Đang tải... (xem toàn văn)
Tích phân là mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Các dạng bài tập tích phân ngày càng phong phú, đa dạng và là phần kiến thức không thể thiếu trong các kỳ thi THPT Quốc Gia. Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy học. Từ thực tế giảng dạy của mình, tôi thấy học sinh rất lúng túng khi gặp phải các bài toán tích phân, một dạng bài toán rất quen thuộc mà vẫn khó. Tại sao nhiều em học sinh vẫn lúng túng khi đứng trước bài toán Tích phân? Theo tôi, đó là do một số nguyên nhân sau: Thứ nhất, bài tập tích phân rất phong phú và rất nhiều dạng bài khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng, tính suy luận logic cao và đôi khi có liên hệ với thực tế. Thứ hai, chủ đề tích phân được trình bày cụ thể, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khó khăn, vướng mắc cho người học, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về bài tập tích phân. Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và linh hoạt trong việc giải quyết vấn đề vì thế người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em. Đặc biệt từ năm học 20162017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có sự thay đổi trong cách thức thi THPT Quốc gia môn toán, từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan. Điều đó đặt ra một vấn đề rất lớn cho học sinh và chính bản thân các thầy cô giáo trong việc truyền tải kiến thức tới học sinh. Với học sinh việc giải bài tập về tích phân vốn đã khó và mất nhiều thời gian thì nay càng khó hơn. Giáo viên càng cần tập chung nhiều hơn nữa trong việc giúp học sinh nhận biết cách giải quyết bài toán nhanh và chính xác. Từ đó hình thành cho học sinh tác phong làm việc tập chung. Thiết nghĩ, nếu sắp xếp các bài tập tích phân có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tin và thao tác làm bài nhanh hơn, chuẩn xác hơn khi giải bài tập tích phân, phù hợp với cách thức đánh giá kiến thức của học sinh trong giai đoạn hiện nay, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy độc lập, sáng tạo cho các em. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp tính tích phân” trong quá trình dạy học nhằm giúp học sinh: + Có khả năng sáng tạo các bài toán tương tự và giải quyết các bài toán đó nhanh chóng, quy lạ về quen. + Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy. + Có khả năng liên hệ giải quyết các bài toán thực tế từ đó tích cực hoạt động giải bài tập. + Có khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa…các yếu tố trên giả thiết bài toán. Trong đề tài, tác giả đã cố gắng đưa ra một số bài toán thường gặp, các bài toán tương đối điển hình trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường, các bài tập tự luận giúp các e củng cố và nắm chắc kiến thức cơ bản cách suy luận, cách biến đổi bài toán để vận dụng một cách có hiệu quả trong việc giải quyết các bài toàn. Các bài toán trắc nghiệm giúp học sinh giải quyết bài toán một cách nhanh chóng, hiệu quả và nhuần nhuyễn. Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới. Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi và hứng thú khi học phần này Trong quá trình thực hiện đề tài này, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh được những hạn chế, thiếu sót. Tác giả rất mong muốn nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài này tốt hợn. Xin chân thành cảm ơn
Một số phương pháp tính tích phân A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tích phân mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thơng Các dạng tập tích phân ngày phong phú, đa dạng phần kiến thức thiếu kỳ thi THPT Quốc Gia Vì quan tâm nhiều dạy học Từ thực tế giảng dạy của mình, tơi thấy học sinh lúng túng gặp phải toán tích phân, dạng tốn quen thuộc mà khó Tại nhiều em học sinh lúng túng đứng trước tốn Tích phân? Theo tơi, số nguyên nhân sau: Thứ nhất, tập tích phân phong phú nhiều dạng khó, đòi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng, tính suy luận logic cao đơi có liên hệ với thực tế Thứ hai, chủ đề tích phân trình bày cụ thể, nhiên tập vấn đề gây khơng khó khăn, vướng mắc cho người học, tài liệu tham khảo đề cập đến phần nhiều song sự phân loại chưa dựa gốc của toán nên học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình chưa có nhìn tổng qt tập tích phân Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tổng qt tốn linh hoạt việc giải vấn đề người đề cần thay đổi chút gây khó khăn cho em Đặc biệt từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo có sự thay đổi cách thức thi THPT Quốc gia mơn tốn, từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan Điều đặt vấn đề lớn cho học sinh thân thầy cô giáo việc truyền tải kiến thức tới học sinh Với học sinh việc giải tập tích phân vốn khó nhiều thời gian khó Giáo viên cần tập chung nhiều việc giúp học sinh nhận biết cách giải toán nhanh xác Từ hình thành cho học sinh tác phong làm việc tập chung Thiết nghĩ, xếp tập tích phân có tính hệ thống giúp học sinh tự tin thao tác làm nhanh hơn, chuẩn xác giải tập tích phân, phù hợp với cách thức đánh giá kiến thức của học sinh giai đoạn nay, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư độc lập, sáng tạo cho em Từ lí tơi chọn đề tài “ Một số phương pháp tính tích phân” q trình dạy học nhằm giúp học sinh: + Có khả sáng tạo toán tương tự giải tốn 1/29 Một số phương pháp tính tích phân nhanh chóng, quy lạ quen + Rèn luyện tư độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt phê phán tư + Có khả liên hệ giải toán thực tế từ tích cực hoạt động giải tập + Có khả phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa…các yếu tố giả thiết tốn Trong đề tài, tác giả cố gắng đưa số toán thường gặp, toán tương đối điển hình đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng, đề thi thử THPT Quốc Gia của trường, tập tự luận giúp e củng cố nắm kiến thức cách suy luận, cách biến đổi toán để vận dụng cách có hiệu việc giải tồn Các tốn trắc nghiệm giúp học sinh giải tốn cách nhanh chóng, hiệu nhuần nhuyễn Thông qua việc làm thường xuyên này, học sinh thích nghi cách tốt, có tư sáng tạo, có lực làm toán tạo toán Học sinh thường hiểu sâu thích nghi hứng thú học phần Trong trình thực đề tài này, mặc dù cố gắng khơng thể tránh hạn chế, thiếu sót Tác giả mong muốn nhận sự đóng góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài tốt hợn Xin chân thành cảm ơn! II ĐÔI TƯỢNG THỰC NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 1) Đối tượng thực nghiệm đề tài: Trong năm học 2017-2018 tác giả chọn học sinh lớp 12A2 12A6 để thực nghiệm, học sinh lớp 12A2 học phần khoảng cách theo hướng của đề tài học sinh lớp 12A6 chọn làm đối chứng, kết cuối năm học 2017- 2018 qua kiểm tra kiến thức, có 80 - 90% học sinh lớp 12A2 giải tốt tốn tích phân thao tác làm trắc nghiệm nhanh xác, có khoảng 45-50% học sinh lớp 12A6 làm tốt việc Trong năm học vừa qua, tác giả trao đổi đề tài với đồng nghiệp tổ chuyên môn để áp dụng vào giảng dạy ôn luyện cho học sinh lớp khối 12 kết đạt tốt đề tài đánh giá cao 2) Phương pháp nghiên cứu đề tài: Tác giả lựa chọn phương pháp như: +) Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết +) Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 2/29 Một số phương pháp tính tích phân +) Phương pháp phân loại, hệ thống hóa Các phương pháp đan xen lẫn nhau, bổ xung cho nhằm mục đích giúp tác giả hệ thống hóa, tổng kết, phân tích, phân loại từ lý thuyết đến dạng tập B PHẦN NỘI DUNG I NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để giải tốt tốn tích phân u cầu trước tiên học sinh phải nắm vững khái niệm nguyên hàm, số tính chất của Nguyên hàm, tích phân phương pháp tính tích phân Ngoài học sinh cần nắm biết vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo số tốn điển hình I.1 Ngun hàm Định nghĩa: Hàm số f(x) xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm của f(x) K F’(x)=f(x), ∀ x ∈ K Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm của hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x) +C nguyên hàm của hàm số f(x) K Chú ý: Họ tất nguyên hàm của f(x) K ký hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Một số tính chất nguyên hàm ∫ f '( x)dx = f ( x) + C ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x); ∀ k ≠ ∫ [ f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g( x)dx Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp ( với u=u(x); du=u’dx) ∫ 0dx = C ∫ 0du = C xα + + C (α ≠ − 1) ∫ x dx = α +1 u α +1 + C (α ≠ − 1) ∫ u du = α +1 α α x u ∫ dx = ln x + C ∫ du = ln u + C ax ∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1) au + C (0 < a ≠ 1) ∫ a du = ln a x u 3/29 Một số phương pháp tính tích phân x x ∫ e dx = e + C u u ∫ e du = e + C ∫ cos xdx = sinx + C ∫ cosu du = sinu + C ∫ sin xdx = − cosx + C ∫ sinu du = − cosu + C ∫ dx = tanx + C cos x ∫ du = tanu + C cos 2u ∫ dx = − cotx + C sin x ∫ du = − cotu + C sin 2u I.2 Tích phân Định nghĩa: Cho y=f(x) hàm số liên tục đoạn [ a; b ] Giả sử F(x) nguyên hàm của hàm f(x) đoạn [ a; b ] Hiệu số F(b)- F(a) gọi b b tích phân từ a đến b của hàm số f(x), ký hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x ) a = F (b) − F (a) a Tính chất: b b a a ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b b b a a a ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g( x)dx c b b a c a b b b a a a ∫ f ( x)dx + ∫ f( x)dx = ∫ f( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ f(u)du = ∫ f(t)dt = ( tích phân không phụ thuộc vào biến số) Các phương pháp tính tích phân * Phương pháp đổi biến số Định lý 1: Giả sử hàm số x=ϕ(t) có đạo hàm liên tục đoạn [ α ; β ] b β a α ϕ(α)=a; ϕ(β)=b; a≤ϕ(t)≤b, ∀t ∈ [ α ; β ] Khi ∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ '(t )dt Định lý 2: Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] cho α≤u(x)≤β, ∀x ∈ [ a;b ] Nếu f(x)=g(u(x)).u’(x), ∀x ∈ [ a;b ] , g(u) liên tục b u (b ) a u(a) đoạn [ α ; β ] ∫ f ( x )dx = ∫ g (u )du * Phương pháp tính tích phân phần 4/29 Một số phương pháp tính tích phân Định lý: Nếu u=u(x) v=v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn b b b a a b [ a; b] thì: ∫ u( x).v'(x)dx = [ u ( x).v( x) ] a − ∫ v( x).u '( x)dx hay ∫ u dv = uv a − ∫ vdu b a b a II NỢI DUNG II.1 Tính tích phân sử dụng bảng ngun hàm Phương pháp giải: Để tính tích phân phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm, thực theo bước sau: Bước 1: Biến đổi hàm số cần tính tích phân hành tổng, hiệu của hàm số bảng nguyên hàm Bước 2: Sử dụng bảng nguyên hàm tính chất của tích phân x Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) = x + + e3 x +1 Tính I = ∫ f ( x)dx 2 x3 e3 x +1 e7 − e = + 3ln + Giải: I = ∫ x + + e3 x +1 ÷dx = + 3ln x + ÷ x 1 3 1 4 2 Ví dụ 2: Cho biết ∫ f ( x)dx = 1; ∫ g(t ) dt = −2; Tính I = ∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx 4 2 Giải: I = ∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx = 3∫ f ( x)dx + ∫ g( x)dx = + ∫ g (t )dt = −1 Ví dụ 3: Cho f ( x) = 2 Tính giá trị của I = ∫ f (x) dx e +1 2x Giải: 1 (e x + 1) − e x 2 e2 x I = ∫ x dx = ∫ dx = − ∫ ÷dx +1 e2 x + e2 x + 0e 0 2 1 d (e x + 1) 2 1 = ∫ dx − ∫ x = x − ln e x + ÷ = + ln 20 e +1 2 e +1 Ví dụ 4: Tính tích phân I = ∫ Giải: I = ∫ 24 ( dx x+2− x−2 3 2 7 +3 3−8 x + + x − dx = ( x + ) + ( x − 2) = 3 ) dx −1 x + x − Ví dụ 5: Tính I = ∫ dx (2 x + 3) − 2( x − 1) I=∫ = ∫ dx −1 ( x − 1)(2 x + 3) −1 ( x − 1)(2 x + 3) Giải: 5/29 Một số phương pháp tính tích phân 10 x −1 = ∫ − ÷dx = ln −1 x − x + 2x + 1 = ln −1 Nhận xét: Đối với việc tính tích phân hàm cách dùng bảng ngun hàm tính chất học sinh luyện nhiều học nguyên hàm, với trắc nghiệm học sinh sử dụng máy tính nên tác giả tập chung chủ yếu vào tốn mà học sinh phải tính tốn cụ thể x3 a dx = − + c ln d (a, b, c, d ∈ N ) Tính ab+cd Ví dụ 6: Cho ∫ b x + 2x + x3 3x + 2x + f ( x) = = x−2+ = x−2+ ÷− x + x + ( x + 1) x + 2x + x + 2x + Giải: 3 x3 2x + dx = ∫ x − + − ÷dx Do ∫ ÷ x + x + ( x + 1) ÷ x + 2x + 0 3 1 = x − x + ln( x + 1) + = − + 6ln x + 1 2 Suy a = 9; b = 4; c = 6; d = ab+cd = 48 Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) ×f ′′ ( x ) = 15 x + 12 x , ∀x ∈ ¡ f ( ) = f ′ ( ) = Tính I = ∫ f ( x)dx Giải: Ta có ( f ( x ) ×f ′ ( x ) ) ′ = ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) ×f ′′ ( x ) Do f ( x ) ×f ′ ( x ) = ∫ ( 15 x + 12 x ) dx = 3x + x + C Mà f ( ) = f ′ ( ) = nên f ( x ) ×f ′ ( x ) = 3x + x + Suy ∫ f ( x ) ×f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3x + x + 1) dx f ( x ) x6 = + x + x + C mà f ( ) = nên f ( x ) = x + x + x + Tức 2 x7 29 I = f ( x ) dx = ( x + x + x + 2) dx = Vậy ∫ ∫ + x + x + 2x ÷ = 0 0 II.2 Tính tích phân sử dụng phương pháp đổi biến số Có hai phương pháp đổi biến số + Đổi biến số dạng 1: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [ a; b ] , để tính tích phân b có dạng ∫ f (u ( x)).u'( x)dx , ta thực theo bước sau: a Bước 1: Đặt t=u(x) tính dt=u’(x)dx 6/29 Một số phương pháp tính tích phân Bước 2: Đổi cận: x=a ⇒t=u(a), x=b ⇒t=u(b) u (b ) Bước 3: Chuyển sang tích phân theo biến t ta ∫ f (t ).dt u(a) b + Đổi biến số dạng 2: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [ a; b ] , để tính ∫ f ( x).dx a ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt x=u(t) tính dx=u’(t)dt Bước 2: Đổi cận: x=a ⇒ t=α, x=b ⇒ t=β Bước 3: Chuyển sang tích phân theo biến t ta b β β α α ∫ f ( x)dx = ∫ f [ u (t )] u'(t)dt = ∫ g (t )dt a 19 Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫ x(1 − x) dx x = ⇒ t = x = 1⇒ t = Giải: Đặt t = − x ⇒ x = − t ⇒ dx = − dt ; Đổi cận: 1 I = ∫ x(1 − x ) dx = − ∫ t (1 − t )dt = ∫ t (1 − t )dt = t 20 − t 21 ÷ = 21 420 20 1 19 x3 Ví dụ 2: Tính I = ∫0 ( + x2 ) 19 19 dx Giải: Đặt t =1+x ⇒ dt =2xdx 2 t −1 2 1 −1 I=∫ dx = dt = − ÷dt = + ÷ = ∫ ∫ 3 21 t 1 t t t 2t 16 + x2 ( x.x ) 10 0 Ví dụ 3: Cho ∫ f ( x)dx = 20; ∫ f ( x + 5)dx = Tính I = ∫ f (5 x)dx x = ⇒ t = x = ⇒ t = 10 Giải: Đặt t=x+5 ⇒ dt=dx, đổi cận 10 10 5 Suy ∫ f ( x + 5)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (x)dx = 10 10 10 10 0 5 Do đó: 20 = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx = + ∫ f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx = 15 x = 1⇒ t = x = ⇒ t = 10 Mặt khác, đặt t=5x ⇒dt=5dx; đổi cận I = ∫ f (5 x)dx = 1 10 10 f ( t ) dt = ∫ ∫ f (x)dx = 15 = 55 55 7/29 Một số phương pháp tính tích phân 2x + dx + 3x + 1 Ví dụ 4: Tính I = ∫ Giải: Đặt t = x + ta t2 =x+3⇒ 2tdt=dx x = ⇒ t = , ta có x = 1⇒ t = Đổi cận 2 2t + t 2 28 I= ∫ dt = ∫ 2t − 2t + − ÷dt = − ln 1+ t 1 t + 1 27 e Ví dụ 5: Cho tích phân ∫ a + 5ln x a dx = (a, b∈N phân số tối giản) Tính b x b a+b Giải: Đặt t = + 5ln x ⇒ t = + 5ln x ⇒ 2tdt = dx x x = e ⇒ t = 23 2 38 Đổi cận suy I = ∫ t dt = t = (33 − 23 ) = 52 15 15 15 x = 1⇒ t = Do đó: a=38, b=15 ⇒ a+b=53 Nhận xét: Đơi sử dụng tính chất “ F(x) nguyên hàm của b b a a hàm f(x) đoạn [ a; b ] ∫ f (u ( x ))u '( x)dx = ∫ f (u )du = F (u ) b a ” để tính nhanh hơn, + 5ln x 1e 38 dx = ∫ ∫ + 5ln x.d (4 + 5ln x) = ( + 5ln x ) = x 51 15 15 e π f ( x) dx = ; f (sin x)cos xdx = Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) liên tục R ∫ ∫ x Tính I = ∫ f ( x)dx Giải: Đặt x = t ⇒ dt = dx Đổi cận x x = 1⇒ t = , ta có x = ⇒ t = 3 f ( x) dx = 2∫ f (t )dt = ⇒ ∫ f ( x)dx = x 1 x = ⇒ t = Đặt t = sinx ⇒ dt = cos xdx Đổi cận π , ta có x = ⇒ t = ∫ π 1 0 ∫ f (sin x)cos xdx = ∫ f (t ) dt = ⇒∫ f (x)dx = 8/29 Một số phương pháp tính tích phân 3 0 Suy I = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx = Ví dụ 7: Cho hàm số f(x) liên tục [0;3] 0 ∫ f ( x)dx = ; ∫ f ( x)dx = Tính giá trị của tích phân ∫ f ( | x − 1|) dx −1 Giải: −2 x + 1, ∀x ≤ Ta có: x −1 = nên 2 x − 1, ∀x ≥ 0,5 −1 −1 0,5 ∫ f ( | x − 1|) dx = ∫ f ( −2 x + 1) dx + ∫ 0,5 ∫ E= −1 F= ∫ 0,5 Vậy ∫ −1 f (2 x − 1)dx = E + F 0,5 −1 −1 f (−2 x + 1) dx = f ( −2 x + 1) d(−2x+1) = ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt ∫ −1 20 1 1 1 f (2 x −1)dx = ∫ f (2 x −1)d (2 x −1) = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x )dx 0,5 20 20 1 f ( | x −1| ) dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x) dx = + = 20 20 Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( x) = 6x f ( x ) − Tính 3x + Giải: Ta có ⇒ ∫ 1 0 ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( f ( x ) ) d ( f ( x ) ) 1 0 f ( x ) dx = ∫ x f ( x3 ) dx − ∫ 1 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2∫ x f ( x ) d ( x ) − ∫ 3 0 1 0 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ mà f ( x ) = x f ( x ) − 3x + 6dx 3x + 6dx 3x + 6dx = 3x + 1 Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn ; thỏa mãn 2 f ( x) 1 , I =∫ dx f ( x) + f ÷= ∀x ∈ ¡ * Tính tích phân x x x 9/29 Một số phương pháp tính tích phân x = ⇒t=2 1 Giải: Đặt: t = ⇒ x = ⇒ dx = − dt Đổi cận: x t t x = ⇒ t = 2 Khi I = ∫ 2 ⇒ 3I = ∫ 1 f ÷ t dt = ∫1 t t2 t f ( x) x 2 1 1 f ÷dt = ∫ f ÷dx t x x 2 2 1 1 dx + ∫ f ÷dx = ∫ f ( x ) + x x x 2 2 3 −3 f ÷ dx = ∫ dx = ∫ dx = = x x x x x Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ 0; a ] , biết với x ∈ [ 0; a ] , a dx ta có f ( x ) > f ( x ) f ( a − x ) = k (với k số, k > ) Tính ∫ k + f x ( ) a Giải: a dx dt I =∫ = −∫ = k + f ( x) k + f ( a − t ) ∫0 a a ⇒ kI = ∫ a f ( t ) dt dt = ∫0 k ( k + f ( t ) ) k2 k+ f ( t) a a f ( t ) dt f ( t ) dt kdt a ⇒ kI + kI = ∫ +∫ =a⇒I = k + f ( t) k + f ( t) k + f ( t) 2k Ví dụ 11: Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ 0; a ] , biết với x ∈ [ 0; a ] , ta có f ( x ) > a Giải: I=∫ a ⇒I=∫ f ( x) f ( t ) dt k+ ∫ 1+ f ( x ) f ( a − x ) = Tính dx 1+ a f ( t) = −∫ a f ( a −t) 1+ a ⇒I+I =∫ =∫ dt f ( t) +∫ 1+ a =∫ f ( t) f ( t ) dt a dt 1+ 1+ f ( x) a dt dx f ( t) ( 1+ f ( t ) dt f ( t) =a⇒I = ) a Ví dụ 12: Xét hàm số f ( x) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( x) + f (1 − x) = − x Tính ∫ f ( x)dx Giải: Ta có: f ( x) + f (1 − x) = − x (1) Đặt t = − x , ta có f (1 − t ) + f (t ) = t hay f (1 − x) + f ( x) = x (2) Từ (1) & (2) , ta được: f ( x) = x− 1− x 5 10/29 Một số phương pháp tính tích phân 1− x ÷dx 1+ x Ví dụ 1: Tính I = ∫ cosx.ln − 1− x ÷ hàm số lẻ 1+ x Giải: Ta có hàm số f ( x) = cosx.ln I= 1 − ; nên 1− x ∫ cosx.ln + x ÷ dx = − x + s inx Ví dụ 2: Tính I = ∫ ÷dx + x2 −1 1 s inx Giải: Ta có hàm số f ( x) = hàm số lẻ nên + x2 Ta có hàm số f ( x) = s inx ∫ 1+ x dx = −1 x2 hàm số chẵn nên + x2 x4 x4 −4 π I=∫ dx = ∫ dx = ∫ x − + dx = + 2 ÷ 1+ x 1+ x 1+ x −1 0 1 x4 + 3x −1 Ví dụ 3: Tính I = ∫ ÷dx x4 I = f ( x ) = x Giải: Ta có hàm số chẵn nên ∫ + 3x −1 x5 dx = x dx = = ÷ ∫0 5 Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ x f ( x ) dx = Giải: Ta có ∫ x f ( x ) dx = ∫ ( f ′ ( x ) + 9x ) Tính x4 f ( x ) 1 ∫ f ( x ) dx 1 − 1 x f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ∫ 40 1 dx = ∫ f ′ ( x ) dx + 18∫ x f ′ ( x ) dx + 81∫ x 8dx = ⇒ f ′ ( x ) + x = Suy f ( x ) = − 0 x 14 ⇒ f x dx = + ∫0 ( ) 5 Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫0 [ f '( x)] dx = 11 ∫0 x f ( x ) dx = 11 Tính ∫ f ( x ) dx du = f '( x) dx u = f ( x) ⇒ Giải: Cách 1: Xét A = ∫ x f ( x)dx , Đặt dv = x dx v = x 16/29 Một số phương pháp tính tích phân 1 11 5 7 −2 A = x f ( x) − ∫ x f '( x)dx = ⇔ − ∫ x f '( x)dx = ⇔ ∫ x f '( x)dx = 50 11 50 11 11 10 Lại có ∫ x dx = 1 nên 11 ∫[ 1 0 f '( x) ] dx + ∫ x f '( x)dx + ∫ x10dx = ⇔ ∫ ( f '( x ) + x ) dx = ⇔ f '( x ) = −2 x ⇔ f ( x) = − x6 10 − x6 10 + C ⇒ C = (do f (1) = 0) 3 23 + ÷dx = Vậy I = ∫ 3 0 Cách 2: (Nếu làm trắc nghiệm) 1 ∫ [ f '( x) ] dx = 11 0 ⇒ ∫ f '( x) f '( x ) + x dx = Từ x5 f '( x )dx = −2 ∫ 11 0 Chọn f '( x) = −2 x5 ⇒ f ( x) = − x 10 23 + ⇒I= 3 Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫ f ' ( x ) dx = ∫f( ) x dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx 0 Giải: Đặt t = x ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1 1 = ∫ 2t f ( t ) dt = t f ( t ) − ∫ t f ' ( t ) dt = f ( 1) − ∫ t f ' ( t ) dt = − ∫ t f ' ( t ) dt 0 0 ⇒ ∫ t f ' ( t ) dt = , hay ∫ x f ' ( x ) dx = (1) Hơn ta có ∫ f ' ( x ) dx = (2) theo giả thiết Xét ∫( 1 Mà ( f ' ( x ) − 3x ) 2 1 0 ≥ với x ∈ [ 0;1] suy f ' ( x ) = x 3 Do f ( x ) = x + C Lại có f ( 1) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = x 1 Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx = 0 17/29 (3) f ' ( x ) − x ) dx = ∫ f ' ( x ) dx − ∫ x f ' ( x ) dx + ∫ x dx = ∫ x dx = − + = 5 Một số phương pháp tính tích phân Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) π ∫ f ( x ) − 2 π xác định đoạn 0; thỏa mãn 2 π 2 − π Tính π f ( x ) sin x − ÷ dx = ∫ f ( x ) dx Giải: π Đặt I = ∫ f ( x ) − 2 f ( x ) sin x − π ÷ dx π π I = f ( x ) − 2 f ( x ) sin x − π ÷+ 2sin x − π ÷ dx − 2sin x − π ÷dx ∫0 ∫0 4 4 Ta có π π 2 I = f ( x ) − sin x − π ÷ dx − sin x − π ÷dx ∫0 ∫0 4 π π π π π −2 Ta có ∫ 2sin x − π ÷dx = ∫ 1 − cos x − π ÷÷dx = ∫ ( − sin x ) dx = x + cos2 x ÷|02 = 2 4 0 π 2 −π Mà I = suy 2 π ∫0 f ( x ) − sin x − ÷ dx = π π Suy f ( x ) − sin x − ÷ = hay f ( x ) = sin x − ÷ Do π π 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ 4 4 π π π sin x − ÷dx = − 2cos x − ÷|0 = 4 II.5 Tính tích phân sử dụng bất đẳng thức tích phân Nếu f ( x ) , g ( x) liên tục đoạn [ a; b] với bình phương của chúng thì b ∫ a b f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx ≥ ∫ f ( x ) g ( x ) dx ÷ Dấu " = " xảy f ( x ) = kg ( x ) với k a a b 2 số Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = 1 2∫ 1 f ′ ( x ) f ( x ) dx ≥ 3∫ f ′ ( x ) f ( x ) + dx Tính 9 ∫ f ( x ) dx Giải: 1 ′ d x f x f x d x ≥ ( ) ( ) ∫ ∫0 ∫0 0 Ta có 2 f ′ ( x ) f ( x ) dx ÷ nên từ giả thiết suy 18/29 Một số phương pháp tính tích phân f ′ ( x ) f ( x ) dx ≥ 3∫ f ′ ( x ) f ( x ) dx + 1 3 ∫ 0 1 f ′ ( x ) f ( x ) dx − ÷ ≤ ⇒ 3 hay 2∫ 2 1 ≥ 3 ∫ 0 f ′ ( x ) f ( x ) dx ÷ + f ′ ( x ) f ( x ) dx = ∫ 1 ∫ f ′ ( x ) f ( x ) dx = ⇒k = Dấu " = " xảy ′ f x f x = k ( ) ( ) Từ tính f ( x ) = x+3 suy ∫ f ( x ) dx = 3 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm dương, liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn 1 1 f (0) = 3∫ f ′ ( x ) f ( x ) + dx ≤ ∫ 9 f ′ ( x ) f ( x ) dx Tính ∫ f ( x ) dx Giải: 1 1 1 ′ f ( x ) f ( x ) + dx ≤ Ta có: ∫ [ ] ∫ ÷ 9 0 0 f ′( x) f ( x) dx ÷ ≤ ∫ f ′( x) f ( x)dx 1 1 ′ ⇔ ∫ f ( x) f ( x) + ÷dx − ∫ f ′( x ) f ( x )dx ≤ 9 0 1 1 f ( x) ⇔ ∫ f ′( x) f ( x)dx − ≤ ⇒ f ′( x ) f ( x) = ⇒ = x+C 9 0 3 Vì f (0) = nên C = Khi f ( x) = x + 1 Vậy ∫ [ f ( x)] dx = ∫ x + 1÷dx = 0 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , 1 ∫0 f ′ ( x ) dx = ∫0 x f ( x ) dx = Tính 2 ∫ f ( x ) dx 1 u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx 3 x f x d x = x f x − x f ′ ( x ) dx ⇒ ( ) ( ) Giải: Đặt , ∫ ∫ dv = x dx v = x 0 Ta có = f ( 1) − ∫ x f ′ ( x ) dx suy b ∫x f ′ ( x ) dx = −1 b b x7 ′ ≤ x d x f x d x = ( ) =1 Ta có = ∫ x f ′ ( x ) dx ÷ ∫ ∫a a a Dấu " = " xảy f ′ ( x ) = kx với k số 19/29 Một số phương pháp tính tích phân 1 Mà ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 hay ∫ kx dx = −1 suy k = −7 0 Vậy f ′ ( x ) = −7 x nên f ( x ) = − x + c mà f ( 1) = nên f ( x ) = ( − x4 ) ∫ f ( x ) dx = suy Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] f ( ) + f ( 1) = Biết ∫ f ( x ) dx = Giải: Ta có ∫ , ∫ f ′ ( x ) cos ( π x ) dx = π Tính f ′ ( x ) cos ( π x ) dx = ∫ cos ( π x ) df ( x ) = f ( x ) cos ( π x ) 1 0 = − f ( 1) − f ( ) + π ∫ f ( x ) sin ( π x ) dx = π ∫ f ( x ) sin ( π x ) dx = ∫ f ( x ) dx 1 + π ∫ f ( x ) sin ( π x ) dx 0 π ⇒ ∫ f ( x ) sin ( π x ) dx = 2 1 1 1 − cos 2π x x sin 2π x 1 = ∫ f ( x ) sin ( π x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx.∫ sin ( π x ) dx = ∫ dx = − ÷ = 0 20 2 0 0 Dấu xảy f ( x ) = k sin π x Từ ta có: 1 1 − cos 2π x k sin 2π x k = ∫ f ( x ) sin π xdx = ∫ k sin ( π x ) dx = k ∫ dx = x − ÷0 = ⇒ k = 2 2 0 Suy f ( x ) = sin π x Do ∫ f ( x ) dx = ∫ sin π xdx = − cos π x = π π III MỢT SỐ BÀI TỐN KIẾN NGHỊ III Các tốn tự luận: Tính tích phân sau x.e x dx 16 I = ∫ ( x + 1) I = ∫ (3 x + 1) x + x − 2dx 3 π I = ∫ sin x + 3cos x π dx 17 I = cos2 x.ln(sinx + cos x )dx ∫ x + 2x dx ( x + 1)(4 x − 9) I = ∫ 18 I = I = ∫ ln ( x − x ) dx 19 I = I = ∫ ∫ cos x π /4 π /3 π/2 ∫ tan x + cos x dx − cos3 x sin x cos5 xdx x dx 1+ x + 1− x π 20 I = (ecos x + sinx).sin x.dx ∫ 20/29 Một số phương pháp tính tích phân π I = sin x + cos x + dx 4sin x + 3cos x + ∫ 21 I = ∫ π sin x − ÷ 4 I = ∫0 sin 2x + 2(1 + sin x + co s x) dx π x + e x + 2x 2e x dx 23 I = ∫ + 2e x π dx 5cos x − 8sin x.cos x + 3sin x 24 I = ∫ π I = (e cos x + sinx).sin x.dx ∫ 13 I = ) ( 4sin x 28 I = ∫ sin 2x + sin x dx + 3cos x + ln x ( x + 1) dx π 29 I = ∫ π π 14 I = cosx ∫0 + 3sin x + + x ÷ dx dx cos x ln(1 + sin x ) dx sin x ( ) 2x 30 I = ∫ x e + x + dx + 3ln x.ln x dx x 3 15 I = ∫ ) +1 ∫ ( sin x + cos x ) e x 2x 27 I =∫ ( 4x − 2x − 1) e dx c cos x.ln x + + x dx π/ ∫ 0 ∫ π/ 26 I = x 11 I = ∫ e − x dx −π / (e 12 I = e x dx ∫ 25 I = 3x + + x − dx x+2 π /2 ln −1 dx x2 +1 I = + x sinx dx ∫0 cos2 x 10 I = ∫ x + 2x π ∫ 22 I = 4x −1 dx x3 + x + x + −1 III Các toán trắc nghiệm: d ∫ Câu 1: Nếu f ( x ) dx = a d ∫ f ( x ) dx = với a < d < b b A -2 ∫ f ( x ) dx bằng: a B Câu 2: Cho b C 2 D ∫ f ( x ) dx = 10 Kết ∫ 2 − f ( x ) dx ? A 34 B 36 C 40 D 32 Câu 3:Tính K = ∫0 x ln ( x + 1) dx A ln − B ln − C ln + 21/29 D − ln + Một số phương pháp tính tích phân Câu 4: Cho tích phân I = ∫0 x.sin x.cos xdx = Giá trị của a là: π B A x2 + Câu 5:Tính I = ∫0 x2 + C ( e2 Câu 6: Tính I = ∫ e A.1 + ln D π dx A + ln ( + ) 3 − ln + π C B + ln ( + ) ) D − ln ( + ) ln x dx ? x(ln x + 1) B −1 + ln C − ln D + ln 3 Câu 7: Tính I = ∫ (x − 1) 2x − x dx A − B − 15 C − 50 D − 30 I = ∫ ln(3x + x ) − ln x dx Câu 8: Tính A ln − ln π − + 3 ln + ln π + + 3 x −3 dx Câu 9: Tính I = ∫0 x + + x + C A −3 + ln B + ln Câu 10: Tính I = ∫0 + cos1 ÷ A ln B ln + ln π − + 3 D ln + ln π − − 3 C −3 + ln − sin x dx x + cos x + B ln + ÷ cos1 C ln(3 − cos1) D −3 + ln 3 − cos1 ÷ D ln Câu 11: Cho I = ∫ ( x − − x ) dx Giá trị của I là: A I = B I = e Câu 12: Cho I = ∫1 A C I = D I = dx 1+ e = a + b ln Giá trị của T = 2b + a là: x+x B C 22/29 D -1 Một số phương pháp tính tích phân e2 Câu 13: Cho I = ∫ e (x + 1) ln x + ae4 + be2 dx = + c + d ln Chọn phát biểu nhất: x ln x B a = b = c = C A B D A B sai d A a = b = c = d Câu 14: Biết I = ∫ a x − ln x dx = + ln Giá trị của a là: x A B ∫ D C 2017 D -2017 ) ( 2017 Câu 15: Tính I = π C ln2 ln x + 1+ x2 dx ? −2017 A B Câu 16: Tính I = ∫0 ( x + 3x ) 41001 A 3003 B − 1000 ( x + 1) dx 41001 3003 41001 C 2002 D Câu 17: Cho y = f ( x) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn −1 −1 −6;6 Biết ∫ f ( x) dx = ∫ f ( −2x) dx = Tính ∫ f ( x) dx A B 11 ln Câu 18: Cho I = ∫e ln x C D 14 dx = 3ln a − ln b với a , b nguyên dương Tính P = ab + 2e− x − A P = −10 B Câu 19: Cho I = ∫ A P = 15 P = 20 C D P = 10 − x2 b dx = a − ln với a, b, c ∈ R Giá trị T = a.b.c x c B −2 C D − 3 + ln x dx = a (ln + 1) + ln b Với a, b ∈ R Giá trị T = 4a + 2b ( x + 1) Câu 20: Cho I = ∫ A B C D Câu 21: Cho I = ∫ − x − x dc = aπ + b với a, b ∈ R Giá trị a + b gần với A 10 B C e x ( 3x − ) + x − e x ( x − 1) + x − Câu 22: Cho tích phân I = ∫ A B 5 dx = a + ln C 23/29 D b.e5 + Giá trị a + b là: e2 + D Một số phương pháp tính tích phân Câu 23: Cho f ( x ) hàm liên tục R thỏa mãn f ( 1) = 1 ∫ f ( t ) dt = , tính π I = ∫ sin x f ′ ( sin x ) dx 3 A I = B I = − C I = D I = Câu 24: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;2] thỏa mãn ff( 2) = 16, ò A ( x) dx = Tính I = ò x f ¢( 2x) dx B I = 12 C I = D I = 13 I = 20 Câu 25: Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − cos x Tính I = π ∫π f ( x ) dx − A I = π −1 B I = 3π −2 C I = π +2 D I = π +1 Câu 26: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] đông thời thỏa mãn f '( 0) = f ''( x) +[ f '(x) - x] =9 Tính T = ff(1) - A I = 2+ 9ln2 B I = C (0)? I = + 9ln2 D I = 2- 9ln2 Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) liên tục nửa khoảng [ 0; +∞ ) thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) = + e −2 x Khi đó: A e f ( 1) − f ( ) = C e f ( 1) − f ( ) − × e2 + (e = B e f ( 1) − f ( ) = + 1) e + − × 1 − × e2 + D e3 f ( 1) − f ( ) = ( e + 1) e + − Câu 28: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = 10 , ∫ f ′ ( x ) dx = A 20 ∫ x f ( x ) dx = Tính B ∫ f ( x ) dx 43 C 24/29 15 D Một số phương pháp tính tích phân Câu 29: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = 10 , ∫ f ′ ( x ) dx = 27 ∫ x f ( x ) dx = Tính ∫ f ( x ) dx 0 A − 30 B 59 C 23 D 30 Câu 30 Cho hàm số f ( x ) nguyên hàm của hàm số g ( x ) khoảng 2 3 ; +∞ ÷ thỏa mãn điều kiện f ( ) = + f ( 1) , 4 Tính I = ∫ f ( x) + g ( x) x + f ( x ) 21 + 3ln 16 A I = 2x +1 ∫ x + f ( x) dx = 11 16 f ( x ) dx B I = 21 + ln 32 C I = 21 + ln 32 D I = 21 − ln 16 Câu 31: Cho hai hàm f ( x ) g ( x ) có đạo hàm đoạn [ 1; 4] thỏa mãn hệ f ( 1) + g ( 1) = I = thức Tính ∫1 f ( x ) + g ( x ) dx g ( x ) = − x f ' ( x ) ; f ( x ) = − x.g ' ( x ) A ln B 3ln C ln D ln Câu 32: Cho hàm số f ( x ) > xác định, có đạo hàm [ 0;1] thỏa mãn điều x g ( x ) = + 2018∫ f (t ) dt I = kiện Tính ∫0 g ( x) dx g ( x) = f ( x) A I = 1009 C I = B I = 505 1011 D I = 2019 Câu 33: Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đến cấp ¡ f (0) = 0, f '(1) = A 39 , ∫ [f '( x)] dx = , 14 ∫0 ( x + x) f "( x)dx = Tính I = ∫0 f ( x)dx B.14 C D Câu 34 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0; 1] thỏa mãn f ( 1) = , f ′ ( x ) < 0∀x ∈ [ 0; 1] ∫ f ′ ( x ) dx= A I = B I = , f ∫0 ( ) x dx= Tính I = ∫ f ( x ) dx 4 C I = 25/29 D I = Một số phương pháp tính tích phân Câu 35: Cho hàm số f 2 có đạo hàm liên tục [ 1;8] thỏa mãn 2 2 3 ∫1 f ( x ) dx + 2∫1 f ( x ) dx = ∫1 f ( x ) dx − ∫1 ( x − 1) dx Tính A 8ln 27 B ln 27 C ∫ f ' ( x ) dx D Câu 36: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = 1 x ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = A I = − e e2 − Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx e C I = B I = e − D I = e −1 C KẾT QUẢ VÀ KHUYẾN NGHỊ Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm ” Một số phương pháp tính tích phân” tác giả rút số ý kiến sau: Những vấn đề quan trọng sáng kiến kinh nghiệm đề cập: - Giúp học sinh có nhìn tổng qt có hệ thống dạng tốn tính tích phân, từ có kĩ giải thành thạo, nhanh xác tốn thuộc chủ đề học sinh khơng cảm giác e sợ gặp toán mà phải làm theo hình thức tự luận - Tạo cho học sinh có thói quen biết quy lạ quen, đưa khó tính tốn tốn đơn giản hơn, tìm cách tính tốn nhanh nhất, hiệu - Thông qua việc giải dạng tốn tính tích phân nhằm phát triển cho học sinh tư tốn, hình thành cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo tinh thần phương pháp của Bộ Giáo dục Đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập môn Kết thu được: Trong trình thực đề tài, năm học 2017 – 2018 tác giả vận dụng vào tiết tự chọn nâng cao của lớp 12A2 học sinh lớp 12A6 làm đối chứng thấy có sự khác rõ rệt Học sinh học theo hướng của đề tài, em nắm vững phương pháp, biết cách vận dụng vào toán 26/29 Một số phương pháp tính tích phân cụ thể cách nhanh chóng, xác đạt hiệu cao, khơng mà tạo cho học sinh hứng thú học tập Khi học lớp qua lần thi kiểm tra kiến thức 85 đến 90% học sinh làm tốt tốn tính tích phân, có 50 đến 60% học sinh lớp 12A6 giải toán Đề tài phổ biến đến tổ chuyên môn vận dụng vào giảng dạy ôn tập cho học sinh lớp 12 chuẩn bị vào kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, đề tài đồng nghiệp đánh giá cao Khuyến nghị: Mỗi tốn có cách khai thác khác nhau, việc giúp học sinh phát mấu chốt của toán giúp cho người học cảm thấy toán học thực tế, tự nhiên khơng khó em nghĩ đồng thời tạo niềm tin hứng thú học tập với em Nên tạo điều kiện cho học sinh tiếp xúc với toán hay khó với nhiều hướng giải nhằm phát huy hết lực sáng tạo của học sinh giải toán Với tinh thần theo hướng thày giáo em học sinh tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác Chẳng hạn, toán hàm số, toán tổ hợp – xác suất, toán phương pháp tọa độ mặt phẳng, không gian Cuối xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp giúp đỡ góp ý kiến cho tơi hồn thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan là SKKN của mình viết, không chép nội dung của người khác 27/29 Một số phương pháp tính tích phân TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp Giải tốn Giải tích 12- Đỗ Thanh Sơn- Nhà xuất Giáo dục Phương pháp Giải tập trắc nghiệm Tốn tích phân - Huỳnh Cơng TháiNhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn Tốn 12- Lê Hồng Đức, Vương Ngọc, Nguyễn Tuấn Phong - Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Báo Toán học tuổi trẻ, đề thi Đại học đề thi thử THPT Quốc gia năm 2017, 2018 Ba thập kỉ đề thi toán vào trường Đại học Việt Nam – Trần PhươngNhà xuất Đaị học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 28/29 Một số phương pháp tính tích phân MỤC LỤC A Phần mở đầu I Lý mục đích chọn đề tài II Đối tượng thực nghiệm phương pháp nghiên cứu của đề tài Đối tượng thực nghiệm của đề tài Phương pháp nghiên cứu của đề tài B Phần nội dung I Những kiến thức chuẩn bị I.1 Nguyên hàm I.2 Tích phân II Nội dung II.1 Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm II.2 Tính tích phân sử dụng phương pháp đổi biến số II.3 Tính tích phân sử dụng phương pháp tính tích phân từngphần II.4 Tính tích phân sử dụng tính chất của tích phân đặc biệt II.5 Tính tích phân sử dụng bất đẳng thức tích phân III Một số toán kiến nghị 29/29 Trang 1 2 3 5 11 15 18 20 20 21 26 Một số phương pháp tính tích phân III Các toán tự luận III Các toán trắc nghiệm C Kết và khuyến nghị D Tài liệu tham khảo 30/29 28 ... Phương pháp nghiên cứu đề tài: Tác giả lựa chọn phương pháp như: +) Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết +) Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 2/29 Một số phương pháp tính tích phân. .. I.2 Tích phân II Nội dung II.1 Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm II.2 Tính tích phân sử dụng phương pháp đổi biến số II.3 Tính tích phân sử dụng phương pháp tính. .. − ln ⇔ ⇒ a + b2 = 3 b = − II.3 Tính tích phân sử dụng phương pháp tính tích phân phần b Để tính tích phân dạng I = ∫ u( x).v'(x)dx phương pháp tích phân từng a phần, ta thực theo bước