Đang tải... (xem toàn văn)
Các phương pháp giải phương trình bậc 4 toán lớp 10 THPT Gi¶i ph¬ng tr×nh lµ mét trong nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n cña ch¬ng tr×nh THPT. Häc sinh ®• ®îc trang bÞ c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai tõ bËc THCS vµ ®îc nh¾c l¹i ë líp 10. Tuy nhiªn, ®èi víi ph¬ng tr×nh bËc cao nãi chung vµ ph¬ng tr×nh bËc bèn nãi riªng th× häc sinh cha ®îc häc mét c¸ch ®Çy ®ñ c¸c ph¬ng ph¸p ®Ó gi¶i tõng d¹ng ph¬ng tr×nh. Nhng ®©y l¹i lµ mét néi dung quan träng trong c¸c ®Ò thi §¹i häc, Cao ®¼ng, TH chuyªn nghiÖp vµ ®Ò thi häc sinh giái tõ tríc ®Õn nay. Trong khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh: v« tû, lîng gi¸c, mò vµ l«garit, chóng ta còng thêng ph¶i quy vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, trong ®ã cã ph¬ng tr×nh bËc bèn. Mét sè bµi to¸n trong h×nh häc, trong vËt lý sau khi tr¶i qua mét sè bíc, cuèi cïng còng ®Òu ®i ®Õn viÖc ph¶i gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc bèn. Cho dï ®ã chØ lµ mét bíc nhá trong mét bµi to¸n nhng nÕu kh«ng gi¶i quyÕt ®îc bíc nhá nµy th× chóng ta còng cha thÓ ®a ra kÕt luËn cña bµi to¸n ®ã. Nãi ®Õn ph¬ng tr×nh bËc bèn, nhiÒu häc sinh tá ra ¸i ng¹i, lóng tóng v× c¸c em míi chØ n¾m ®îc s¬ qua c¸ch gi¶i mét sè ph¬ng tr×nh bËc bèn ®¬n gi¶n. V× vËy, viÖc trang bÞ ®Çy ®ñ cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc bèn lµ ®iÒu cÇn thiÕt.
Mục lục Trang A- Đặt vấn đề .2 B- Giải vấn đề .2 I C¬ së lý ln cđa vÊn ®Ị II Thực trạng vấn đề nghiên cứu III C¸c biƯn pháp tiến hành để giải vấn đề2 IV Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn Phơng pháp đa phơng trình dạng tích Phơng pháp đặt ẩn phụ .5 Phơng pháp đa hai luü thõa cïng bËc 12 Phơng pháp dùng hệ số bất định .13 Phơng pháp ®¸nh gi¸ 14 V Hiệu sáng kiến kinh nghiÖm…………………………………… 15 C- kÕt luËn 16 D- Tài liệu tham khảo 17 a đặt vấn đề Giải phơng trình dạng toán chơng trình THPT Học sinh đợc trang bị cách giải phơng trình bậc bậc hai từ bậc THCS đợc nhắc lại lớp 10 Tuy nhiên, phơng trình bậc cao nói chung phơng trình bậc bốn nói riêng học sinh cha đợc học cách đầy đủ phơng pháp để giải dạng phơng trình Nhng lại nội dung quan trọng đề thi Đại học, Cao đẳng, TH chuyên nghiệp đề thi học sinh giỏi từ trớc đến Trong giải phơng trình, hệ phơng trình: vô tỷ, lợng giác, mũ lôgarit, thờng phải quy giải phơng trình bậc cao, có phơng trình bậc bốn Một số toán hình học, vật lý sau trải qua số bớc, cuối đến việc phải giải phơng trình bậc bốn Cho dù bớc nhỏ toán nhng không giải đợc bớc nhỏ cha thể đa kết luận toán Nói đến phơng trình bậc bốn, nhiều học sinh tỏ ngại, lúng túng em nắm đợc sơ qua cách giải số phơng trình bậc bốn đơn giản Vì vậy, việc trang bị đầy đủ cho học sinh phơng pháp giải phơng trình bậc bốn điều cần thiết b Giải vấn đề I Cơ sở lý luận vấn đề: - Tìm hiểu phơng pháp thực trạng dạy - học toán THPT - Tìm cách giải nhanh, ngắn gọn dễ hiểu nhằm phát huy óc sáng tạo cho học sinh giải số toán phức tạp - Học sinh biết biến toán có nội dung phức tạp thành toán đơn giản iiI Thực trạng vấn đề nghiên cứu - Trong chơng trình THPT, thời lợng chơng trình có hạn mà mảng phơng trình bậc bậc bốn cha đợc trình bày rõ ràng, đầy đủ Ngợc lại sơ lợc, mang tính chất giới thiệu qua số tập đơn giản - Do cha đợc hệ thống kiến thức cha đợc học đầy đủ phơng pháp để giải dạng phơng trình bậc bốn nên gặp, hầu hết học sinh thấy lúng túng hớng giải - Tuy nhiên, dạng tập phơng trình bậc bốn phong phú, đa dạng phức tạp - Đa số học sinh cha có phơng pháp để giải dạng phơng trình bậc bốn nên nhiều em thờng "bỏ qua" "bỏ dở" toán quy phơng trình dạng Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung từ thực trạng trên, để học sinh dễ dàng tự tin gặp tập phơng trình bậc bốn, giúp em phát huy đợc khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua tËp nhá, cïng víi sù tÝch l kinh nghiƯm cđa thân qua năm giảng dạy, đa sáng kiến kinh nghiệm Các phơng pháp giải phơng trình bËc cho häc sinh líp 10" S¸ng kiÕn kinh nghiệm phục vụ đắc lực cho việc giảng dạy iii Các biện pháp tiến hành để giảI vấn đề Trong trình nghiên cứu sử dụng phơng pháp sau: - Phơng pháp trực quan - Phơng pháp vấn đáp, nêu vấn đề giải vấn đề (là phơng pháp chủ đạo) - Phơng pháp đặc trng môn toán nh phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, so sánh iv Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn Phơng pháp đa phơng trình dạng tích Cho phơng trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) (1) a) Phơng pháp: Cách 1: Nhóm hạng tử, sau đặt thừa số chung để đa vế trái dạng tích Cách 2: - Bớc 1: Đoán nghiệm x0 phơng trình dựa vào kết sau: + NÕu a+b+c+d+e=0 th× (1) cã nghiƯm x = + NÕu a-b+c-d+e=0 th× (1) cã nghiƯm x = -1 + Nếu a, b, c, d, e nguyên (1) có nghiệm hữu tỉ p q p, q theo thø tù lµ íc cđa e vµ a - Bớc 2: + Bằng cách chia đa thức dùng lợc đồ Hoócne, phân tích (1) thành: x = x0 (x- x0)(ax3 +b1x2 +c1x+d1) = ⇔ ax + b1 x + c1 x + d1 = (1.1) + Giải phơng trình (1.1) cách: - Đoán nghiệm x1 phơng trình (1.1) dựa vào kết sau: + Nếu a+b1+c1+d1=0 (1.1) cã nghiƯm x = + NÕu a-b1+c1-d1=0 th× (1.1) cã nghiÖm x = -1 p + NÕu a, b1, c1 ,d1 nguyên (1.1) có nghiệm hữu tỉ q p, q theo thứ tự ớc d1 vµ a c + NÕu ac13 = b13d1 (a, b1 ≠ 0) th× (1.1) cã nghiƯm x = − b - Phân tích (1.1) thành: (x- x1)(ax2 +b2x +c2) = cách chia đa thức dùng lợc đồ Hoócne * Lợc đồ Hoócne : Nếu f(x) có nghiệm x=x f(x) chứa nhân tử (x-x 0), tức : f(x) =(x-x0).g(x) Trong : f(x) = anxn + an -1xn -1 + + a1x + a0 g(x)= bn-1xn-1 + bn - 2xn - + + b1x + b0 víi : b n – = a n b n – = x bn – + a n – bi – = x bi + a i b = x b1 + a1 xi an x = bn- an – x0bn- Ta cã b¶ng sau ( Lợc đồ Hoócne) x0 bi a0 x0 b0 bi-1 x0 b) VÝ dô: bn-2 =an VÝ dô 1: (Đề đại học Ngoại thơng - 2000) Giải phơng trình: (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4 (1.2) Giải: Phơng trình (1.2) (x-1)2(x+4)2+3(x-1)(x+4)-(x+4)=0 (x+4)[(x-1)2(x+4)+3(x-1)-1]=0 x = ⇔ (x+4)x(x2+2x-4)=0 ⇔ x = −4 x = −1 ± VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm : x=0, x= -4, x = Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 -4x3-x2+16x-12 =0 (1.3) Giải: Ta có a+b+c+d+e=0 nên phơng trình có nghiệm x= Đa phơng trình dạng: (x-1)(x3-3x2-4x+12)=0 Phơng trình x3-3x2-4x+12=0 có nghiệm x = nªn x = x −1 = x = ⇔ ⇔ x − = ⇔ (1.3) (x-1)(x-2)(x -x-6)=0 x = −2 x − x − = x = Vậy phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt x =1, x= 2, x= -2, x= * Nhận xét: Phơng pháp đa phơng trình dạng tích phơng pháp thờng đợc nghĩ đến giải phơng trình Nhng việc đa dạng tích gặp khó khăn, nên nghĩ đến việc sử dụng phơng pháp khác Phơng pháp đặt ẩn phụ 2.1 Dạng (PT trùng phơng): ax4 + bx2+c =0 (a 0) (2) a) Phơng pháp: - Đặt t = x2 (t 0), đa (2) phơng trình bậc hai: at2+bt+c=0 (2') - Giải (2'), nÕu (2') cã nghiƯm t0 ≥ th× (2) cã nghiƯm x = ± t0 * Chó ý: - (2) vô nghiệm (2') vô nghiệm (2') có nghiệm t1 ≤ t2 b ⇔ − = 2(m + 1) > ⇔− Khi ®ã nghiƯm cđa (2.3) lµ : - t2 ; - t1 ; t1 ; t2 Bốn nghiệm lập thành cÊp sè céng − t2 + t1 = −2 t1 ⇔ ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 (*) − t1 + t2 = t1 t1 + t2 = 2(m + 1) (**) t1t2 = 2m + Theo định lý Viét ta có: Thay (*) vào (**) ta đợc: m = 5t1 = m + t1 + 9t1 = 2(m + 1) ⇔ ⇔ 9m − 32m − 16 = ⇔ m = − t t = m + t = m + 1 VËy víi m = hc m = - phơng trình cho có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 2.2 Dạng 2: Phơng trình có dạng : ( a1x +a2)(b1x+b2)(c1x+c2) (d1x+d2) = m, a1b1 = c1d1 a1b2 + a2b1 = c1d + c2 d1 víi (3) a) Ph¬ng pháp: - Viết lại phơng trình dới dạng: [a1b1x2+( a1b2 + a2b1 )x+a2b2].[ c1d1 x2+( c1d + c2 d1 )x+c2d2]=m - Đặt t = a1b1x2+( a1b2 + a2b1 )x+a2b2, suy c1d1 x2+( c1d + c2 d1 )x+c2d2=t-a2b2+c2d2 Ta đa (3) phơng trình bậc hai ẩn t: t(t-a2b2+c2d2)=m * Đặc biệt: Khi a1=b1=c1=d1=1, phơng trình có dạng : (x +a2)(x+b2)(x+c2)(x+d2) = m víi b2 + a2 = d + c2 ta có cách giải tơng tự b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x-1)(x+1)(x+3)(x+5)= (3.1) Giải: Phơng trình (3.1) (x-1)(x+5)(x+1)(x+3)= ( x2 + 4x-5)(x2+4x+3) = Đặt t = x2 + 4x-5, phơng trình (3.1) trở thành: t(t+8) = t = ⇔ t2 + 8t – = ⇔ t = Víi t=1 th× x2 + 4x – = ⇔ x2 + 4x - = ⇔ x= − ± 10 Víi t= th× x2 + 4x – = -9 ⇔ x2 + 4x + = ⇔ x = - VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm : x = − + 10 ; x = − − 10 ; x = -2 Ví dụ 2: Giải phơng trình: (2x-1)(x-1)(x-3)(2x+3)=-9 (3.2) Phơng trình (3.2) (2x2-3x+1)(2x2-3x-9)=-9 Giải: Đặt t = 2x2-3x+1, suy 2x2-3x-9=t-10, phơng trình (3.2) trở thành: t = t(t-10)=-9 ⇔ t2-10t+9=0 ⇔ t = x = Víi t=1 th× 2x2-3x+1=1 ⇔ x= ± 73 Víi t = th× 2x2-3x+1=9 ⇔ 2x2-3x-8=0 ⇔ x = 3 73 Vậy phơng trình có nghiệm phân biÖt: x=0, x = , x = 2.3 Dạng : Phơng trình có dạng: e d ax + bx +cx +dx+e =0 (a ≠ 0), víi = ÷ ; e ≠ a b (4) a) Phơng pháp: - Nhận xét x=0 nghiệm (4), chia hai vế cho x2 0, ta đợc: e d a ( x + ) + b( x + ) + c = a x b x - Đặt t= x + d e d , suy x + = t , phơng trình (4) trở bx a x b thµnh: d b at2+bt +c - 2a =0 Đây phơng trình bậc hai quen thuộc 10 * Đặc biệt: Khi a=e, phơng trình có dạng: ax4 + bx3+cx2 ± bx+a =0 (a ≠ 0) ta còng cã cách giải tơng tự b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2x4 - 21x3 +74x2 -105x + 50 = (4.1) Giải: Nhận thấy x =0 lµ nghiƯm cđa (4.1), chia hai vÕ cđa (4.1) cho 25 ) − 21( x + ) + 74 = x x x2 0, ta đợc phơng trình: 2( x + x t = x + ( t ≥ ), suy x + Đặt 25 = t 10 Phơng trình (4.1) trở x2 thành: t = 2t − 21t + 54 = ⇔ t = 2 (tháa m·n ®k) x = x = 5 x Víi t = th× x + =6 ⇔ x − x + = ⇔ x = 9 Víi t = th× x + = ⇔ x − x + 10 = ⇔ x= x Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt là: x=1, x=2, x=5, x= VÝ dô 2: Giải phơng trình: (x-2)4+(x-2)(5x2-14x+13)+1=0 (4.2) Giải: Đặt y=x-2 Phơng trình trở thành: y4+5y3+6y2+5y+1=0 (4.3) Nhận thấy y=0 không nghiệm phơng trình (4.3), chia vế (4.3) cho y2 ta đợc phơng trình : 11 ( y2 + 1 ) + 5( y + ) + = y y y Đặt t = y + ( t ) Phơng trình trở thành: = t (loại) t + 5t +4 = (t/m) t = −4 y Víi t = −4 th× y + = −4 ⇔ y + y + = ⇔ y = −2 ± ⇔ x = Vậy phơng trình có nghiệm : x= * Nhận xét: Phơng trình ban đầu phơng trình dạng nhng với phép đặt ẩn phụ thích hợp, ta đa phơng trình dạng 2.4 Dạng : Phơng trình có d¹ng : ( x + a)4 + ( x + b)4 = c (5) a) Phơng pháp: - Đa (5) dạng phơng trình trùng phơng cách đặt t= x+ a+b b) Ví dụ: Giải phơng trình : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 (5.1) Giải: Đặt t = x + 2, phơng trình (5.1) trë thµnh: ( t-1)4 + ( t+1)4 = 16 ⇔ 2t4 + 12t2 + = 16 ⇔ t4 + 6t2 = ( Phơng trình trùng phơng) t = (loại) t = −7 Víi t2 = th× t = t = -1 Từ suy x= -1 x= -3 Vậy phơng trình có nghiệm : x = - 1; x = -3 2.5 D¹ng 5: Phơng trình có dạng : 12 m( x +a)(x+b)(x+c)(x+d) = nx2 , víi ab = cd ≠ 0, m 0, n (6) a) Phơng pháp: - Nhận thấy x=0 không nghiệm (6), chia hai vế cho x 0, ta đợc: m(x + a+b + - Đặt t = x +a+b+ ab cd ) (x + c+d + )= n x x ab , ta đa (6) phơng trình bậc hai ẩn t: x mt(t-a-b+c+d)=n b) Ví dụ: Giải phơng trình: 4(x+5)( x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 (6.1) Gi¶i: (6.1) ⇔ 4(x+6)( x+10)(x+5)(x+12) = 3x2 4(x2+16x+60)(x2+17x+60) = 3x2 Nhận thấy x=0 không nghiƯm cđa (6.1), chia hai vÕ cho x ≠ 0, ta đợc: 4(x + 16 + 60 ) (x x + 17 + ( 6.2) Đặt t = x + 16 + 60 , phơng trình trở thành: x t = 2 4t ( t + 1) = ⇔ 4t + 4t – = ⇔ t = − x = −8 Víi t= th× 2x + 31x + 120 = ⇔ 15 x=− Víi t=- −35 ± 265 th× 2x2 + 35x + 120 = ⇔ x = 13 60 )= x VËy ph¬ng trình có nghiệm phân biệt: x=-8, x=- 15 , 35 265 2.6 Dạng 6: Phơng trình có dạng: a.A(x) +b.B(x) + c.C(x) =0 với A(x).B(x) = C2(x), B(x) (7) a) Phơng pháp: - Chia hai vế cho B(x) đặt t = C ( x) B ( x) - Phơng trình (7) trở thành: at2+ct+b=0 b) Ví dụ: Giải phơng trình : -x3+2x2-4x +3 - (x2+x+1)2=0 (7.1) Giải: Phơng trình (7.1) ⇔ 2(x-1)2-(x2+x+1)2 - (x3-1) =0 Chia hai vÕ cña (7.1) cho (x2+x+1)2 ta đợc: 2.( x x −1 ) −1 − =0 x + x +1 x + x +1 t = x Đặt t = , phơng trình trở thµnh: 2t − t − = ⇔ t=− x + x +1 Víi t=1 th× x −1 =1 ⇔ x + = (v« nghiƯm) x + x +1 Víi t = − th× x −1 −3 ± 13 = − ⇔ x + 3x − = ⇔ x = x + x +1 2 Vậy phơng trình cho có nghiƯm x = −3 ± 13 2.7 D¹ng 7: Phơng trình có dạng tổng quát: ax4 + bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) a) Phơng pháp: - Bớc 1: Biến đổi phơng trình dạng B(x2+b1x+c1) +C=0 14 a(x2+b1x+c1)2+ - Bớc 2: Đặt t= x2+b1x+c1, phơng trình trở thành: at2+Bt+C=0 b) Ví dụ: Giải phơng trình: x4 -4x3+3x2+2x-20 =0 (8.1) Giải: Phơng trình (8.1) x4 -4x3+4x2-(x2- 2x) -20 =0 (x2- 2x)2-( x2- 2x)-20=0 Đặt t = x2- 2x (t -1), phơng trình trở thành: = t (lo¹i) t2 - t -20 =0 ⇔ (t/m) t = Víi t =5 th× x2- 2x =5 x = Vậy phơng trình có nghiÖm : x = ± Phơng pháp đa hai luỹ thừa bậc a) Phơng pháp: Đa phơng trình dạng: [f(x)]2 = [g(x)]2 ⇔ f(x) = ± g(x) b) VÝ dô: VÝ dô 1: Giải phơng trình: x4 = 24x + 32 (9.1) Giải: Phơng trình (9.1) x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36 ⇔ (x + 2) = ( 2x + 6) 2 x2 + = 2x + ⇔ x + = −(2 x + 6) x2 − 2x − = ⇔ ⇔ x = −1 ± x + x + = Vậy phơng trình có nghiệm : x = + ; x = − − Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 + 4x -1=0 (9.2) Giải: Phơng trình (9.2) x4 +2x2+1 = 2(x2-2x+1) 15 x + = ( x − 1) ⇔ ( x + 1) = ( x − 1) ⇔ x + = − ( x − 1) 2 x − x + + = (VN ) − ± −2 ⇔ ⇔x= x + x + = Vậy phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt x = − ± 2 Phơng pháp dùng hệ số bất định: a) Phơng pháp: Xét phơng trình x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (10) - Bớc1: Giả sử (10) phân tích đợc thành (x2 + a1x + b1)( x2 + a2x + b2)=0 Khi ®ã ta cã: a1 + a = a a a + b + b = b 2 a1b2 + a b1 = c b1b2 = d - Bíc 2: Xt ph¸t tõ b1b2 = d, tiến hành nhẩm tìm hệ số b1; b2; a1 ; a2 x + a1x + b1 = - Bớc 3: Phơng trình (10) x + a x + b = * Chú ý: Phơng pháp thờng áp dụng việc nhẩm tìm hệ số a1; b1; a2; b2 đơn giản b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 + 4x3 +3x2 + 2x - = (10.1) Gi¶i: Gi¶ sư (10.1) phân tích đợc thành : (x2 + a1x + b1)( x2 + a2x + b2) = 16 a1 + a2 = b1 = −1 a a + b + b = b =1 2 ⇔ Khi ®ã: a1b2 + a2b1 = a1 = b1b2 = a2 =1 Phơng trình (10.1) (x2 +3x -1)( x2 + x +1) = −3 − 13 x = x + 3x − = ⇔ ⇔ −3 + 13 x + x + 1=0 (VN ) x = Vậy phơng trình có nghiệm: x= 13 * NhËn xÐt: Tõ b1b2=-1 ta thö với b1=-1, b2=1, từ dễ dàng tìm đợc a1=3, a2=1 Ví dụ 2: Tìm a, b để phơng trình x4 - 4x3 +(4+a)x + b = (10.2) có nghiệm kép phân biệt Giải: Phơng trình (10.2) có nghiệm kép phân biệt x1, x2 nên: x4 - 4x3 +(4+a)x + b = (x-x1)2(x-x2)2 ⇔ x4 - 4x3 +(4+a)x + b = x 4-2(x1+x2)x3+(x12+x22 +4x1x2)x2- 2x1x2(x1+x2)x+x12x22 §ång nhÊt vÕ, ta cã: x1 + x2 = (1) −4 = −2( x1 + x2 ) 2 0 = x1 + x + 4x1x (x1 + x ) + 2x1x = (2) ⇔ + a = −2x1x ( x1 + x ) 2x1x ( x1 + x ) = −4 − a (3) b = x x x x = b (4) x1 + x = ⇔ x1,2 = ± x1x = −2 Tõ (1), (2) ⇒ ThÕ vµo (3), (4) ta đợc a=b=4 Vậy với a= b =4 phơng trình có nghiệm kép phân biệt 17 Phơng pháp đánh giá: a) Phơng pháp: Sử dụng đẳng thức, bất đẳng thức để đánh giá vế phơng trình Từ đa kết luận nghiệm phơng trình b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình x4 + 8x2 8x + 17 = (11.1) Giải: Phơng trình (11.1) ⇔ x4 - 8x2 + 16 + 16x2– 8x + = ⇔ ( x2 – 4)2 + ( 4x – 1)2 = V× ( x − 4) ≥ nªn (2) ⇔ (4 x − 1) ≥ x = ±2 ⇔ x = x − = 4 x − = VËy phơng trình vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình: ( x − ) + ( x − ) = 4 (11.2) Gi¶i: DƠ thÊy x = ; x = nghiệm (11.2) Xét giá trị lại x: +) Víi x < 8, ta cã − x > ⇒ ( − x ) > , ( x − ) > 4 Suy vế trái (11.2) lớn nên (11.2) v« nghiƯm +) Víi x > 9, ta cã x − > ⇒ ( x − ) > , ( x − ) > 4 Suy vế trái (11.2) lớn nên (11.2) vô nghiệm +) Với < x < th×: < x – < => (x-8)4< x-8 < – x < => (x-9)4= (9-x)4 < 9-x ⇒ ( x − 8) + ( x − ) < x – + x = nên (11.2) vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm : x = 8, x = 18 v HiƯu qu¶ cđa sáng kiến kinh nghiệm Thông qua trình giảng dạy học sinh lớp 10 ôn luyện cho đối tợng học sinh giỏi, áp dụng đề tài kết cho thấy: - Học sinh có khả nhìn nhận xác cách giải phơng trình bậc bốn - Học sinh tự tin phân tích để lựa chọn phơng pháp giải hay, ngắn gọn cho dạng phơng trình bậc bốn - Hình thành đợc t logic, kỹ giải phơng trình bậc bốn Đồng tời tạo hứng thú học tập cho học sinh C kết luận - Trong trình dạy học phơng trình, hệ phơng trình bất phơng trình nói chung, thấy phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cha đợc trình bày cách đầy đủ Vì vậy, không học sinh lớp 10 mà học sinh lớp 11, 12 thấy lúng túng gặp loại phơng trình Rất mong có thêm nhiều tài liệu viết đề tài để góp phần cho việc dạy học đạt hiệu cao - Trong trình giảng dạy, nhận thấy tài liệu hữu ích giáo viên mang lại kết khả quan 19 dạy học sinh Hy vọng trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh ngời quan tâm đến vấn đề Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót Rất mong ®ỵc sù ®ãng gãp ý kiÕn cđa ngêi ®äc Ci cùng, xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp giúp đỡ hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này! D tài liệu tham khảo - Các giảng luyện thi môn toán- NXB Giáo dục - Tuyển chọn 400 toán đại số 10- Hà Văn Chơng NXB ĐHQG Hà Nội - Đại số sơ cấp- Trần Phơng - Lê Hồng Đức NXB Hà Nội - Tạp chí toán học tuổi trẻ 20 - Đề thi tuyển sinh môn toán- NXB Giáo dục 1996 21 ... đề Giải phơng trình dạng toán chơng trình THPT Học sinh đợc trang bị cách giải phơng trình bậc bậc hai từ bậc THCS đợc nhắc lại lớp 10 Tuy nhiên, phơng trình bậc cao nói chung phơng trình bậc. .. - 2000) Giải phơng trình: (x2+3x -4) 2+3(x2+3x -4) =x +4 (1.2) Giải: Phơng trình (1.2) (x-1)2(x +4) 2+3(x-1)(x +4) -(x +4) =0 (x +4) [(x-1)2(x +4) +3(x-1)-1]=0 x = ⇔ (x +4) x(x2+2x -4) =0 ⇔ x = 4 x =... phơng trình x4 - 4x3 + (4+ a)x + b = (10. 2) có nghiệm kép phân biệt Giải: Phơng trình (10. 2) có nghiệm kép phân biệt x1, x2 nªn: x4 - 4x3 + (4+ a)x + b = (x-x1)2(x-x2)2 ⇔ x4 - 4x3 + (4+ a)x + b = x 4- 2(x1+x2)x3+(x12+x22