Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (23 đề + đáp án chi tiết)

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (23 đề + đáp án chi tiết);Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (23 đề + đáp án chi tiết);ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 01 ĐỀ BÀICâu 1: (4,0 điểm)Cho biểu thức 1) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. 2) Rút gọn A. 3) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 +2x –2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?Câu 2: (4,0 điểm)1. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức .2. Giải phương trình sau: Câu 3: (4,0 điểm)1. Tìm các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn: 2. Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn: . Chứng minh rằng: chia hết cho 84Câu 4: (6,0 điểm) 1. Hình thang ABCD (AB CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.a. Chứng minh rằng .b. Biết SAOB= 20182 (đơn vị diện tích); SCOD= 20192 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định điểm M trong tam giác sao cho tổng các bình phương các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (2,0 điểm)Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 01.CâuNội dungĐiểm11. Tìm đkxđ A1,25 Điều kiện: x y; y 0 2. Rút gọn biểu thức A:A = 2x (x+y)2,03. Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2. + A = 2 khi + A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: + Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 20,250,250,2521. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức .2,0 0,5Đặt , biểu thức P(x) được viết lại: 1,0Do đó khi chia cho t ta có số dư là 2004. Vậy dư cần tìm là 20040,52.Giải phương trình sau: 2,0Đặt: 0.25Phương trình đã cho trở thành: 0.5Khi đó, ta có: 0.5 .0.5Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .0.2531. Tìm các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn: 2,0Đặt M = = = = = = Với x = 0 thì M = 0 y = 0 Với x = 1 thì M = 4 y = 2 Với lập luận được không chính phương.Vậy có 2 cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn là (0; 0) và (1; 2).0,50,250,250,750,252. Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn : . Chứng minh rằng: chia hết cho 842,0 Nhận xét :1) Số chính phương khi chia cho 3 và chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.2) Số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0, 1, 2, 4. Ta chứng minh chia hết cho 3, 4, 7.0,25 Giả sử xy không chia hết cho 3 thì x, y đều không chia hết cho 3, khi đó x2 và y2 chia cho 3 đều dư 1, khi đó chia cho 3 dư 2, vô lí.Nên xy chia hết cho 3. (1)0,25 Giả sử xy không chia hết cho 4 thì x, y đều không chia hết cho 4; x và y đồng thời không chia hết cho 2. Có hai trường hợp xảy ra :0,25 Nếu x, y đều lẻ thì x2 và y2 chia cho 4 đều dư 1, khi đó chia cho 4 dư 2, vô lí.0,25 Nếu x, y có một số chẵn, một số lẻ thì z là số lẻ. Giả sử: ( vô lí)Suy ra xy chia hết cho 4. (2)0,25 Giả sử không chia hết cho 7. Khi đó x2 và y2 đều không chia hết cho 7 và không có cùng số dư khi chia cho 7.0,25 Nếu x2 chia cho 7 dư 1 còn y2 chia cho 7 dư 2 hoặc ngược lại thì z2 chia cho 7 dư 3, vô lí.0,25 Nếu x2 chia cho 7 dư 1 còn y2 chia cho 7 dư 4 hoặc ngược lại thì z2 chia cho 7 dư 5, vô lí. Nếu x2 chia cho 7 dư 2 còn y2 chia cho 7 dư 4 hoặc ngược lại thì z2 chia cho 7 dư 6, vô lí.Nên chia hết cho 7. (3)Từ (1) (2) (3) suy ra chia hết cho 840,25416đ a) Xét có (1), xét có (2)Từ (1) và (2) OM.( ) Chứng minh tương tự ON. Từ đó có (OM + ON). 0.50.50.50.5b) , Dễ có SABD = SABC vì có chung cạnh đáy AB và chiều cao tương ứng.Chứng minh được Thay số ta có: 20182.20192 = (SAOD)2 SAOD = 2018.2019Do đó SABCD = SAOB + +SCOD = 20182 + 2018.2019 +2018.2019 + 20192= 20182 + 2.2018.2019 + 20192 = (2018 + 2019)2 = 40372 (đơn vị diện tích)0.50.51.0 2. Kẻ đường cao AH, giả sử tìm được vị trí điểm M như hình vẽ.Từ M hạ ME, MF, MG, MI lần lượt vuông góc với AB, AC, BC, AHTa có: ME2 + MF2 + MG2 = AM2 + MG2 = AI2 + IM2 + MG2 AI2 + IH2 . Dấu “=” xảy ra khi M thuộc AH (1)Lại do AI2 + IH2 = (AHIH)2 + IH2 = AH2 – 2HA.IH + 2IH2 = AH2 (2HA.IH 2IH2 ) = AH2 2IH.(HA IH ) = AH2 – 2AI. IH Do AH không đổi nên ME2 + MF2 + MG2 nhỏ nhất khi AI. IH lớn nhấtMà AI + IH = AH không đổi nên AI.IH lớn nhất khi AI = IH = (2)Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của AH.0.50.50.50.55Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2,0Ta có: . Theo bất đẳng thức Cô si thì (do y > 0)Suy ra Tương tự, ta có: Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có . Mặt khác theo bất đẳng thức Cô si, ta có: . Vì . Khi đó: Vậy 0,250,250,50,50,250,25Chú ý: Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 02 ĐỀ BÀICâu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức A = a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.b) Rút gọn biểu thức A.c) Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị dương.Câu 2. (4,0 điểm): a) Giải phương trình: b) Tìm các số nguyên x, y sao cho: 3x2 + 4y2 = 6x +13Câu 3. (3,0 điểm): a) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho: (Với n ; n >2).b) Cho M = với x > 0. Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.Câu 4. (5,0 điểm): Cho tam giác đều ABC, E là một điểm thuộc cạnh AC và không trùng với A, K là trung điểm của đoạn AE. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với đường thẳng AB tại F cắt đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng BC tại điểm D.a) Chứng minh tứ giác BCKF là hình thang cân.b) Chứng minh: EK.EC = ED.EFc) Xác định vị trí của điểm E sao cho đoạn KD có độ dài nhỏ nhất.Câu 5. (2,0 điểm): Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, gọi I là điểm bất kì trên cạnh BC. Đường thẳng đi qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng đi qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh: DE = BK.Câu 6. (2,0 điểm): Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 02CâuNội dungBiểu điểmCâu 1.(4,0 điểm)a) (1,0 điểm):Ta có A = = ĐK: x ; x 0b) (1,5 điểm):Với điều kiện ở câu a ta có:A = = = = c) (1,5 điểm) : A > 0 Vậy 1,0đ1,5đ0,5đ1,0đCâu 2.(4,0 điểm)a) (2,0 điểm): Đặt (ĐK: ) không tm điều kiện. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.b) (2,0 điểm): Biến đổi 3x2 + 4y2 = 6x +13 3(x1)2 = 16 – 4y2 = 4(4 – y2 ) Vì VT 0 nên VP 0 suy ra (4 – y2 ) 0 Suy ra y Thay lần lượt các giá trị của y ta tìm được các cặp nghiệm sau:(x,y) 0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ0,5đCâu 3.(3,0 điểm)a) (1,5 điểm): Ta có : = 100a + 10b + c = n2 1 = 100c + 10b + a = (n 2)2 99(a c) = n2 1 n2 + 4n 4 = 4n 5 4n 5 99 ( do a c là số nguyên)Lại có : 100 n2 1 999 101 n2 1000 11 n 31 39 4n 5 119Vì 4n 5 99 nên 4n 5 = 99  n = 26 = 675b) (1,5 điểm): M = = + M = ( ) + + + x =2015. Vậy giá trị nhỏ nhất M = x =2015.0,25đ0,25đ0,5đ0,5đ0,25đ1,0đ0,25đCâu 4(5,0 điểm) a) (1,5 điểm):Vì tam giác AFE vuông tại F và K là trung điểm của AE, nên FK = KAsuy ra tam giác AFK đều và FK song song với BC.Suy ra tứ giác BCKF là hình thang cân.b) (1,5 điểm):Chứng minh được tam giác EKF đồng dạng với tam giác EDC c) (2,0 điểm):Chứng minh hai tam giác EKD và EFC đồng dạng Mà ; Do đó KD nhỏ nhất khi và chỉ khi CF nhỏ nhất hay F là hình chiếu của C trên AB. Khi đó E trùng với C.0,5đ0,5đ0,5đ1,0đ0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ0,5đCâu 5.(2,0 điểm) Từ M kẻ MGIE ta có : Vì IKAC nên (1)Ta lại có MGAB mặt khác ta lại có :AG =GC (do M là trung điểm BC và MGAB) (2)Từ (1) và (2) suy ra ,mà KI = AE (do AKIE là hình bình hành) nên BK = DEVậy BK = DE (đpcm)0,5đ0,5đ0,5đ0,5đCâu 6.(2,0 điểm)Đặt . BĐT cần chứng minh tương đương với Ta có: Mặt khác Từ () và () suy ra Dấu = xảy ra (Đpcm)0.25đ0.25đ0.25đ0.25đ0.25đ0.25đ0.25đ0.25đLưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 03 ĐỀ BÀIBài 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?Bài 2: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và Bài 3: ( 4,0 điểm ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD. BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng: a.EF song song với ABb.AB = CD. EFBài 4: (3,0 điểm)Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao? Bài 5: (2,0 điểm ) Giả sử x, y, z thỏa mãn : x.y.z = 1992Chứng minh rằng : Bài 6: ( 2,0 điểm ) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 03CâuNội dungĐiểmBài 15 điểma)Điều kiện: x y; y 0 b)A = 2x(x+y)c)Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1)2 với x y; y 0 ) A 2 với x y; y 0 . mà A nguyên dương nên A = 1 hoặc A = 2+ A = 2 khi + A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: + Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (1đ) (2đ)0.5đ0.5đ0.25đ0.25đ0.5Bài 2Nội dung4 ĐiểmTa phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9 với n ZA = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3n3 – 3n + 9n2 + 18n + 9 = 3n(n – 1)(n + 1) + 9n2 + 18n + 9Nhận thấy n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3 nên 3n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 9 Và 9n2 + 18n + 9 chia hết cho 9Vậy A chia hết cho 9b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x y)2 + (y z)2 + (z x)2 = 0 x2009 = y2009 = z2009Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3 Vậy x = y = z = 30,5đ0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ 0, 5 đ0,5 đ0.5đBài 3Nội dung4 điểm a) Chứng minh EF song song với AB : A BVì AB DC ( gt ABCD là hình thang ) Nên góc ABD = góc EDK ( so le trong ) Góc EAB = góc EKD ( so le trong ) E F AEB ~ KED ( g.g) ( 1 ) D K I CTương tự góc FBA = góc FIC ( so le trong ) Góc FAB = góc FCI ( so le trong ) AFB ~ CFI ( g. g ) ( 2 ) Mà CI = KD ( vì cùng bằng CD – AB ) Nên từ (1) và (2) suy ra EF KC hay EF AB ( đpcm ) b. Chứng minh : AB = CD. EFTừ AEB ~ KED ( cm trên ) vì AB = KC ( ABKC là hình bình hành ) Mặt khác EF DI ( cm trên ) ( vì DI = AB ) ( 2 ) Từ (1) và (2) suy ra ( ĐPCM) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,5đ0,5đ 0, 5đ 0,5 đBài 4Nội dung3 điểm3đ Do ABCD là hình thang cân và Suy ra và là các tam giác đều. Chứng minh vuông tại F Xét vuông tại F có: Chứng minh vuông tại E Xét vuông tại E có: Xét có: Suy ra EF = EG = FG nên đều(0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ)Bài 5Nội dung2 điểm Vì x.y.z = 1992 Nên yz = Ta có Do đó = ( Điều phải chứng minh ) 0.5đ0.5đ0.5đ0.5đBài 6 Nội dung2 điểm 2đ. Vì x + y + z = 1 nên: Ta có: Tương tự: ; (Với mọi x, y, z > 0)Từ đó . Dấu “=” xảy ra khi 0.5đ0.5đ0.5đ0.5đTrên đây là những gợi ý đáp án và biểu điểm, học sinh có thể giải theo cách khác. Tùy vào bài làm cụ thể của học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 04ĐỀ BÀICâu 1: (4.0 điểm)Cho biểu thức: a. Rút gọn P.b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.c. Chứng minh với x thoả mãn ĐKXĐ.Câu 2: (4.0 điểm) a. Tìm số dư trong phép chia đa thức cho đa thức b. Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy x y + 2017. Tính giá trị của M biết xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất.Câu 3: (4.0 điểm) a. Giải phương trình sau: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 b. Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: Chứng minh rằng: có đúng một trong ba số x,y, z lớn hơn 1Câu 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định điểm M trong tam giác sao cho tổng các bình phương các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.a. Chứng minh rằng .b. Biết SAOB= 20162 (đơn vị diện tích); SCOD= 20172 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.Câu 6: (2.0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: Hết