Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach (Luận văn thạc sĩ)

49 7 0
  • Loading ...
1/49 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/03/2019, 07:47

Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HỌC TOÀN XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HỌC TOÀN XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 10/2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Bất đẳng thức biến phân số toán liên quan 1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều 1.1.1 Điểm bất động phép chiếu mêtric 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian RN 10 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 15 1.2.1 Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert 15 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 16 1.2.3 Một số tốn mơ tả dạng tốn bất đẳng thức biến phân 17 1.2.4 1.3 Nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 18 Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach 20 1.3.1 Ánh xạ j-đơn điệu 20 1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 23 Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 2.1 25 Nửa nhóm khơng giãn 25 2.1.1 Định nghĩa Ví dụ 25 2.1.2 Một số tính chất 27 iv 2.2 Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 29 2.2.1 Nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 30 2.2.2 Phương pháp lặp hội tụ 31 2.2.3 Ví dụ minh họa 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E SE mặt cầu đơn vị E R tập số thực R+ tập số thực không âm ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng C[a, b] không gian hàm liên tục đoạn [a, b] lp , ≤ p < ∞ không gian dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], ≤ p < ∞ không gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C lim supn→∞ xn giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân khơng gian vơ hạn chiều nhà tốn học người Italia G Stampacchia đồng đưa lần vào năm đầu thập niên 60 kỉ XX nghiên cứu toán biên tự (xem [7], [9], [10] [11]) Bài tốn bất đẳng thức biến phân có vai trò quan trọng nghiên cứu toán học lý thuyết toán tối ưu, toán điều khiển, toán cân bằng, toán bù, toán giá trị biên v.v Bên cạnh đó, tốn bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng tốn thực tế mơ hình cân kinh tế, giao thơng, tốn khơi phục tín hiệu, tốn cơng nghệ lọc khơng gian, tốn phân phối băng thơng v.v Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đề tài thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước nhiều kết sâu sắc thiết lập Đề tài luận văn giới thiệu trình bày lại hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Banach báo [6] công bố năm 2017 Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều, không gian Hilbert khơng gian Banach, trình bày mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân với số tốn liên quan Chương trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn khơng gian Banach, trình bày hội tụ mạnh phương pháp đưa ví dụ minh họa Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô khoa Tốn–Tin thầy trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trung tâm GDNN – GDTX Đan Phượng anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K10 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn Trần Học Toàn Chương Bất đẳng thức biến phân số toán liên quan Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều vơ hạn chiều số tốn liên quan đến bất đẳng thức biến phân Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3], [5] [8] 1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều 1.1.1 Điểm bất động phép chiếu mêtric Ký hiệu RN khơng gian Euclid N chiều có tích vơ hướng chuẩn tương ứng ký hiệu , Định nghĩa 1.1.1 Cho C tập hợp khác rỗng, F ánh xạ từ C vào C Một điểm x ∈ C gọi điểm bất động ánh xạ F F (x) = x Tập tất điểm bất động F ký hiệu Fix(F ), nghĩa Fix(F ) = x ∈ C : F (x) = x Nhận xét 1.1.2 Điểm bất động ánh xạ F nghiệm phương trình tốn tử F (x) − x = Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian mêtric với khoảng cách d Ánh xạ F : X → X gọi ánh xạ co d(F (x), F (y)) ≤ θd(x, y) x, y ∈ X, (1.1) θ số thỏa mãn ≤ θ < Nếu θ = 1, F gọi ánh xạ không giãn x (hoặc F (x) = cos x) ánh xạ co (tương ứng, ánh xạ khơng giãn) Ví dụ 1.1.4 (a) Ánh xạ F : R → R xác định F (x) = 1 (b) Ánh xạ F : R2 → R2 xác định F (x) = Ax (hoặc F (x) = √ Ax) 1 x1 với A = x = ánh xạ co (tương ứng, ánh xạ −1 x2 không giãn) Định lý 1.1.5 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) (xem [2]) Nếu X không gian mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ co, tồn điểm bất động ánh xạ F Nhận xét 1.1.6 (a) Định lý 1.1.5 nói chung không F ánh xạ không giãn Chẳng hạn F : RN → RN xác định F (x) = x, ánh xạ không giãn Fix(F ) = RN (b) Điều kiện ánh xạ co điều kiện cần, chẳng hạn F : R → R xác định F (x) = sin x ánh xạ khơng giãn F có điểm bất động Fix(F ) = {0} Định lý 1.1.7 (Định lý điểm bất động Brouwer) (xem [3]) Nếu F ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B ⊂ RN vào F có điểm bất động Chú ý 1.1.8 (a) Nếu F khơng liên tục F có điểm bất động Chẳng hạn F : [0, 1] → [0, 1] xác định F (x) = −1 ≤ x < F (x) = x = ánh xạ không liên tục [0, 1] Fix(F ) = {0, 1} (b) Trong Định lý 1.1.7 ta thay hình cầu đóng B tập lồi compact RN Sau ta nhắc lại số khái niệm tập lồi hàm lồi Cho hai điểm a, b ∈ RN Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1.9 Tập C ⊆ RN gọi tập hợp lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Nói cách khác, tập C ⊆ RN tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Ví dụ 1.1.10 Trong không gian RN , tập hợp sau tập lồi: (a) hình cầu đóng tâm x0 bán kính r: B(x0 , r) = {x = (x1 , x2 , , xN ) ∈ RN : x − x0 ≤ r}; (b) nửa khơng gian đóng Hα = {x = (x1 , x2 , , xN ) ∈ RN : a, x ≤ α}; (c) hình đa diện ∆ = {x = (x1 , x2 , , xN ) ∈ RN : A, x ≤ b}, x0 ∈ RN , r số thực dương, a ∈ RN , α ∈ R, A ma trận thực cỡ M × N , b ∈ RM Định nghĩa 1.1.11 Cho C tập không gian RN , f : C → [−∞, +∞] hàm tùy ý (a) Miền hữu hiệu hàm f , ký hiệu định nghĩa bởi: domf = x ∈ C : f (x) < +∞ (1.2) (b) Tập đồ thị hàm f ký hiệu định nghĩa bởi: epif := (x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α (1.3) (c) Nếu domf khác rỗng f (x) > −∞ với x ∈ C ta nói hàm f thường 31 {γn } ⊂ (0, 1) cho < lim inf n→∞ γn ≤ lim supn→∞ γn < Nếu zn+1 − zn − xn+1 − xn lim sup ≤ 0, n→∞ limn→∞ xn − zn = Bổ đề 2.2.3 (xem [13]) Cho {an }, {bn } {cn } ba dãy số không âm thỏa mãn an+1 ≤ (1 − bn )an + bn cn , bn ∈ (0, 1), ∞ n=1 bn = ∞, lim bn = lim sup cn ≤ Khi đó, n→∞ n→∞ lim an = n→∞ 2.2.2 Phương pháp lặp hội tụ Mục trình bày hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân (2.1) trình bày chứng minh định lý hội tụ mạnh phương pháp tương ứng (xem [6]) Mô tả phương pháp Ta xét hai phương pháp lặp hội tụ mạnh đến nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (2.1) khơng cần giả thiết tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach E Hai phương pháp mô tả sau: Phương pháp 2.1: xn+1 = (1 − γn )xn + γn Sn An xn , n ≥ 1, x1 ∈ E, (2.8) n ≥ 1, x1 ∈ E, (2.9) Phương pháp 2.2: xn+1 = (1 − γn )Sn xn + γn An xn , An Sn ánh xạ định nghĩa sau: An x = (I − λn A)x Sn x = tn tn T (s)xds, x ∈ E, 32 {γn }, {λn }, {tn } dãy số thỏa mãn điều kiện: ∞ λn ∈ (0, 1), λn → 0, λn = ∞; (2.10) n=1 lim tn = ∞, n→∞ {|tn+1 − tn |} dãy bị chặn; (2.11) γn ∈ (0, 1) thỏa mãn < lim inf γn ≤ lim sup γn < n→∞ (2.12) n→∞ Sự hội tụ Định lý 2.2.4 (xem [6]) Cho E không gian Banach thực lồi có chuẩn khả vi Gâteaux A : E → E ánh xạ η-j-đơn điệu γ-giả co chặt với η + γ > Cho {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn E cho F = ∩t≥0 Fix(T (t)) = ∅ Khi dãy lặp {xn } xác định (2.8) hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ toán bất đẳng thức biến phân (2.1) Chứng minh Bước Ta tồn số dương C1 cho xn , Sn xn , An xn , An+1 xn − p , Axn ≤ C1 với n ≥ 1và p ∈ F Giả sử n ≥ Với phần tử cố định p ∈ F, ta có Sn p = p, từ Bổ đề 1.3.9, xn+1 − p = (1 − γn )xn + γn Sn An xn − p ≤ (1 − γn ) xn − p + γn Sn An xn − Sn p ≤ (1 − γn ) xn − p + γn An xn − p = (1 − γn ) xn − p + γn (I − λn A)xn − (I − λn A)p − λn Ap 33 Hay xn+1 − p ≤ (1 − γn ) xn − p + γn (1 − λn τ ) xn − p + λn Ap Ap = (1 − γn λn τ ) xn − p + γn λn τ τ ≤ max xn − p , Ap τ ≤ · · · ≤ max x1 − p , Ap τ Do dãy {xn } bị chặn Vì Sn ánh xạ khơng giãn I − λn A ánh xạ co nên Sn xn − Sn p ≤ xn − p ≤ max x1 − p , Ap τ An xn − An p = (I − λn A)xn − (I − λn A)p ≤ (1 − λn τ ) xn − p ≤ (1 − λn τ ) max x1 − p , Ap τ Suy dãy {Sn xn } {An xn } dãy bị chặn, đồng thời dãy {An+1 xn − p} bị chặn Vì A ánh xạ γ-giả co chặt nên dãy {Axn } bị chặn Do tồn số dương C1 cần Bước Ta limn→∞ T (t)xn − xn = 0, với t ≥ Lấy n ≥ 1, định nghĩa zn = Sn An xn Từ (2.8) suy xn+1 = (1 − γn )xn + γn zn , zn+1 − zn = Sn+1 An+1 xn+1 − Sn An xn ≤ Sn+1 An+1 xn+1 − Sn+1 An+1 xn + Sn+1 An+1 xn − Sn An+1 xn + Sn An+1 xn − Sn An xn (2.13) 34 Vì Sn+1 An+1 xn − Sn An+1 xn = tn+1 tn+1 T (s)An+1 xn − T (s)p ds tn T (s)An+1 xn − T (s)p ds − tn tn 1 = − T (s)An+1 xn − T (s)p ds tn+1 tn tn+1 + T (s)An+1 xn − T (s)p ds tn+1 tn |tn+1 − tn | − C1 ≤ tn C + tn+1 tn tn+1 |tn+1 − tn | C1 , =2 tn+1 ta nhận zn+1 − zn ≤ An+1 xn+1 − An+1 xn |tn+1 − tn | +2 C1 + An+1 xn − An xn tn+1 |tn+1 − tn | C1 ≤ xn+1 − xn + 2λn+1 C1 + tn+1 + |λn+1 − λn |C1 Điều kết hợp với (2.10) (2.11) suy lim sup zn+1 − zn − xn+1 − xn ≤ n→∞ Do từ (2.12) Bổ đề 2.2.2 suy lim xn − zn = n→∞ (2.14) Vì An xn − xn ≤ λn C1 and λn → n → ∞, ta nhận lim An xn − xn = n→∞ Mặt khác từ (2.14), (2.15), Sn xn − xn ≤ Sn xn − zn + zn − xn = Sn xn − Sn An xn + zn − xn ≤ xn − An xn + zn − xn , (2.15) 35 ta lim Sn xn − xn = (2.16) n→∞ Bây với t > 0, T (t)xn − xn ≤ T (t)xn − T (t)Sn xn + T (t)Sn xn − Sn xn + Sn xn − xn ≤ Sn xn − xn + T (t)Sn xn − Sn xn Kết hợp với (2.16) Bổ đề 2.1.3 suy lim T (t)xn − xn = (2.17) n→∞ Bước Ta limn→∞ xn − p∗ = 0, p∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) Thật vậy, từ giả thiết định lý, p∗ tồn Hơn dãy {yk } xác định (2.2) hội tụ tới p∗ Do đó, theo Mệnh đề 2.1.4, ta nhận lim sup Ap∗ , j(p∗ − xn ) ≤ (2.18) n→∞ Bây ta sử dụng tính lồi · , Bổ đề 1.3.10, Bổ đề 1.3.9, tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị j(−x) = −j(x) với x ∈ E, ta đánh giá giá trị xn+1 − p∗ xn+1 − p∗ 2 sau: ≤ (1 − γn ) xn − p∗ + γn Sn An xn − p∗ = (1 − γn ) xn − p∗ + γn Sn An xn − Sn p∗ ≤ (1 − γn ) xn − p∗ + γn An xn − p∗ = (1 − γn ) xn − p∗ + γn An xn − An p∗ − λn Ap∗ ≤ (1 − γn ) xn − p∗ + γn (1 − λn τ ) xn − p∗ 2 2 − 2λn Ap∗ , j(xn − p∗ − λn Axn ) = (1 − γn λn τ ) xn − p∗ + 2γn λn Ap∗ , j(p∗ − xn ) + Ap∗ , j(p∗ − xn + λn Axn ) − j(p∗ − xn ) ≤ (1 − γn λn τ ) xn − p∗ + γn λn τ Ap∗ , j(p∗ − xn ) + Ap∗ , j(p∗ − xn + λn Axn ) − j(p∗ − xn ) /τ, 36 hay xn+1 − p∗ ≤ (1 − bn ) xn − p∗ + bn cn , (2.19) bn = γn λn τ, cn = Ap∗ , j(p∗ − xn ) + Ap∗ , j(p∗ − xn + λn Axn ) − j(p∗ − xn ) /τ Vì {λn } {γn } thỏa mãn điều kiện (2.10) (2.12), nên ∞ bn → bn = ∞ n=1 Sử dụng (2.18) kết hợp với λn → n → ∞, ta nhận lim sup cn ≤ n→∞ Do từ Bổ đề 2.2.3 (2.19) ta suy limn→∞ xn − p∗ = Ta nhận điều cần chứng minh Định lý 2.2.5 (xem [6]) Giả sử điều kiện Định lý 2.2.4 thỏa mãn Khi dãy lặp {xn } xác định (2.9) hội tụ mạnh tới nghiệm p∗ toán bất đẳng thức biến phân (2.1) Chứng minh Ta chứng minh theo bước Bước Ta dãy {xn } bị chặn Với p ∈ F cố định ta có Sn p = p theo Bổ đề 1.3.9, xn+1 − p = γn (I − λn A)xn + (1 − γn )Sn xn − p ≤ γn (I − λn A)xn − p + (1 − γn ) Sn xn − Sn p ≤ γn [(1 − λn τ ) xn − p + λn Ap ] + (1 − γn ) xn − p Ap = (1 − γn λn τ ) xn − p + γn λn τ τ ≤ max{ x1 − p , Ap /τ } Suy dãy {xn } bị chặn dãy {Sn xn }, {An xn }, {Axn } {xn − p} bị chặn Giả sử dãy bị chặn số dương C2 37 Bước Ta chứng minh limn→∞ T (t)xn − xn = với t ≥ Đặt zn = Sn xn − γn λn Axn /(1 − γn ) Từ (2.9) suy xn+1 = γn xn + (1 − γn )zn , zn+1 − zn ≤ Sn+1 xn+1 − Sn xn + γn λn Axn /(1 − γn ) − γn+1 λn+1 Axn+1 /(1 − γn+1 ) ≤ Sn+1 xn+1 − Sn+1 xn + Sn+1 xn − Sn xn + γn λn Axn /(1 − γn ) − γn+1 λn+1 Axn+1 /(1 − γn+1 ) |tn+1 − tn | M2 ≤ xn+1 − xn + tn+1 + (λn + λn+1 )βC2 /(1 − β), β số dương khoảng (0, 1) thỏa mãn γn ≤ β Kết hợp với λn → |tn+1 − tn |/tn+1 → n → ∞ suy lim sup zn+1 − zn − xn+1 − xn ≤ n→∞ Do đó, từ (2.12) Bổ đề 2.2.2 suy lim xn − zn = n→∞ Mặt khác từ zn − Sn xn = γn λn Axn /(1 − γn ) ≤ λn βC2 /(1 − β) λn → n → ∞ ta suy zn − Sn xn → Cuối cùng, với cách làm chứng minh Định lý 2.2.4 ta nhận xn − Sn xn → T (t)xn − xn → với t ≥ n → ∞ Bước Ta limn→∞ xn − p∗ = 0, p∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) Với giả thiết định lý, p∗ tồn Hơn nữa, dãy {yk } với k (2.2) hội tụ tới p∗ Do theo Mệnh đề 2.1.4 ta có lim sup Ap∗ , j(p∗ − xn ≤ n→∞ (2.20) 38 Bây ta đánh giá giá trị xn+1 − p∗ xn+1 − p∗ 2 sau: = (1 − γn ) Sn xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ ) + γn (I − λn A)xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ ) = (1 − γn ) Sn xn − Sn p∗ , j(xn+1 − p∗ ) + γn λn [(I − A)xn − p∗ ] + (1 − λn )(xn − p∗ ), j(xn+1 − p∗ ) ≤ (1 − γn ) xn − p∗ xn+1 − p∗ + γn (1 − λn ) xn − p∗ xn+1 − p∗ + γn λn (I − A)xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ ) Mặt khác ta viết (I − A)xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ ) = xn − Axn − p∗ + Ap∗ , j(xn+1 − p∗ ) − Ap∗ , j(xn+1 − p∗ ) xn+1 − p∗ − Ap∗ , j(xn+1 − p∗ ) ≤ xn − Axn − p∗ + Ap∗ Vì F ánh xạ γ-giả co chặt η-j-đơn điệu mạnh nên xn − Axn − p∗ + F p∗ Vì η + γ > nên 1−η γ xn − p ∗ ≤ γ ≤ 1−η γ − γ Axn − Ap∗ , j(xn − p∗ ) x n − p∗ 1−η γ < Do với τ = − ta nhận xn − Axn − p∗ + Ap∗ ≤ (1 − τ ) xn − p∗ Suy ra, xn+1 − p∗ ≤ (1 − γn λn ) xn − p∗ xn+1 − p∗ +γn λn (1 − τ ) xn − p∗ xn+1 − p∗ +γn λn −Ap∗ , j(xn+1 − p∗ ) ≤ (1 − γn λn τ ) xn −p∗ + xn+1 −p∗ 2 +γn λn τ −Ap∗ , j(xn+1 − p∗ ) /τ 39 Do đó, xn+1 − p∗ ≤ (1 − γn λn τ ) xn − p∗ + (1 − γn λn τ ) xn+1 − p∗ +2γn λn τ −Ap∗ , j(xn+1 − p∗ ) /τ Từ suy (1 + γn λn τ ) xn+1 − p∗ ≤ (1 − γn λn τ ) xn − p∗ +2γn λn τ −F p∗ , j(xn+1 − p∗ ) /τ Sử dụng tính chất j(−x) = −j(x) với x ∈ E ta nhận xn+1 − p∗ − γn λn τ xn − p ∗ + γn λn τ 2γn λn τ −A(p∗ ), j(xn+1 − p∗ ) + + γn λn τ τ 2γn λn τ xn − p∗ = 1− + γn λn τ 2γn λn τ A(p∗ ), j(p∗ − xn+1 ) + , + γn λn τ τ ≤ hay xn+1 − p∗ ≤ (1 − dn ) xn − p∗ + dn e n (2.21) dn = 2γn λn τ /(1 + γn λn τ ) en = F (p∗ ), j(p∗ − xn+1 ) /τ ∞ n=0 λn Vì = ∞ ta có ∞ k=0 dn = ∞ Sử dụng (2.20) ta nhận lim supn→∞ en ≤ Do từ Bổ đề 2.2.3 and (2.21) suy limn→∞ xn − p∗ = 2.2.3 Ví dụ minh họa Trong tiểu mục ta tiến hành thử nghiệm số minh họa hội tụ Phương pháp 2.1 Phương pháp 2.2 giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn Ví dụ 40 viết ngôn ngữ MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính DELL INSPIRON, CORE i5, RAM 1,7GHz Xét tốn cực trị có ràng buộc ϕ(p∗ ) = ϕ(x), (2.22) x∈C với C tập khác rỗng lồi đóng khơng gian Euclid RN với ϕ : RN → R hàm lồi thường liên tục RN có dạng ϕ(x) = x − a , Khi đó, ta có gradient x ∈ RN , a = (1, 1, , 1)T ∈ RN ϕ : RN → RN hàm ϕ ϕ(x) = 2(x − a) điều kiện tối ưu cho toán (2.22) bất đẳng thức biến phân sau: ϕ(p∗ ), x − p∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (2.23) Xét trường hợp N = C = F tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn {T (t) : R3 → R3 , t ≥ 0} xác định T (t) : R3 → R3 ,    −t e 0 x    1 −t   T (t)x =  0 0 e  x2  , 0 x3 x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 (xem Ví dụ 2.1.2) Khi đó, F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T } tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn {T (t) : t ≥ 0} Nghiệm toán (2.22) điểm p∗ = (0, 0, 1)T ∈ F ⊂ R3 Sử dụng phương pháp lặp (2.8) (2.9) để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.23) nghiệm tốn (2.22) với A(x) = ϕ(x) có tính chất 2-đơn điệu mạnh 1-liên tục Lipschitz Với xấp xỉ ban đầu x0 = (5, 5, 5)T ∈ R3 , chọn dãy số tn = (n + 1)2 , γn = (n + 1)−1/2 λn = (n + 1)−1/5 Kết tính tốn MATLAB cho hai phương pháp cho bảng 41 n xn = (xn1 , xn2 , xn3 ) err = xn − p∗ (5, 5, 5) 8.124 (1.4708, 1.4708, 0.075422) 2.2763 (0.62164, 0.62164, 0.93244) 0.88172 (0.17182, 0.17182, 0.99425) 0.24305 10 (0.018637, 0.018637, 0.99978) 0.026357 20 (0.00094483, 0.00094483, 0.99999) 0.0013362 50 (3.2584 × 10−6 , 3.2584 × 10−6 , 1) 4.6081 × 10−6 100 (6.538 × 10−9 , 6.538 × 10−9 , 1) 9.2468 × 10−9 Bảng 2.1: Bảng tính tốn thử nghiệm cho dãy lặp (2.8) n xn = (xn1 , xn2 , xn3 ) err = xn − p∗ (5, 5, 5) 8.124 (0.046626, 0.046626, 1.5178) 0.52198 (0.53713, 0.53713, 1.2407) 0.79683 (0.35975, 0.35975, 1.1061) 0.51972 10 (0.16106, 0.16106, 1.041) 0.23144 20 (0.066991, 0.066991, 1.0181) 0.096462 50 (0.020937, 0.020937, 1.0073) 0.030484 100 (0.0087805, 0.0087805, 1.004) 0.013052 200 (0.0037172, 0.0037172, 1.0024) 0.0057799 300 (0.0022565, 0.0022565, 1.0018) 0.0036809 500 (0.0012069, 0.0012069, 1.0013) 0.0021732 1000 (0.00051853, 0.00051853, 1.0009) 0.0011813 Bảng 2.2: Bảng tính tốn thử nghiệm cho dãy lặp (2.9) 42 Hình 2.1: So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (2.8) (2.9) 43 Kết luận Đề tài luận văn trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm lớp toán bất đẳng thức biến phân không gian Banach Cụ thể: (1) Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều, không gian Hilbert khơng gian Banach Trình bày số tốn liên quan đến toán bất đẳng thức biến phân (bài toán cực trị, toán điểm bất động, toán giải hệ phương trình) (2) Giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu không gian Banach với tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn Trình bày chứng minh định lý tồn nghiệm toán (3) Trình bày hai phương pháp xấp xỉ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, trình bày chứng minh hội tụ mạnh phương pháp (4) Đưa ví dụ số minh họa cho hội tụ hai phương pháp không gian hữu hạn chiều 44 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer, Dordrecht [4] R Chen, Y Song (2007), "Convergence to common fixed point of nonexpansive semigroup", J Comput Appl Math., 200, 566-575 [5] F Facchinei, J.-S Pang (2003), Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer [6] P.T Hieu, Ng.T.T Thuy, J.J Strodiot (2017), "Explicit iteration methods for solving variational inequalities in Banach spaces", Bull Malays Math Sci Soc., DOI 10.1007/s40840-017-0494-8 [7] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, Inc., New York-London [8] I.V Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer Verlag, Berlin, Germany 45 [9] J.-L Lions, G Stampacchia (1967), "Variational inequalities", Comm Pure Appl Math., 20, 493–519 [10] G Stampacchia (1964), "Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes", C.R Acad Sci Paris, 258, 4413–4416 [11] G Stampacchia (1965), "Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second ordre coefficients discontinus", Ann Inst Fourier (Grenoble), 15, 189–258 [12] T Suzuki (2005), "Strong convergence theorems for infinite families of nonexpansive mappings in general Banach spaces", Fixed Point Theory Appl., 2005(1), 103-123 [13] H.-K Xu (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators" J London Math Soc., 66, 240-256 ... toán bất đẳng thức biến phân 16 1.2.3 Một số tốn mơ tả dạng toán bất đẳng thức biến phân 17 1.2.4 1.3 Nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 18 Bài toán bất đẳng thức. .. thức biến phân không gian Banach 20 1.3.1 Ánh xạ j-đơn điệu 20 1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 23 Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất. .. ∈ C (1.25) Tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) ký hiệu S ∗ Trong khơng gian Hilbert H, tốn bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trở thành toán bất đẳng thức biến phân CVI(A, C)
- Xem thêm -

Xem thêm: Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach (Luận văn thạc sĩ), Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach (Luận văn thạc sĩ)

Tài liệu mới bán

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay