BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHỊNG NGUYỄN BÁ THÀNH TÍNH TỐN NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ CỦA HỆ KHUNG CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP MÃ SỐ: 60.58.02.08 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỖ TRỌNG QUANG HẢI PHỊNG - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan đề tài “Tính tốn nội lực chuyển vị hệ khung có xét đến biến dạng trượt ngang phương pháp phần tử hữu hạn” đề tài nghiên cứu Những số liệu sử dụng phân tích luận văn hồn tồn trung thực có nguồn gốc rõ ràng Các kết nghiên cứu luận văn tơi tự tìm hiểu, phân tích cách trung thực, khách quan với thực tiễn Hải Phòng, ngày tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Bá Thành i LỜI CẢM ƠN Qua trình học tập nghiên cứu, giúp đỡ, thầy cô giáo trường Đại học Dân lập Hải Phòng, Khoa Đào tạo sau Đại học, tơi hồn thành chương trình học tập nghiên cứu luận văn với đề tài “Tính tốn nội lực chuyển vị hệ khung có xét đến biến dạng trượt ngang phương pháp phần tử hữu hạn” Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Đỗ Trọng Quang tạo điều kiện tận tình giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu đề tài Bên cạnh đó, tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ tơi tìm hiểu nghiên cứu tài liệu liên quan q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Mặc dù nỗ lực cố gắng để hồn thành luận văn thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi mặt tồn định Tôi mong nhận đóng góp ý kiến từ quý Thầy Cơ để hồn thiện tốt luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, ngày tháng Tác giả Nguyễn Bá Thành ii năm 2018 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỞ ĐẦU CHƯƠNG BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Bài toán học kết cấu 1.2 Các phương pháp giải 1.2.1 Phương pháp lực 1.2.2 Phương pháp chuyển vị 1.2.3 Phương pháp hỗn hợp phương pháp liên hợp 1.2.4 Phương pháp sai phân hữu hạn 1.2.5 Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1.1 Nội dung phương pháp phần tử hữa hạn theo mơ hình chuyển vị 2.1.2 Cách xây dựng ma trận độ cứng phần tử chịu uốn 26 2.1.3 Cách xây dựng ma trận độ cứng tổng thể kết cấu 29 CHƯƠNG TÍNH TỐN KHUNG PHẲNG CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 34 3.1 Lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt ngang 34 3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn tốn khung có xét đến biến dạng trượt ngang 40 3.2.1 Hàm nội suy phần tử 41 3.2.1.1 Hàm nội suy chuyển vị góc xoay hai nút đầu phần tử 41 3.2.1.2 Hàm nội suy lực cắt hai nút đầu phần tử 43 3.2.2 Ma trận độ cứng phần tử 44 iii 3.2.2.1 Trường hợp không xét biến dạng trượt ngang 44 3.2.2.2 Trường hợp có xét đến biến dạng trượt ngang 46 3.2.3 Ma trận độ cứng tổng thể 47 3.3 Các ví dụ tính tốn khung có xét đến biến dạng trượt ngang 48 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 72 KẾT LUẬN 72 KIẾN NGHỊ 73 Danh mục tài liệu tham khảo 74 iv MỞ ĐẦU Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp xây dựng dựa ý tưởng rời rạc hóa cơng trình thành phần tử nhỏ (số phần tử hữu hạn) Các phần tử nhỏ nối lại với thông qua phương trình cân phương trình liên tục Để giải tốn học kết cấu, tiếp cận phương pháp theo ba mơ hình gồm: Mơ hình chuyển vị, xem chuyển vị đại lượng cần tìm hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị phần tử; Mô hình cân bằng, hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố ứng suất hay nội lực phần tử mơ hình hỗn hợp, coi đại lượng chuyển vị ứng suất hai yếu tố độc lập riêng biệt Các hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị lẫn ứng suất phần tử Bài toán học kết cấu nói chung xây dựng theo bốn đường lối là: Xây dựng phương trình vi phân cân phân tố; Phương pháp lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp coi xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp phương pháp gần như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân Trong phương pháp phần tử hữu hạn dùng rộng rãi phổ biến tốn kỹ thuật nói chung tốn học kết cấu nói riêng Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạn để xây dựng giải toán khung phẳng chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng tải trọng tĩnh Mục đích nghiên cứu đề tài “Tính tốn khung phẳng chịu uốn có xét biến dạng trượt ngang chịu tác dụng tải trọng tĩnh phương pháp phần tử hữu hạn” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli lý thuyết dầm có xét đến biến dạng trượt ngang Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng để giải toán khung phẳng, chịu tác dụng tải trọng tĩnh tập trung Lập chương trình máy tính điện tử cho tốn nêu CHƯƠNG BÀI TỐN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong chương giới thiệu toán học kết cấu (bài toán tĩnh) phương pháp giải thường dùng 1.1 Bài toán học kết cấu Bài toán học kết cấu nhằm xác định nội lực chuyển vị hệ thanh, tấm, vỏ tác dụng loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…và chia làm hai loại: - Bài toán tĩnh định: tốn có cấu tạo hình học bất biến hình đủ liên kết tựa với đất, liên kết xếp hợp lý, chịu loại tải trọng Để xác định nội lực chuyển vị cần dùng phương trình cân tĩnh học đủ; - Bài toán siêu tĩnh: toán có cấu tạo hình học bất biến hình thừa liên kết (nội ngoại) chịu loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…Để xác định nội lực chuyển vị ngồi phương trình cân ta phải bổ sung phương trình biến dạng Nếu tính đến tận ứng suất, nói tốn học vật rắn biến dạng nói chung tốn học kết cấu nói riêng toán siêu tĩnh 1.2 Các phương pháp giải Đã có nhiều phương pháp để giải toán siêu tĩnh Hai phương pháp truyền thống phương pháp lực phương pháp chuyển vị Khi sử dụng chúng thường phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính Số lượng phương trình tùy thuộc vào phương pháp phân tích Từ phương pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần hay sử dụng H Cross G Kani Từ xuất máy tính điện tử, người ta bổ sung thêm phương pháp số khác như: Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp sai phân hữu hạn… 1.2.1 Phương pháp lực Trong hệ siêu tĩnh ta thay liên kết thừa lực chưa biết, giá trị chuyển vị hệ tương ứng với vị trí phương lực ẩn số thân lực nguyên nhân bên ngồi gây khơng Từ điều kiện ta lập hệ phương trình đại số tuyến tính, giải hệ ta tìm ẩn số từ suy đại lượng cần tìm 1.2.2 Phương pháp chuyển vị Khác với phương pháp lực, phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị nút làm ẩn Những chuyển vị phải có giá trị cho phản lực liên kết đặt thêm vào hệ thân chúng ngun nhân bên ngồi gây khơng Lập hệ phương trình đại số tuyến tính thỏa mãn điều kiện giải hệ ta tìm ẩn, từ xác định đại lượng lại Hệ phương pháp chuyển vị giới hạn giải toán phụ thuộc vào số phần tử mẫu có sẵn 1.2.3 Phương pháp hỗn hợp phương pháp liên hợp Phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp kết hợp song song phương pháp lực phương pháp chuyển vị Trong phương pháp ta chọn hệ theo phương pháp lực không loại bỏ hết liên kết thừa mà loại bỏ liên kết thuộc phận thích hợp với phương pháp lực; chọn hệ theo phương pháp chuyển vị không đặt đầy đủ liên kết phụ nhằm ngăn cản toàn chuyển vị nút mà đặt liên kết phụ nút thuộc phận thích hợp với phương pháp chuyển vị Trường hợp đầu hệ siêu tĩnh, trường hợp sau hệ siêu động Trong hai cách nói trên, tốn ban đầu đưa hai toán độc lập: Một theo phương pháp lực theo phương pháp chuyển vị 1.2.4 Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn thay hệ liên tục mơ hình rời rạc, song hàm cần tìm (hàm mang đến cho phiếm hàm giá trị dừng), nhận giá trị gần số hữu hạn điểm miền tích phân, giá trị điểm trung gian xác định nhờ phương pháp tích phân Phương pháp cho lời giải số phương trình vi phân chuyển vị nội lực điểm nút Thông thường ta phải thay đạo hàm sai phân hàm nút Phương trình vi phân chuyển vị nội lực viết dạng sai phân nút, biểu thị quan hệ chuyển vị nút nút lân cận tác dụng ngoại lực 1.2.5 Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân Kết hợp phương pháp sai phân với phương pháp biến phân ta có phương pháp linh động hơn: Hoặc sai phân đạo hàm phương trình biến phân sai phân theo phương biến phân theo phương khác (đối với toán hai chiều) 96  768 - 768  - 768 768 - 96  - 96 16  96 K e   - 96  96  0 - 0.0001  0.0001  96 0  - 96 0   - 0.0001 0.0001  16 0.0001 - 0.0001 0.0001 0   - 0.0001 0  - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu [K(49x49)], khơng trình bày kích thước ma trận lớn - Véc tơ lực nút{F}: Trong ví dụ véc tơ cột 49 dòng, sau: Sau có [K] {F}: ta thành lập hệ phương trình phương pháp phần tử hữu hạn, sau: [𝐾] = {F} Giải phương trình (e) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:  K  \ F  Kết chuyển vị, góc xoay nút Mơmen uốn dầm: Khi không xét đến biến dạng trượt ngang, h/l=1/100 (npt=16) ta có x 10 -4 X: 15 Y: 0.0001453 x 10 -3 -1 -2 -5 -3 -10 -4 -15 -5 X: Y: -0.005864 X: Y: -0.001948 -20 10 -6 12 14 16 Hình 3.9a Đường độ võng cột 62 10 12 14 Hình 3.9b Đường độ võng dầm 16 0.12 X: 16 Y: 0.104 X: 16 Y: 0.1355 0.15 X: Y: 0.104 0.1 0.1 X: Y: 0.07251 0.08 0.05 0.06 0.04 -0.05 0.02 -0.1 -0.04 X: Y: -0.1302 -0.15 -0.02 X: Y: -0.03674 -0.2 10 12 14 16 10 12 14 16 Hình 3.10a Biểu đồ mơmen cột Hình 3.10b Biểu đồ mơmen dầm Khi xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang, trường hợp (h/l=1/3) ta nhận kết sau: x 10 -3 -0.5 -0.002 -1 -1.5 -0.004 -2 -0.006 -2.5 -3 -0.008 -3.5 -4 -5 -0.01 X: Y: -0.004603 -4.5 X: Y: -0.01154 -0.012 10 12 14 16 10 12 14 16 Hình 3.11b Đường độ võng dầm Hình 3.11a Đường độ võng cột 0.12 0.15 X: Y: 0.104 0.1 0.08 X: 16 Y: 0.1335 0.1 X: 16 Y: 0.104 X: Y: 0.07448 0.05 0.06 0.04 -0.05 0.02 -0.1 -0.02 -0.04 X: Y: -0.1312 -0.15 X: Y: -0.03576 10 12 14 Hình 3.12a Biểu đồ mômen cột Nhận xét kết trên: 16 -0.2 10 12 14 16 Hình 3.12b Biểu đồ mơmen dầm Khi chia cột dầm thành 16 phần ta nhận kết trên, so sánh với kết theo lời giải giải tích có ta nhận sai số theo bảng sau: 63 BẢNG SO SÁNH MÔMEN UỐN TẠI CÁC TIẾT DIỆN CỘT VÀ DẦM Các tiết diện Lời giải số theo Lời giải số theo Chênh lệch phương pháp phương pháp khơng có xét cột dầm PTHH PTHH (h/l=1/3) BDTN (%) (h/l=1/100) Chân cột -0,0725 -0,0745 2,75 Giữa cột 0,0367 0,0367 Đầu cột -1,0400 -1,0400 Giữa dầm 0,1302 0,1312 0,76 Đầu phải dầm -0,1355 -0,1336 1,40 Ta thấy chênh lệch hai trường hợp khơng có xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang không đáng kể Ví dụ 3.3: Khung siêu tĩnh bậc 2, hình 3.13 Xác định nội lực chuyển vị khung chịu lực hình 2, độ cứng uốn EJ=const P Hình 3.13 Khung siêu tĩnh bậc SO DO DAM NGANG SO DO AN LUC CAT nqx2 SO DO AN LUC CAT 51 53 54 55 56 57 58 59 33 34 35 36 37 38 39 52 32 SO DO AN GOC XOAY nwx2 45 46 47 48 49 50 31 SO DO AN GOC XOAY SO DO COT PHAI SO DO AN CHUYEN VI 44 25 26 27 28 29 30 SO DO AN CHUYEN VI 24 43 nút3 nw3 nwx3 nqx3 SO DO NUT COT PHAI nw2 40 40 41 41 42 42 21 21 22 22 23 23 CHIEU DAI PHAN TU 0 nút2 SO DO NUT DAM 20 SO DO AN LUC CAT 14 15 16 17 18 19 13 10 11 12 SO DO AN GOC XOAY SO DO AN CHUYEN VI 3 2 SO DO NUT COT TRAI 1 SO DO COT TRAI nút1 nw1 nwx1 nqx1 4 3 CHIEU DAI PHAN TU Hình 3.14 Sơ đồ rời rạc kết cấu Rời rạc hóa kết cấu dầm thành npt phần tử, hình 3.14 Các nút phần tử phải trùng với vị trí đặt lực tập trung, hay vị trí thay đổi tiết diện, chiều dài phần tử khác 64 Mỗi phần tử có ẩn 𝑤1 , 1 , 𝑤2 , 2 , 𝑄1, 𝑄2 npt phần tử rời rạc tổng cộng có 6xnpt ẩn Khi chia khung thành phần tử thì: ta có ẩn chuyển vị nwi, góc xoay nmxi, lực cắt nqxi sau: nw1 =[ 1 2 3 nwx1 =[5 10 11 nqx1 =[13 14 15 nw2 =[0 21 21 16 22 17 22 4] 18 23 12] 19 20] 23 0] nwx2 =[24 25 26 27 28 29 30 31] nqx2 =[32 33 34 35 36 37 38 39] nw3 =[0 40 40 41 41 42 42 43] nwx3 =[44 45 46 47 48 49 50 51] nqx3 =[52 53 54 55 56 57 58 59] Sau biết ẩn số thực dầm cột ta xây dựng ma trận độ cứng tổng thể khung có kích thước K(nxn), ví dụ K(59X59) Bây xét điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện liên tục góc xoay phần tử viết sau:  dy Q    dy Q   i  5( npt  1)       dx GF   dx GF  nut phan tu truoc nut phan tu sau   i   (a) Trong toán ta chia thành phần tử nên i=3(4-1)=9 điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện biên viết sau: - Tại đầu ngàm chân cột trái 1, cột phải có góc xoay khơng:  dy1 Q1   0    dx GF  nut1 phan tu   10    dy3 Q3   0    dx GF  nut phan tu   11   65 (b) Điều kiện mômen nút khớp bên trái góc xoay nút cứng giao cột dầm viết sau: Mômen nút cuối phần tử đầu cột momen nút đầu phần tử dầm khơng Góc xoay nút cuối phần tử đầu cột phải góc xoay nút cuối phần tử cuối dầm   d y1 12     dx   d y2  dQ2   0   GF dx  nut  dx2 GF dx  nut1   dQ1   dy3 Q3   dy Q             dx GF  nut2  dx GF  nut2  13   (c) Điều kiện chuyển vị ngang đầu cột trái 1, cột cột phải nhau: 14 y1 nut2  y3 nut2   Trong k(k=114) ẩn số tốn (có k ẩn số ), tổng số ẩn số tốn lúc (n+k), ma trận độ cứng phần tử lúc phải thêm k dòng k cột kích thước ma trận độ cứng tổng thể K  n  k,n  k  Chẳng hạn ví dụ này, ta có n=98, k=24 tổng số ẩn toán n+k=59+14=73 ẩn Trong trường hợp ta xác định kích thước ma trận độ cứng tổng thể là: K[73x73] Như cuối ta thiết lập phương trình: K  F  66 (d)  F1        so  hang  n   Fn   đó: F   ;  0    so  hang  k        1     1         n  1  2      k  ẩn số toán Trong ví dụ 3.1 chia thành phần tử, h/l=1/100 (không xét biến dạng trượt ngang) ta có: - Ma trận độ cứng phần tử [Ke(6x6)], sau: 96  768 - 768  - 768 768 - 96  - 96 16  96 K e   - 96  96  0 - 0.0001  0.0001  96 0  - 96 0   - 0.0001 0.0001  16 0.0001 - 0.0001 0.0001 0   - 0.0001 0  - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu [K(122x122)], khơng trình bày kích thước ma trận lớn - Véc tơ lực nút{F}: Trong ví dụ véc tơ cột 122 dòng, sau: Sau có [K] {F}: ta thành lập hệ phương trình phương pháp phần tử hữu hạn, sau: [𝐾] = {F} Giải phương trình (e) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:  K  \ F  67 Kết chuyển vị, góc xoay nút Mơmen uốn dầm: - Khi không xét đến biến dạng trượt ngang, h/l=1/100 Dưới lần đường độ võng biểu đồ mômen uốn cột dầm x 10 -0.005 -3 -1 -2 -0.01 -3 X: Y: -0.01564 -0.015 -4 -0.02 -5 X: 16 Y: -0.02088 -0.025 10 12 14 X: Y: -0.005178 -6 16 10 12 14 16 Hình 3.15b Đường độ võng dầm Hình 3.15a Đường độ võng cột trái 0.15 0.3 X: X: 16 Y: 0.1248 Y: 0.2501 0.25 0.1 0.2 0.15 0.05 0.1 0.05 0 -0.05 -0.05 X: Y: -0.1249 -0.1 -0.15 X: Y: -0.06258 -0.1 10 12 14 16 10 12 14 16 Hình 3.16b Biểu đồ mơmen dầm Hình 3.16a Biểu đồ mômen cột trái 0.15 X: 0.1 Y: 0.125 -0.005 0.05 X: Y: -0.01042 -0.01 -0.05 -0.015 -0.1 -0.02 X: 16 Y: -0.02088 -0.025 10 12 14 X: 16 Y: -0.1248 -0.15 -0.2 16 Hình 3.15c Đường độ võng cột phải 10 12 14 Hình 3.16c Biểu đồ mơmen cột phải 68 16 Nhận xét kết trên: - Khi không xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang (trường hợp h/l=1/100) Khi chia cột dầm thành 16 phần ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau: BẢNG SO SÁNH MÔMEN UỐN TẠI CÁC TIẾT DIỆN CỘT VÀ DẦM Các tiết diện Lời giải số theo Lời giải cột 1,3 dầm phương pháp xác Sai số % PTHH (h/l=1/100) Chân cột -0,2501 -0,2500 0,04 Giữa cột 0,1249 0,1250 0,08 Giữa dầm 0,0625 0,0625 Đầu phải dầm -0,1248 -0,1250 0,16 Đầu cột -0,1248 -0,1250 0,16 Chân cột 0,1250 0,1250 Ta thấy kết nhận gần trùng khớp với lời giải xác - Khi xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang (trường hợp h/l=1/3), ta nhận kết sau: 0 x 10 -3 -1 -0.005 -2 -0.01 -3 -4 -0.015 -5 -0.02 -6 X: Y: -0.0242 -7 X: 16 Y: -0.02712 -0.025 -0.03 -9 10 12 14 X: Y: -0.008128 -8 16 Hình 3.17a Đường độ võng cột trái 69 10 12 14 16 Hình 3.17b Đường độ võng dầm 0.15 0.3 X: Y: 0.2521 0.25 X: 16 Y: 0.1221 0.1 0.2 0.15 0.05 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 X: Y: -0.06396 -0.05 X: Y: -0.124 10 12 14 16 -0.1 Hình 3.18a Biểu đồ mơmen cột trái 10 12 14 16 Hình 3.18b Biểu đồ mômen dầm 0.15 X: 0.1 Y: 0.1259 -0.005 0.05 -0.01 X: Y: -0.01332 -0.015 -0.05 -0.02 -0.1 X: 16 Y: -0.02712 -0.025 -0.03 10 12 14 X: 16 Y: -0.1221 -0.15 16 -0.2 10 12 14 16 Hình 3.18c Biểu đồ mơmen Hình 3.17c Đường độ võng cột phải cột phải BẢNG SO SÁNH MÔMEN UỐN TẠI CÁC TIẾT DIỆN CỘT VÀ DẦM Các tiết diện Lời giải số theo Lời giải số theo Chênh lệch phương pháp phương pháp khơng có xét cột 1,3 dầm PTHH PTHH BDTN (%) (h/l=1/100) (h/l=1/100) Chân cột -0,2501 -0,2521 0,80 Giữa cột 0,1249 0,1240 0,72 Giữa dầm 0,0625 0,0639 2,24 Đầu phải dầm -0,1248 -0,1221 2,16 Đầu cột -0,1248 -0,1221 2,16 Chân cột 0,1250 0,1259 0,72 70 Mômen thay đổi không đáng kể hai trường hợp khơng xét có xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang, bảng 3.3 BẢNG SO SÁNH ĐỘ VÕNG TẠI CÁC TIẾT DIỆN CỘT VÀ DẦM Các tiết diện Lời giải số theo Lời giải số theo Chênh lệch phương pháp phương pháp khơng có xét cột 1,3 dầm PTHH PTHH (h/l=1/3) BDTN (%) (h/l=1/100) Đầu cột 0,0208 0,0271 30,28 Giữa cột 0,0156 0,0242 55,12 Giữa dầm 0,0052 0,0081 55,76 Đầu cột 0,0208 0,0271 30,28 Giữa cột 0,0104 0,0133 27,88 Khi xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt độ võng tăng lên lớn, lớn dầm (55,76%), nhỏ cột (27,88%) 71 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chương, chương đến chương toán khung phẳng có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng tải trọng tĩnh Tác giả rút kết luận sau: Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, tác giả xác định nội lực chuyển vị khung siêu tĩnh chịu tác dụng tải trọng tĩnh có điều kiện biên khác Kết nội lực chuyển vị trùng khớp với kết nhận giải phương pháp có tăng số lượng phần tử lên lớn 16 phần tử Ảnh hưởng việc xét biến dạng trượt ngang đến kết nhận được, phụ thuộc vào toán, cách đặt tải, loại tải trọng điều kiện liên kết hay đối xứng , chẳng hạn ví dụ 3.1 ta thấy kết nhận hai trường hợp khơng xét có xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang (h/l=1/3) mômen uốn thay đổi tương đối lớn, hầu hết tăng đa số tiết diện, tăng lớn đầu phải dầm 2, tăng (47,08%) Nhưng ví dụ 3.2 3.3 ta thấy mômen thay đổi không đáng kể hai trường hợp, có khơng xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang Khi không xét đến biến dạng trượt ngang (h/l=1/100) hay (h0) kết hội tụ theo lý thuyết dầm truyền thống (lý thuyết dầm Euler Bernoulli) Khi rời rạc hóa kết cấu với số phần tử nhiều kết tiệm cận tới kết xác nhận từ phương pháp giải tích Đối với tốn khung chịu tải trọng tập trung để đạt nội lực xác cần chia dầm thành phần tử Trong ví dụ 3.3 cho thấy nội lực M khung hai trường hợp có không xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt, thay đổi không đáng kể, chuyển vị tiết diện khung thay đổi tương đối lớn, lớn tiết diện dầm (55,76 %) Điều cho thấy kết tốn khơng ảnh hưởng đáng kể đến toán bền, lại ảnh hưởng lớn đến toán cứng 72 KIẾN NGHỊ Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán khác như: Dầm, khung, dàn, tấm, vỏ Nội dung nghiên cứu làm tài liệu tham khảo, nghiên cứu, học tập ứng dụng thực tế thiết kế kết cấu cơng trình 73 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt [1] Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình (2010), Cơ học cơng trình, Nhà xuất xây dựng [2] Lều Thọ Trình (2000), Cơ học kết cấu, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [3] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [4] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [5] Nguyễn Trâm (2007), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất xây dựng [6] Đinh Văn Phong (2006), Phương pháp số học, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [7] Đồn Văn Duẩn (2015), Bài tốn học kết cấu dạng tổng quát, Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) [8] Đoàn Văn Duẩn (2015), Phương pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) [9] Đồn Văn Duẩn (2015), Tính tốn kết cấu khung chịu uốn phương pháp so sánh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) [10] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Người dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội IIi Tiếng Anh [11] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr 74 [12] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái lần thứ 5) Stanley Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang [13] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [14] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [15] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [16] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [17] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) [18] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGrawHill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1979), 560 trang [19] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt [20] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements, J ‘Computers @ Structures’,84, trg 476-484 [21] C.A.Brebbia, Techniques Theory J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [22] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [23] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional Static and 75 Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January [24] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on “Numerical and Computer Method in Structural Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [25] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press [26] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London [27] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London [28] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall 76 ... TÍNH TỐN KHUNG PHẲNG CĨ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 34 3.1 Lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt ngang 34 3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn toán khung có. .. phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp phương pháp gần như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến. .. chuyển vị Sau luận văn trình nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị 2.1.1 Nội dung phương pháp phần tử hữa hạn theo mơ hình chuyển vị Trong phương pháp phần tử hữu hạn - mơ