Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

21 6.7K 7
Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Môn theo địa nhomcumon68@gmail.com để nhận giải ỏp Đ3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số giảng theo chơng trình chuẩn Chúng ta đà đợc học giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lớp dới, phơng pháp thờng đợc sử dụng để thực dạng toán là: a Phơng pháp đánh giá, thí dụ với hàm số f(x) = sinx + cosx ta có đánh giá nh sau: −1≤sin t ≤1  f (x) = sin  x + ÷ ⇒ − ≤ f (x) ≤ 4  Do ®ã: π π   max f (x) = , đạt đợc sin x + ÷ = ⇔ x = + 2kπ 4   π 3π  f (x) = , đạt đợc sin x + ÷ = −1 ⇔ x = − + 2kπ 4 Hoạt động Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số: f (x) = 3sin x + 4cos x b Ph¬ng pháp tam thức bậc hai, thí dụ với hàm số f(x) = x2 + x + ta cã biÕn ®æi nh sau: 1 3  f (x) =  x + ÷ + ≥ ⇒ f (x) = , đạt đợc x = 2 4 Hoạt động Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nÕu cã) cđa hµm sè: f (x) = x + x c Sư dơng c¸c bÊt đẳng thức bản, thí dụ với hàm số f (x) = x + C «si f (x) ≥ x Hoạt động ta có: x2 = ⇒ f (x) = , đạt đợc x = x2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) cđa hµm sè: f (x) = x + , với x > x Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D ( D ∈ ¡ ) a NÕu tån t¹i mét ®iĨm x0 ∈ D cho: f(x) ≤ f(x0) víi x D số M = f(x0) đợc gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ hiƯu M = max f(x) xD b Nếu tồn điểm x0 ∈ D cho: f(x) ≥ f(x0) víi mäi x D số m = f(x0) đợc gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ hiƯu m = f(x) x∈D  NhËn xÐt: Nh vËy, muèn chøng minh số M (hoặc m) giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số f tập D cần rõ: a f(x) M (hoặc f(x) ≥ m) víi mäi x ∈ D b Tån điểm x0 D cho f(x0) = M (hoặc f(x0) = m) Trong học này, học thêm phơng pháp để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số tập hợp việc lập bảng biến thiên hàm số tập hợp ThÝ dơ sau sÏ minh häc c¸ch thùc hiƯn: ThÝ dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt (nÕu cã) cđa hµm sè: f(x) = sin4x + cos4x  Gi¶i Ta cã thĨ lùa chän mét hai cách: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm): Vì hàm số tuần hoàn với chu kì hàm số chẵn nên ta xét D = 0; Đạo hàm: y' = 4cosx.sin3x − 4sinx.cos3x = 2(sin2x − cos2x)sin2x = −sin4x, kπ π π y' = ⇔ sin4x = ⇔ x = ⇒ x = 0, x = vµ x = 4 Bảng biến thiên: x π/4 π/2 y' + − 1/2 y CT Dựa vào bảng biến thiên, ta có: k yMin = , đạt đợc x = + , k ∈ Z kπ , k ∈ Z C¸ch 2: (Sư dơng cách đánh giá): Ta có: yMax = 1, đạt ®ỵc x = f(x) = sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 − 2sin2x.cos2x = − sin 2x Tõ ®ã, suy ra: 1 = Min f(x) = , đạt đợc khi: xR 2 π kπ sin22x = ⇔ cos2x = ⇔ x = + , k∈Z f(x) Max f(x) = 1, đạt đợc khi: f(x) ≥ − x∈R kπ , k∈Z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nÕu cã) cđa hµm sè: f(x) = x2 + 2x đoạn [2; 3] sin22x = sin2x = x = Hoạt động Chú ý: Ngời ta chứng minh đợc rằng"Nếu hàm số liên tục đoạn đạt đợc giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn đó" Từ đó, để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f(x) [a; b], với f(x) liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b), ta thực theo bớc: Bớc 1: Tính đạo hàm y Bớc 2: Tìm điểm tới hạn thuộc (a; b) hàm số (thông thờng giải phơng trình y' = để tìm nghiệm x (a; b)) Giả sử nghiệm x1, x2, Bớc 3: Tính giá trị f(a), f(b), f(x1) , f(x2), Bíc 4: Tõ ®ã:  xMin y = Min{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), } ∈[a, b] Max  x∈[a, b] y = Max{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), } Thí dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hµm sè: f(x) =  x3 + 2x2 + 3x đoạn [4; 0] Giải Đạo hµm: f'(x) = x2 + 4x + 3, f'(x) = ⇔ x2 + 4x + = ⇔ x = −1 hc x = −3 Ta cã: 16 16 , f(−3) = −4, f(−1) = − vµ f(0) = 3 Vậy, ta nhận đợc: Max f(x) = Max{ 16 , 4} = đạt đợc x = −3 hc x =  x∈[ −4;0] Min f(x) = Min{− 16 , −4} = − 16 đạt đợc x = x = −1  x∈[ −4;0] 3 f(−4) = − Ho¹t động Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè: f(x) = 2x + 5x + đoạn [0; 1] x+2 Chú ý: Bài toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đợc ứng dụng nhiều thực tế, thí dụ sau minh hoạ Thí dụ 3: Cho tam giác ABC cạnh a Ngời ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm cạnh BC, hai đỉnh P Q theo thứ tự nằm hai cạnh AC AB tam giác Xác định vị trí điểm M cho hình chữ nhật có diện tích lớn tìm giá trị lớn Giải Đặt BM = x điều kiện x a , suy ra: MN = a − 2x; µ MQ = BM.tan B = x.tan600 = x Tõ ®ã: SMNPQ = MN.MQ = x (a − 2x) = − 2x + ax a Ta xÐt hµm sè y = − 2x + ax đoạn [0; ], ta cã: y' = − 4x + a , y' = ⇔ − 4x + a = ⇔ x = Q B M A P N C a Ta cã: a a a2 y(0) = 0, y( ) = 0, y( ) = VËy, ta nhËn ®ỵc: Max y a a2 a2  a = Max{0, }= đạt đợc x = x 0; 8 tập lần Bài tập 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số: x f(x) = x +1 Bµi tËp 2: Cho parabol (P): y = x2 điểm A(3; 0) Xác định điểm M thuộc parabol (P) cho khoảng cách AM ngắn tính khoảng cách ngắn Bài tập 3: Thể tích hình lăng trụ tứ giác V Cạnh đáy hình lăng trụ phải để diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ ? Bài tập 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x sin2x đọan ; π    Bµi tËp 5: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn cđa hµm sè: y = x + − x2 Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cđa hµm sè: y = cos x + sin x Bài tập 7: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = 2sin2x + 2sinx Bài tập 8: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hµm sè: y= + sin x + cos6 x + sin x + cos4 x Bài tập 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiÖm: x x + x + 12 = m( − x + − x ) Bµi tËp 10: Cho bất phơng trình (a + 2)x a |x + 1| a Giải bất phơng trình a = b Tìm a để (1) có nghiệm x[0; 2] Bài tập 11: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình: 12x2 6mx + m2 + 12 = m2 T×m m cho x1 + x đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài tập 12: Tìm m để bất phơng tr×nh: −4 (2 + x)(4 − x) ≤ x2 − 2x + m − 18 nghiƯm ®óng víi mäi x∈[−2; 4] Bµi tËp 13: Cho hƯ:  x − 4x + ≤    x − 8x + 14 + m ≤  Với giá trị m thì: a Hệ vô nghiÖm b HÖ cã nghiÖm nhÊt c HÖ có nghiệm đoạn trục số có độ dài Chú ý: Các tập đợc trình bày phần Bài giảng nâng cao Giáo án điện tử giảng giá: 850.000đ Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 ngày sau bạn nhận Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SNG TO TRONG TIT DY giảng nâng cao Bài toán 1: Phơng pháp khảo sát trực tiếp Phơng ph¸p ¸p dơng Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Miền xác định Bớc 2: Đạo hàm y', giải phơng trình y = Bớc 3: Lập bảng biến thiên Bớc 4: Kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số dựa bảng biến thiên Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số: x f(x) = x +1  Híng dÉn: Sư dụng kién thức phần phơng pháp giải toán Miền xác định D = Ă Đạo hàm: x2 f' = , f' = ⇔ − x2 = ⇔ x = ±1 (x + 1)2 Giới hạn lim y = x Bảng biÕn thiªn: x −∞ −1 f' 0 − + CT C§ f 1/2 −1/2 VËy, ta nhËn đợc: max f(x) = đạt đợc x = f(x) = đạt ®ỵc x = −1 − +∞  Chó ý: RÊt nhiỊu häc sinh thùc hiƯn bµi toán toán đà lập sai bảng biến thiên (bỏi bá qua bíc tÝnh giíi h¹n) dÉn tíi kÕt ln hàm số giá trị lớn giá trÞ nhá nhÊt VÝ dơ 2: Cho parabol (P): y = x2 điểm A(3; 0) Xác định điểm M thuộc parabol (P) cho khoảng cách AM ngắn tính khoảng cách ngắn Hớng dẫn: Thiết lập độ dài AM Giải (P) y Điểm M (P) có hoành độ x nên M(x, x2) Khoảng cách AM đợc xác định 10 (d) M F A O L x AM2 = (x + 3)2 + x4 = x4 + x2 + 6x + Tới đây, ta lựa chọn hai cách: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm): XÐt hµm sè y = x4 + x2 + 6x + trªn ¡ ta cã: y' = 4x3 + 2x + 6, y' = ⇔ 4x3 + 2x + = ⇔ (x + 1)(2x2 − 2x + 3) = ⇔ x = −1 B¶ng biÕn thiªn: x −∞ −1 +∞ y' + − + + y CT Dựa vào bảng biến thiên, ta có: minAM2 = minAM = , đạt ®ỵc x = −1 suy M(−1; 1) VËy, với điểm M(1; 1) thoả mÃn điều kiện đầu Cách 2: Ta biến đổi: AM2 = (x2 1)2 + 3(x + 1)2 + ≥ Do ®ã, ta đợc AMMin = , đạt đợc khi: x2 − = ⇔ x = −1 ⇒ M(−1; 1)  x + = VËy, víi ®iĨm M(1; 1) thoả mÃn điều kiện đầu Ví dụ 3: Thể tích hình lăng trụ tứ giác V Cạnh đáy hình lăng trụ phải để diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ ? Hớng dẫn: Thiết lập công thức tính diện tích toàn phần hình lăng trụ dựa cạnh đáy x Giải Gọi x cạnh đáy h đờng cao lăng trụ, ta có: V V = x2.h h = x Diện tích toàn phần lăng trụ là: 4V Stp = 2x2 + 4xh = 2x2 + x Vậy diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ 2x2 + 4V nhỏ x Tới đây, ta lựa chọn mét hai c¸ch sau: 4V C¸ch 1: Ta xÐt hàm số y = 2x2 + tập D = (0; +∞), ta cã: x 4V 4V y' = 4x − , y' = ⇔ 4x − = ⇔ x = V x x 11 Bảng biến thiên: x y' + V CT Dựa vào bảng biến thiên, ta cã: y +∞ V Miny = V , đạt đợc x = + + Vậy MinStp = V đạt đợc x = V V Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2x + 4V 2V 2V C «si 2V 2V + = 2x + ≥ 3 2x x x = V x x x  4V  2V Do ®ã Min  2x + ⇔x= ÷ = V , đạt đợc 2x = x x V Bài toán 2: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Phơng pháp áp dụng Sử dụng quy tắc phần lý thuyết Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x sin2x đọan ; Giải Đạo hàm: f'(x) = − 2cos2x, f'(x) = ⇔ − 2cos2x = ⇔ cos2x =  π   − ; π   x=± π 5π vµ x = 6 ⇔ VËy, ta cã:   π   π   π   5π   Max f(x)  x∈− π ; π = max f  − ÷; f  − ÷; f  ÷; f  ÷; f ( π )        2  6 6     π 5π   π π  ; − ; + ; π  = 5π + = max − ; − + 6 6     đạt đợc x = π   π   π   5π   Min f(x)  x∈− π ; π = f  − ÷; f  − ÷; f  ÷; f  ÷; f ( π )        2  6 6    12   π π π 5π  π   ; − ; + ; π = − = − ; − + 6 2 đạt đợc x = − Chó ý: Trong nhiỊu trêng hỵp việc tìm miền xác định hàm số dẫn tới việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn nhÊt cđa hµm sè: y = x + − x2 Hớng dẫn: Tìm tập xác định hàm số để đa toán dạng Giải Điều kiện: x2 ≤ x ≤ ⇒ D = [− ; ] Đạo hàm: x x y' = − , y' = ⇔ − x = x ⇔  2 ⇔ x = − x2 2 − x = x Ta cã: f(− ) = − , f(1) = vµ f( ) = VËy, ta đợc: Max y = Max{ , 2, } = đạt đợc x = x∈D  Min y = Min{− , 2, x∈D } = đạt đợc x = Chú ý: Để tìm giá trị lớn hàm số trên, hoàn toàn sử dụng bất đẳng thức, cụ thể: Bunhiac«pxki (1 + 1)(x + − x ) = = y = x + x2 suy Max y = 2, đạt đợc khi: xD Với hàm số lợng giác đặc thù chúng thờng có tính tuần hoàn cần xét hàm số chu kỳ Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè: y=  cos x + sin x Giải Điều kiện: 13 cosx ≥ π ⇔ 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ, k∈ ¢  sin x ≥  Do hàm số tuần hoàn với chu kì nên ta cần xét D = 0; Đạo hàm: sin x cos x sin x cos x π y' = − + , y' = ⇔ = ⇔x = cos x sin x cos x sin x VËy, ta cã:   π   π   Miny = Min y ( ) , y  ÷, y  ÷ = Min 1, 8, = 1, đạt đợc x = 2k      π hc x = + 2kπ , k∈ ¢   π   π   Maxy = Max y ( ) , y  ÷, y  ÷ = Max 1, 8, = , đạt đợc x  π = + 2kπ , k∈ ¢ { } { } Bài toán 3: Phơng pháp khảo sát gián tiếp Phơng pháp áp dụng Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số phơng pháp khảo sát gián tiếp đợc thực thông qua việc sử dụng đối số t để đa hàm số ban đầu dạng y = F(t) đơn giản Vậy, để sử dụng phơng pháp thực theo bớc sau: Bớc 1: Biến đổi hàm số ban đầu dạng để xác định ẩn phụ y = F((x)) Bớc 2: Đặt t = (x), ta có: Điều kiện ẩn t Dt y = F(t) Bớc 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = F(t) Dt Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = 2sin2x + 2sinx −  Híng dÉn: Sư dơng Èn phơ t = sinx víi ®iỊu kiƯn t≤  Giải Đặt t = sinx, điều kiện t Hàm số đợc viết lại dới dạng: y = 2t2 + 2t Đạo hàm: 14 y' = ⇔ 4t + = ⇔ t = − y' = 4t + 2, Ta cã: y(−1) = −1, y(− ) = − , y(1) = 2 Vậy, ta nhận đợc: Max y = Max{1, , 3} = đạt đợc khi:  x∈R π t = ⇔ sinx = ⇔ x = + 2kπ , k∈ ¢ Min y = Min{−1, − , 3} = đạt đợc khi: xR 2 π   x = − + 2kπ 1 t = − ⇔ sinx = − ⇔  , k∈ ¢ 2  x = 7π + 2k Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sè: y= + sin x + cos6 x + sin x + cos4 x  Hớng dẫn: Sử dụng phép hạ bậc toán cục để đa hàm số dạng y = f(sin 2x) Giải Biến đổi hàm số dạng: − sin 2x − 3sin 2x 3sin 2x − y= = = − 2sin 2x 2sin 2x − sin 2x 2 Đặt X = sin 2x ®iỊu kiƯn ≤ X ≤ Khi ®ã: 3X − y = F(X) = 2X Miền xác định D = [0; 1] Đạo hµm: −8 y' = < 0, ∀X∈D ⇒ hµm sè nghịch biến D (2X 8)2 Ta có ngay: Min y = F(1) = đạt đợc khi: X∈D π kπ X = ⇔ sin22x = ⇔ cos2x = ⇔ x = + , k∈ ¢ 15  Max y = F(0) = đạt đợc khi: XD X = ⇔ sin22x = ⇔ sin2x = ⇔ x = k , k  Bài toán 4: Sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số để giải phơng trình, bất phơng trình hệ Phơng pháp áp dụng Để sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số vào việc giải phơng trình: f(x, m) = g(m) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: LËp ln sè nghiƯm cđa (1) lµ sè giao điểm đồ thị hàm số (C): y = f(x, m) đờng thẳng (d): y = g(m) Bớc 2: Xét hàm số y = f(x, m) Tìm miền xác định D Tính đạo hàm y', giải phơng trình y' = Lập bảng biến thiên hàm số Bớc 3: Kết luận: Phơng trình cã nghiÖm ⇔ f(x, m) ≤ g(m) ≤ max f(x, m) xD xD Phơng trình có k nghiệm phân biệt (d) cắt (C) k điểm phân biệt Phơng trình vô nghiệm (d)(C) = Để sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số vào việc giải bất phơng trình: f(x, m) g(m), ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Xét hàm số y = f(x, m): Tìm miền xác định hàm số Tính đạo hàm y', giải phơng trình y' = Lập bảng biến thiên hàm số Bớc 2: Kết luận cho trờng hợp nh sau: Bất phơng trình có nghiệm với xD y g(m) x D Bất phơng trình nghiệm ®óng víi mäi x∈D ⇔ max y ≤ g(m) x∈ D Tơng tự cho bất phơng trình f(x, m)g(m) với lời kết luận: Bất phơng trình có nghiệm với x∈D ⇔ max y ≥ g(m) x∈ D  16 Bất phơng trình nghiệm với xD y g(m) x D Để sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số vào việc giải hệ đại số ta chia làm hai d¹ng: D¹ng 1: Víi hƯ mét Èn, chóng ta chuyển " Tìm điều kiện tham số để bất phơng trình có nghiệm với xD " Dạng 2: Víi hƯ hai Èn ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: BiÕn ®ỉi hƯ vỊ viƯc xÐt phơng trình f(x, m) = bất phơng trình f(x, m)0 (có thể ẩn phụ t) miền D Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x, m) Miền xác định D Tính đạo hàm y', giải phơng trình y' = Lập bảng biến thiên hàm số Bớc 3: Kết luận Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x x + x + 12 = m( − x + 4−x )  Híng dÉn: Sư dơng phÐp nhân liên hợp để biến đổi phơng trình dạng f(x) = m Giải Điều kiện: x  x + 12 ≥  ⇔ ≤ x ≤  5 − x ≥ 4 x Viết lại phơng trình dới d¹ng: (x x + x + 12 )( − x − − x ) = m XÐt hµm sè y = f(x) = (x x + x + 12 )( − x − − x ) Miền xác định D = [0, 4] Nhận xét r»ng: - Hµm sè h(x) = x x + x + 12 đồng biến D - Hàm số g(x) = − x − − x cã: (1) (2) 5−x − 4−x > 0, ∀x∈D ⇒ lµ hµm ®ång biÕn trªn D − x − x ⇒ Hµm sè y = f(x) = h(x)g(x) lµ hàm đồng biến D Vậy, phơng trình có nghiệm vµ chØ f(0) ≤ m ≤ f(4) ⇔ 12 ( − ) ≤ m ≤ 12 g '(x) = Ví dụ 2: Cho bất phơng trình (a + 2)x − a ≥ |x + 1| (1) c Giải bất phơng trình a = d Tìm a để (1) có nghiệm x[0; 2] 17 Giải Biến đổi tơng đơng bất phơng trình dạng: (1) ⇔ (a + 2)x − a ≥ (x + 1)2 ⇔ x2 − ax + a + ≤ a Với a = 1, ta đợc: (2) x2 − x + ≤ v« nghiƯm VËy, với a = bất phơng trình vô nghiệm b Biến đổi tiếp (2) dạng x2 + a(x − 1) NhËn xÐt r»ng x = nghiệm (3), đó: x2 + ≥ a víi ≤ x < (I)   x −1 (3) ⇔  x +1 ≤ a víi < x ≤ (II)  x −1  x2 + XÐt hµm số f(x) = x Miền xác định D = [0; 2]\{1} Đạo hàm: x 2x − y' = , y' = ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = ± (x − 1)  B¶ng biÕn thiªn: x −∞ +∞ y' − − −1 +∞ y −∞ Khi ®ã: (I) cã nghiÖm ⇔ Max f (x) ≥ a ⇔ f(0) ≥ a ⇔ −1 ≥ a ⇔ a ≤ −1 x∈[0,1) Min (II) cã nghiÖm ⇔ x∈(1,2] f (x) ≤ a ⇔ f(2) ≤ a ⇔ ≤ a ⇔ a ≥ VËy, ®Ĩ (1) cã nghiƯm x∈[0; 2] ®iỊu kiện a a Ví dụ 3: Gọi x1, x2 nghiệm phơng tr×nh: 12 12x2 − 6mx + m2 − + = m 3 T×m m cho x1 + x đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhÊt (1)  Híng dÉn: Sư dơng hệ thức Vi−Ðt phơng trình bậc hai Giải Phơng trình (1) cã nghiÖm khi: 12 ) ≥ ⇔ ≤ m2 ≤ 12 ⇔ ≤ |m| ≤ m2 Khi theo định lí Viét, phơng trình (1) cã hai nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n: ∆' ≥ ⇔ 9m2 − 12(m2 − + 18 (2) (3) m   x1 + x =    x x = (m − + 12 )  12 m2  Khi ®ã: x1 + x = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2) = XÐt hµm sè y = m − 2m m − trªn tËp D = [ − ; 2][2; ] 2m Đạo hàm: y' = + > ∀m∈D 2m Do ®ã: 3 3  Max y = y(2 ) = ⇔ Max( x1 + x ) = , đạt đợc m = x∈D 4 3 3 3  Min y =y(−2 )=− ⇔ Min( x1 + x ) = , đạt đợc m= xD 4 Chú ý: Trong toán ta xét hàm số tập: D = [− ; −2]∪[2, ] NÕu quªn điều kiện toán hoàn toàn sai Ví dụ 4: Tìm m để bất phơng trình −4 (2 + x)(4 − x) ≤ x2 − 2x + m − 18 nghiƯm ®óng víi mäi x∈[−2; 4]  Híng dÉn: Sư dơng Èn phơ t =  Giải (2 + x)(4 x) Đặt t = (2 + x)(4 − x) , víi x∈[−2; 4] ta nhËn đợc điều kiện t t Khi bất phơng trình có dạng: t2 4t + 10 ≤ m XÐt hµm sè y = t2 4t + 10 Miền xác định D = [0; 3] Đạo hàm: y' = 2t 4, y' = ⇔ 2t − = t = Bảng biến thiên: t +∞ −∞ y' + − 19 10 y Vậy, để bất phơng trình nghiệm víi mäi x∈[−2; 4] lµ m ≥ 10 VÝ dơ 5: Cho hÖ:  x − 4x + ≤    x − 8x + 14 + m Với giá trị m thì: a Hệ vô nghiệm b Hệ cã nghiƯm nhÊt c HƯ cã nghiƯm lµ mét đoạn trục số có độ dài Giải Kí hiệu hệ bất phơng trình hệ theo thứ tự (1), (2) Giải (1), ta đợc: ≤ x ≤ ⇒ tËp nghiƯm cđa (1) X1 = [1, 3] Giải (2), ta có: (2) ⇔ m ≤ − x2 + 8x − 14 XÐt hµm sè f(x) = − x2 + 8x − 14 tập X1 Đạo hàm: f '(x) = 2x + 8, f '(x) = ⇔ −2x + = x = Bảng biến thiên: x +∞ −∞ f '(x) + + f(x) Khi đó: a Hệ vô nghiệm m > f(3) ⇔ m > b HÖ cã nghiÖm nhÊt ⇔ m = f(3) ⇔ m = c Hệ có nghiệm đoạn có độ dài b»ng ⇔ m = f(2) ⇔ m = −2 C tập rèn luyện Bài tập 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a y = x nửa khoảng (0; 2] x 16 b y = x2 + víi x > x Bài tập 2: Ngời ta định làm hộp kim loại tích V cho trớc Tính bán kính đáy r đờng cao h hình trụ tốn kim loại 20 Bài tập 3: Chu vi tam giác 16cm, độ dài cạnh tam giác 6cm Tính độ dài hai cạnh lại tam gi¸c cho tam gi¸c cã diƯn tÝch lín nhÊt Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa hµm sè: a f(x) = −x2 + 2x + đoạn [2; 4] x3 b f(x) = + 2x2 + 3x đoạn [4; 0] Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cđa hµm sè: sin x 2x + 5x + a f(x) = đoạn [0; 1] b f(x) = , víi x ∈ [0; π] + cos x x+2 Bài tập 6: Tìm giá trị lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè: a f(x) = x + − x b y = x − + − x Bµi tập 7: Tìm giá trị lớn nhỏ cđa hµm sè: cos2 x + | cos x | +1 a y = cos22x − sinx.cosx + b y = | cos x | +1 Bµi tập 8: Tìm giá trị nhỏ giá trị lín nhÊt cđa hµm sè: 2x 4x a y = sin + cos + b y = |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx| 1+ x + x2 Bài tập 9: Cho x, y thoả mÃn x ≥ 0, y ≥ vµ x + y = HÃy tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: x y P= + trªn kho¶ng < x < +∞ y +1 x +1 Bài tập 10:Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  a b2  a b a4 b4 F= + −  + ÷+ + víi a, b ≠ a  b a b a b D hớng dẫn đáp số Bài tập 1: Max a x(0;2] f(x) = y(2) = đạt ®ỵc x = 2 b Min y = 12, đạt đợc x = xD 3 V2 π V 4V vµ h = 2π Bài tập 3: MaxS = 12, đạt đợc a = vµ b = Bµi tËp 4: a Ta có: Max f(x) = đạt đợc x =  x∈[2;4] Bµi tËp 2:  , đạt đợc khi:r = Min f(x) = đạt đợc x = x[2;4] 21 b Ta có: Max f(x) = đạt đợc x = −3 hc x =  x∈[ −4;0] Min f(x) = 16 đạt đợc x = x = Bài tập 5: a Ta có: Max f(x) = 11 đạt đợc x = x[ 0;1] Min f(x) = đạt ®ỵc x =  x∈[0;1] b Ta cã: 1 2π  Max y = Max{0, }= , đạt đợc x = xD 3 Min y = Min{0, } = 0, đạt đợc x = x = xD Bµi tËp 6: a Ta cã:  Max f(x) = 2 , đạt đợc x = xD Min y = 2, đạt đợc x = −2   x∈[ −4;0] x∈D b Ta cã: Max y = 2, đạt đợc x = xD Min y = , đạt đợc x = x = xD Bài tËp 7: a Ta cã:  x = α + k Max y = 81 đạt đợc sin2x = − = sin2α ⇔  ¢  x∈R  x = π − α + kπ , k∈ 16 Min y = đạt đợc x = + k , k   x∈R b Ta cã: π  Min y = f(0) = 1, đạt đợc x = + kπ, k ∈ ¢ t∈D  Max y = f(1) = 2, đạt đợc x = k, k  tD Bài tập 8: 2x a Đặt t = sin , ta có: + x2  π π 2x − ;  −1 ≤ ≤ vµ [−1; 1]⊂  1+ x  2 22 ®ã: 2x ≤ sin1 ⇔ −sin1 ≤ t ≤ sin1 + x2 Khi ®ã, hàm số đợc chuyển dạng: y = 2t2 + t + = f(t) Miền xác định D = [ sin1; sin1] Đạo hàm: sin(1) ≤ sin f' = − 4t + 1,  B¶ng biÕn thiªn: t − ∞ − sin1 f' f f' = ⇔ − 4t + = ⇔ t = sin1 1/4 + − ∈D + 17/8 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Min f = min{f(−sin1), f(sin1)} = −2sin21 − sin1 + 2, đạt đợc khi: tD 2x = x = −1 + x2   17 2x Max f = f  ÷ = , đạt đợc t = sin = t∈D 1+ x 4 t = −sin1 ⇔ b Miny = − 1, Maxy = 2( +1) Bµi tËp 9: Ta cã: x x(x + 1) + y(y + 1) (x + y)2 − 2xy + − 2xy y P= + = = = y +1 (x + 1)(y + 1) + xy xy + x + y + x +1 Đặt t = xy, ta có t 1 = x + y ≥ xy ⇔ xy ≤ hay t ≤ 4 Vậy điều kiện t ≤  1 − 2t XÐt hµm sè f(t) = trªn D =  0;  2+t Đạo hàm: f'= < tD hàm số nghịch biến D (2 + t)2 Ta cã: 2  Min f = f( ) = MinP = đạt đợc khi: t∈D 3 23  x + y = 1  t= ⇒  ⇔x=y= xy =   Max f = f(0) = MaxP = đạt đợc khi: t∈D x + y =  x = vµ y = t=0⇔  ⇔ xy =  x = vµ y = Bµi tập 10:MinF = 2, đạt đợc a = b ≠ 24 ... sin2x = ⇔ x = k , k  Bài toán 4: Sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số để giải phơng trình, bất phơng trình hệ Phơng pháp áp dụng Để sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số vào việc giải phơng... V Bài toán 2: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Phơng pháp áp dụng Sử dụng quy tắc phần lý thuyết Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x sin2x đọan ; Giải Đạo hàm: ... nhomcumon68@gmail.com để nhận giải ỏp Đ3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số giảng theo chơng trình chuẩn Chúng ta đà đợc học giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lớp dới, phơng pháp thờng đợc sử dụng để thực dạng

Ngày đăng: 24/08/2013, 14:15

Hình ảnh liên quan

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

a.

vào bảng biến thiên, ta có: Xem tại trang 5 của tài liệu.
bài tập lầ n1 - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

b.

ài tập lầ n1 Xem tại trang 7 của tài liệu.
Thí dụ 3: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Ngời ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh  AC và AB của tam giác - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

h.

í dụ 3: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Ngời ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác Xem tại trang 7 của tài liệu.
Bớc 4: Kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dựa trên bảng biến thiên. - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

c.

4: Kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dựa trên bảng biến thiên Xem tại trang 10 của tài liệu.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

a.

vào bảng biến thiên, ta có: Xem tại trang 11 của tài liệu.
Bảng biến thiên: - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: Xem tại trang 12 của tài liệu.
 Bảng biến thiên: - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: Xem tại trang 18 của tài liệu.
 Bảng biến thiên: - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: Xem tại trang 19 của tài liệu.
 Bảng biến thiên: - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: Xem tại trang 20 của tài liệu.
 Bảng biến thiên: - Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: Xem tại trang 23 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan