  ⇔  ⇔ CHƯƠNG VII PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ P H ƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA GI Á TR Ị T U YỆT ĐỐI A) PHƯƠNG T R ÌNH LƯNG GIÁC C H ỨA C A ÊN Cách g i ả i : Áp dụng các công thức  A ≥ 0  B ≥ 0 A = B ⇔   A = B  B ≥ 0 ⇔   A = B A = B ⇔   A = B 2 Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng giác nên ta xử lý điều kiện B  0 c ác ba øi t o a ù n quá phức tạp. bằng phương pháp thử lại và chú ng tôi bỏ Bài 13 8 : Giải phương trình 5 cos x − cos 2x + 2 sin x = 0 ( * ) ( * ) ⇔ 5 cos x − cos 2x = −2 sin x  sin x ≤ 0 ⇔   5 cos x − cos 2x = 4 sin 2 x   sin x ≤ 0  5 cos x − ( 2 cos 2 x − 1 ) = 4 ( 1 − cos 2 x )  sin x ≤ 0 ⇔   2 cos 2 x + 5 cos x − 3 = 0  sin x ≤ 0   cos x = 1 ∨ cos x = − 3 ( loại ) 2  sin x ≤ 0 ⇔  π  x = ± +  3 k2π, k ∈ ⇔ x = − π + k2 π , k ∈ 3 Bài 13 9 : Giải phương trình sin 3 x + cos 3 x + sin 3 x cot gx + cos 3 xtgx = 2 sin 2x     ⇔ 4   ⇔ 1      si Điều kiện :  cos x ≠ 0   sin x ≠ 0  sin 2x ≥ 0 Lúc đó :  sin 2x ≠ 0 ⇔   sin 2x ≥ 0 ⇔ sin 2x > 0 ( * ) ⇔ sin 3 x + cos 3 x + sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = ⇔ sin 2 x ( sin x + cos x ) + cos 2 x ( cos x + sin x ) = 2 sin 2x 2 sin 2x ⇔ ( sin x + cos x ) ( sin 2 x + cos 2 x ) = 2 sin 2x sin x + cos x ≥ 0 ⇔   ( sin x + cos x ) 2 = 2 sin 2x   π    π   2 sin  x +  ≥ 0  sin  x +  ≥ 0 ⇔   4  ⇔   4   1 + sin 2x = 2 sin 2x  sin 2x = 1 ( nhận do sin 2x > 0 )    n  x + π  ≥ 0  in  x + π  ≥ 0 si 4  s 4  ⇔    ⇔     x =   π + k π , k ∈ 4  x = π + m2 π ∨ x = 5 π + m2 π ( loại ) , m ∈   4 4 ⇔ x = π + m2 π , m ∈ 4 Bài 14 0 : Giải phương trình 1 + 8 sin 2x. cos 2 2x = 2 sin  3x + π  ( * )   π   4  Ta có : (*)  sin  3x +     ≥ 0   1 + 8 sin 2x cos 2 2x = 4 sin 2  3x + π    4     si   n  3x + = π  ≥ 0   4    1 + 4 sin 2x ( 1 + cos 4x ) = 2  − cos( 6x + π )    2   π   sin  3x +  ≥ 0 ⇔   4   1 + 4 sin 2x + 2 ( sin 6x − sin 2x ) = 2 ( 1 + sin 6x )  sin  3x + π  ≥ 0  n  3x + π  ≥ 0   4    4  ⇔    ⇔     sin 2x = 1  x = π + k π ∨ x = 5 π + k π , k ∈ 2 12 12 ⇔  ⇔ ⇔  So lại với điều kiện sin  3x + π  ≥ 0  4  • Khi x =   π + k π thì 12 sin  3x + π  = sin  π + 3k π  = cos k π  4   2       1 , ( nếu k chẵn ) ( nhận ) =  −1, ( nếu k lẻ ) ( loại ) • Khi x = 5 π + k π thì 12 sin  3x + π  = sin  3 π + 3k π  = sin  − π + k π         4   2   2   −1 , nếu k chẵn =  ( loại )   1 , nếu k lẻ ( nhận ) Do đó ( * ) ⇔ x = π + m2 π ∨ x = 5 π + ( 2m + 1 ) π , m ∈ 12 12 B a øi 14 1 : Giải phương trình 1 − sin 2x + sin x 1 + sin 2x = 4 cos x ( * ) Lúc đó : ( * ) ⇔ 1 − sin 2x + 1 + sin 2x = 2 sin 2x ( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệ m , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 )   2 + 2 1 − sin 2 2x = 4 sin 2 2x  sin 2x ≥ 0   1 − sin 2 2x = 2 sin 2 2x − 1 ⇔    sin 2x ≥ 0  1 − sin 2 2x = 4 sin 4 2x − 4 sin 2 2x + 1  ⇔  sin 2 2x ≥ 1  2 sin 2x ≥ 0  sin 2 2x ( 4 sin 2 2x − 3 ) = 0   1  sin 2x ≥  2  3 − 3  sin 2x = ∨ sin 2x =  2 2  sin 2x ≥ 2  2 ⇔ sin 2x = 3 2        ⇔ 2x = π + k2 π ∨ 2x = 2 π + k2 π , k ∈ 3 3 ⇔ x = π + k π ∨ x = π + k π , k ∈ 6 3 Chú ý : C ó thể đưa về phương trình chứa giá trò tuyệt đối sin x ≠ 0 ( * ) ⇔    cos x − sin x + cos x + sin x = 2 sin 2x ⇔ cos x − sin x + cos x + sin x = 2 sin 2x Bài 14 2 : Giải phương trình sin x + 3 cos x + sin π sin x + 3 cos x = 2 ( * ) Đặ t t = sin x + 3 cos x = sin x + 3 cos x cos π 3 ⇔ t = 1 sin  x + π  = 2 sin  x + π  π cos  3 3   3  ( * ) thành t + t = 2 ⇔ t = 2 − t  2 − t ≥ 0 ⇔   t = 4 − 4t + t 2  t ≤ 2  t ≤ 2 ⇔   t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔  t = 1 ∨ t = 4 ⇔ t = 1 Do đó ( * ) ⇔ sin  x + π  = 1 ⇔ x + π = π + k2 π hay x + π = 5 π + k2 π , k ∈  3  2 3 6 3 6 ⇔ x = − π + k2 π ∨ x = π + k2 π , k ∈ 6 2 Bài 14 3 : Giải phương trình 3 tgx + 1 ( sin x + 2 cos x ) = 5 ( sin x + 3 cos x ) ( * ) Chia hai vế của (*) cho cos x ≠ 0 ta được ( * ) ⇔ 3 tgx + 1 ( tgx + 2 ) = 5 ( tgx + 3 ) Đặ t u = tgx + 1 với u ≥ 0 Thì u 2 − 1 = tgx (*) th à nh 3u ( u 2 + 1 ) = 5 ( u 2 + 2 ) ⇔ 3u 3 − 5u 2 + 3u − 10 = 0 ⇔ ( u − 2 ) ( 3u 2 + u + 5 ) = 0 ⇔ u = 2 ∨ 3u 2 + u + 5 = 0 ( vô nghiệm ) ) 1 1 Do ủoự ( * ) tgx + 1 = 4 tgx + 1 = 2 tgx = 3 = tg vụựi < < x = + k , k 2 2 Baứi 14 4 : Giaỷi phửụng trỡnh ( 1 cos x + cos x cos 2x = 1 sin 4x ( * ) 2 ( * ) ( 1 cos x + cos x ) cos 2x = sin 2x cos 2x cos x 0 cos 2x = 0 hay 1 cos x + cos x = sin 2x cos x 0 hay cos x 0 in 2x 0 2x = + k, k 2 s + 2 ( 1 cos x)cosx = sin 2 2x cos x 0 hay cos x 0 in 2x 0 x = + k , k 4 2 s + 2 ( 1 cos x)cosx = sin 2 2x ( VT 1 VP ) cos x 0 cos x 0 5 hay sin 2x 0 x = + h hay x = + h , h 2 2x = 1 4 4 sin (1 cos x ) cos x = 0 x = + h , h 4 sin 2x = 1 sin 2x = 1 hay cos x = 0 ( sin 2x = 0 ) hay cos x = 1 ( sin x = 0 sin 2x = 0 ) x = + h , h 4 Baứi 14 5 : Giaỷi phửụng trỡnh sin 3 x ( 1 + cot gx ) + cos 3 x ( 1 + tgx ) = 2 sin x cos x ( * ) ( * ) sin 3 x sin x + cos x + cos 3 x cos x + sin x = 2 sin x cos x sin x cos x ( sin x + cos x ) ( sin 2 x + cos 2 x ) = 2 sin x cos x sin x + cos x 0 1 + sin 2x = 2 sin 2x sin x + 0 sin x + cos x 0 4 sin 2x = 1 x = + k , k 4   = − si  sin  x + π  ≥ 0   4  ⇔     x + π = π + k π , k ∈   4 2  n  x + π  ≥ 0   4  ⇔     x + π = π + h2 π hay x + π = 3 π + h2 π , h ∈ 4 2 4 2 ⇔ x = π + h2 π , h ∈ 4 Bài 14 6 : Giải phương trình cos 2x + 1 + sin 2x = 2 sin x + cos x ( * ) Điều kiện cos 2x ≥ 0 và sin  x + π  ≥ 0  4    Lúc đó : ( * ) ⇔ cos 2 x − sin 2 x + ( cos x + sin x ) 2 = 2 cos x + sin x ⇔ cos 2 x − sin 2 x + ( cos x + sin x ) 2 + 2 cos 2x ( cos x + sin x ) 2 = 4 ( sin x + cos x ) ⇔ cos x ( cos x + sin x ) + ( sin x + cos x )  sin x + cos x = 0 ⇔  cos 2x = 2 ( sin x + cos x )  cos x +  tgx = − 1 ⇔  cos 2x = 2 cos 2x = 2 − cos x ( * * )  tgx = − 1 ⇔  2  cos 2x = 4 − 4 cos x + cos x ⇔ tgx = − 1 ∨ cos 2 x + 4 cos x − 5 = 0 ⇔ tgx = −1 ∨ cos x = 1 ∨ cos x = −5 ( loại ) ⇔ x = − π + k π ∨ x = k2 π , k ∈ 4 Thử lại : • x = − π + k π thì cos 2x = cos  − π  = 0 ( nhận ) 4 Và sin  x + π  = sin k π = 0 ( nhận )  2   4    • x = k2π thì cos 2x = 1 ( nhận ) và cos  x + π  = cos π > 0 ( nhận )  4  4   Do đó (*) ⇔ x π + k π ∨ x = k2 π , k ∈ 4 Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trình lượng giác không mực sin cos 2x = ( * * ) cos x + cos 2x = 2 sin x + cos x 0 cos x = 1 cos 2x = 2 cos 2 x 1 = 1 sin x + cos x 0 cos x = 1 x + cos x 0 Caựch khaực x = 2k, k ( * ) cos 2 x sin 2 x + ( cos x + sin x ) 2 = 2 cos x + sin x (cos x + sin x).(cos x sin x ) + ( cos x + sin x ) 2 = 2 cos x + sin x cos x + sin x = 0 hay cos x + sin x > 0 cos x sin x + ( cos x + sin x ) = 2 tgx = 1 hay cos x + sin x > 0 2 cos x + 2 cos 2x = 4 tgx = 1 hay cos x + sin x > 0 cos x + cos 2x = 2 x = + k , k 4 hay cos x = 1 x = + k 4 hay x = 2k , k ( nh a ọ n x e ựt : khi co sx =1 thỡ sinx = 0 v a ứ sinx + co sx = 1 > 0 ) 1. Gi aỷi phửụng trỡnh : a/ 1 + sin x + cos x = 0 cos 4x cos 2 x BAỉI TAP b/ 3 = 0 1 tg 2 x c/ sin x + 3 cos x = 2 + cos 2x + 3 sin 2x d/ sin 2 x 2 sin x + 2 = 2 sin x 1 e/ 2 3 sin x = 3tgx 3 2 sin x 1 sin 2 2x + cos 4 2x 1 f/ = 0 sin cos x g/ 8 cos 4x cos 2 2x + 1 − cos 3x + 1 = 0 h/ sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1     ⇔  si  k/ 5 − 3 sin 2 x − 4 cos x = 1 − 2 cos x l/ cos 2x = cos 2 x 1 + tgx 2. Cho phương trình : 1 + sin x + 1 − sin x = m cos x ( 1 ) a/ Giải phương trình khi m = 2 b/ Gi ải và biện lua än theo m phương trình (1) 3. Cho f(x) = 3c os 6 2x + sin 4 2x + cos4x – m a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0 b/ C ho g ( x ) = 2 cos 2 2x 3 cos 2 2x + 1 . Tìm tất cả các giá trò m để phương trình f(x) = g(x) có nghiệm. ( ĐS : 1 ≤ m ≤ 0 ) 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x = m ( ĐS : 1 + 3 ≤ m ≤ 2 1 + 2 ) B) PHƯƠNG TR Ì N H LƯNG GI A ÙC CHỨA C A ÙC TRỊ T U YỆT ĐỐI Cá c h g i ả i : 1/ Mở giá trò tu yệt đối bằng đònh nghó a 2/ Áp dụng • A = B ⇔ A = ±B  B ≥ 0  B ≥ 0  A ≥ 0  A < 0 • A = B ⇔  A = ± B ⇔  A 2 = B 2 ⇔  A = B ∨  A = − B     Bài 14 7 : Giải phương trình cos 3x = 1 − 3 sin 3x ( * ) ( * ) ⇔   1 −  3 sin 3x ≥ 0 cos 2 3x = 1 − 2 3 sin 3x + 3 sin 2 3x  ≤ 1 ⇔  sin 3x 3  1 − sin 2 3x = 1 − 2 3 sin 3x + 3 sin 2 3x  ≤ 1 ⇔  sin 3x 3  4 sin 2 3x − 2 3 sin 3x = 0  n 3x ≤ 1  3  sin 3x = 0 ∨ sin 3x = 3  2 ⇔ sin 3x = 0 ⇔ x = k π , k ∈ 3 ⇔  sin x 3 ⇔  sin x 3   ≤ ⇔ Bài 14 8 : Gi ải phương trình 3 sin x + 2 cos x − 2 = 0 ( * ) ( * ) ⇔ 2 cos x = 2 − 3 sin x  2 − 3 sin x ≥ 0 ⇔   4 cos 2 x = 4 − 12 sin x + 9 sin 2 x  ≤ 2   4 ( 1 − sin 2 x ) = 4 − 12 sin x + 9 sin 2 x  ≤ 2   13 sin 2 x − 12 sin x = 0  2 sin x  3   sin x = 0 ∨ sin x = 12   13 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = k π , k ∈ Bài 14 9 : Giải phương trình sin x cos x + sin x + cos x = 1 ( * ) Đặ t t = sin x + cos x = 2 sin  x + = π   4    Với điều kiện : 0 ≤ t ≤ 2 Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t 2 − 1 Do đó (*) thành : ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 + t = 1 2 ⇔ t = 1 ∨ t = − 3 ( loại ) Vậy ( * ) ⇔ 1 2 = 1 + 2 sin x cos x ⇔ sin 2x = 0 ⇔ x = k π , k ∈ 2 Bài 15 0 : Giải phương trình sin x − cos x + 2 sin 2x = 1 ( * ) Đặ t t = sin x − cos x ( điều kiện 0 ≤ t ≤ 2 ) Thì t 2 = 1 − sin 2x ( * ) thành : t + 2 ( 1 − t 2 ) = 1 ⇔ 2t 2 − t − 1 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = − 1 ( loại do điều kiện ) 2 khi t = 1 thì 1 2 = 1 − sin 2x