Phép biến đổi tơng đơng áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị I - Phép biến đổi tơng đơng 1) Phơng pháp chung - Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tơng đơng về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngợc lại) - Một số ví dụ; VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a 3 + b 3 + abc ab (a + b + c) Lời giải: Ta có a 3 + b 3 + abc ab (a + b + c) a 3 + b 3 + abc a 2 b + ab 2 + abc (a+b)(a 2 _ab+b 2 ) ab (a+b) (a+b) (a-b) 2 0 Ta có: a; b; > 0 a + b > 0 (a - b) 2 0 a, b (a + b).(a - b) 2 0 (Luôn đúng) a, b > 0 a3 + b3 + abc ab (a+b+c) (ĐpCM) VD2: Cho a, b, c > 0 CM: ab bc ca a b c c a b + + + + Lời giải: Ta có ab bc ca a b c c a b + + + + a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 abc (a + b + c) 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) 2 abc(a + b + c) (a 2 b 2 + b 2 c 2 - 2ab 2 c)+ (a 2 b 2 + a 2 c 2 - 2a 2 bc) + (b 2 c 2 + c 2 a 2 - 2abc 2 ) 0 b 2 (a - c) + a 2 (b - c) 2 + c 2 (a - b) 2 0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 ) Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của Cm: a b c a c b 1 b c a c b a + + − − − < Bµi lµm §Æt M = a b c a c b b c a c b a + + − − − cã M = a b b c c a b a c b a c − + − + − 2 2 2 2 2 2 a b b c c a M ab bc ac − − − ⇔ = + + 2 2 2 2 2 2 1 M . ca cb ab ac bc ba abc ⇔ = − + − + − (V× a; b; c > 0) ( ) ( ) 1 M . a c . b2 ac ab bc abc ⇔ = − + − − ( ) ( ) ( ) 1 M . a c . c b . b a abc ⇔ = − − − cã c a b> − a b c> − b c a> − a b . b c . c a a.b.c⇒ − − − < ( ) ( ) ( ) 1 1 . a b b c c a .abc 2 abc abc M 1 ⇔ − − − < = ⇔ < VËy a b c c b 1 b c a a a + + − − < VD4 :Cho ab ≥ 1 CM: 1 1 2 (1) a2 1 b2 1 ab 1 + ≥ + + + Bµi gi¶i Ta cã (1) 2 2 2 2 2 2 a b 2 2 ab 1 a b 1 a b + + ⇔ ≥ + + + + 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b 2 . ab 1 . a b a b 12 + + + + + + (Vì ab 1 ) 3 3 2 2 2 2 a b ab 2a b a b 2ab 0 + + ( ) ( ) 2 2 2 2 ab. a 2ab b a 2ab b 0 + + ( ) ( ) 2 ab 1 . a b 0 ( Luôn đúng n a 1 ) 2 1 1 2 b2 1 ab 1 a 1 + + + + Dấu = xảy ra a b ab 1 = = VD5:Cho a 1; b 1 ; c 1 CM: 3 3 3 1 1 1 3 1 abc a 1 b 1 c 1 + + + + + + Bài làm áp dụng kết quả ở ví dụ 4 ta có: ( ) 3 3 2 3 3 3 1 1 1 2 1 a 1 b 1 a b 1 a + = + + + + Tơng tự: 3 4 1 1 2 1 abc c 1 abc 1 + + + + 3 3 3 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 abc 1 a 1 b 1 c 1 a b abc 1 + + + + ữ ữ + + + + + + mà : ( ) ( ) 2 2 3 3 4 4 4 3 3 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 1 a b abc 1 1 a b 1 abc 2 4 2. 1 abc 1 a b c ữ + = + ữ ữ ữ + + ữ + + ữ = + + 3 3 3 1 1 1 1 4 1 abc 1 abc 1 a 1 b 1 c + + + + + + + + 3 3 3 1 1 1 3 1 abc 1 a 1 b 1 c + + + + + + 3 A C h a B a b c Dấu = xảy ra a = b = c = d VD6: Cho abc Với: A B C a b c b a c b c a a c b h h h h h h h h h h h h + + + + (ha ; hb ; hc lần lợt là các đờng cao hạ từ A; B; C xuống 3 cạnh của ) Bài làm: Gọi S là diện tích ABC a a 1 2S S a.h h 2 a = = tơng tự: b c 2S 2S h ; h b c = = (1) 2S 2S 2S 2S 2S 2S a b c b a c 2S 2S 2S 2S 2S 2 ab S b a c b + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c b a b c b a c b c c a a b a c c b b a c(b a)(a b) c (b a) ab(b a) 0 (b a)(ac bc c ab) 0 (b a)(c b)(a c) 0 + + + + + + + + + + Lại có A B C a b c (Quan hệ cạnh góc trong ) ( ) ( ) ( ) b a 0 a c 0 b a c b a c 0 c b 0 Đpcm Dấu= xảy ra (=) a c a b c a = = = VD7 : CM: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca 4 Tõ ®ã chøng minh: 8 8 8 3 3 3 a b c 1 1 1 a b c a .b .c + + ≥ + + Víi a , b , c , > 0 Bµi gi¶i: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (*) ⇔ 2(a 2 + b 2 + c 2 ) - 2.(ab + bc + ca) ≥ 0 (=) (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 ≥ 0 ( lu«n ®óng ) DÊu “=” x¶y ra (=) a = b = c Ta cã : a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 a 8 + b 8 + c 8 ≥ a 4 b 4 + b 4 c 4 + c 4 a 4 ¸p dông (*) ⇒ a 8 + b 8 + c 8 ≥ a 4 b 4 + b 4 c 4 + c 4 a 4 ≥ a 2 b 3 c 3 + a 3 b 2 c 3 + a 3 b 3 c 2 8 8 8 3 3 3 1 1 1 a b c a b c a b c   ⇔ + + ≥ + +  ÷   8 8 8 3 3 3 a b c 1 1 1 a b c a b c + + ≥ + +⇔ DÊu ®¼ng thøc x¶y ra (=) a = b = c VD 8: Cho a ; b ; c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña 1 ∆ ; p lµ nöa chu vi Cm: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c   + + ≥ + +  ÷ − − −   Bµi gi¶i Tõ bÊt ®¼ng thøc 1 1 1 x y x y + ≥ + (x ; y kh«ng ©m ; xy ≠ 0 ) (DÔ dµng CM ®îc B§T C«si) Ta cã: 1 1 4 4 p a p b 2p a b c + ≥ = − − − − 1 1 4 p b p c a 1 1 4 p c p a b + ≥ − − + ≥ − − Céng tõng vÕ cña B§T trªn ta ®îc: 5 1 1 1 1 1 1 2 4 p a p b p c a b c + + + + ữ ữ 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + + + ữ *Chú ý : Biến đổi ngợc lại ta sẽ đợc một bài C/m BĐT bằng cách biến đổi tơng đ- ơng thực sự. VD 9: Cho a> b > 0 ; m > n n N ; m N m m n n m m n n a b a b CM : a b a b > + + (*) Bài làm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m n n n n m m m n m n m n m n n m n m n m m n m n n m n n m n m n (*) a b a b a b a b a .a a .b b .a b .b a .a a .b b .a b .b 2 a .b a .b 0 2.a .b a b 0 (1) + > + + > + > > Có a > b m n m 1 a b > (1) luôn đúng (*) luôn đúng Đpcm *Một số bài tập áp dụng: 1) Cho z y x 0 > C/m: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 y x z x z (*) x z y x z + + + + + ữ ữ 2) Cho a , b , c là các số thực dơng thoả mãn abc = 1 CMR: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 2 a b c b c a c a b + + + + + ( Chú ý BĐT Nesôlsit ) 6 x y z 3 y z x z x y 2 + + ≥ + + + 3) NÕu a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña 1 ∆ CM: a(b - c) 2 + b(c - a) 2 + c(a + b) 2 > a 3 + b 3 + c 3 (*) 4) CM: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d+ + + ≥ + + + 5) CM: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b d c a c b d a d b c ab bc cd da ac bd + + + + + + + + ≥ + + + + + (a, b, c, d ≥ 0) 6) CM: 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 + + + +   ≥  ÷   7) CM: a) a b c 1 (a,b,c 0) a b b c a c + + > > + + + b) 2 2 2 2 2 x x z y z (0 x y z) z x y z x + + < < < < < + + 8) Cho a, b, c ≥ 0 CMR: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c a b c a b c 3abc+ − + + − + + − ≤ II - ¸p dông B§T ®Ó t×m cùc trÞ - Mét sè B§T thêng gÆp ®Ó t×m cùc trÞ * B§T C«si: Cho n sè kh«ng ©m: a 1 , a 2 , a n ta cã: (a 1 + a 2 + . + a n ) n 1 2 n n a a .a≥ * B§T Bunhiac«pxki: Cho 2 bé sè (a 1 , a 2 , .a n ) vµ (b 1 , b 2, , .b n ) Ta cã: 7 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 n a b a b . a b a a . a b . b+ + + + + + + + Dấu = xảy ra 1 2 n 1 2 n a a a . b b b = = = * BĐT trị tuyệt đối a b a b + + * BĐT trong tam giác Ta phải áp dụng linh hoạt các bất đẳng thức trên để có thể tìm đợc cực trị Khi tìm cực trị của các biểu thức ta nên xem xét các biểu thức phụ nh -A; 1 A ; A 2 . để bài toán thêm ngắn gọn * Sau đây ta xét một vài ví dụ cơ bản VD1: Tìm max có biểu thức: A = xyz (x+y) (y+z) (z+x) với x, y, z không âm và x+y+z=1 + Có một bạn giải nh sau: áp dụng BĐT: ( ) 2 a b 4ab+ Ta có: ( ) ( ) 2 4 x y z x y z 1+ + + = ( ) ( ) 2 4 x y x x y z 1+ + + = ( ) ( ) 2 4 x y y x y z 1+ + + = ( ) ( ) ( ) 64xyz x y y z z x 1 1 max A 64 + + + = *Chú ý: Lời giải trên là hoàn toàn sai lầm do cha tìm ra dấu bằng khi áp dụng BĐT. + Ta có lời giải hoàn chỉnh nh sau: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: 3 x y z 1 xyz (1) 3 27 + + = ữ 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 x y z 8 x y y z z x (2) 3 27 + + + + + = ữ Nhân từng vế của (1) và (2) ta đợc ( ) ( ) ( ) 2 8 8 xy x y y z z x 729 27 + + + + = Dấu = xảy ra x = y = z = 1 3 ** Tơng tự ta dễ mắc phải sai lầm trong ví dụ sau - Tìm min của A = 2x +3y biết 2x 2 + 3y 2 5 Lời giải sai: Gọi B = 2x 2 + 3y 2 ta có B 5 Xét A + B = ( ) 2 2 1 5 5 2 x 1 3 y (1) 2 4 4 + + + ữ Mà B 5 B 5 Cộng từng vế của (1); (2) 25 A 4 *Chú ý : Sai lầm ở đây chính là ở chỗ ta cha xét dấu bằng ở cả hai BĐT * Một số bài tập cơ bản áp dụng BĐT Côsi: 1) Tìm min của ( ) x2 4x 4 A x 0 x + + = > ( ) ( ) 3 2 x 1 B x 0 x 1 5 C 0 x 1 1 x x + = > = + < < L ời giải: 2 x 4x 4 4 4 ) A x 4 4 2 x x x x A 8 A min 8 x 2 + + + = = + + + = = Tơng tự giải bài B,C +) 3 3 2 2 2 2 3 x 1 1 x x 1 x.x 3 B x 3 2 2 x x x 2.2x 3 4 + = = + = + + = 9 3 3 3 B min B x 2 4 = = ( ) ( ) 5 1 x 5 1 x 1 5 x x ) C 5 5 2 2 2 5 1 x x 4 x x 1 x x 5 5 C min 5 2 5 x 4 + = + = + + + = + = + 2) Tìm max của A = (2x-1) (3-5x) ( ) 2 3 2 2 x B x 2 x C x 2 = + = + Bài giải ( ) ( ) ( ) 2 2 3 A 2x 1 3 5x 3x . 3 5x 5 2 2 1 5 2 1 1 1 . 5x 3 5x . . 5 4 2 5 4 4 40 1 11 A max A x 40 20 = = ữ + = = ữ = = Tơng tự chúng ta dễ dàng giả đợc phần B; C 3) Cho a, b, c > 1 Tìm min của 2 2 2 4a 5b 3c A a 1 b 1 c 1 = + + Xét: ( ) ( ) 2 2 4a 4a 4 4 4 4 a 1 a 1 a 1 a 1 4 4 a 1 8 a 1 + = = + + = + + áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 4 (a -1); 4 a 1 ta có: 10