x +4 +2 x - ( x- ) x- )( = ( Vậy với x �0; x �4; x �9 c) � � x- ( ( ( ( x )( x +2 x- )( )( )( x- ) ) x- x +2 + x- ( ) x - +2 x - ) > x x- ( )( ) x- x x- )( x +2 � x- ) >0 � x- x- - x +3 x + x- ) x- ) x +3 x- x- A= A>B � x- = x +2 x- + x - x - x - x +6 ( ) x- x x- )( ) x- x - x - x +3 x +6 ( >0 F Câu hỏi phụ nâng cao Dạng 1: Tìm x để biểu thức nguyên Câu 1: ( Tuyển sinh Hà Nội 2016- 2017) x- )( ) x- - >0 x +2 >0 x- 2 x- )( x- ) x- x x - 24 B= + x- x + x- Cho hai biểu thức với x ≥ 0, x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 x +8 B= x +3 1) Chứng minh 2) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên A= A= x + với x �0 Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên? A= x- 2 x +1 với x �0 Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên? Câu 2: Cho biểu thức Câu 3: Cho biểu thức � 1 � x- � A =� + � � � � � x +2 x - � x với x �0; x �4 Tìm giá trị x Câu 4: Cho biểu thức 7A để có giá trị nguyên? P= Câu 5: Cho biểu thức nguyên? 2x + x + x với x > 0; x �1 Tìm giá trị x để P có giá trị Câu 6: ( Trích đề thi chung vào 10 Chu Văn An – Ams năm 2003- 2004) P= Cho biểu thức x2 - x x + x 2( x - 1) + x + x +1 x x- a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biểu thức Câu 7: Cho biểu thức Q= x P nhận giá trị nguyên B= x - x +2 x với x > 0; x �1 Tìm x để B nhận giá trị nguyên Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A= x +16 x + với x �0; x �1 Tìm giá trị nhỏ A A= x x +1 + x với x �0 Tìm giá trị lớn A Câu 1: Cho biểu thức Câu 2: Cho biểu thức A= 2019 x - x + 2018 với x �0 Tìm giá trị lớn A P= 2x + x + x với x > 0; x �1 So sánh P với Câu 3: Cho biểu thức Câu 4: Cho biểu thức A= Câu 5: Cho biểu thức A= Câu 6: Cho biểu thức A= Câu 7: Cho biểu thức A= Câu 8: Cho biểu thức 2x x - với x �8 Tìm giá trị x để A đạt giá trị nhỏ 2x x - với x �2019 Tìm giá trị x để A đạt giá trị nhỏ x x - với x > Tìm giá trị x để A đạt giá trị nhỏ x x - với x �2019 Tìm giá trị x để A đạt giá trị nhỏ Câu 9: Tìm giá trị lớn hàm số P= Câu 10: Cho biểu thức f ( x) = x2 x - x + 2019 x +1 x +2 x +1 x- x x - x + x +1 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị lớn biểu thức Q= + x P Câu 11: Tìm giá trị lớn biểu thức A= x - 20018 x - 2002 + x +2 x x- x +1 với x �0; x �1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= Câu 12: Cho biểu thức a) ( P = A xQ= b) c) R= x- ) A ( �x < 4) - x +3 x - x ( x >1) A x- x +1 với x �0; x �1 Tìm giá trị lớn biểu thức: A= Câu 13: Cho biểu thức C= a) B = - A b) B= Câu 14: Cho biểu thức thức: x - x +2 x với x > 0; x �1 Tìm giá trị nhỏ biểu b) D = B x a) B B= Câu 15: Cho biểu thức thức: E= c) B x x - x +2 x với x > 0; x �1 Tìm giá trị lớn biểu b) Q = 1- B x a) M =- - B C= Câu 16: Cho biểu thức thức: a) C với x > A x + với x >1 N= b) x x - với x > 0; x �4; x �9 Tìm giá trị nhỏ biểu -C x x với < x < 9; x �4 C= Câu 17: Cho biểu thức C H= x - 1+C thức: x x - với x > 0; x �4; x �9 Tìm giá trị lớn biểu Dạng 3: Bài tốn phương trình, bất phương trình A= x +3 x với x > 0; x �4; x �9 Tìm m để phương trình A = m có A= x- x +1 với x �0; x �1 Tìm x để: Câu 1: Cho biểu thức nghiệm Câu 2: Cho biểu thức a) A = c) A =A b) ( ) A( x +1) - - c) A + A �0 x = x - x - +1 B= Câu 3: Cho biểu thức x - x +2 x với x > 0; x �1 Tìm x để: B+ a) B = B x + +3 ( ) b) x = 3x - x +1 +10 C= Câu 4: Cho biểu thức a) C �0 b) x- �0 x C =- C x x - với x > 0; x �4; x �9 Tìm x để: c) (2 +C ) x - 3C = 3x - x - + c) ... � � � � b) ( ) = 5- 5+ 3 = =6 10 C Bài giải mẫu chuyên đề rút gọn Q= Bài 1: Cho biểu thức x + x - 10 x- x - x- x- ( x �0; x �9) x +2 (Vì > Rút gọn biểu thức Q Tính giá trị Q x = 16 Q= Tìm giá... 0; ;36� � � � �thì B �Z �4 � Vậy D Bài toán toán rút gọn biểu thức Bài 1: Với số thực x > x �16 , cho 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Rút gọn biểu thức B A = 3) Tìm x để B A= x x x +12... x �9 ) � 1 P =� + � � �x - x xBài 2: Cho biểu thức � x +1 � : � � x - x +1 với x > 0; x �1 1� Rút gọn biểu thức P Tìm x để P =- Tính giá trị P ( )( ) x - x - =0 Tính giá trị P x = - + +11 Tìm