Fourth Edition CHAPTER MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P Beer E Russell Johnston, Jr John T DeWolf Lecture Notes: J Walt Oler Texas Tech University Stress and Strain – Axial Loading Ứng suất Biến dạng – Tải dọc trục © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Contents Stress & Strain: Axial Loading Normal Strain Stress-Strain Test Stress-Strain Diagram: Ductile Materials Stress-Strain Diagram: Brittle Materials Hooke’s Law: Modulus of Elasticity Elastic vs Plastic Behavior Fatigue Deformations Under Axial Loading Example 2.01 Sample Problem 2.1 Static Indeterminacy Generalized Hooke’s Law Dilatation: Bulk Modulus Shearing Strain Example 2.10 Relation Among E, n, and G Sample Problem 2.5 Composite Materials Saint-Venant’s Principle Stress Concentration: Hole Stress Concentration: Fillet Example 2.12 Example 2.04 Thermal Stresses Poisson’s Ratio © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-2 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ứng suất & biến dạng (Stress & Strain: Axial Loading • Phương diện quan trọng phân tích thiết kế cấu trúc liên quan đến biến dạng tải áp dụng lên cấu trúc gây • Trong vài trường hợp, phân tích tĩnh khơng đủ Như ta phải xem xét trường hợp siêu tĩnh Khi cấu trúc xem cấu trúc biến dạng • Chương liên quan đến biến dạng thành phần cấu trúc dác dụng tải dọc trục Những chương sau giải toán xoắn uốn túy © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-3 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Biến dạng pháp (normal strain) P    stress A 2P P   2A A    L  normal strain  L © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved P  A 2    2L L 2-4 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Deformations Under Axial Loading Thanh tiết diện thay đổi, tải tập trung (N), tải phân bố q (N/m) © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Brief – Tóm tắt Thanh tiết diện thay đổi, tải tập trung (N), tải phân bố q (N/m) Thay liên kết A, B RA RB Ứng suất pháp   P N mm A  Chuyển vị B P  x  dx    mm  EA A © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Chuyển vị tương đối B    B mm   A 2-6 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Điều Kiện bền  max Beer • Johnston • DeWolf P  N / kN / lb / kip  0      2 n A  cm / mm / in  • n hệ số an tồn • σ0 ứng suất nguy hiểm • Đối với vật liệu dẻo 0   k ch   n ch  k   n    • Đối với vật liệu dòn  k   n k b © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved  n   n n b 2-7 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Stress-Strain Test © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-8 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sơ đồ ứng suất – biến dạng: vật liệu dẻo © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-9 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sơ đồ ứng suất – biến dạng: vật liệu dòn © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 10 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Problem 2.12 The composite bar in Fig P-247 is stress-free before the axial loads P1 and P2 are applied Assuming that the walls are rigid, calculate the stress in each material if P1 = 150 kN and P2 = 90 kN SOLUTION: • FBD – Apply EoE • δal is shortening, δst is lengthening, and δbr is also lengthening  al   st  br © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 48 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Hệ số biến dạng ngang (Poisson’s Ratio) • Thanh mảnh chịu tải dọc trục: x  x E y z  • Kéo dài hướng x với co rút hướng khác Giả thuyết vật liệu đẳng hướng, y  z  • Hệ số Poisson định nghĩa y  lateral strain n   z axial strain x x © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 49 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Định luật Hooke tổng (Generalized Hooke’s Law) • Với phần tử chịu tải nhiều trục, thành phần biến dạng pháp ứng suất gây xác định từ nguyên lý cộng tác dụng Điều yêu cầu: 1) quan hệ ứng suất – biến dạng tuyến tính 2) biến dạng nhỏ • Với ràng buộc:  x n y n z x   E y   z   © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved  n x E  E   y n z E n x n y E  E  E   z E E - 50 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Biến dạng cắt/trượt (Shearing Strain) • Một phần tử khối chịu ứng suất cắt biến dạng thành hình thoi Biến dạng cắt tương ứng xác định theo thay đổi góc hai cạnh,  xy  f  xy  • Đồ thị ứng suất-biến dạng cắt tương tự đồ thị ưng suất-biến dạng pháp, ngoại trừ giá trị bền xấp xỉ nữa, Với biến dạng bé,  xy  G  xy  yz  G  yz  zx  G  zx where G mô đun cứng mơ đun cắt © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 51 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ví dụ 2.10 SOLUTION: • Xác định biến dạng góc trung bình biến dạng cắt khối Một khối vật liệu với G = 90 ksi dán với hai cứng phẳng Tấm cố định chịu tác dụng P Biết dịch chuyển đoạn 0.04 in tác dụng lực, xác định a) biến dạng cắt trung bình hối vật liệu, b) lực P © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved • Áp dụng định luật Hooke cho ứng suất biến dạng cắt để tìm ứng suất cắt tương ứng • Dùng định nghĩa ứng suất cắt để tìm P - 52 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Xác định biến dạng góc trung bình biến dạng cắt khối  xy  tan  xy  0.04 in in  xy  0.020 rad • Áp dụng định luật Hooke cho ứng suất biến dạng cắt để tìm ứng suất cắt tương ứng    xy  G xy  90 103 psi 0.020 rad   1800 psi • Dùng định nghĩa ứng suất cắt để tìm P P   xy A  1800 psi 8 in.2.5 in.  36 103 lb P  36.0 kips © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 53 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Quan hệ E, n, G • Thanh mảnh chịu tải dọc trục dãn dài theo hướng dọc trục co rút hướng ngang • Phần tử khối hình phía biến dạng thành hình chữ nhật Tải dọc trục gây biến dạng pháp • Phần tử khối hình biến dạng thành hình thoi Tải dọc trục gây r biến dạng cắt • Ta có quan hệ, E  1  n  2G © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 54 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 2.5 Đường tròn có đường kính d = in khắc nhôm không ứng suất có chiều dày t = 3/4 in Lực tác dụng lên nhom sau gây nên ứng suất pháp x = 12 ksi z = 20 ksi Với E = 10x106 psi n = 1/3, xác định thay đổi trong: a) Chiều dài AB, b) Chiều dài CD, c) Độ dày tấm, d) Thể tích © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 55 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf SOLUTION: • Áp dụng dl Hooke tổng quát để • Đánh giá thành phần biến dạng tìm thành phần biến dạng  B A   x d   0.533 103 in./in 9 in. pháp   4.8 103 in x     x n y n z E  E  C E       12 ksi   20 ksi  10 106 psi    E  E  D  14.4 103 in  E  1.067 103 in./in n x C  t  0.800 103 in n x  y n z E   t   y t   1.067 103 in./in 0.75 in.  0.533 10 in./in z      z d   1.600 103 in./in 9 in. 3 y   D B A • Tìm thay đổi thể tích n y   z E E  1.600 103 in./in © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved e   x   y   z  1.067 103 in 3/in V  eV  1.067 103 15 15  0.75in V  0.187 in - 56 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Composite Materials • Fiber-reinforced composite materials are formed from lamina of fibers of graphite, glass, or polymers embedded in a resin matrix • Normal stresses and strains are related by Hooke’s Law but with directionally dependent moduli of elasticity,  Ex  x x Ey  y y Ez  z z • Transverse contractions are related by directionally dependent values of Poisson’s ratio, e.g., n xy y   n xz   z x x • Materials with directionally dependent mechanical properties are anisotropic © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 57 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Nguyên lý Saint-Venant • Tải trọng truyền qua cứng dẫn đến phân bố ứng suất biến dạng • Lực tập trung gây ứng suất lớn vùng lân cận điểm tác dụng lực • Sự phân bố ứng suất biến dạng trở nên khoảng cách ngắn tương đối tính từ điểm tác dụng lực • Saint-Venant’s Principle: Sự phân bố ứng suất giả thuyết độc lập với kiểu tác dụng tải ngoại trừ vùng lân cận điểm tác dụng lực © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 58 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Tập trung ứng suất: Lỗ (Stress Concentration: Hole) Sự gián đoạn tiết diện dẫn đến ứng suất tập trung © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved  K  max  ave - 59 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Tập trung ứng suất: góc lượn (Fillet) © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 60 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Example 2.12 SOLUTION: • Determine the geometric ratios and find the stress concentration factor from Fig 2.64b Determine the largest axial load P that can be safely supported by a flat steel bar consisting of two portions, both 10 mm thick, and respectively 40 and 60 mm wide, connected by fillets of radius r = mm Assume an allowable normal stress of 165 MPa • Find the allowable average normal stress using the material allowable normal stress and the stress concentration factor • Apply the definition of normal stress to find the allowable load © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 61 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Determine the geometric ratios and find the stress concentration factor from Fig 2.64b D 60 mm   1.50 d 40 mm r mm   0.20 d 40 mm K  1.82 • Find the allowable average normal stress using the material allowable normal stress and the stress concentration factor  ave   max K  165 MPa  90.7 MPa 1.82 • Apply the definition of normal stress to find the allowable load P  A ave  40 mm 10 mm 90.7 MPa   36.3 103 N P  36.3 kN © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 62 ... • Nếu biến dạng biến ứng suất khử, vật liệu trạng thái đàn hồi • Ứng suất lớn trạng thái đàn hồi gọi giới hạn đàn hồi • Khi biến dạng khơng trở zero sau ứng suất khử, vật liệu trạng thái dẻo •... đồ ứng suất – biến dạng: vật liệu dẻo © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-9 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sơ đồ ứng suất – biến dạng: vật. .. Youngs Modulus or Modulus of Elasticity • Sức bền ảnh hưởng hợp kim hóa, xử lý nhiệt q trình sản xuất độ cứng (Mơ đun đàn hồi E) khơng => Tăng bền ko thể tăng cứng © 2006 The McGraw-Hill Companies,