Fourth Edition CHAPTER MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P Beer E Russell Johnston, Jr John T DeWolf Lecture Notes: J Walt Oler Texas Tech University Transformations of Stress and Strain Trạng thái ứng suất – Thuyết bền © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Transformations of Stress and Strain Introduction Transformation of Plane Stress Principal Stresses Maximum Shearing Stress Example 3.01 Sample Problem 3.1 Mohr’s Circle for Plane Stress Example 3.02 Sample Problem 3.2 General State of Stress Application of Mohr’s Circle to the Three-Dimensional Analysis of Stress Yield Criteria for Ductile Materials Under Plane Stress Fracture Criteria for Brittle Materials Under Plane Stress Stresses in Thin-Walled Pressure Vessels © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 7-2 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Giới thiệu (Introduction) • Trạng thái ứng suất tổng quát biểu diễn tập hợp gồm thành phần, s x ,s y ,s z normal stresses t xy , t yz , t zx shearing stresses (Note : t xy = t yx , t yz = t zy , t zx = t xz ) • Trạng thái ứng suất thể tập hợp khác hệ trục tọa độ quay góc • Phần chương xem xét thành phần ứng suất biến đổi hệ trục tọa độ quay góc Phần hai dành cho phân tích tương tự biến đổi thành phần biến dạng © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 7-3 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Giới thiệu (Introduction) • Trạng thái ứng suất phẳng ứng suất pháp hai mặt phần tử khối không Với ví dụ minh họa, trạng thái ứng suất định nghĩa s x , s y , t xy and s z = t zx = t zy = • Trạng thái ứng suất phẳng xuất mỏng chịu lực tác dụng mặt phẳng • Trạng thái ứng suất phẳng xuất điểm bề mặt tự phần tử cấu trúc chi tiết máy chịu tác dụng ngoại lực © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 7-4 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Biến đổi ứng suất phẳng • Xem xét điều kiện cân phần tử lăng trụ với mặt vng góc trục x, y x’  Fx = = s x A - s x A cosq  cosq - t xy A cosq sin q - s y A sin q sin q - t xy A sin q  cosq  Fy  = = t xy A + s x A cosq sin q - t xy A cosq  cosq - s y A sin q  cosq + t xy A sin q sin q • Phương trình viết lại • σy’ nhận cách thay θ θ + 900 s x = s y = s x +s y s x +s y t xy = - + - s x -s y © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved s x -s y s x -s y cos 2q + t xy sin 2q cos 2q - t xy sin 2q sin 2q + t xy cos 2q 7-5 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ứng suất (Principal Stresses) • Phương trình trước kết hợp để mang lại phương trình tham số đường tròn s x - s ave 2 + t x2y = R where s ave = s x +s y s x -s y   + t xy R =    • Ứng suất xuất mp mà ứng suất cắt không s max,min = tan 2q p = s x +s y s x -s y   + t xy     2t xy s x -s y Note : defines two angles separated by 90o © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 7-6 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ứng suất cắt cực đại (Maximum Shearing Stress) Ứng suất cắt cực đại xuất s x  = s ave s x -s y   + t xy t max = R =    s x -s y tan 2q s = 2t xy Note : defines two angles separated by 90o and offset from q p by 45o s  = s ave = © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved s x +s y 7-7 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Example 3.01 SOLUTION: • Xác định phương ứng suất tan 2q p = 2t xy s x -s y • Ứng suất s max,min = sx +s y s x -s y   + t xy     Với trạng thái ứng suất phẳng hình vẽ, xác định (a) mặt phẳng chính, (b) ứng • Ứng suất cắt cực đại suất chính, (c) ứng suất cắt s x -s y    t = + t max xy cực đại ứng suất pháp     tương ứng sx +s y  s = © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 7-8 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Example 3.01 SOLUTION: • Phương ứng xuất tan 2q p = 2t xy s x -s y = 2+ 40  = 1.333 50 - - 10  2q p = 53.1, 233.1 s x = +50 MPa s x = -10 MPa q p = 26.6, 116.6 t xy = +40 MPa • Ứng suất s max,min = sx +s y = 20  s x -s y   + t xy     302 + 402 s max = 70 MPa s = -30 MPa © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 7-9 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Example 3.01 • Ứng suất cắt cực đại s x - s y   + t xy t max =    = 302 + 402 t max = 50 MPa s x = +50 MPa s x = -10 MPa t xy = +40 MPa q s = q p - 45 q s = -18.4, 71.6 • Ứng suất pháp tương ứng s  = s ave = sx +s y = 50 - 10 s  = 20 MPa © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 10 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf 3.9 Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn (thuyết bền thứ hai) Vật liệu trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng, khối) bị phá huỷ biến dạng dài tương đối lớn đạt tới giá trị giới hạn biến dạng dài tương đối trạng thái ứng suất đơn: ε1 ≤ [ε] Ở trạng thái ứng suất khối : e = [s -  (s + s )] E Trường hợp ứng suất đơn: [ s] [e ] = s td = s1 - (s + s )  [s ] E (3 20) Thuyết bền thứ hai tương đối phù hợp với vật liệu giòn © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf 3.10 Thuyết bền ứng suất tiếp lớn (thuyết bền thứ ba) • Vật liệu dẻo bị phá huỷ ứng suất tiếp lớn phân tố trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới giá trị ứng suất tiếp nguy hiểm phân tố trạng thái ứng suất đơn: τmax ≤ [τ] s1 -s3 (3 5) τmax = (2 8) [ s] [t ] = ; s td = s - s  [s ] © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved (3 21) Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf 3.11 Thuyết bền biến đổi hình dáng (Thuyết bền thứ tư) • Vật liệu bị phá huỷ biến đổi hình dáng phân tố trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới giá trị nguy hiểm biến đổi hình dáng phân tố trạng thái ứng suất đơn: uhd ≤ [uhd] (3 16) uhd s td = 1+  [uhd ] = [s ] ; E 1+  2 = s + s + s - s 1s - s 2s - s 3s ; E   (s 12 + s 22 + s 32 - s 1s - s 2s - s 3s )  [s ] (3 22) - Thuyết bền phù hợp với vật liệu dẻo dùng rộng rãi chế tạo máy, xây dựng © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf 3.12 Thuyết bền Mo (thuyết trạng thái ứng suất giới hạn) τ đường bao nén đơn σ o Trượt tuý © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved kéo đơn Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS τ B D A C E G C3 σ3 -[σ]n EA=FC1=FO+OC1; σ FO C1 σ1 Beer • Johnston • DeWolf FO=GO-GF; =-б3-0,5(б1-б3) =-0,5(б1+б3); OC1=0,5[б] AE=0,5([б]-б1-б3) [σ]k 1 BC = [s ]n - [s ]k ; DE = s - s - [s ]k ; 2 1 CA = C3C1 = [s ]k + [s ]n ; EA = [s ]k - s - s  2 © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS τ B D A C E C3 -[σ]n [s]k k= [s]n σ F O σ3 Beer • Johnston • DeWolf C1 BC DE = CA EA (a) [s ]k s1 s = [s ]k [s ]n σ1 (b) [σ]k ; s1 - ks3 =[s]k stdM = s1 - ks3  [s ]k © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved (3 23) Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ví dụ Tìm phân tố làm vật liệu dẻo trạng thái ứng suất nguy hiểm phân tố (đơn vị đo kN/cm2) a/ c/ b/ 50 100 20 50 50 100 30 Vật liệu dẻo chịu kéo, nén nên sử dụng thuyết bền ba để xác định ứng suất tương đương: std =s1 -s3 a/ b/ std = 100 - 20 = 80 kN / cm2; s td = 50 - (-30) = 80kN / cm ; s = 100 = 100 kN / cm ; c/ td © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ví dụ Dùng thuyết bền Mo so sánh ứng suất tương đương hai khối lăng trụ làm vật liệu giòn σ σ hai trường hợp a/Nén tự do; b/Nén ổ cứng không cho phép nở ngang a Các ứng suất chính: a s = 0; s = 0; s =  s td = s - ks = - ks b (a) b.Ứng suất theo phương ngang lăng trụ (σ’): s [ s '-  s + s '] e = = 0; s  = s tdM E 1+     = s - ks =  - k s  1+  = s1 = s ; s = s ; So sánh (a) (b) ta thấy ứng suất tương đương giảm © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved (b) Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Transformation of Plane Strain • Plane strain - deformations of the material take place in parallel planes and are the same in each of those planes • Plane strain occurs in a plate subjected along its edges to a uniformly distributed load and restrained from expanding or contracting laterally by smooth, rigid and fixed supports components of strain : e x e y  xy e z =  zx =  zy = 0 • Example: Consider a long bar subjected to uniformly distributed transverse loads State of plane stress exists in any transverse section not located too close to the ends of the bar © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 49 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Transformation of Plane Strain • State of strain at the point Q results in different strain components with respect to the xy and x’y’ reference frames e q  = e x cos q + e y sin q +  xy sin q cosq e OB = e 45 = 12 e x + e y +  xy   xy = 2e OB - e x + e y  • Applying the trigonometric relations used for the transformation of stress, e x = e y =  xy © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved ex + e y ex + e y =- + - ex - e y ex - e y ex - e y 2 cos 2q + cos 2q - sin 2q +  xy  xy  xy sin 2q sin 2q cos 2q - 50 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Mohr’s Circle for Plane Strain • The equations for the transformation of plane strain are of the same form as the equations for the transformation of plane stress - Mohr’s circle techniques apply • Abscissa for the center C and radius R , e ave = ex + e y  e x - e y    xy   +   R =      2 • Principal axes of strain and principal strains,  xy tan 2q p = ex - e y e max = e ave + R e = e ave - R • Maximum in-plane shearing strain,  max = R = © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved e x - e y 2 +  xy2 - 51 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Three-Dimensional Analysis of Strain • Previously demonstrated that three principal axes exist such that the perpendicular element faces are free of shearing stresses • By Hooke’s Law, it follows that the shearing strains are zero as well and that the principal planes of stress are also the principal planes of strain • Rotation about the principal axes may be represented by Mohr’s circles © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 52 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Three-Dimensional Analysis of Strain • For the case of plane strain where the x and y axes are in the plane of strain, - the z axis is also a principal axis - the corresponding principal normal strain is represented by the point Z = or the origin • If the points A and B lie on opposite sides of the origin, the maximum shearing strain is the maximum in-plane shearing strain, D and E • If the points A and B lie on the same side of the origin, the maximum shearing strain is out of the plane of strain and is represented by the points D’ and E’ © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 53 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Three-Dimensional Analysis of Strain • Consider the case of plane stress, s x = sa s y = sb s z = • Corresponding normal strains, ea = s a s b E eb = - - E s a s + b E E   e a + e b  e c = - s a + s b  = E - • Strain perpendicular to the plane of stress is not zero • If B is located between A and C on the Mohr-circle diagram, the maximum shearing strain is equal to the diameter CA © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 54 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Measurements of Strain: Strain Rosette • Strain gages indicate normal strain through changes in resistance • With a 45o rosette, ex and ey are measured directly xy is obtained indirectly with,  xy = 2e OB - e x + e y  • Normal and shearing strains may be obtained from normal strains in any three directions, e1 = e x cos q1 + e y sin q1 +  xy sin q1 cosq1 e = e x cos q + e y sin q +  xy sin q cosq e = e x cos q + e y sin q +  xy sin q cosq © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 55 ... (Introduction) • Trạng thái ứng suất phẳng ứng suất pháp hai mặt phần tử khối khơng Với ví dụ minh họa, trạng thái ứng suất định nghĩa s x , s y , t xy and s z = t zx = t zy = • Trạng thái ứng suất phẳng... phương ứng suất tan 2q p = 2t xy s x -s y • Ứng suất s max,min = sx +s y s x -s y   + t xy     Với trạng thái ứng suất phẳng hình vẽ, xác định (a) mặt phẳng chính, (b) ứng • Ứng suất... DeWolf Example 3.02 Với trạng thái ứng suất phẳng hình vẽ, (a) dựng vòng tròn Mohr, xác định (b) mặt phẳng chính, (c) ứng suất chính, (d) ứng suất cắt cực đại ứng suất pháp tương ứng SOLUTION: • Dựng