SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN (dành cho các thí sinh thi Chuyên Toán) Ngày thi: 30/6/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 1,5 điểm Chứng minh : 1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015 Bài 2 1,5 điểm Chứng minh rằng phương trình 2013x 2 + 2 = y 2 không có nghiệm nguyên. Bài 3 1 điểm Kí hiệu [x] dùng để chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x . Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 … Hãy giải phương trình 4 3x 5x 5 57      Bài 4 2 điểm Cho biểu thức 3 11 1 1 1 xx P x x x x x          a. Tìm x để P > 0 b. Tìm giá trị của P khi 53 9 2 7 x   Bài 5 1 điểm Ta viết dãy phân số 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 Hỏi phân số 2012 2013 đứng ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy trên. Bài 6 1,5 điểm Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Gọi K là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AD ( K không trùng với A hoặc D), gọi K 1 ,K 2 ,K 3 ,K 4 lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB. Chứng minh K 1 là trực tâm của tam giác K 2 K 3 K 4 . Bài 7 1,5 điểm Trong hình tròn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vuông góc AE và BF. Trên cung nhỏ EF lấy điểm C. Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi Q là giao điểm của AE và CB. Chứng minh diện tích của tứ giác APQB bằng R 2 . … Hết… Họ và tên: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013 Bài 1 1,5 điểm Chứng minh : 1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015 Giải: 1008.1009….2013.2014 = (2015-1007)(2015-1006)…(2015-2)(2015- 1) = A.2015 – 1007.1006…3.2.1 =>ĐPCM Bài 2 1,5 điểm Chứng minh rằng phương trình 2013x 2 + 2 = y 2 không có nghiệm nguyên. Giải : Nhận thấy rằng x và y cùng tính chẵn, lẻ. +) y chẵn : VP ≡ 0(mod4), VT ≡ 2(mod4) +) y lẻ : VP ≡ 1(mod8),VT ≡ 7(mod8) Bài 3 1 điểm Kí hiệu [x] dùng để chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 … Hãy giải phương trình 4 3x 5x 5 57      Giải:Phương trình đã cho tương đương với 4 3x 5x 5 9 53 10 5x 5 5 01 5 7 23 46 23 7 46 5x 5 5x 5 5x 5 7 7 7 x                                         5x 5 01 7 x     Bài 4 2 điểm Cho biểu thức 3 11 1 1 1 xx P x x x x x          c. Tìm x để P > 0 d. Tìm giá trị của P khi 53 9 2 7 x   Giải: Rút gọn P = 21xx với điều kiện x > 1. a. P > 0  ( 1) 2 1 1 0xx      2 ( 1 1) 0x     1 1 0x     x ≠2 Vậy P > 0 khi x lớn hơn 1, x khác 2. b. P = 7 ( 2 53 53(9 2 7) 9 2 7 ( 7 1) 1) 81 28 9 2 7 x           Bài 5 1 điểm Ta viết dãy phân số 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 Hỏi phân số 2012 2013 đứng ở vị trí thứ mấy trong dãy trên. Giải: Ta phân chia dãy đã viết thành các nhóm như sau: nhóm thứ nhất có 1 phân số, nhóm thứ hai có 2 phân số, nhóm thứ ba có 3 phân số,… Phân số thứ nhất (thuộc nhóm thứ nhất) có tổng của tử và mẫu bằng 2, hai phân số tiếp theo (thuộc nhóm thứ hai) có tổng của tử và mẫu bằng 3, ba phân số tiếp theo (thuộc nhóm thứ ba) có tổng của tử và mẫu bằng 4, bốn phân số tiếp theo (thuộc nhóm thứ bốn) có tổng của tử và mẫu bằng 5… Như vậy, phân số 2012 2013 ở vị trí thứ 2013 trong nhóm các phân số có tổng của tử và mẫu bằng 4025 ( bằng 2012 + 2013), tức là nhóm các phân số 4024 4023 4022 2012 3 2 1 ; ; ; . ; . ; ; 1 2 3 2013 4022 4023 4024 . Số các phân số từ phân số thứ nhất cho đến nhóm này là 1 + 2 +…+ 4023 = 4023.4024 4023.2012 2  . Vậy phân số 2012 2013 ở vị trí thứ 4023.2012 + 2013 = 8096289 trong dãy Bài 6 1,5 điểm Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Gọi K là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AD ( K không trùng với A hoặc D), gọi K 1 ,K 2 ,K 3 ,K 4 lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB. Chứng minh K 1 là trực tâm của tam giác K 2 K 3 K 4 . Giải: Gọi I là giao của KC và K 3 K 4 . Kẻ K 2 K 1 cắt K 3 K 4 tại E. ĐPCM  K 2 E vuông góc với K 3 K 4. Vì tứ giác AK 1 KK 2 nội tiếp nên góc K 1 K 2 K= góc K 1 AK. (1) Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên góc K 1 AK= góc KCK 3 (2) Vì tam giác IKK 3 cân nên góc IKK 3 = góc IK 3 K (3) Vì tam giác KCK 3 vuông nên góc IKK 3 + góc KCK 3 = 1v (4) Từ (1), (2), (3),(4) có góc EK 2 K 3 + góc EK 3 K 2 = 1v hay góc K 2 EK 3 = 1v Bài 7 1,5 điểm Trong hình tròn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vuông góc AE và BF. Trên cung nhỏ EF lấy điểm C. Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi Q là giao điểm của AE và CB. Chứng minh diện tích của tứ giác APQB bằng R 2 . Giải: ĐPCM  2 . 2 AQ BP R Tacó 0 ( 45 , dA ) 2 ABP QAB QAB ABP s cung C APB QBA          Từ đó AB BP AQ BA  hay AQ.BP = 2R 2 vì 2AB R Ghi chú : Học sinh giải đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm cần thảo luận kỹ về thang điểm cho từng phần để thống nhất trong quá trình chấm. A B C D ∙ K K 4 K 1 K 3 K 2 . I E E A B F . C P Q . nh m như sau: nh m thứ nhất có 1 phân số, nh m thứ hai có 2 phân số, nh m thứ ba có 3 phân số,… Phân số thứ nhất (thuộc nh m thứ nhất) có tổng của tử và m u. … Hết… Họ và tên: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CH M ĐỀ THI M N TOÁN CHUYÊN N M HỌC 2012-2013 Bài 1 1,5 đi m Chứng minh : 1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014