Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG §1 Khái niệm về khối đa diện Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Đọc lần 2 toàn bộ: • Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. • Định hướng thực hiện các hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí • Chép lại các chú ý, nhận xét • Thực hiện các hoạt động vào vở 4. Thực hiện bài tập lần 1 5. Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4. Thực hiện bài tập lần 2 5. Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: • Nôi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm được • Bài tập lần 1 chưa làm được • Bài tập lần 2 chưa làm được • Thảo luận xây dựng bài giảng 2 gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận được giải đáp. 3 Đ1 Khái niệm về khối đa diện bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. Khối đa diện. Khối chóp, khối lăng trụ Thí dụ 1: Chúng ta hãy quan sát các hình sau: chúng ta nhận thấy: Hình 1 đợc gọi là tứ diện (hay hình chóp tam giác). Hình 2 đợc gọi là chóp tứ giác. Hình 3 đợc gọi là chóp cụt có đáy là lục giác. Hình 4 đợc gọi là lăng trụ đứng có đáy là tam giác. Hình 5 đợc gọi là lăng trụ có đáy là tứ giác (hay hình hộp). Hình 6 đợc gọi là bát diện. Tất cả chúng đợc gọi chung là hình đa diện. Định nghĩa Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thoả mãn hai điều kiện: a. Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung. b. Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác nh thế gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự đợc gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. Mỗi hình đa diện chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Định nghĩa Hình đa diện và phần bên trong của nó gọi là khối đa diện. 4 Hình 1 Hình 3 Hình 2 Hình 4 Hình 6 Hình 5 Từ định nghĩa trên, ta thấy: Khối đa diện đợc gọi là khối chóp, khối chóp cụt nếu nó đợc giới hạn bởi một hình chóp (hình 1 và hình 2), hình chóp cụt (hình 3). Nh vậy, ta có thể nói về khối chóp ngiác, khối chóp cụt ngiác, khối chóp đều, khối tứ diện, Khối đa diện đợc gọi là khối lăng trụ nếu nó đợc giới hạn bởi một hình lăng trụ (hình 4 và hình 5). Nh vậy, ta có thể nói về khối hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phơng, Phân chia và lắp ghép các khối đa diện Thí dụ 2: Cho tứ diện ABCD và E một điểm trên cạnh AB. Ta xét hai khối tứ diện ACDE và BCDE và nhận thấy rằng: 1. Hai khối tứ diện đó không có điểm trong chung (nghĩa là điểm trong của khối tứ diện này không phải là điểm trong của khối tứ diện kia). 2. Hợp của hai khối tứ diện ACDE và BCDE chính là khối tứ diện ABCD. Trong trờng hợp đó, ta nói rằng: Khối đa diện ABCD đợc phân chia thành hai khối đa diện ACDE và BCDE. Ngợc lại hai khối đa diện ACDE và BCDE đợc ghép lại thành khối đa diện ABCD. Hoạt động Hãy phân chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng. Kết quả Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia đợc thành các khối tứ diện (bằng nhiều cách khác nhau). Thí dụ 3: Hãy phân chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành ba khối tứ diện. Giải Để phân chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành ba khối tứ diện, ta có thể sử dụng những cách sau: Cách 1: Ta có ba khối tứ diện là A'ABC, CA'B'C' và A'B'BC. Cách 2: Ta có ba khối tứ diện là A'ABC, CA'BC' và A'B'BC'. Hoạt động Các em học sinh hãy đề xuất những cách phân chia khác. bài tập lần 1 Bài tập 1: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện. Bài tập 2: Chứng minh rằng một khối đa diện bất kì có ít nhất bốn mặt. Bài tập 3: Hãy phân chia một khối hộp thành 5 khối tứ diện. 5 A B D C E C A' A B' B C' Bài tập 4: Hãy phân chia một khối hộp có ba kích thớc là a, 2a, 2a thành bốn khối lập phơng. Bài tập 5: Hãy phân chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng. Bài tập 6: Hãy phân chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành ba khối tứ diện. Bài tập 7: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh a, một cạnh bên a và vuông góc với đáy. Chứng minh rằng có thể dùng ba hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phơng. bài giảng nâng cao A. Tóm tắt lí thuyết 1. Khối đa diện. Khối chóp, khối lăng trụ Định nghĩa Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thoả mãn hai điều kiện: c. Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung. d. Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác nh thế gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự đợc gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. Mỗi hình đa diện chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Định nghĩa Hình đa diện và phần bên trong của nó gọi là khối đa diện. Từ định nghĩa trên, ta thấy: Khối đa diện đợc gọi là khối chóp, khối chóp cụt nếu nó đợc giới hạn bởi một hình chóp (hình 1 và hình 2), hình chóp cụt (hình 3). Nh vậy, ta có thể nói về khối chóp ngiác, khối chóp cụt ngiác, khối chóp đều, khối tứ diện, Khối đa diện đợc gọi là khối lăng trụ nếu nó đợc giới hạn bởi một hình lăng trụ (hình 4 và hình 5). Nh vậy, ta có thể nói về khối hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phơng, Phân chia và lắp ghép các khối đa diện Kết quả Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia đợc thành các khối tứ diện (bằng nhiều cách khác nhau). 6 B. ph B. ph ơng pháp giải Các dạng toán th ơng pháp giải Các dạng toán th ờng gặp ờng gặp Bài toán 1: Chứng minh một số tính chất liên quan đến các đỉnh, các cạnh, các mặt của khối đa diện. Phơng pháp áp dụng Sử dụng các tính chất a), b) trong định nghĩa của hình đa diện. Ví dụ 1: Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là các tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện nh thế với số mặt bằng 4, 6, 8, 10. Hớng dẫn: Thiết lập biểu thức về mối quan hệ giữa số cạnh (giả sử là C) và số mặt của khối đa diện (giả sử là M), thí dụ: M = k.C Tính chất chẵn, lẻ của số M. Giải Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện theo thứ tự là C và M. Ta có nhận xét với mỗi mặt là các tam giác (ba cạnh) nên M mặt có 3M cạnh, nh- ng mỗi cạnh lại chung cho hai mặt nên ta có: 3M = 2C M là số chẵn. Từ kết quả trên, ta lần lựot có: Với 4 mặt ta có một tứ diện (hình 1). Với 6 mặt ta có một lục diện (hình 2). Với 8 mặt ta có một bát diện (hình 3). Với 10 mặt ta có một thập diện (hình 4). Ví dụ 2: Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu khối đa diện mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. Hớng dẫn: Thiết lập biểu thức về mối quan hệ giữa số cạnh (giả sử là C) và số đỉnh của khối đa diện (giả sử là Đ), thí dụ: Đ = k.C Tính chất chẵn, lẻ của số Đ. Giải Gọi số cạnh và số đỉnh của khối đa diện theo thứ tự là C và Đ. Ta có nhận xét với mỗi đỉnh là đỉnh chung cho ba cạnh nên Đ đỉnh có 3Đ cạnh, nhng mỗi cạnh lại đi qua hai đỉnh nên ta có: 3Đ = 2C Đ là số chẵn. Ví dụ 3: Ví dụ 3: Chứng minh rằng không tồn tại một hình đa diện có số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh. 7 Hình 4 Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hớng dẫn: Sử dụng nhận xét " Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh ". Giải Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện theo thứ tự là C và M. Ta có nhận xét: Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên nó có 2C mặt. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh nên có ít nhất 3M cạnh. Từ đó, suy ra: 2C 3M C > M. Bài toán 2: Phân chia hoặc lắp ghép các khối đa diện. Phơng pháp áp dụng Bài toán phân chia khối đa diện đợc thực hiện bằng việc lựa chọn mặt phẳng thích hợp để phân chia khối đa diện đó. Bài toán chứng minh rằng có thể lắp ghép các khối đa diện (H 1 ), (H 2 ), ., (H n ) thành khối đa diện (H) thờng đợc chuyển về việc chứng minh rằng có thể phân chia khối đa diện (H) thành các khối đa diện (H 1 ), (H 2 ), ., (H n ). Ví dụ 1: Ví dụ 1: Hãy phân chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng. Hớng dẫn: Để chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện chúng ta chỉ cần sử dụng một mặt phẳng chứa một cạnh và đi qua một điểm thuộc cạnh đối diện. Giải Lấy điểm E, F theo thứ tự thuộc cạnh AD và BC. Khi đó, hai mặt phẳng (ADF) và (BCE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện sau: ABEF và DBEF; ACEF và DCEF. Ví dụ 2: Ví dụ 2: Hãy phân chia một khối hộp thành 5 khối tứ diện. Hớng dẫn: Sử dụng các mặt phẳng chéo trong khối hộp. Giải Xét khối hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 đợc chia thành năm khối tứ diện bởi bốn mặt chéo tam giác BDA 1 , BDC 1 , A 1 C 1 B, A 1 C 1 D. Khi đó, ta đợc năm khối tứ diện là: ABDA 1 , CBDC 1 , B 1 A 1 C 1 B, D 1 A 1 C 1 D. Ví dụ 3: Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh a, một cạnh bên a và vuông góc với đáy. Chứng minh rằng có thể dùng ba hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phơng. Hớng dẫn: Bài toán đợc chuyển về dạng " Hãy phân chia một hình lập phơng thành ba hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông và một cạnh bên vuông góc với đáy ". 8 A B D C E F A A 1 D D 1 C C 1 B B 1 A A 1 D D 1 C C 1 B B 1 Giải Xét hình lập phơng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 , ta có nhận xét về ba hình chóp: A 1 .ABCD, A 1 .CDD 1 C 1 , A 1 .BCC 1 B 1 , thỏa mãn điều kiện đầu bài. Và ba hình chóp đó phủ đầy hình lập phơng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Vậy, có thể dùng ba hình chóp đã cho để ghép lại thành một hình lập phơng. C. bài tập rèn luyện C. bài tập rèn luyện Bài tập 1: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k 3 luôn tồn tại một hình đa diện có 2k cạnh. Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện. Bài tập 3: Chứng minh rằng một khối đa diện bất kì có ít nhất bốn mặt. Bài tập 4: Hãy phân chia một khối hộp có ba kích thớc là a, 2a, 2a thành bốn khối lập phơng. Bài tập 5: Hãy phân chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng. Bài tập 6: Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác vuông cân cạnh a, một cạnh bên a và vuông góc với đáy tại đỉnh của tam giác vuông cân. Chứng minh rằng có thể dùng bốn hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phơng. D. h D. h ớng dẫn ớng dẫn đáp số đáp số Bài tập 1: Chúng ta thấy ngay hình chóp có đáy là đa giác k cạnh chính là một hình đa diện có 2k cạnh. Bài tập 2: Gọi A là một đỉnh của khối đa diện và A là đỉnh chung của ba cạnh AB, AC, AD. Khi đó: Mặt phẳng chứa AB, AC phải là ABC. Mặt phẳng chứa AB, AD phải là ABD. Mặt phẳng chứa AC, AD phải là ACD. Từ đó, suy ra mặt phẳng thứ t là (BCD). Vậy, khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện. Bài tập 3: Với khối đa diện (H) có M 1 là một mặt nên có ít nhất ba cạnh c 1 , c 2 , c 3 . Theo tính chất b) thì: Có một mặt M 2 chung cạnh c 1 với M 1 và M 1 M 2 . Có một mặt M 3 chung cạnh c 2 với M 1 và M 1 M 3 và M 2 M 3 vì M 3 không chứa c 1 . Có một mặt M 4 chung cạnh c 3 với M 1 và M 1 M 4 và M 2 M 4 , M 3 M 4 vì M 4 không chứa c 1 , c 2 . Vậy, khối đa diện (H) có ít nhất bốn mặt. 9 A A 1 D D 1 C C 1 B B 1 A 0 D 0 B 0 C 0 N M M 1 N 1 M 0 N 0 Bài tập 4: Xét khối hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có AB = AA 1 = 2a, AD = a, đợc chia thành bốn khối lập phơng bởi hai mặt phẳng trung trực của các cạnh AB và AA 1 . Khi đó, ta đợc bốn khối lập phơng là: AMND.A 0 M 0 N 0 D 0 , A 1 M 1 N 1 D 1 .A 0 M 0 N 0 D 0 , BCNM.B 0 C 0 N 0 M 0 , B 1 C 1 N 1 M 1 .B 0 C 0 N 0 M 0 . Bài tập 5: Lấy điểm E, F theo thứ tự thuộc cạnh AD và BC. Khi đó, hai mặt phẳng (ADF) và (BCE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện sau: ABEF và DBEF; ACEF và DCEF. Giỏo ỏn in t ca bi ging ny giỏ: 450.000. 1. Liờn h thy Lấ HNG C qua in thoi 0936546689 2. Bn gi tin v: Lấ HNG C S ti khon: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN 0 & PTNT Tõy H 3. 3 ngy sau bn s nhn c Giỏo ỏn in t qua email. LUễN L NHNG GAT BN SNG TO TRONG TIT DY 10 A B D C E F . − Đăng kí Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG §1 Khái niệm về khối đa diện Các em học sinh đừng. giải đáp. 3 Đ1 Khái niệm về khối đa diện bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. Khối đa diện. Khối chóp, khối lăng trụ Thí