Fourth Edition CHAPTER MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P Beer E Russell Johnston, Jr John T DeWolf Lecture Notes: J Walt Oler Texas Tech University Moments of Inertia Moment quán tính © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Contents Introduction Moments of Inertia of an Area Moment of Inertia of an Area by Integration Polar Moment of Inertia Radius of Gyration of an Area Sample Problem 4.1 Sample Problem 4.2 Parallel Axis Theorem Moments of Inertia of Composite Areas Sample Problem 4.4 Sample Problem 4.5 Product of Inertia Principal Axes and Principal Moments of Inertia Sample Problem 4.6 Sample Problem 4.7 Mohr’s Circle for Moments and Products of Inertia Sample Problem 4.8 Moment of Inertia of a Mass Parallel Axis Theorem Moment of Inertia of Thin Plates Moment of Inertia of a 3D Body by Integration Moment of Inertia of Common Geometric Shapes Sample Problem 4.12 Moment of Inertia With Respect to an Arbitrary Axis Ellipsoid of Inertia Principle Axes of Axes of Inertia of a Mass © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 9- Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Giới thiệu (Introduction) • Chương giới thiệu phương pháp tính moment quán tính trục tích moment qn tính © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 9- Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Moment qn tính diện tích • Xem xét lực phân bố F , độ lớn tỉ lệ với diện tích phần tử A , nó, lực tác dụng thay đổi tuyến tính khoảng cách A từ trục cho • Ví dụ: Xem xét dầm chịu uốn túy Nội lực thay đổi tuyến tính với khoảng cách từ trục trung hòa mà qua trọng tâm tiết diện  F = kyA R = k  y dA =  y dA = Q x = first moment M = k  y dA  y dA = second moment • Ví dụ: Xem xét lực thủy tĩnh thực cổng tròn chìm nước F = pA = yA R =   y dA M x =   y dA © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 9- Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Moment qn tính diện tích tích phân • Moment qn tính diện tích trục x y, I x =  y dA I y =  x dA • Việc tính tích phân đơn giản hóa chọn dA dải mỏng song song với trục x y • Với diện tích hình chữ nhật, h I x =  y dA =  y 2bdy = 13 bh • Cơng thức cho diện tích chữ nhật áp dụng với dải mà song song trục tọa độ, dI x = 13 y dx © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved dI y = x dA = x y dx 9- Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Moment quán tính cực (Polar Moment of Inertia) • Moment qn tính cực thơng số quan trọng toán bao gồm đối tượng trục tròn chịu xoắn quay dẹt (hoặc tấm) J =  r dA • Mối quan hệ moment quán tính cực moment quán tính,   J =  r dA =  x  y dA =  x dA   y dA = Iy  Ix © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 9- Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Bán kính quán tính (Radius of Gyration of an Area) • Xem xét diện tích A với moment quán tính Ix Tưởng tượng diện tích tập trung dải mỏng song song với trục x I x = k x2 A kx = Ix A kx = bán kính quán tính trục x • Tương tự, Iy = k y2 A ky = J O = kO2 A k O = Iy A JO A kO2 = k x2  k y2 © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 9- Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.1 SOLUTION: • Xét dải vi phân song song với trục x có diện tích dA dI x = y dA dA = l dy • Với tam giác đồng dạng, l h y = b h Xác định moment quán tính tam giác trục x l =b h y h dA = b h y dy h • Lấy tích phân dIx từ y = đến y = h, h y bh I x =  y dA =  y b dy =  hy  y dy h h0 h  h b  y3 y  = h   h 4 © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved  bh3 I x= 12 9- Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.2 SOLUTION: • Xét phần tử diện tích vi phân hình vành khuyên dJ O = u dA dA = 2 u du r r J O =  dJ O =  u 2 u du  = 2  u 3du 0 JO = a) Xác định moment quán tính độc cực trung tâm • Từ đối xứng, Ix = Iy, tích phân trực tiếp  b) Sử dụng kết câu a, xác định moment quán tính diện tích tròn đường kính JO = I x  I y = 2I x © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved  r4 r = 2I x I diameter = I x =  r4 9- Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Lý thuyết trục song song (Parallel Axis Theorem) • Xem xét moment qn tính I diện tích A trục AA’ I AA ' =  y dA • Trục BB’ qua trọng tâm diện tích gọi trục trọng tâm I AA ' =  y dA =   y  d  dA =  y2 dA  2d  ydA  d  dA I AA ' = I BB '  Ad Lý thuyết trục song song © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 10 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.5 SOLUTION: • Tính moment qn tính diện tích chữ nhật hình tròn trục x Hình chữ nhật: I x = 13 bh3 = 13 240 120  = 138.2  106 mm Nửa hình tròn: Moment qn tính AA’, I AA = 18 r = 18  90 4 = 25.76  106 mm Moment quán tính x’, 4r 4 90  a= = = 38.2 mm 3 3 b = 120 - a = 81.8 mm 2 A = 12 r = 12  90  = 12.72  10 mm   I x = I AA  Aa = 25.76  106 12.72  103  = 7.20  106 mm Moment quán tính trục x,   I x = I x  Ab = 7.20  106  12.72  103 81.82 = 92.3  106 mm © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 18 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.5 • Moment qn tính diện tích tơ bóng nhận cách lấy moment qn tính hình chữ nhật trừ cho nửa hình tròn Ix = 138.2  106 mm  92.3  106 mm I x = 45.9  106 mm © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 19 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Tích qn tính (Product of Inertia) • Tích qn tính: I xy =  xy dA • Khi trục x, trục y hai trục xy trục đối xứng, tích qn tính Ixy = • Lý thuyết trục song song tích quán tính: I xy = I xy  x yA © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 20 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Trục – Moment qn tính • Sự thay đổi trục mang lại I x = I y = Ix  I y Ix  Iy I xy = Cho I x =  y dA I y =  x dA I xy =  xy dA Chúng ta mong muốn xác định moment tích quán tính trục x’ y’ Note: x  = x cos  y sin  y  = y cos  x sin    Ix  I y Ix  I y Ix  Iy cos 2  I xy sin 2 cos 2  I xy sin 2 sin 2  I xy cos 2 • Phương trình cho Ix’ Ix’y’ phương trình tham số đường tròn,  I x  I ave 2  I x2y = R Ix  Iy I ave =  Ix  Iy    I xy R =    • Phương trình cho Iy’ Ix’y’ dẫn đến đường tròn © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 21 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Trục – Moment qn tính • Tại điểm A B, Ix’y’ = Ix’ tương ứng cực đại cực tiểu I max,min = I ave  R tan 2 m =  I ave = Ix  I y • Phương trình θm định nghĩa hai góc, lệch góc 90o mà tương ứng với trục diện tích O  I x  I ave   I x2y = R Ix  I y I xy  Ix  Iy  R=   I • Imax Imin moment quán tính  xy   diện tích O © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 22 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.6 SOLUTION: • Xác định tích qn tính cách tích phân trực tiếp với lý thuyết trục song song dải diện tích vi phân thẳng đứng Xác định tích qn tính tam giác vng (a) trục x, y (b) truc trọng tâm song song với trục x y • Áp dụng lý thuyết trục song song để ước lượng tích quán tính trục trọng tâm © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 23 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.6 SOLUTION: • Xác định tích qn tính cách tích phân trực tiếp với lý thuyết trục song song dải diện tích vi phân thẳng đứng  x  x y = h1   dA = y dx = h1  dx  b  b  x xel = x yel = 12 y = 12 h1    b Tích phân dIx từ x = đến x = b, b I xy =  dI xy =  xel yel dA =  x  x h 1   dx  b 12  b 2  x x3 x  x3  x x = h    dx = h     b 2b  0  3b 8b  b I xy = © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved b2h2 24 - 24 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.6 • Áp dụng lý thuyết trục song song để ước lượng tích quán tính trục trọng tâm x = 13 b y = 13 h Với kết từ câu a, I xy = I xy  x yA  13 h12 bh  b2h2  b I xy = 24 b 2h I xy =  72 © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 25 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.7 SOLUTION: • Tính tích quán tính trục xy chia tiết diện thành hình chữ nhật áp dụng lý thuyết trục song song hình Với tiết diện hình vẽ, moment qn tính trục x • Xác định phương trục (Eq 9.25) moment quán tính trục y Ix = 10.38 in4 Iy = (Eq 27) 6.97 in4 Xác định (a) phương trục tiết diện O, (b) moment quán tính O © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 26 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.7 SOLUTION: • Tính tích quán tính trục xy chia tiết diện thành hình chữ nhật • Áp dụng lý thuyết trục song song hình I xy =  I xy  x yA • Chú ý tích quán tính trục trọng tâm song song với trục xy khơng cho hình chữ nhật Rectangle Area, in x , in y , in I 1.5  1.25  1.75 II 1.5 0 III 1.5  1.25  1.75 x yA, in  3.28  3.28  x yA = 6.56 I xy =  x yA = 6.56 in © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 27 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.7 • Xác định phương trục (Eq 9.25) moment quán tính (Eq 27) tan 2 m =  I xy Ix  I y = 2 6.56  = 3.85 10.38  6.97 2 m = 75.4 and 255.4  m = 37.7 and  m = 127.7 I x = 10.38 in I max,min = I y = 6.97 in I xy = 6.56 in Ix  I y 2  Ix  I y    I xy     10.38  6.97  10.38  6.97  =      6.56  2   I a = I max = 15.45 in I b = I = 1.897 in © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 28 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Vòng tròn Mohr cho moment tích qn tính • Moment tích qn tính vẽ sử dụng để xây dựng vòng tròn Mohr, Ix  Iy  Ix  Iy  I ave = R=    I xy   I xy tan  XCA  =  = tan  2 m  Ix  I y • Vòng tròn Mohr sử dụng để xác định moment tích quán tính hệ trục vng góc đồ thị giải tích • Đồng thời xác định trục chính, moment tích quán tính © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 29 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.8 SOLUTION: • Vẽ điểm (Ix , Ixy) (Iy ,-Ixy) Dựng vòng tròn Mohr sở đường kính hai điểm • Dựa đường tròn, xác định Moment tích qn tính trục phương trục moment quán tính x, y I = 7.24x106 mm4, I = x 2.61x106 mm4 y mm4, Ixy = -2.54x106 • Dựa đường tròn, đánh giá moment tích qn tính Sử dụng vòng tròn Mohr, xác định (a) trục x’y’ trục O, (b) giá trị moment O, (c) giá trị moment tích quán tính trục x’ y’ © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 30 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.8 SOLUTION: • Vẽ điểm (Ix , Ixy) (Iy ,-Ixy) Dựng vòng tròn Mohr sở đường kính hai điểm   OC = I ave = 12 I x  I y = 4.925  106 mm   CD = 12 I x  I y = 2.315  106 mm I x = 7.24  106 mm I y = 2.61  106 mm I xy = 2.54  106 mm R= CD 2  DX 2 = 3.437  106 mm • Dựa đường tròn, xác định phương trục moment quán tính tan 2 m = DX = 1.097 2 m = 47.6 CD  m = 23.8 I max = OA = I ave  R I max = 8.36  106 mm I = OB = I ave  R I = 1.49  106 mm © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 31 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 5.8 • Dựa đường tròn, đánh giá moment tích quán tính trục x’y’ Điểm X’ Y’ tương ứng với trục x’ y’ nhận cách quay CX CY ngược chiều kim đồng hồ góc Q = 2(60o) = 120o Góc mà CX’ tạo với trục x’ f = 120o - 47.6o = 72.4o I x ' = OF = OC  CX  cos  = I ave  R cos 72.4o I x = 5.96  106 mm I y ' = OG = OC  CY  cos  = I ave  R cos 72.4o I y = 3.89  106 mm OC = I ave = 4.925  106 mm R = 3.437  10 mm I xy ' = FX  = CY  sin  = R sin 72.4o © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved I xy = 3.28  106 mm - 32 ... pháp tính moment quán tính trục tích moment qn tính © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 9- Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Moment quán tính. .. SOLUTION: • Tính moment qn tính diện tích hình chữ nhật diện tích hình tròn Xác định moment qn tính diện tích tơ bóng trục x • Moment qn tính diện tích tơ bóng nhận cách lấy moment qn tính hình... Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Moment quán tính diện tích phức • Moment qn tính diện tích phức A trục cho tổng moment quán tính diện tích thành phần A1, A2, A3, , cúng trục