UBND QUẬN ĐỐNG ĐA TRƯỜNG THCS THÁI THỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN NĂM 2017 - 2018 Mơn: Tốn Ngày thi: 03 tháng năm 2018 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = x − B = x +2 − với x > 0; x ≠ 2− x x − x 1) Tính giá trị biểu thức A, với x = − 2 −1 2) Chứng minh B = x 3) Tìm tất giá trị nguyên x để P = A.B nhận giá trị nguyên Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình lập hệ phương trình: Một ca nơ xi dòng qng sơng dài 12km ngược dòng qng sơng 30 phút Nếu qng đường sơng ấy, ca nơ xi dòng 4km ngược dòng 8km hết 20 phút Biết vận tốc riêng ca nô vận tốc riêng dòng nước khơng đổi, tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc riêng dòng nước Bài III (2,0 điểm)   x − − y + = 1) Giải hệ phương trình   − y +1 +1 =  x − 2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = − x + a) Vẽ đồ thị parabol ( P ) đường thẳng ( d ) hệ trục tọa độ Oxy Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng ( d ) parabol ( P ) b) Cho điểm I ( 0;1) , xác định điểm M thuộc parabol ( P ) cho độ dài đoạn thẳng IM nhỏ Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn ( O ) , từ điểm A nằm ngồi đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( với B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , kẻ MI , MH , MK vuông góc với BC , CA, AB tương ứng I , H , K Gọi P giao điểm MB IK , Q giao điểm MC IH Gọi ( O1 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác MPK , ( O2 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác MQH ; N giao điểm thứ hai ( O1 ) ( O2 ) 1) Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp · · 2) Chứng minh IMH = IMK 3) Chứng minh PQ tiếp tuyến chung đường tròn ( O1 ) ( O2 ) 4) Chứng minh M thay đổi cung nhỏ BC đường thẳng MN ln qua điểm cố định Bài V (0,5 điểm) Giải phương trình x + x + = ( x + ) x + ………… …… Hết ………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : …………………………………… Số báo danh :…… ……….…… Họ tên chữ ký Cán coi thi:……………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM I Cho biểu thức A = x − B = x +2 − với x > 0; x ≠ 2− x x − x a) Tính giá trị biểu thức A, với x = − 2 (0,75điểm) x = 3−2 x = − 2 +1 x= ( ) −1 ĐIỂ M 0,25 A= x −2 Thay x = ( ) −1 A= ( ) A= −1 − 2 vào A suy 0,25 2 −1 − A = −1 − 0,25 A = −3 b) (0,75 điểm) −1 x Chứng minh B = B= B= B= B= x +2 − với x > 0; x ≠ 2− x x − x 2− x ( − x x 2− x ( x +2 x 2− x − ) ( ) x +2 x 2− x 0,25 ) x − x −2 ( x 2− x ) Thu gọn ta B = 0,25 −1 x c) Tìm giá trị nguyên x để P = A.B nhận giá trị nguyên (0,5 điểm) Điều kiện: x > 0; x ≠ 0,25 0,25 P = A.B ⇔ P = P= 2− x x P= −1 x (  −1  x −  ÷  x ) + x khơng số phương P khơng phải số ngun + x số phương để P có giá trị nguyên ⇔ x ∈ Ư(2) 0,25 Lập bảng ta đươc: x ∈ { 1;4} , Kết luận x = II điểm Gọi x vận tốc riêng ca nô ( x ( km / h ) , x > ) y vận tốc riêng dòng nước ( y ( km / h ) , y > ) Vận tốc ca nơ xi dòng là: x + y ( km / h ) Vận tốc ca nô ngược dòng là: x − y ( km / h ) Đổi 2h30 p = 2,5h Một ca nô xuôi dòng qng sơng dài 12km ngược dòng qng sơng 30 phút ta phương trình: 12 12 + = 2,5 x+ y x− y h Nếu quãng đường sông ấy, ca nơ xi dòng 4km ngược dòng 8km hết 20 phút ta có phương trình + = x+ y x− y 0,25 0,25 0,25 Đổi 1h 20 p =  12 x+ y +  Vậy ta có hệ phương trình   +  x + y 12 = 2,5 x− y = x− y Giải hệ phương trình ta x = 10; y = Vậy vận tốc riêng ca nô 10km/h Vận tốc riêng dòng nước 2km/h III 2điểm 0,25 0,25 0,25 0,5 (1 điểm)  − y +1 =  x −2 Giải hệ phương trình:   − y +1 +1 =  x −2 Điều kiện xác định: x ≠ 2; y ≥ −1 0,25  =u  Đặt  x − với v ≥ ta thu hệ phương trình  y +1 = v  2u − v =  3u − 2v = −1 Giải hệ ta u = 1; v = 0,25 Từ suy x = 3; y = a)(0,5điểm) 0,25 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P ) : y = x Vẽ đồ thị parabol ( P ) hệ trục tọa độ Oxy Học sinh tự vẽ 0,25 Hoành độ giao điểm đường thẳng ( d ) parabol ( P ) nghiệm  x = −3 ⇒ y = phương trình: x = − x + ⇒  x = ⇒ y = 0,25 Tọa đô giao điểm đường thẳng ( d ) parabol ( P ) ( −3;9 ) ; ( 2; ) b)(0,5điểm) Cho điểm I ( 0;1) , xác định điểm M thuộc parabol ( P ) cho độ dài đoạn thẳng IM nhỏ Gọi điểm M thuộc parabol ( P ) : y = x suy M ( m, m ) Dùng Pitago tính IM = m + ( m − 1) = m − m + 2 1 3  IM = m − m + =  m − ÷ + ≥ 2  Ta thấy IM nhỏ m = ± 2 0,25 0,25  1 ; ÷ Hay M  ± 2  IV 3,5 điểm a)(1 điểm) Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp Vẽ hình 0,25 Xét tứ giác BIMK có · · BKM = 90o , BIM = 90o , suy tứ giác BIMK nội tiếp 0,75 b)(1 điểm) · · Chứng minh IMK = IMH Chứng minh tương tự tứ giác CIMH nội tiếp Do tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp nên suy · · · IMK = 180o − ABC , IMH = 180o − ·ACB Vì AB = AC (tính chất tiếp tuyến) nên ·ABC = ·ACB · · Vậy nên IMK = 180o − ·ABC = 180o − ·ACB = IMH c)(1 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp, từ suy PQ tiếp tuyến chung đường tròn ( O1 ) ( O2 ) · · Ta có MBK (Tứ giác BIMK nội tiếp) = MIK d)(0,5 điểm) · · · · · · ¼ ) Suy MIK (= sđ BM hay MIP MBK = BCK = BCK = BCM 0,25 · · Chứng minh tương tự MBC = MIQ 0,25 · · · · · Ta có PMQ + PIQ = PMQ + MBC + BCM = 1800 Suy tứ giác MPIQ nội tiếp 0,25 · · · · ⇒ đpcm Chứng minh MKP = MPQ ; MHQ = MQP 0,25 Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định M » đường tròn ( O ) thay đổi cung nhỏ BC Nhận xét: Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt hai điểm phân biệt A B, có tiếp tuyến chung MN ( M ∈ (O1 ), N ∈ (O2 )) Khi 0,25 đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng MN Gọi S trung điểm đoạn thẳng BC T trung điểm đoạn thẳng PQ Do PQ / / BC nên M , T , S thẳng hàng · · · Ta có MKI nên đường tròn (O1 ) tiếp xúc với đường thẳng = MBI = MPQ PQ Tương tự đường tròn (O2 ) tiếp xúc với đường thẳng PQ Áp dụng nhận xét ta suy M , N , T thẳng hàng 0,25 Tóm lại, M , N , S thẳng hàng Vậy đường thẳng MN qua điểm S cố định (đpcm) Cách 2: +) Chứng minh được: TP2 = TM.TN=TQ2 suy T trung điểm PQ 0,25 +) Chứng minh SB=SC suy S trung điểm BC cố định 0,25 Kết luận: MN qua S cố định V 0,5điểm Giải phương trình x + x + = ( x + ) x + Đưa phương trình dạng phương trình tích: ( )( x2 + − 2x + ) x2 + − = 0,25  x + = 2x −   x + = x = Giải ta   x = −2 0,25 Chú ý chấm: 1) Thí sinh có cách giải khác mà giám khảo thống chia điểm dựa vào hướng dẫn chấm cho ý 2) Bài IV: học sinh khơng có hình vẽ tương ứng khơng cho điểm 3) Vận dụng hướng dẫn chấm chi tiết đến 0,25 Khơng làm tròn điểm thi  ... hệ phương trình   +  x + y 12 = 2,5 x− y = x− y Giải hệ phương trình ta x = 10; y = Vậy vận tốc riêng ca nô 10km/h Vận tốc riêng dòng nước 2km/h III 2điểm 0,25 0,25 0,25 0,5 (1 điểm)  − y... hình vẽ tương ứng khơng cho điểm 3) Vận dụng hướng dẫn chấm chi tiết đến 0,25 Khơng làm tròn điểm thi