Bài giảng: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

19 7.6K 0
Bài giảng: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §5 Đường tiệm cận đồ thị hàm số  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết u cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon86@gmail.com nhn c gii ỏp Đ5 đờng tiệm cận đồ thị hàm số giảng theo chơng trình chuẩn đờng tiệm cận đứng đờng tiệm cận ngang Định nghĩa 1: Đờng thẳng y = y0 đợc gọi đờng tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f(x) nÕu: lim f(x) = y0 hc lim f(x) = y0 x →−∞ x →+∞  Chó ý: Tõ định nghĩa trên, để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang điều kiện cần tập xác định hàm số phải chứa + Thí dụ hàm sè y = − x kh«ng thĨ cã tiệm cận ngang Định nghĩa 2: Đờng thẳng x = x0 đợc gọi đờng tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f(x) nÕu: lim f(x) = ±∞ hc lim f(x) = xx+ Thí dụ 1: Tìm đờng tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số: y= Miền xác định D = Ă \ { 2} Từ đó, ta lần lợt có: x2 lim y = lim = Đờng thẳng x = tiệm cận đứng x x x + 2 1− x−2 x = ⇒ Đờng thẳng y =1 tiệm cận ngang lim y = lim = lim x →∞ x →∞ x + x →∞ 1+ x ThÝ dơ 2: T×m ®êng tiƯm cËn ngang vµ tiƯm cËn ®øng cđa ®å thị hàm số: 2x y= x+3 Tìm ®êng tiƯm cËn ngang vµ tiƯm cËn ®øng cđa ®å thị hàm số: y= x2 x+2 Giải Hoạt ®éng  x→x− Gi¶i 4x + x Miền xác định D = Ă \ { 0} Từ đó, ta lần lợt có: 4x + = Đờng thẳng x = tiƯm cËn ®øng x lim y = lim x→0 x→0 4x + 1 = lim + = x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x Đờng thẳng y = tiệm cận ngang lim y = lim 4x + 1 = − lim + = −2 x →−∞ x x x x Đờng thẳng y = −2 lµ mét tiƯm cËn ngang lim y = lim Hoạt động Tìm đờng tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số: y= x2 + x đờng tiệm cận xiên Định nghĩa 3: Đờng thẳng y = ax + b đợc gọi đờng tiệm cận xiên (gọi tắt tiệm cận xiên) đồ thị hàm số y = f(x) nÕu: lim [f(x) − (ax + b)] = hc lim [f(x) − (ax + b)] = x →+∞ Thí dụ 3: x Chứng minh đờng thẳng y = x + tiệm cận xiên đồ thị hàm số: y= x2 x x−3 Gi¶i Ta cã:  x2 − x −  −1 lim [ y − (x + 2)] = lim  − (x + 2)  = lim =0 x →∞ x →∞ x →∞ x − x3 đó, đờng thẳng y = x + tiệm cận xiên đồ thị hàm số Hoạt động Chứng minh đờng thẳng y = 2x + tiệm cận xiên đồ thị hàm số: 2x + 3x y= x +1 Chú ý: Để tìm hệ số a, b phơng trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau: f (x) a = xlim vµ b = xlim [f(x) − ax] →+∞ →+∞ x f (x) a = xlim b = xlim [f(x) − ax] →−∞ →−∞ x ThÝ dô 4: Tìm đờng tiệm xiên đồ thị hàm số: x − 2x + y= x +1 Giải Giả sử đờng thẳng y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị hàm sè, ta cã: 1− + x − 2x + f(x) x − 2x + x x = = lim = lim a = lim = lim x →∞ x →∞ x →∞ x x →∞ x(x + 1) x +x 1+ x −3 +  x − 2x +  −3x + x b = lim [ f(x) − ax ] = lim  − x  = lim = lim x →∞ x →∞ x →∞  x +1  x →∞ x + 1+ x = Vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đờng thẳng y = x Chú ý: Trong thực tế để tìm tiệm cận xiên hàm phân thức dạng thực nh sau: Viết lại hàm số dới dạng: y = x −3+ NhËn xÐt r»ng x +1 lim [ f(x) − (x − 3)] = lim = x →∞ x →∞ x + suy ra, đờng thẳng y = x tiệm cận xiên đồ thị hàm số Hoạt động Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số y = x3 + x + x2 − tập lần Bài tập 1: Cho hàm sè (C): y = −2x − x+3 a Tìm tiệm cận đứng tiệm cân ngang đồ thị (C) b Xác định giao điểm I hai tiệm cận viết công thức chuyển hệ toạ uu r độ phép tịnh tiến theo vectơ OI Viết phơng trình đờng cong (C) hệ toạ độ IXY Từ đó, suy đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng Bµi tËp 2: Cho hµm sè (C): y = x2 + x − x+2 a T×m tiƯm cËn đứng tiệm cân ngang đồ thị (C) b Xác định giao điểm I hai tiệm cận viết công thức chuyển hệ toạ uu r độ phép tịnh tiến theo vectơ OI Viết phơng trình đờng cong (C) hệ toạ độ IXY Từ đó, suy đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng Bài tập 3: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: x+2 x2 + x + a y = b y = x −1 −5x − 2x + Bài tập 4: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: x x3 + a y = b y = x +1 x − 2x mx + Bµi tËp 5: Cho hµm sè y = x +1− m a Chứng tỏ với m đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ c Tìm m để hai đờng tiệm cận đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ hình ch÷ nhËt cã diƯn tÝch b»ng 2 x + ( m − 2)x − Bµi tËp 6: Cho hµm sè (Cm): y = x −1 Tìm m để đồ thị hàm số tiệm cận xiên Tìm m để: a Khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ b Khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên c Tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích Bài tập 7: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: a y = x + x + b y = x + x + Bài tập 8: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: a y = − x b y = x + x + − x Bµi tËp 9: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm sè: x (C) : y = x2 −1  Chú ý: Các tập đợc trình bày phần Bài giảng nâng cao Giỏo ỏn in tử giảng giá: 800.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIT DY giảng nâng cao Bài toán 1: Tiệm cận đồ thị hàm phân thức hữu tỉ Phơng pháp áp dụng Cho hàm số: y= u(x) , v(x) u(x), v(x) hàm đa thức nghiệm chung Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số Khi đó: Nếu phơng trình v(x) = có nghiệm x = x0, đờng thẳng x = x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Số nghiệm phân biệt phơng trình v(x) = số tiệm cận đứng đồ thị hàm số Nếu bậc u(x) nhỏ bậc v(x) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang, có phơng trình y = a, đợc xác định bởi: a = lim y x Nếu bậc u(x) lớn bậc v(x) (giả sử u(x) = g(x)v(x) + h(x)), th×: lim [y − g(x)] = Đờng y = g(x) tiệm cận đồ thị hàm số x Khi đó: ã Nếu bậc g(x) y = g(x) phơng trình tiệm cận xiên đồ thị hàm số ã Nếu bậc g(x) lớn y = g(x) phơng trình tiệm cận cong đồ thị hàm sè VÝ dơ 1: Cho hµm sè (C): y = 2x x+3 a Tìm tiệm cận đứng tiệm cân ngang đồ thị (C) b Xác định giao điểm I hai tiệm cận viết công thức chuyển hệ toạ uu r độ phép tịnh tiến theo vectơ OI Viết phơng trình đờng cong (C) hệ toạ độ IXY Từ đó, suy đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng Hớng dẫn: Sử dụng kiến phần phơng pháp giải toán, Giải a Miền xác định D = Ă \ {3} Từ đó, ta nhận đợc kết luận: lim Đờng thẳng x = tiệm cận đứng x y = Đờng thẳng y = tiệm cËn ngang v× lim y = −2 x →∞ b Ta lần lợt có: Giao điểm I(3; 2) uu r Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: X = x + x = X − ⇔  Y = y + y = Y − Khi đó, hệ tọa độ IXY (C) có phơng trình: −2(X − 3) − (C) : Y − = ⇔ (C) : Y = (X − 3) + X NhËn xÐt r»ng, hÖ tọa độ IXY hàm số Y = hàm số lẻ dó nhận gốc X I làm tâm đối xứng Chú ý: Mọi hàm phân thức hữu tỉ bậc bậc y = TS, MS nghiệm chung) có hai tiƯm cËn lµ: ax + b (víi a ≠ 0, b ≠ cx + d d lim y = ∞ v× x →− d c c a a TiƯm cËn ngang y = v× lim y = x c c ã Tiệm cận đứng x = ã ã Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Ví dụ 2: Cho hµm sè (C): y = x2 + x x+2 a Tìm tiệm cận đứng tiệm cân ngang đồ thị (C) b Xác định giao điểm I hai tiệm cận viết công thức chuyển hệ toạ uu r độ phép tịnh tiến theo vectơ OI Viết phơng trình ®êng cong (C) ®èi víi hƯ to¹ ®é IXY Tõ ®ã, suy r»ng ®å thÞ (C) nhËn ®iĨm I làm tâm đối xứng Giải a Miền xác định D = Ă \ {2} Viết lại hàm số dới dạng: y=x1 x+2 Từ đó, ta nhận đợc kết luận: Đờng thẳng x = tiệm cận đứng lim y = x Đờng thẳng y = x tiệm cận xiên lim [ f(x) (x 1)] = x b Ta lần lợt có: Giao ®iĨm I(−2; −3) uu r  C«ng thøc chun hƯ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: X = x + x = X − ⇔  Y = y + y = Y − Khi ®ã, hƯ täa ®é IXY (C) có phơng trình: 2 (C): Y = (X − 2) − − ⇔ (C): Y = X − (X − 2) + X 10 Nhận xét rằng, hệ tọa độ IXY hàm số Y = X hàm số lẻ nhận X gốc I làm tâm đối xứng  ax + bx + c Chó ý: Mäi hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc y = dx + e (a ≠ 0, d ≠ TS, MS nghiệm chung) có hai tiệm cận là: ã Tiệm cận đứng x = − e lim y = ∞ v× x →− e d d ã Tiệm cận xiên đợc xác định cách chia TS cho MS, giả sử: y = y = kx + m + A dx + e đờng thẳng y = kx + m tiệm cận xiên vì: lim y (kx + m) = x ã Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: Ví dụ 3: x+2 a y = x −1 b y = x2 + x + −5x − 2x + Giải a Miền xác định D = Ă \ {1} Từ đó, ta nhận đợc kết luận: lim Các đờng thẳng x = tiệm cận đứng x y = Đờng thẳng y = tiệm cận ngang lim y = x b Miền xác định D = ¡ \  −1,  5  Tõ đó, ta nhận đợc kết luận: lim Đờng thẳng x = tiệm cận đứng x y = Đờng thẳng x = tiệm cận đứng xlim5 y = / 1 Đờng thẳng y = tiƯm cËn ngang v× lim y = − x 5 Ví dụ 4: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: x x3 + a y = b y = x +1 x − 2x  Gi¶i 11 a Miền xác định D = Ă \ {1} Từ đó, ta nhận đợc kết luận: lim Đờng thẳng x = tiệm cận đứng x y = Đờng thẳng y = tiệm cËn ngang v× lim y = x →∞ b Miền xác định D = Ă \ {0, 2} Viết lại hàm số dới dạng: 4x + y=x+2+ x 2x Từ đó, ta nhận đợc kết luận: Đờng thẳng x = tiệm cận đứng lim y = x0 Đờng thẳng x = tiệm cận đứng lim y = x Đờng thẳng y = x + tiệm cận xiên lim [y (x + 2)] = x →∞  Chó ý: TiÕp theo chóng ta sÏ quan t©m tíi tiƯm cËn hàm phân thức hữu tỉ có chứa tham sè VÝ dơ 5: Cho hµm sè y = mx + x +1− m a Chøng tá r»ng với m đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ ®é b»ng c T×m m ®Ĩ hai ®êng tiệm cận đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ hình chữ nhật có diện tích Giải a Đồ thị hàm số không cã tiƯm cËn TS vµ MS cã nghiƯm chung, tøc lµ: m ⇔ m(1 − m) = ⇔ m2 − m + = 0, v« nghiƯm = 1 m Vậy, với m đồ thị hàm số có hai tiệm cận là: Đờng thẳng (d1): x = m tiệm cận ®øng v× x lim y = ∞ →m − Đờng thẳng (d2): y = m tiệm cận ngang v× lim y = m x →∞ b Với tâm đối xứng I(m 1; m), ta có: OI = ⇔ OI2 = ⇔ (m − 1)2 + m2 = ⇔ m2 − m − = ⇔ m = −1 hc m = VËy, víi m = −1 hc m = thoả mÃn điều kiện đầu c Ta có: (d1) cắt Ox điểm A(m 1; 0) (d2) cắt Oy điểm B(0; m) Khi đó, từ gi¶ thiÕt ta cã: 12 OA.OB = ⇔ m − 1.m = ⇔ m2 − m = m2 − m = m2 − m − = ⇔ ⇔ ⇔  m − m = −2  m − m + = 0, v« nghiƯm    m = −1 m =  VËy, víi m = −1 hc m = thoả mÃn điều kiện đầu Ví dơ 6: Cho hµm sè (Cm): y = x + ( m − 2)x − x 1 Tìm m để đồ thị hàm số tiệm cận xiên Tìm m để: a Khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ b Khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên c Tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích Giải Viết lại hàm sè díi d¹ng: y = 2x + m + m x Để đồ thị hàm số tiệm cận xiên điều kiện là: m = ⇔ m = VËy, víi m = thoả mÃn điều kiện đầu Trớc tiên, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên m (*) Khi đó, đồ thị hàm số có: Tiệm cận đứng (d1): x = Tiệm cận xiên (d2): y = 2x + m a Với tâm đối xứng I(1; m + 2), ta cã: OI = ⇔ OI2 = ⇔ + (m + 2)2 = ⇔ m2 + 4m = ⇔ m = −4 hc m = Vậy, với m = m = thoả mÃn điều kiện đầu b Viết lại phơng trình tiệm cận xiên dới dạng (d2): 2x y + m = Ta cã: m = = ⇔ m = ⇔ m = ±5 d(O, (d2)) = ⇔ 2 +12 VËy, víi m = thoả mÃn điều kiện đầu c Gọi A, B theo thứ tự giao điểm (d2) với trục Ox, Oy, ta đợc: m A  − ; ÷ B ( 0; m ) Để tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích điều kiện là: S∆OAB = ⇔ = m 1 − OA.OB = m = m 2 13 ⇔ m2 = ⇔ m = ±1, thoả mÃn điều kiện (*) Vậy, với m = thoả mÃn điều kiện đầu Bài toán 2: Tiệm cận đồ thị hàm vô tỉ Phơng pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa quy tắc tìm tiệm cËn hai phÝa Víi hµm sè: (C): y = Ax + Bx + C , víi A > B2 4AC để tìm đờng tiƯm cËn cđa (C) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Gi¶ sư (d): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm sè, ta cã: Ax + Bx + C = − A x b = lim  Ax + Bx + C + x A  x →−∞   Bx + C B = xlim =− →−∞ 2 A Ax + Bx + C − x A Khi đó, ta đợc tiệm cận xiên bên phải đồ thị (C) là: B (d1): y = A x − A Gi¶ sư (d): y = ax + b tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta có: a = xlim →−∞ Bíc 2: a = xlim →+∞ Ax + Bx + C = x A b = lim  Ax + Bx + C − x A  x →+∞   Bx + C B = xlim = →+∞ 2 A Ax + Bx + C + x A Khi đó, ta đợc tiệm cận xiên bên trái đồ thị (C) là: B (d2): y = A x + A Phơng pháp đợc mở rộng cho lớp hàm số: y = cx + d ± VÝ dô 1: Ax + Bx + C ; y = n a n x n + a n −1x n −1 + + a Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: a y = x + x + b y = x + x +  Híng dÉn: Sư dơng kiÕn thøc phÇn phơng pháp giải toán Giải a Miền xác định D = ¡  Gi¶ sư (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: 14 x + x + = lim  − + +  = − 1,  ÷ x →−∞  x x2 ÷ x   lim [y − ax] = lim [ x + x + + x] b1 = x →−∞ x →−∞ y a1 = xlim = xlim →−∞ x →−∞ = xlim →−∞ x +1 =− x + x +1 x tiệm cận xiên bên phải cđa (C) Gi¶ sư (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hµm sè, ta cã: y 1 a2 = xlim = xlim x + x + = xlim + + = 1, →+∞ →+∞ →+∞ x x x x Vậy, đờng thẳng (d1): y = x −  b2 = xlim [y − ax] = xlim  x + x + − x  →+∞ →+∞     x +1 = xlim = →+∞ 2 x + x +1 + x Vậy, đờng thẳng (d2): y = x + tiệm cận xiên bên trái (C) b Miền xác định D = Ă Giả sư (d1): y = a1x + b1 lµ tiƯm cËn xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có:    x2 +  y ÷ = lim  − + ÷= a1 = lim = xlim  + x →−∞  →−∞  x →−∞ x x ÷ x ÷     −1 b1 = xlim (y − ax) = xlim x + x + = xlim =0 →−∞ →−∞ →−∞ x − x2 + Vậy, đờng thẳng (d1): y = tiệm cận ngang bên phải (C) Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta có: x +  lim  y ÷= x →+∞  + + ÷= a2 = xlim = xlim  + →+∞  x ÷ x ÷ x →+∞      −1 b2 = xlim (y − ax) = xlim ( x + − x = xlim = →+∞ →+∞ →+∞ x +1 + x VËy, ®êng thẳng (d2): y = 2x tiệm cận xiên bên tr¸i cđa (C) ) ( ( )  Chó ý: Với đồ thị hàm số vô tỉ dạng khác, để xác định đờng tiệm cận ta thực theo bớc: Bớc 1: Tìm miền xác định D miền giá trị I (nếu có thể) hàm số, D I có chứa thực bớc trái lại kết luận đồ thị hàm số tiệm cận 15 Bớc 2: Ví dụ 2: Dựa vào D I tìm tiệm cận đồ thị hàm số Nếu hàm số chứa bậc chẵn, nói chung ta thờng phải tìm tiệm cận bên trái bên phải Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: a y = − x b y = x + x + − x  Giải a Điều kiện: x2 x ≤ ⇒ D = [−2; 2] ⇒ D không chứa Miền giá trị I hàm số đợc xác định nh sau: x2 ⇒ ≤ − x ≤ ⇔ I = [0; 2] ⇒ I kh«ng chøa ∞ VËy, đồ thị hàm số tiệm cận b Ta cã ®iỊu kiƯn: x2 + x + − x ≥ ⇔ x2 + x + ≥ x x ≤  x ≤ x + x + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ∀x ⇒ D = ¡ x ≥ x ≥  x + x + ≥ x  Ta cã: lim y = lim x →+∞ x →+∞ x + x + − x = xlim →+∞ x +1 x + x +1 + x Vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bên trái y = = 2 Chú ý: Với đồ thị hàm số vô tỉ dạng phân thức hữu tỉ, đánh giá đợc tồn tiệm cận xiên tiệm cận ngang dựa việc đánh giá bậc tử số mẫu số Ví dụ 3: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hµm sè: (C) : y =  x x2 −1 Giải Điều kiện: x2 > x > ⇒ D = (−∞; −1) ∪ (1; +) Ta lần lợt: Vì xlim y = nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên phải lµ x = −1 →−1 −   16 lim Vì x y = nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên trái x = Tiệm cận ngang bên phải, ta có: + lim y = lim x →−∞ x →−∞ x x2 −1 x lim = x →−∞ x 1− x2 = x lim x →−∞ −x − = −1 x2 Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên phải y = Tiệm cận ngang bên trái, ta cã: lim y = lim x →+∞ x →+∞ x lim x = = x 1− 2 x x Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên trái y = x2 = x lim x →+∞ x 1− x →+∞  Nhận xét: Trong ví dụ việc đánh giá ®ỵc r»ng bËc cđa tư sè b»ng bËc cđa mÉu số nên khẳng định đợc đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Chú ý: Với yêu cầu "Biện luận theo tham số số tiệm cận đồ thị hàm sè: y = Ax + Bx + C , với A 0" toán đợc chuyển biện luận phơng trình Ax2 + Bx + C = 0, cụ thể ta xét trờng hợp sau: Trờng hợp 1: Nếu A < đồ thị hàm số tiệm cận miền xác định miền giá trị hàm số không chứa Trờng hợp 2: Nếu A > ta xét hai khả năng: Khả 1: Nếu = B2 4AC = hàm số có dạng: B 2A nên đồ thị hàm số tiệm cận Khả 2: Nếu = B2 4AC đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên, đợc xác định phơng pháp đà biết y= A x C tập rèn lun x−2 Bµi tËp 1: Cho hµm sè (C): y = 3x + a Tìm tiệm cận đứng tiệm cân ngang đồ thị (C) b Xác định giao điểm I hai tiệm cận viết công thức chuyển hệ toạ độ uu r phép tịnh tiến theo vectơ OI c Viết phơng trình đờng cong (C) hệ toạ độ IXY Từ đó, suy đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng Bài tập 2: 17 x − 2x + x −3 b Xác định giao điểm I hai tiệm cận viết công thức chuyển hệ toạ độ uu r phép tịnh tiến theo vectơ OI c Viết phơng trình đờng cong (C) hệ toạ ®é IXY Tõ ®ã, suy r»ng ®å thÞ (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng Bài tập 3: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: x3 + x + x − 3x + a y = b y = x2 − 2x + x − ax + (2a + 1)x + a + Bµi tËp 4: Cho hµm sè (C): y = , víi a ≠ − vµ a ≠ x+2 Chøng minh tiệm cận xiên đồ thị hàm số ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh x sin α + 2x cos α + Bµi tËp 5: Cho hàm số (C): y = x+2 a Xác định phơng trình tiệm cận xiên đồ thị hàm số b Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên c HÃy xác định giá trị để khoảng cách lớn Bài tập 6: Tìm m để đồ thị hàm số: x + 4mx + y= mx − a Kh«ng có tiệm cận b Có tiệm cận xiên Bài tập 7: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm sè: a y = x − b y = x + x + x + Bµi tËp 8: BiƯn ln theo m sè tiƯm cận đồ thị hàm số: (C): y = mx 4mx + Bài tập 9: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: x a y = x + x − x + b y = x + x +1 Bài tập 10:Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: x + sin x x +1 a y = x b y = x − sin x x a Tìm tiệm cận đứng tiệm cân xiên đồ thị (C): y = Bài tập 1: D hớng dẫn đáp số a Miền xác định D = Ă \ Từ đó, ta nhận đợc kết luận: lim Đờng thẳng x = tiệm cận đứng x y = 3 18 Đờng thẳng y = 1 tiệm cận ngang lim y = x 3 b Ta lần lợt có: Giao điểm I ; ữ 3 uu r Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là: 2   X = x + x = X −   ⇔  Y = y − y = Y +   3   c Khi ®ã hƯ täa ®é IXY (C) có phơng trình: X (C): Y + = ⇔ (C): Y = − 2  9X  X − ÷+ 3  NhËn xÐt r»ng, hÖ täa ®é IXY hµm sè Y = − lµ hµm sè lẻ dó nhận 9X gốc tọa độ I làm tâm đối xứng Bài tập 2: a Viết lại hàm số dới dạng: y=x+1+ x3 Miền xác ®Þnh D = ¡ \ {3} Tõ ®ã, ta nhËn đợc kết luận: Đờng thẳng x = tiệm cận đứng lim y = x Đờng thẳng y = x + tiệm cận xiên lim [y (x + 1)] = x b Ta lần lợt có: Giao điểm I(3; 4) uu r Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI lµ: X = x − x = X + ⇔  Y = y − y = Y + c Khi ®ã hƯ täa độ IXY (C) có phơng trình: 5 (C): Y + = (X + 3) + + ⇔ (H): Y = X + (X + 3) − X NhËn xÐt r»ng, hƯ täa ®é IXY hµm sè Y = X + lµ hµm sè lẻ dó nhận X gốc tọa độ I làm tâm đối xứng 1 Bài tập 3: a y = x vµ x = ±1 b y = , x = −1 vµ x = 2 19 Bµi tËp 4: M(0; 1) Bµi tËp 5: a y = xsinα + 2(cosα − sinα) bëi: 2(cos α − sin α) b h = c tanα = − 2 + sin α Bµi tËp 6: a m = b m ≠ Bµi tËp 7: a Ta cã: (d1): y = −x tiệm cận xiên bên phải (C) (d2): y = x tiệm cận xiên bên trái (C) b Ta cã: (d1): y = lµ tiƯm cËn ngang bên phải (C) (d2): y = 2x + tiệm cận xiên bên trái (C) Bài tập 8: Ta xét trờng hợp sau: Trờng hợp 1: Nếu m = 0, ta đợc y = 2, suy đồ thị hàm số tiệm cận Trờng hợp 2: Nếu m < để miền xác định D điều kiện là: ' = 4m2 4m > (luôn đúng) Từ đó, phơng trình mx2 4mx + = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x < x2, suy hàm số có tập xác định D = [x1, x2] D không chứa Miền giá trị I đợc xác định sơ nh sau: ≤ y = mx − 4mx + = m(x − 2)2 − 4m + ≤ m suy I không chứa Vậy đồ thị hàm số tiệm cận Trờng hợp 3: Nếu m > 0, ta xét hai khả năng: m>0 Khả 1: Nếu ' = 4m2 4m = m = Khi hàm số có dạng: y = x suy đồ thị hàm số tiệm cận m>0 Khả 2: NÕu ∆' = 4m2 − 4m≠0 ⇔ m ≠ Đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên đợc xác định nh sau: Giả sử (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải (C), ta cã: a1 = xlim →−∞ b = xlim →−∞ ( mx − 4mx + = − m x ) mx − 4mx + + x m = xlim →−∞ −4mx + mx − 4mx + − x m VËy, (d1): y = m (x 2) tiệm cận xiên bên ph¶i cđa (C)  Gi¶ sư (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái (C), ta cã: 20 = m a2 = xlim →+∞ mx − 4mx + = x m b2 = xlim [ mx − 4mx + − x m ]= xlim →+∞ →+∞ −4mx + mx − 4mx + + x m m (x 2) tiệm cận xiên bên trái (C) = −2 m VËy, (d2): y = KÕt ln:  Víi m ≤ hc m = đồ thị hàm số tiệm cận Với < m đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên (d1) (d2) Bài tËp 9: a y = b x = −1 Tiệm cận ngang bên trái, ta có: x lim y = lim x →+∞ x →+∞ x2 + x + x x lim lim = x →+∞ 1 = x →+∞ 1 = | x | 1+ + x 1+ + x x x x Vậy, đồ thị (C) hàm số đà cho có tiệm cận ngang bên trái x = Bài tập 10: a Miền xác định D = (−∞; −1)∪(1; + ∞)  TiƯm cËn ®øng, ta cã: lim x x + = ∞ x →−1− x nên đờng thẳng x = tiệm cận đứng bên phải (C) lim x x + = x 1+ x nên đờng thẳng x = tiệm cận đứng bên trái (C)  Gi¶i sư (d): y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị hàm số, ta cã: y x +1 a = lim = lim = 1, x →∞ x →∞ x x −1  x +1  x − 1÷  x +1   x −1  − x ÷ = lim b = lim (y − x) = lim  x = x →∞ x →∞  ÷ x →∞ x +1 x +1 x Vậy, đờng thẳng y = x + tiệm cận xiên đồ thị hàm số b Miền xác định D = ¡ \{0} Ta cã: 21 sin x x lim y = lim x + sin x = lim = x→0 x→0 x →0 sin x x − sin x 1+ x nên đồ thị hàm số tiệm cËn ®øng sin x 1− x + sin x x lim y = lim = lim = x →∞ x →∞ x →∞ sin x x − sin x 1+ x nên đờng thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số 22 ... 1 Tìm m để đồ thị hàm số tiệm cận xiên Tìm m để: a Khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ b Khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên c Tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với... m đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ c Tìm m để hai đờng tiệm cận đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ hình chữ nhật có diện tích. .. = mx + x +1− m a Chứng tỏ với m đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ c Tìm m để hai đờng tiệm cận đồ thị hàm số tạo với hai trục

Ngày đăng: 24/08/2013, 14:23

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan