Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

29 5.2K 11
Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §1 Tính đơn điệu hàm số  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết u cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon86@gmail.com để nhận giải đáp ch¬ng I øng dơng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Trong chơng này, ứng dụng đạo hàm giới hạn để xét số tính chất quan trọng hàm số đồ thị nh: ã Tính đơn điệu hàm số ã Cực trị hàm số ã Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ã Các đờng tiệm cận đồ thị Từ đó, khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: Các em học sinh cần có kĩ thành thạo xét tính chất đà nêu hàm số cho trớc nh khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm số đơn giản Chơng I gồm học: Đ1 Tính đơn điệu hàm số Đ2 Cực trị hàm số Đ3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Đ4 Đồ thị hàm số phép tịnh tiến hệ toạ độ Đ5 Đờng tiệm cận đồ thị hàm số Đ6 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm đa thức Đ7 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm phân thức hữu tỉ Đ8 Một số toán thờng gặp đồ thị Đ1 tính đơn điệu hàm số giảng theo chơng trình chuẩn Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y = f(x) hàm số xác định I Để xét tính đơn điệu hàm số y = f(x) K ta xét dấu biểu thức: f (a) − f (b) T= , víi a, b ∈ I vµ a ≠ b (1) a−b NhËn xÐt:  b thay đổi I, kí hiệu x a tiến dần tới b, kí hiệu x + x với x (1) đợc viết l¹i díi d¹ng: f(x + ∆x) − f(x) T= , víi mäi ∆x → vµ x+∆x ∈ I ∆x f(x + ∆x) − f(x) ⇔ T = f '(x) ⇔ T = lim ∆x → ∆x Tõ đó, ta có kết quả: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu hàm số f(x) đồng biến khoảng I f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b NÕu hµm sè f(x) nghịch biến khoảng I f '(x) 0, x I Đảo lại, ta có định lí: Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu f '(x) > 0, x I f(x) đồng biến khoảng I b NÕu f '(x) < 0, ∀x ∈ I th× f(x) nghịch biến khoảng I c Nếu f '(x) = 0, x I f(x) không đổi khoảng I Chú ý: Khoảng I định lí đợc thay đoạn nửa khoảng Khi đó, phải bổ sung giả thiết "Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó" Ngời ta thờng tóm tắt định lí bảng biÕn thiªn sau: x y' −∞ y x y' a b + f(b) f(a) −∞ +∞ a b − +∞ y f(a) f(b) ThÝ dô 1: XÐt sù biÕn thiên hàm số y = x Giải Điều kiện: x3 ⇔ x3 ≤ ⇔ x ≤ ⇒ TËp xác định D = (; 1] Đạo hàm: 3x y' = − x3 y’ = víi x = y < với xD\{0} Bảng biÕn thiªn: x −∞ y' − − + y 0 Hoạt động Xét biến thiên cđa hµm sè y = − x  NhËn xÐt: Qua thÝ dơ trªn, ta thÊy cã thể mở rộng định lí nh sau: Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu f '(x) 0, x I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) đồng biến khoảng I b Nếu f '(x) 0, x I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) nghịch biến khoảng I Thí dụ 2: Xét biến thiên hàm số y = x + x Giải Miền xác định D = Ă \ { 0} Đạo hàm: y' = y ' = Bảng biến thiên: x x2 − = , x2 x2 −1 y' = ⇔ x2 − = ⇔ x = ±1 +∞ + y' y −∞ −2 − − + +∞ −∞ +∞ Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng (; 1) (1; +) Hàm số nghịch biến khoảng (1; 0) (0; 1) Nhận xét: Nh vậy, bảng biến thiên cần phải ghi đầy đủ điểm tới hạn y Hoạt động Xét biến thiên hàm số y = x +1 vµ y = x + x x Chú ý: Để chứng minh hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) I ta chứng minh y’ ≥ 0, ∀x∈I (hc y’ ≤ 0, ∀x∈I) ThÝ dơ 3: Chøng minh r»ng hµm sè y = cos2x 2x + nghịch biến Ă Giải Miền xác định D = Ă Đạo hµm: y' = −2sin2x − = −2(sin2x + 1) x Ă Hàm số nghịch biến Ă Hoạt động Chứng minh hàm số y = x5 + x + sinx + ®ång biÕn trªn ¡  Chó ý: ThÝ dơ tiÕp theo minh hoạ việc thực dạng toán "Tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) I" Thí dụ 4: Tìm giá trị tham số a để hàm số: y = x3 + ax2 + 4x + ®ång biÕn Ă Giải Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = x2 + 2ax + Để hàm số đồng biến Ă điều kiƯn lµ: y' ≥ ∀x∈ ¡ ⇔ f(x) = x2 + 2ax + ≥ ∀x∈ ¡ ⇔ ∆'f ≤ ⇔ a2 − ≤ ⇔ a ≤ VËy, víi a ≤ tháa m·n điều kiện đầu Chú ý: Từ ý c) định lí gợi ý cho ta thực dạng toán "Chứng minh biểu thức A = f(x) không phụ thuộc vào giá trị x tính giá trị A" Thí dụ 5: Cho hàm sè: f(x) = – sin2x – sin2(a + x) 2cosa.cosx.cos(a + x) a Tìm đạo hàm hàm sè f b Tõ a) suy r»ng hµm sè f lấy giá trị không đổi Ă tính f(x)  Gi¶i a Ta cã: f’(x) = −2sinx.cosx – 2sin(a + x).cos(a + x) − – 2cosa[−sinx.cos(a + x) − cosx.sin(a + x)] = −sin2x − sin2(a + x) + 2cosa.sin(2x + a) = −2sin(2x + a).cosa + 2cosa.sin(2x + a) = b Tõ a) suy r»ng hàm số f lấy giá trị không đổi Ă đó: f(x) = f(0) = sin20 – sin2a – 2cosa.cos0.cosa = – sin2a – 2cos2a = cos2a Hoạt động Cho hàm số: 2 ) + sin2x + sin2(x+ ) 3 a Tìm đạo hµm cđa hµm sè f b Tõ a) suy hàm số f lấy giá trị không đổi ¡ vµ tÝnh f(x) f(x) = sin2(x −  Chó ý: Ta biÕt r»ng:  NÕu hµm sè y = f(x) đồng biến khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) f(a) < f(x) < f(b) (hoặc f(a) f(x) ≤ f(b)) víi mäi x thc (a; b) (hc đoạn [a; b]) Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) f(b) < f(x) < f(a) (hoặc f(b) f(x) f(a)) với x thuộc (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) Điều gợi ý cho ta thực dạng toán "Chứng minh bất đẳng thức" Thí dụ 6: Chøng minh r»ng: a sinx < x víi mäi x > Giải a Xét hàm số f(x) = sinx x với < x < Đạo hàm: b sinx > x víi mäi x < π f '(x) = cosx − < víi < x < π ⇔ hµm sè f(x) nghịch biến Do đó: 0; ÷   π π ⇔ sinx − x < víi < x < 2 π ⇔ sinx < x víi < x < b Sử dụng kết với lập luËn: x < ⇔ −x > ⇒ sin(−x) < −x ⇔ −sinx < −x ⇔ sinx > x, ®pcm  π Ho¹t ®éng Chøng minh r»ng 2sinx + tanx > 3x víi mäi x ∈  0; ÷  2 f(x) < f(0) víi < x < Chú ý: Việc kết hợp kết định lí giá trị trung gian hàm số liên tục với tính đơn điệu hàm số cho phép giải phơng trình, bất phơng trình chứng minh tính nghiệm phơng trình, bất phơng trình Thí dụ 7: Giải phơng trình sau: a x5 + 3x3 − 56 = b x = (1 − x)3 +  Gi¶i a XÐt hàm số f(x) = x5 + 3x3 56 Ă Đạo hàm: f '(x) = 5x4 + 9x2 0, x Ă Hàm số đồng biến Ă Do đó, phơng trình f(x) = có nghiệm nghiệm Ta thÊy: f(2) = 32 + 24 − 56 = nên x = nghiệm phơng trình b Điều kiện x Ta lần lợt: Xét hàm số f (x) = x D = [0; +∞), ta cã: f '(x) = > 0, x D Hàm số f(x) đồng biến D x Xét hàm số g(x) = (1 − x)3 + trªn D = [0; +∞), ta cã: g’(x) = −3(1 − x)2 ≤ 0, ∀x∈D Hàm số g(x) nghịch biến D Do đó, phơng trình f(x) = g(x) có nghiệm nghiệm ®ã lµ nhÊt Víi x = 1, ta thÊy: = (1 − 1)3 + ⇔ = 1, nên x = nghiệm phơng trình Chú ý: Để tránh việc phải xét tính đơn điệu hai hàm số câu b) thực nh sau: Biến đổi phơng trình dạng: x (1 x)3 = XÐt hµm sè f (x) = x − (1 − x)3 − trªn D = [0; +), ta có: Đạo hàm: f '(x) = + 3(1 − x) > 0, ∀x ∈ D Hàm số đồng biến D x Do đó, phơng trình f(x) = có nghiệm nghiệm Ta thấy: f(1) = − (1 − 1)3 − = nªn x = nghiệm phơng trình Hoạt động Giải phơng trình sau: a x7 + 3x3 − = b x − = − x3 ThÝ dơ 8: Cho hµm sè f(x) = 2x x − a Chøng minh r»ng hµm số f đồng biến nửa khoảng [2; +) b Chứng minh phơng trình 2x x = 11 cã nghiƯm nhÊt  Gi¶i a Ta cã: f '(x) = 4x x − + x2 > 0, ∀x ∈ (2; + ∞) x−2 Do đó, hàm số đồng biến nửa khoảng [2; +) b Từ bảng biến thiên: x + y' + + y suy đờng thẳng y = 11 cắt đồ thị hàm số y = f(x) điểm dy nhất, tức phơng trình 2x x = 11 có nghiệm Hoạt động 10 Chứng minh phơng trình x x = có nghiệm Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm kho¶ng I a NÕu f '(x) > 0, ∀x ∈ I f(x) đồng biến khoảng I b Nếu f '(x) < 0, x I f(x) nghịch biến khoảng I c Nếu f '(x) = 0, x I f(x) không đổi khoảng I Ta có mở rộng định lí nh sau: Định lí 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu f '(x) 0, x I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) đồng biến khoảng I b Nếu f '(x) 0, x I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) nghịch biến khoảng I Ta tóm tắt định lí bảng biến thiên sau: x y' −∞ a −∞ b a +∞ b +∞ + y x y' y B phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1: Xét tính đơn điệu hàm số Phơng pháp áp dụng Ta thực theo bớc: Bớc 1: Miền xác định Bớc 2: Tính đạo hàm y', tìm điểm tới hạn (thông thờng việc giải phơng trình y' = 0) Bớc 3: Tính giới hạn (nếu cần) Bớc 4: Lập bảng biến thiên hàm số Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên hàm số y = x3 − 2x2 + x +  Híng dÉn: Sử dụng kiến thức phần phơng pháp giải toán Giải Miền xác định D = Ă Đạo hµm: y' = 3x2 − 4x + 1, x = y' = ⇔ 3x2 − 4x + = ⇔   x = 1/ 15 Bảng biến thiên: x y' + y KÕt luËn:    1/3 31/27 + + + 1 Hàm số đồng biến khoảng ; ữ ( 1; + ) Hàm số nghịch biến khoảng ; 1ữ Nhận xét: Hàm đa thức bậc ba tổng quát có dạng: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = ⇔ 3ax2 + 2bx + c =  Giíi h¹n: b c d   lim y = lim x  a + + + ÷ x →∞ x →∞ x x x Ví dụ 2: Bảng biến thiên: DÊu cđa y' phơ thc vµo dÊu cđa a (a > hay a < 0) vµ dÊu cđa ∆' = b2 − 3ac (∆' > hay ∆' ≤ 0), ta có bốn trờng hợp biến thiên khác Xét chiều biến thiên hàm số y = x4 2x2 Giải Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 4x3 4x, Bảng biến thiên: x y' y + x = y' = ⇔ 4x3 − 4x = ⇔ 4x(x2 − 1) = ⇔   x = ±1 −1 −6 + 0 −5 − −6 +∞ + +∞ KÕt luận: Hàm số đồng biến khoảng (1; 0) (1; +) Hàm số nghịch biến khoảng (; 1) (0; 1) 16 Nhận xét: Hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng có phơng trình: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, víi a ≠ Khi ®ã, nÕu sư dơng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = ⇔ 2x(2ax2 + b) = Do đó, phơng trình y' = cã mét nghiƯm (a.b ≥ 0) hc cã ba nghiƯm phân biệt, ta có bốn trờng hợp biến thiên khác Giới hạn: lim y = lim ax4(1 + b + c ) = x →∞ x ax ax Bảng biến thiên: Dấu cđa y' phơ thc vµo dÊu cđa a (a > hay a < 0) vµ dÊu cđa a.b, ta có bốn trờng hợp biến thiên khác Xét chiều biến thiên hàm số y = Ví dô 3:    +∞ a >  −∞ a <  x−2 x+2 Giải Miền xác định D = Ă \{2} Đạo hµm: y' = > 0, ∀x ∈ D ⇒ Hàm số đồng biến D (x + 2)2 Bảng biến thiên: x - + y' + y Nhận xét: Hàm phân thức bậc bậc có dạng: (H): y = ax + b , víi c ≠ 0, D = ad − bc ≠ cx + d Khi ®ã, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Miền xác định D = ¡ \ { −d / c} ad bc , cx + d Đạo hàm y' =  - NÕu D = ad − bc > Hàm số đồng biến D - Nếu D = ad − bc < ⇒ Hµm sè nghịch biến D Giới hạn: 17 lim y = a vµ limd y = ∞ x →− x →∞ c c Bảng biến thiên: Trờng hợp D > x −∞ − d/c y' + + +∞ y a −∞ c a c XÐt chiỊu biÕn thiªn cđa hµm sè y = VÝ dơ 4:  +∞ Trêng hỵp D < x −∞ − d/c y' − − a +∞ y c −∞ − x − 2x + x +1 Giải Miền xác định D = Ă \{1} Đạo hàm: x 2x + y' = , y’ = ⇔ −x2 − 2x + = 0, v« nghiƯm (x + 1)2 y < xD Hàm số nghịch biến D Nhận xét: Hàm phân thức bậc hai bậc có dạng: ax + bx + c , víi ad ≠ 0, tư, mÉu nghiệm chung dx + e Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Viết lại hàm số dới d¹ng: γ y = f(x) = αx + β + dx + e e Miền xác định D = Ă \{ } d Đạo hàm: d (dx + e)2 − γd y' = α − = , (dx + e)2 (dx + e)2 (H): y = Dấu đạo hµm lµ dÊu cđa tam thøc g(x) = α(dx + e)2 d Giới hạn: lim y = lim y = ∞ x →∞ x →− e / d Bảng biến thiên: Trờng hợp > Phơng tr×nh y' = cã hai nghiƯm x1 < x2 18 +∞ a c −∞ x y' y −∞ + x1 C§ − − e/d − +∞ +∞ +∞ + Trờng hợp < Phơng trình y' = cã hai nghiÖm x1 < x2 x x1 −∞ − e/d y' + + − −∞ +∞ y CT Phơng trình y' = vô nghiệm x −∞ − e/d y' − − y +∞ +∞ −∞ + + CT Phơng trình y' = v« nghiƯm x −∞ − e/d y' + + +∞ y −∞ −∞ x2 C§ +∞ − −∞ +∞ Xét chiều biến thiên hàm số y = VÝ dô 5: x2 1 − x x2 Giải Miền xác định D = Ă \ { 0, 2} Đạo hàm: y' = 1 4x − + = , y’ = ⇔ 4x − = ⇔ x = 2 x (x − 2) x (x − 2)2 Bảng biến thiên: x y' + y −∞ − 2 + +∞ + + Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng (1; 2) (2; +) Hàm số nghịch biến khoảng (; 0) (0; 1) 19 Nhận xét: Hàm phân thức bậc hai bậc hai có dạng: ax + bx + c (H): y = , víi a, a1 ≠ 0, tư, mÉu kh«ng cã nghiƯm chung a1x + b1 x + c1 Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Miền xác định D = Ă \{x Ă | a1x2 + b1x + c1 = 0} Đạo hàm: (ab1 − a1 b)x + 2(ac1 − a 1c)x + bc1 − c1b y' = , (a1x + b1 x + c1 )2 Giíi h¹n: a ; xlim0 y = , với x0 nghiệm đa thức mẫu số x a1 Bảng biến thiên: có 18 trờng hợp khác chiều biến thiên lim y = x →∞ VÝ dơ 6: XÐt chiỊu biÕn thiªn cđa hàm số sau: a y = x  b y = x − 2x + Giải a Ta có điều kiện: x2 ≥ ⇔ x ≤ ⇒ D = [2; 2] Đạo hàm: 2x x y' = , y' = ⇔ x = = − 4x x2 Bảng biến thiên: x − ∞ −2 +∞ y' − + y 0 Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng (2; 0) Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) b Ta có điều kiện: x2 2x + D = Ă Đạo hàm: 2x x y' = = , y' = ⇔ x − = ⇔ x = 2 x − 2x + x − 2x + B¶ng biÕn thiªn: x −∞ +∞ 20 y' − + + + y Kết luận: Hàm số nghịch biến khoảng (; 1) Hàm số đồng biến khoảng (1; +) Nhận xét: Hàm vô tỉ d¹ng: (H): y = ax + bx + c , víi a ≠ Khi ®ã, nÕu sư dơng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Miền xác định D = {xR | ax2 + bx + c 0} Đạo hàm: 2ax + b y' = , ax + bx + c Bảng biến thiên: có trờng hợp khác vỊ chiỊu biÕn thiªn XÐt chiỊu biÕn thiªn cđa hàm số sau: a y = x3 + x − cosx − b y = cos2x − x Ví dụ 7: Giải a Miền xác định D = Ă Đạo hàm: sinx y' = 3x2 + + sinx = 3x2 + +2 ≥ ∀x∈ ¡ ≥0 ⇒ Hµm sè đồng biến Ă b Miền xác định D = Ă Đạo hàm: sin2x y' = −2sinx.cosx − = 20 43 ≤ x Ă Hàm số nghịch biến Ă Ví dụ 8: Tuỳ theo m, khảo sát biến thiên hàm số y = Híng dÉn: THam kh¶o nhËn xÐt sau vÝ dơ Giải x+2 x 2m Miền xác định D = Ă \{2m} Đạo hàm: 2m y' = (x − 2m)2 Ta ®i xÐt ba trêng hỵp: Trêng hỵp 1: NÕu −2m − = tøc m = −1 th×: y' = 0, ∀x ∈ D Hàm số hàm (có dạng y = 1) 21 Trêng hỵp 2: NÕu −2m − < tøc m > −1 th×: y' < 0, x D Hàm số nghịch biến D Trêng hỵp 3: NÕu −2m − > ⇔ m < −1 th×: y' > 0, ∀x ∈ D Hàm số đồng biến D Bài toán 2: Sự biến thiên hàm số miền Phơng pháp áp dụng Câu hỏi thờng đợc đặt " Tìm giá trị tham số để hàm số đơn điệu tập I " Khi đó, ta thực theo bớc: Bớc 1: Tìm miền xác định D thiết lập điều kiện I D Bớc 2: Đạo hàm y' Bớc 3: Hàm số đơn điệu tập I (giả sử đồng biến I) khi: y 0, xI Bài toán đợc chuyển dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai sử dụng phơng pháp hàm số Bớc 4: Kết ln VÝ dơ 1: Cho hµm sè: y = − x + 2x + (2m + 1)x 3m + Với giá trị m: a Hàm số nghịch biến Ă ? b Hàm số đồng biến đoạn có độ dài 2?  Híng dÉn: Sư dơng kiÕn thøc phÇn phơng pháp giải toán Giải Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = x2 + 4x + 2m + 1, y' = ⇔ f(x) = −x2 + 4x + 2m + = (1) a Hàm số nghịch biến Ă khi: y' 0, ∀x∈ ¡ ⇔ f(x) ≤ 0, ∀x∈ ¡ ⇔ ∆’f ≤ ⇔ + 2m + ≤ ⇔ m≤− VËy, víi m thoả mÃn điều kiện đầu b Hàm số đồng biến đoạn có độ dài khi: y' đoạn có độ dài b»ng ⇔ (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 tho¶ m·n |x1 − x2| = ∆ ' > ∆ ' >   ⇔ ⇔ ⇔ ∆ ' = ⇔ 2m + = ⇔ m = −2 x1 − x = 2 ∆ ' =    22 Vậy, với m = thoả mÃn điều kiện đầu Chú ý Ta nhớ lại phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) nÕu cã hai nghiƯm x1, x2 th×: x1 − x = VÝ dô 2:  −b − ∆ −b + ∆ ∆ ∆' − = hc x1 − x = 2a 2a a a T×m m ®Ĩ hµm sè y = x4 − 8mx2 + 9m đồng biến (2; +) Giải Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y = 4x3 16mx = 4x(x2 4m) Hàm số đồng biến (2; +∞) khi: y' ≥ 0, ∀x∈(2; +∞) ⇔ 4x(x2 − 4m) ≥ 0, ∀x∈(2; +∞) ⇔ f(x) = x2 − 4m ≥ 0, ∀x∈(2; +∞) ⇔ f(2) ≥ ⇔ − 4m ≥ ⇔ m ≤ VËy, với m thoả mÃn điều kiện đầu VÝ dơ 3: Cho hµm sè: y= mx − xm Với giá trị m: a Hàm số nghịch biến khoảng xác định ? b Hàm số đồng biến khoảng (0; +) ? Giải Miền xác định D = Ă \{m} Đạo hàm: m2 (x m)2 a Hàm số nghịch biến khoảng xác định khi: y' 0, xD dấu đẳng thức xảy số hữu hạn điểm − m2 < ⇔ m>1 VËy, víi m > thoả mÃn điều kiện đầu b Trớc hết hàm số cần xác định (0; +), ®iỊu kiƯn lµ m ≤ (*) Hµm sè ®ång biÕn víi trªn (0; +∞) khi: y' ≥ 0, ∀x∈(0; +) dấu đẳng thức xảy số hữu hạn điểm y' = (*) m2 > ⇔ m < ⇔ − < m ≤ 23 VËy, víi −1 < m thoả mÃn điều kiện đầu Chó ý RÊt nhiỊu häc sinh thùc hiƯn bµi toán trên: a câu a), đà nhận nghiệm m = 1, thiết lập điều kiện m2 Các em học sinh cần nhớ kỹ nội dung định lí b câu b), đà không kiểm tra điều kiện xác định hàm số khoảng (0; +) Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = x + + định ? m đồng biến khoảng xác x Giải Miền xác định D = Ă \{1} Đạo hàm: m x 2x + − m y' =1− = , (x − 1)2 (x 1)2 Hàm số đồng biến khoảng xác ®Þnh cđa nã khi: y' ≥ 0, ∀x∈D ⇔ f(x) = x2 − 2x + − m ≥ 0, ∀x∈D ⇔ ∆’f ≤ 0, ∀x∈D ⇔ − + m ≤ ⇔ m ≤ VËy, víi m thoả mÃn điều kiện đầu Bài toán 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phơng pháp áp dụng Bằng việc xét hàm số f(x) ®o¹n [a; b], ta cã: a NÕu f'(x) = 0, x[a; b] Hàm số f(x) hàm [a; b] ⇒ f(x) = f(x0) víi x0∈[a; b] b NÕu f'(x) ≥ 0, ∀x∈[a; b] ⇔ Hµm sè f(x) ®ång biÕn trªn [a; b] ⇒ f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) c NÕu f'(x) ≤ 0, ∀x∈[a; b] ⇔ Hµm số f(x) nghịch biến [a; b] f(b) f(x) ≤ f(a)  π π VÝ dô 1: Cho hàm số f: ; ữ Ă xác ®Þnh bëi:  4 x f(x) = cosx + sinx.tan a Tính đạo hàm hàm số f b Tính giá trị f(x) Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức phần phơng pháp giải toán 24  Gi¶i a Ta cã: 1 sin x x x f’(x) = −sinx + cosx.tan + cos2 2 x sin x x = −sinx + cosx.tan + cos x = −sinx + (cosx + 1)tan 2 x x = −sinx + 2cos sin = −sinx + sinx = 2 b Ta cã thĨ lùa cän mätt hai c¸ch sau: Cách 1: Từ a) suy hàm số f lấy giá trị không đổi Ă ®ã: f(x) = f(0) = cos0 + sin0.tan0 = Cách 2: Thực phép biến đổi: x x x x f(x) = cosx + 2sin cos tan = cosx + 2sin2 2 2 = cosx + − cosx = Cho hµm sè f(x) = 2sinx + tanx – 3x VÝ dô 2:  π a Chứng minh hàm số đồng biến nửa khoảng  0; ÷  2  π b Chøng minh r»ng 2sinx + tanx > 3x víi mäi x ∈  0; ÷  2  Híng dÉn:  Gi¶i a Ta cã: f '(x) = cos x + cos3 x − 3cos2 x + −3 = cos2 x cos2 x (2 cos x + 1)(cos x − 1)2  π > 0, ∀x ∈  0; ÷ cos x  2  π Hàm số đồng biến 0; ữ 2 b Do ®ã:  π  π f(x) > f(0) = 0, ∀x ∈  0; ÷ ⇔ 2sin x + tan x > 3x, ∀x ∈  0; ÷  2  2 =  25 Chó ý: Đôi khẳng định đợc r»ng f'(x) ≥ 0, ∀x∈[a; b] (hc f '(x) ≤ 0, ∀x∈[a; b]), vÝ dơ nh hµm sè f(x) = x − f'(x) = − x2 x3 − sinx víi x > ta cã − cosx rõ ràng khẳng định đợc với x > 0, tr- ờng hợp nh vậy, thủ thuật thông thờng đợc áp dụng liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thøc Èn x Chøng minh r»ng víi x > 0, ta cã x − x < sinx VÝ dô 3: Giải Xét hàm số f(x) = x Đạo hàm: f'(x) = x3 sinx víi x > x2 − cosx, f''(x) = −x + sinx, f'''(x) = −1 + cosx < víi x > ⇔ f ''(x) nghÞch biÕn víi x > ⇒ f ''(x) < f ''(0) víi x > ⇔ f ''(x) < víi x > ⇔ f '(x) nghÞch biÕn víi x > ⇒ f '(x) < f '(0) víi x > ⇔ f '(x) < víi x > ⇔ f(x) nghÞch biÕn víi x > ⇒ f(x) < f(0) víi x > ⇔ x − ⇔x−  x3 − sinx < víi x > x3 < sinx víi x > Chú ý: Trong ví dụ đà đợc hàm số cần xét biến thiên Ví dụ minh hoạ việc lựa chọn hàm số thích hợp để xét biến thiên, bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức nhiỊu biÕn VÝ dơ 4: Chøng minh r»ng mäi ∆ABC nhän ta ®Ịu cã: tanA + tanB + tanC > Hớng dẫn: Sử dụng hàm số đặc trng y = tanx − x  Gi¶i >0 ViÕt lại bất đẳng thức dới dạng: ta n A + ta n B + ta n C > A + B + C ⇔ (tanA – A) + (tanB – B) + (tanC – C)  π XÐt hµm sè f(x) = tanx x 0; ữ, ta cã:  2 26  π − = tan2x > víi x ∈  0; ÷ cos x Hàm số f(x) đồng biến 0; ữ Do đó: f(x) > f(0) = víi x ∈  0; ÷ ⇔ tanx − x > víi x ∈ Vậy, ta đợc: tanA A > 0, tanB − B > 0, tanC − C > Cộng theo vế ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh f'(x) =  π  0; ữ Bài toán 4: Giải phơng trình, bất phơng trình hệ Phơng pháp áp dụng Ví dụ việc sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải phơng trình dạng toán quen thuộc, ta cã c¸c híng ¸p dơng sau: Híng 1: Thùc theo bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình dạng: f(x) = k (1) Bớc 2: Xét hàm số y = f(x), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bớc 3: Khi đó, phơng trình (1) có nghiệm nghiệm Tìm x0 cho f(x0) = k Vậy, phơng trình có nghiệm nhÊt x = x0 Híng 2: Thùc hiƯn theo bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình dạng f(x) = g(x) (2) Bớc 2: Xét hàm số y = f(x) y = g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) đồng biến hàm số y = g(x) hàm nghịch biến Bớc 3: Khi đó, phơng trình (2) có nghiệm nghiệm Tìm x0 cho f(x0) = g(x0) Vậy, phơng trình có nghiệm nhÊt x = x0 Híng 3: Thùc hiƯn theo c¸c bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình dạng f(u) = f(v) (3) Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bớc 3: Khi ®ã: (3) ⇔ u = v víi ∀u, vDf Ví dụ 5: Giải phơng trình x − + x = 2x + 6x  Giải Điều kiện: 27 x  1 + x ≥ x ≤ ⇔ x x Tới ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Viết lại phơng trình dới dạng: x − + x − 2x − 6x = XÐt hµm sè f (x) = − x − + x − 2x − 6x trªn D = [−1; 1], ta cã: 1 f '(x) = − − − 6x − < 0, ∀x ∈ D 1− x 1+ x ⇔ Hàm nghịch biến D Do đó, phơng trình f(x) = có nghiệm nghiệm nhÊt Ta thÊy: f(0) = − = nên x = nghiệm phơng trình Cách 2: Ta lần lợt: Xét hàm số f (x) = − x − + x trªn D = [−1; 1], ta cã: 1 f '(x) = − − < 0, ∀x ∈ D x 1+ x Hàm số f(x) nghịch biến D Xét hàm số g(x) = 2x3 + 6x trªn D = [−1; 1], ta cã: g’(x) = 6x2 + > 0, ∀x∈D ⇔ Hµm sè g(x) đồng biến D Do đó, phơng trình f(x) = g(x) có nghiệm nghiệm nhÊt Víi x = 0, ta thÊy: − = + = 0, nên x = nghiệm phơng trình Cách 3: Viết lại phơng trình dới dạng: x + (1 − x)3 = + x + (1 + x)3 XÐt hµm sè f (t) = t + t trªn trªn D = [0; +∞), ta cã: f '(t) = + t > 0, x D Hàm số đồng biến D t Khi đó: (1) f(1 x) = f(1 + x) ⇔ − x = + x x = Vậy, phơng trình cã nghiƯm x = VÝ dơ 6: Gi¶i hƯ phơng trình; sin x sin y = y x  π , víi x ∈  0; ÷   2  x + 2y = π  Hớng dẫn: Thực giải phơng trình thứ hệ 28 (1) Giải Viết phơng trình thứ cđa hƯ díi d¹ng sinx + x = siny + y  π XÐt hµm sè f(t) = sint + t 0; ữ , ta có:  π  π f '(t) = cost + > với x 0; ữ Hàm số f(t) đồng biến 0; ữ Vậy, phơng trình (*) đợc viết dới dạng f(x) = f(y) ⇔ x = y Khi ®ã, hƯ cã d¹ng: x = y x = y π ⇔ ⇔ x=y=   x + 2y = 3x = Vậy, hệ phơng trình có nghiệm x = y = (*) Bài toán 5: øng dơng vµo thùc tÕ VÝ dơ 1: Sè dân thị trấn đợc cho bởi: f(t) = 26t + 10 t +5 t khoảng thời gian kể từ đầu năm 1970 (đợc tính năm) f(t) dân số thời điểm t (đợc tính nghìn ngời) a Tính số dân thị trấn vào đầu năm 1980 đầu năm 1995 b Xem f hàm số xác định nửa khoảng [0; +) Tính f'(t) xét chiều biến thiên hàm số f nửa khoảng [0; +) c Đạo hàm hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số thị trấn (tính nghìn ngời/năm) Tính tốc độ tăng dân số năm 1990 thị trấn Tính tốc độ tăng dân số đợc dự kiến vào năm 2008 Vào năm tốc độ tăng dân số 0,125 nghìn ngời/năm ? Giải a Ta lần lợt có: Với t = 1980 th× f(t) = 18000 ngêi  Víi t = 1995 th× f(t) = 22000 ngêi 120 b Ta có f'(t) = hàm số đồng biến D = [0; +∞) (t + 5)2 c Ta lÇn lợt có: Tốc độ tăng dân số năm 1990 thị trấn f'(1990) = 0,192 Tốc độ tăng dân số năm 2008 thị trấn lµ f'(2008) = 0,065 120  f'(t) = 0,125 ⇔ = 0,125 ⇔ t = 1996 (t + 5)2 29 ... tiệm cận đồ thị hàm số Đ6 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm đa thức Đ7 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm phân thức hữu tỉ Đ8 Một số toán thờng gặp đồ thị Đ1 tính đơn điệu hàm số giảng theo... để nhận giải ỏp chơng I ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Trong chơng này, ứng dụng đạo hàm giới hạn ®Ĩ xÐt mét sè tÝnh chÊt quan träng cđa hµm số đồ thị nh: ã Tính đơn điệu hàm số. .. số cho trớc nh khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm số đơn giản Chơng I gồm học: Đ1 Tính đơn điệu hàm số Đ2 Cực trị hàm số Đ3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Đ4 Đồ thị hàm số phép tịnh tiến

Ngày đăng: 24/08/2013, 14:04

Hình ảnh liên quan

Ngời ta thờng tóm tắt định lí 1 trong các bảng biến thiên sau: - Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

g.

ời ta thờng tóm tắt định lí 1 trong các bảng biến thiên sau: Xem tại trang 5 của tài liệu.
Bảng biến thiên: - Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: Xem tại trang 6 của tài liệu.
Nhận xét: Nh vậy, trong bảng biến thiên cần phải ghi đầy đủ các điểm tới hạn của y’. - Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

h.

ận xét: Nh vậy, trong bảng biến thiên cần phải ghi đầy đủ các điểm tới hạn của y’ Xem tại trang 7 của tài liệu.
Bảng biến thiên: - Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: Xem tại trang 16 của tài liệu.
 Bảng biến thiên: - Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: Xem tại trang 18 của tài liệu.
Bảng biến thiên: có 4 trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên - Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: có 4 trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên Xem tại trang 21 của tài liệu.
Bảng biến thiên: - Bài giảng: Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bảng bi.

ến thiên: Xem tại trang 31 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan