Bài giảng: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này.

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNGGIẢI TÍCH 12

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà NộiPhụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢPhần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí Định hướng thực hiện các hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở 4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải

như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2 5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được Bài tập lần 1 chưa làm được Bài tập lần 2 chưa làm được Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp.

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

c Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm bậc ba có bốn dạng sau đây:

Một số tính chất của hàm số đa thức bậc ba

Tích chất 1: Đồ thị nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.

Tích chất 2: Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất nếu a > 0 và hệ số góc lớn nhất nếu a < 0 trong các tiếp tuyến của đồ thị.

Tích chất 3: Nếu đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành

Thí dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3

 Giải

Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D = 2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực: Vì y" đổi dấu khi x qua điểm  nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là I(1; 2).

3 Đồ thị của hàm số:

 Giao của đồ thị hàm số với trục tung là A(0; 4)  Giao của đồ thị hàm số với trục hoành:

y = x3  3x2 + 1.

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:b Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

Đồ thị hàm số có hai điểm uốn I1(x1; f(x1)) và I2(x2; f(x2)) c Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên

nên đồ thị của hàm trùng phơng có bốn dạng sau đây:

Với a > 0Với a < 0

Có một cực

trị Có ba cực trị Có một cựctrị Có ba cực trị

Một số tính chất của hàm trùng phơng

Tích chất 1:Hàm số có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho a

 0.

Tích chất 2:Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

Thí dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x4

 Giải

Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D = 2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:b Viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của

Bài tập 1: Cho hàm số (C): y = x3  3x2 + 3x + 1.

luôn có nghiệm duy nhất.

Bài tập 2: Cho hàm số:

x = –1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1; 4).

điểm x = 3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc với đờng thẳng y = 3x – tại giao điểm của (C) với trục tung.

điểm cố định với mọi giá trị của m.

nghiệm dơng.

điểm uốn của nó.

Bài tập 6: Cho hàm số (Cm): y = x4  2mx2 + 2m.

 Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”.

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 350.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 09365466892 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

bài giảng nâng cao

Bài toán 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức bậc ba.

Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3  3x2 + 3x + 1.

luôn có nghiệm duy nhất.

 Giải

a Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D = 2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Vì y" đổi dấu khi x qua điểm  nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là I(1; 2).

trình (1) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

c Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn I có dạng:

x = –1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1; 4).

c Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phơng Ta lần lợt sử dụng các điều kiện:

 Đồ thị của hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 khi:

 Đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; 4)) ta đợc: 4 = 1 + a + b

Vậy, với a = 3, b = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b Với kết quả câu a), hàm số có dạng: (C): y = x3 + 3x + 2.

Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D = 2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Vì y" đổi dấu khi x qua điểm 0 nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là I(0; 2).

4 Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm điểm A(2; 4) và B(2; 0) trên

Nhận xét rằng số nghiệm của phơng trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số với đờng thẳng y = m + 2, do đó ta có

điểm x = 3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc với đờng thẳng y = 3x – tại giao điểm của (C) với trục tung.

vừa tìm đợc của a, b, c.

 Giải

a Trớc tiên, ta có:

y' = x2 + 2ax + b; y" = 2x + 2a Ta lần lợt sử dụng các điều kiện:

 Đồ thị của hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 khi:

 Đồ thị của hàm số tiếp xúc với đờng thẳng (d): y = 3x – tại giao điểm của (C) với trục tung (là điểm A(0; c)) ta đợc:



Vậy, với a = 1, b = 3 và thoả mãn điều kiện đầu bài b Với kết quả câu a), hàm số có dạng (C): y =  x3 + x2 + 3x 

Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D = 2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực: 2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Vì y" đổi dấu khi x qua các điểm  nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn là và

3 Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị

b Đồ thị y = f(x) gồm:

Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).

Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành qua trục hoành.

c Viết lại phơng trình dới dạng: x4  3x2 + 2 = m + 1.

Nhận xét rằng số nghiệm của phơng trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đờng thẳng y = m + 1, do đó để phơng trình có tám nghiệm phân biệt điều kiện là:



Ví dụ 5: Cho hàm số:

điểm cố định với mọi giá trị của m.

nghiệm dơng.

điểm uốn của nó 2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

3 Viết lại phơng trình dới dạng: x4 + 2x2  1 = k  1.

Nhận xét rằng số nghiệm của phơng trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số với đờng thẳng y = k  1, do đó để ph-ơng trình có đúng một nghiệm dph-ơng điều kiện là:

1  k > 0  k < 1.

Vây, với k < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Ví dụ 6: Cho hàm số (Cm): y = x4  2mx2 + 2m 2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực: Vì y" đổi dấu khi x qua các điểm  nên đồ thị hàm

(Cm): y = x33(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x2m(m + 2)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.

b Tìm m để phơng trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt 1 c Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu Viết phơng trình

đ-ờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

Bài tập 5: Cho hàm số:

y = x33x2 + m2x + m

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.

b Xác định m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đờng thẳng x2y = 5.

Bài tập 6: Cho hàm số: y = x3 + mx2 4.

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 6.

b Với mỗi giá trị của tham số m, tìm toạ độ của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Bài tập 7: Cho hàm số:

y = x3 + (m + 1)x2 + (m + 2)x3.

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.

b Với mỗi giá trị của tham số m, tìm toạ độ của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Bài tập 8: Cho hàm số:

y = x3 + 3mx2 + 3(m21)x + m33m

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

b CMR với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu, đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn chạy trên hai đờng thẳng

c Xác định m để (d) tạo với trục Ox một góc bằng 450.

hàm số bậc bốn

Bài tập 1: Cho hàm số y = x4  (m + 1)x2 + m a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.

b Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.

Bài tập 2: Cho hàm số (Cm): y = x44x2 + m.

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 3.

b Giả sử đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại bồn điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dới trục hoành bằng nhau.

b Xác định m để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.

b Tuỳ theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số.

b Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; 0)(2; 3).

Bài tập 10: Cho hàm số:

y = kx4 + (k1)x2 + 12k

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với k = 2.

b Xác định các giá trị của tham số k để hàm số chỉ có một điểm cực trị.