PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2016-2017 Đề thức MƠN:TỐN Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 02 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu Cho biết x  x  13  x  x  10 1 Giá trị biểu thức A x  x  13  x  x  10 là: B Câu Cho biểu thức M = C 2 1  2  D 1 3   2017 2016  2016 2017 Giá trị biểu thức M là: A 2016  2016 B 2016 C 2016  2017  2017 D 2017 2017  Câu Cho ba điểm A(-1;6); B(-4;4), C(1;1) Tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD là: A (3; -4) B.(-4; 3) C.(4; -3) D (4;3) (d) Câu Cho đường thẳng y = (m - 2)x + Giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là: C A 2- B + D Câu Gọi góc tạo đường thẳng (d): y = 2017(x - 1) + 2016 với trục hoành αo Vậy tan(180 - α)o có giá trị là: A 2017 B 2016 2017 C -2017 D 2017 Câu Giá trị nhỏ hàm số y = x   x  x  là: A B -1 C D Câu Cặp số (x;y) thỏa mãn phương trình 3x2 - 6x + y - = cho y đạt giá trị lớn là: A (3;-2) B (-1; 4) C (1; 5) D (-1;5) Câu Cho phương trình bậc hai x  mx   (m �0) Biết phương trình ln có 2m nghiệm phân biệt x1; x2 với m Giá trị nhỏ x14 + x24 là: A B  C + D 3+ Câu Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 8cm, CD =12cm Điểm M thuộc AB cho DM chia hình thang thành hai phần có diện tích Độ dài đoạn BM là: A 2cm B 2,4cm C 3cm D 3,4cm Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A D, E thuộc cạnh BC cho BD = DE = EC Biết AD =10cm, AE =15cm Độ dài đoạn BC là: A 65 cm B 65 cm C 65 cm D 65 cm Câu 11 Cho tam giác vng có chu vi 72cm, hiệu đường trung tuyến đường cao ứng với cạnh huyền 7cm Diện tích tam giác vng là: A 36 B 72 C.144 D 288 Câu 12 Tam giác ABC có độ dài cạnh AB, BC, AC ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Độ dài HM bằng: A 2,4 B 2,8 C 1,4 D � Câu 13 Cho hình vng ABCD M, N thứ tự trung điểm BC, CD Ta có cos MAN bằng: A 0,8 B 1,25 C D Câu 14 Cho đường tròn (O; 2), tiếp tuyến AB AC kẻ từ A đến đường tròn vng góc với A (B, C tiếp điểm), M điểm cung nhỏ BC Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự D E Chu vi tam giác ADE bằng: A B C D Câu 15 Biết bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác cân 6cm 12,5cm Cạnh đáy tam giác cân bằng: A 24cm D 20cm B 21 cm C 21 cm Câu 16 Một ca nơ xi dòng khúc sơng dài 80km ngược dòng 64km hết với vận tốc khơng đổi Biết vận tốc xi dòng vận tốc ngược dòng 4km/giờ Vận tốc riêng ca nơ bằng: A 18km/giờ B 12,5km/giờ C 16km/giờ D 24km/giờ II Phần tự luận (12 điểm) Câu 1(3 điểm) a) Cho số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: x3 + y3 = 2(z3 – 8t3) Chứng minh rằng: x + y + z + t chia hết cho x3 Hãy tính giá trị biểu thức sau:  3x  3x        2014   2015   f  f   f   f  P= f  2016   2016   2016   2016   2016  b) Cho f  x   Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình sau:  3x  1 x  3x  x   x  y 9 b) Giải hệ phương trình sau:   x  y  x  y 0 Câu (4điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C di động đường tròn (C  A, C  B) cho BC < CA Lấy điểm I AB cho IB < IA Đường thẳng qua I vng góc với AB cắt AC F BC E Lấy điểm M đối xứng với điểm B qua I a) Chứng minh IE.IF = IA.IB b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE N Chứng minh B, F, N thẳng hàng c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FAE chạy đường thẳng cố định C di động đường tròn Câu (1,5điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1   1 2 2ab  2bc  2ca  .Hết Họ tên thí sinh: .SBD: Cán coi thi không cần giải thích thêm./ PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm có: 04 trang A Một số ý chấm Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà tổ chấm cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm B Đáp án thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu 10 11 12 13 14 Đáp án B C D A,B C D C C B A C D A B II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1(3 điểm) Cho số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: x3 + y3 = 2(z3 – 8t3) Chứng minh rằng: x+y +z+ t chia hết cho 15 16 A,C A x3 b) Cho f  x   Hãy tính giá trị biểu thức sau:  3x  3x        2014   2015   f  f   f   f  P= f   2016   2016   2016   2016   2016  Nội dung 3 Điểm 0,5 a) ta có x + y = 2(z – 8t )  x3 +y3 +z3 +t3 = 3z3 -15t3  lại có x3 – x = (x – 1)x(x + 1) tích số nguyên liên tiếp nên x3 – x  Tương tự ta có y3 – y  3; z3 – z  t3 – t  suy (x3- x +y3 – y +z3 – z + t3 – t ) 3 hay (x3 +y3 +z3 +t3) – (x + y + z + t)  mà x3 +y3 +z3 +t3 3  x + y + z + t 3 b) Nhận xét Nếu x  y  f  x   f  y   1 x � f  y   f  1 x   Thật vậy, ta có f  x   3 x   1 x x   1 x 1 x  x3   suy f  x   f  y   f  x   f   x   3 x   1 x x  1 x x3 �1 � Vậy, nhận xét chứng minh Ta có f � � �2 � Theo nhận xét ta có: P=      2007   2015       2014    2009   1  f  2016   f  2016     f  2016   f  2016      f  2016   f  2016    f                    0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 = 1+ + + + = 1007 +0,5 = 1007,5 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình sau:  3x  1 x  3x  x   x  y 9 b) Giải hệ phương trình sau:   x  y  x  y 0 Nội dung a) ĐK: x  1 Điểm 0,25 Đặt x  = t (t>0) pt cho trở thành: 2t2 – (3x + 1)t +x2 +2x – = 0, coi pt bậc hai với ẩn t, ta có t  x   = x – 10x +25= (x – 5) suy  t  x   x 1  x 1   x  Nếu t = x-1 ta có x  = x-   2  x   x  x   x  Nếu t = 0,5 x 3 ta có x2   x 3  x 3 x 3   x 1  2 x  x  12  x  x    Đối chiếu điều kiện toán ta thấy x = nghiệm phương trình cho  x  y 9(1) b)   x  y  x  y 0(2) Lấy phương trình (2) nhân với -3 cộng với pt (1) ta được: x3 – y3 – 6x2 -3y2 +12x - 3y =  (x - 2)3 = (y + 1)3  x = y + Thế x = y + vào pt (2) ta có: 3y2 + 9y + =  y  y  0 0,5 0,5 1,0  y     y  Với y = -1 x =2 Với y = -2 x = 0,75 Vậy hệ cho có hai nghiệm (2; -1) (1; -2) Câu (4điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C di động đường tròn (C  A, C  B) cho BC < CA Lấy điểm I AB cho IB < IA Đường thẳng qua I vng góc với AB cắt AC F BC E Lấy điểm M đối xứng với điểm B qua I a) Chứng minh IE.IF = IA.IB b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE N Chứng minh B, F, N thẳng hàng c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FAE chạy đường thẳng cố định C di động đường tròn Nội dung Điểm E H N F A M O I C B a) Tam giác EMB có EI vừa đường cao, vừa đường trung tuyến  tam giác EMB cân E  EI phân giác   MEI BEI Tam giác ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB nên  ACB 90   BEI BAC (cùng phụ với góc ABE)  IME IFA đồng dạng  IM IE  mà IM = IB (gt)  IE.IF = IA.IB IF IA b) Tam giác ABE có hai đường cao EI AC cắt F  F trực tâm tam giác ABE  BF  AE (1) Mặt khác tam giác ENF nội tiếp đường tròn đường kính EF (Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF)  FN  AE (2) Từ (1) (2) suy ba điểm B, F, N thẳng hàng c) Dễ thấy  ENF  BIF đồng dạng nên  NEF  FBI mà  FBI  FMI suy  NEF  FMI  tứ giác AEFM nội tiếp đường tròn Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFM đường tròn ngoại tiếp tam giác FAE Gọi tâm đường tròn H Vì B, I cố định nên M cố định (vì M đối xứng với B qua I), A cố định  AM cố định điểm H chạy đường trung trực d AM cố định C di động (O) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 Câu (1,5điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a+b+c = Chứng minh rằng: 1   1 2 2ab  2bc  2ca  Nội dung Điểm 1 1 1   1   1  1  1  2 2 2ab  2bc  2ca  2ab  2bc  2ca  ab bc ca    1 2ab  2bc  2ca  0,25 Theo bất đẳng thức cauchy ta có: 2ab2 + = ab2 +ab2 +1 33 a b suy ab ab a  2b   ab  2ab  33 a b Tương tự ta có: bc b  2c ca c  2a   2 9 2bc  2ca  Cộng vế bất đẳng thức ta được:  0,5 0,5 ab bc ca 3(a  b  c) a  b  c      1 2 3 2ab  2bc  2ca   a b c  a b c 1 a  b  c   Đẳng thức xảy  0,25 ... 2014   2015   f  f   f   f  P= f   2016   2016   2016   2016   2016  Nội dung 3 Điểm 0,5 a) ta có x + y = 2(z – 8t )  x3 +y3 +z3 +t3 = 3z3 -15t3  lại có x3 – x = (x...  2007   2015       2014    2009   1  f  2016   f  2016     f  2016   f  2016      f  2016   f  2016    f                    0,5... – 8t3) Chứng minh rằng: x + y + z + t chia hết cho x3 Hãy tính giá trị biểu thức sau:  3x  3x        2014   2015   f  f   f   f  P= f  2016   2016   2016   2016