Định lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

132 6 0
  • Loading ...
1/132 trang
Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/03/2019, 09:17

Định lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụngĐịnh lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụng ❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍ ▲➊ ❚❍❆◆❍ ◗❯❹◆ ✣➚◆❍ ▲Þ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈❍❖ ▼❐❚ ❙➮ ▲❰P ⑩◆❍ ❳❸ ❚❘➊◆ ❑❍➷◆● ●■❆◆ b✲▼➊❚❘■❈ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆● ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ◆●❍➏ ❆◆ ✲ ✷✵✶✽ ❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍ ▲➊ ❚❍❆◆❍ ◗❯❹◆ ✣➚◆❍ ▲Þ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈❍❖ ▼❐❚ ❙➮ ▲❰P ⑩◆❍ ❳❸ ❚❘➊◆ ❑❍➷◆● ●■❆◆ b✲▼➊❚❘■❈ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆● ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ▼➣ sè✿ ✾ ✹✻ ✵✶ ✵✷ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✶✳ P●❙✳ ❚❙✳ ❚❘❺◆ ❱❿◆ ❹◆ ✷✳ ❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❉Ô◆● ◆●❍➏ ❆◆ ✲ ✷✵✶✽ ✐ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ▲✉➟♥ →♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ tr÷í♥❣ ữợ sỹ ữợ P ❚r➛♥ ❱➠♥ ❹♥ ✈➔ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❉ơ♥❣✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ t q ữủ t ợ t ữủ sỹ t tr ỗ t ✤÷❛ ✈➔♦ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr ợ ữ tứ ữủ ổ ố trữợ õ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ▲✉➟♥ →♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ tr÷í♥❣ ữợ sỹ ữợ P ❚r➛♥ ❱➠♥ ❹♥ ✈➔ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❉ô♥❣✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤è✐ ợ t ữợ t t ✤→♦ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❱✐➺♥ ❙÷ ♣❤↕♠ ❚ü ♥❤✐➯♥✱ ❇ë ♠ỉ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ P❤á♥❣ ✤➔♦ t↕♦ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝ ✈➔ ❝→❝ ♣❤á♥❣ ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❦❤→❝ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐♥❤ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ♥❤✐➺♠ ✈ư ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ tr♦♥❣ ❇ë ♠ỉ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❑❤♦❛ ❙÷ ♣❤↕♠ ❚♦→♥ trữớ ỗ ỳ ú ù tr♦♥❣ ✈✐➺❝ tr❛♦ ✤ê✐ t➔✐ ❧✐➺✉ ✈➔ t❤↔♦ ❧✉➟♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä sü ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ●❙✳ ❙t♦❥❛♥ ❘❛❞❡♥♦✈➼❝ ❝ò♥❣ ♥❤â♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ✈➻ ♥❤ú♥❣ ❣✐ó♣ ✤ï tr♦♥❣ ✈✐➺❝ tr❛♦ ✤ê✐ t➔✐ ❧✐➺✉ ✈➔ t❤↔♦ ❧✉➟♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ ỗ trữớ r ỡ s ỡ ❤✉②➺♥ ◆❤÷ ❳✉➙♥✱ t➾♥❤ ❚❤❛♥❤ ❍â❛ ✤➣ õ♥❣ ❤ë ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ♥❤✐➺♠ ✈ư ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ❜↕♥ t❤➙♥ t❤✐➳t ❧✉ỉ♥ ❝❤✐❛ s➫✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ õ♥❣ ❤ë t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ▲➯ ❚❤❛♥❤ ◗✉➙♥ ✶ ▼Ư❈ ▲Ư❈ ▼ư❝ ❧ö❝ ▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✹ ✶ ✣✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝❤♦ ♠ët ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲ ♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✶✸ ✶✳✶✳ ✣✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ T ✲❝♦ s✉② rë♥❣ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✤➛② ✤õ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✷✳ ✣✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ (ψ, L)✲T ✲❤➛✉ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✤➛② ✤õ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ì ởt ợ ữỡ tr t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✷ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ ✤➛② ✤õ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✺✾ ✷✳✶✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✾ ✷✳✷✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ ②➳✉ s✉② rë♥❣ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ ✤➛② ✤õ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹ ✷✳✸✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❜ë ✤æ✐ ❝❤♦ ♠ët sè →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ ✤➛② ✤õ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✹ ✷✳✹✳ ✁×♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ♠ët ợ ữỡ tr t ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✼ ✸ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲ ♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✽✺ ✸✳✶✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✺ ✷ ✸✳✷✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ s✉② rë♥❣ ✈➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ ❝❤✉➞♥ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✽ ✸✳✸✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❜ë ✤ỉ✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✼ ✸✳✹✳ ✁×♥❣ ởt ợ ữỡ tr t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✷ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✷ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥ ✳ ✳ ✶✷✸ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✽ ✸ ▼❐❚ ❙➮ ❑Þ ❍■➏❯ R t➟♣ sè t❤ü❝ R+ t➟♣ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ N t➟♣ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠ B[x, r] ❤➻♥❤ ❝➛✉ t➙♠ x ❜→♥ ❦➼♥❤ r > f :X→Y →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà tø X ✈➔♦ Y intP ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ t➟♣ P lim inf f ợ ữợ số f lim sup f ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè f ✹ ▼Ð ỵ t ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❤ú✉ ➼❝❤ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ❤✐➺♥ ✤↕✐✳ ❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❧➔ ♠ët ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝èt ❧ã✐ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤✐ t✉②➳♥✳ ❱➜♥ ✤➲ ♠ð rë♥❣ ◆❣✉②➯♥ ❧➼ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ tr➯♥ ợ ổ tr ữủ t q t ự t ỳ ữợ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤↕t ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ ✤→♥❣ ❦➸✱ t✐➯✉ ❜✐➸✉ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ♥ê✐ ❜➟t ❝õ❛ ❇♦②❞ ✈➔ ❲♦♥❣ ✭❬✶✵❪✮✱ ❈✐r✐❝ ✭❬✶✸❪✮✱ ❑❛♥♥❛♥ ✭❬✷✽❪✮✱ ❘❛♥ ✈➔ ❘❡✉r✐♥❣s ✭❬✸✽❪✮✱ ❘❛③❛♥✐ ✈➔ P❛r✈❛♥❡❤ ✭❬✸✾❪✮✱ ❘❤♦❛❞❡s ✭❬✹✵❪✮✱ ❘✉s ✈➔ ❙❡r❜❛♥ ✭❬✹✻❪✮✱ t s rs ỵ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤÷ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐✲t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❦✐♥❤ t➳ ✈➔ ❦ÿ tt t ữợ ự s ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü q✉❛♥ t➙♠ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ t ự ỵ t ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝♦ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr ợ ổ tr ự ỵ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝♦ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✿ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤➲✉✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ r✐➯♥❣✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝✱✳✳✳✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ỵ t tr ởt số ỹ t ữ ự sỹ tỗ t t ợ ữỡ tr t ữỡ tr ữợ ❝ù✉ tr➯♥ ✈➝♥ ❝❤ù❛ ✤ü♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤í✐ sü ✈➔ ❤➜♣ ❞➝♥✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ✺ ❣✐↔ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ q✉❛♥ t➙♠ ự tt ởt số ỵ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝✳ ❚r➯♥ ❝ì sð ✤â ✤➲ t➔✐ ✤➦t ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ s❛✉✿ ✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠ët sè ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳ ✲ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠ët sè ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳ ✲ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷đ❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sỹ tỗ t ởt số ợ ữỡ tr t ợ ỵ tr ú tổ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤♦ ❧✉➟♥ →♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ỵ t ởt số ợ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣✧✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ rở t q sỹ tỗ t ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ♠ët sè ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❝→❝ ợ ổ ữ ổ btr s tự tỹ ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷đ❝ ự sỹ tỗ t ởt số ợ ữỡ tr t ố tữủ ự ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✱ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉② rë♥❣✱ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ ✤✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♥➔② tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr C số ởt số ợ ữỡ tr t➼❝❤ ♣❤➙♥✳ ✹✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✻ ▲✉➟♥ →♥ ự ỵ trũ ỵ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷đ❝ ự t tỗ t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳ ✺✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❈❤ó♥❣ tổ sỷ ữỡ ự ỵ tt t ỵ tt ữỡ tr ữỡ tr t ỵ tt t tr q tr tỹ t ỵ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❧➔♠ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó t t q sỹ tỗ t t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳ ỗ tớ ự t q t ữủ ự sỹ tỗ t ởt số ợ ữỡ tr t õ t t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤♦ ❝→❝ s✐♥❤ ✈✐➯♥✱ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❝❛♦ ❤å❝ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s✐♥❤ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ❜ê s✉♥❣ ✈➔♦ ❤➺ t❤è♥❣ t➔✐ ỵ tt t tr ổ b✲♠➯tr✐❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ♥â✐ r✐➯♥❣✳ ✼✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ❝➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ →♥ ✼✳✶✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ❧✉➟♥ →♥ ◆➠♠ ✶✾✾✸✱ ❈③❡r✇✐❦ ✭❬✶✹❪✮ ✤➣ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥❤÷ ♠ët sü ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ tr➯♥ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔②✳ ✣➳♥ ♥➠♠ ✶✾✾✽✱ tr♦♥❣ ❬✶✺❪ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② t❤➳ ❤➡♥❣ sè tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ b✲♠➯tr✐❝ ❜ð✐ ❤➡♥❣ sè s 1✱ ❈③❡r✇✐❦ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❝❤♦ b✲♠➯tr✐❝ ❞♦ ❝❤➼♥❤ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶✹❪✳ ❙❛✉ ✤â✱ ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ ❝â þ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✶✶✹ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✳ ❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü ❬✸✺✱ ❊①❛♠♣❧❡ ✷✳✶✳✸❪✳ ❜✳ ▲➜② ❜➜t ❦➻ g ∈ B L2 (E) + ✱ ✈➻ g 0B(L2 (E)) ♥➯♥ ♥❤í ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳✹✳ tỗ t h B(L2 (E)) s g = h∗ h✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ v ∈ L2 (E)✱ t❛ ❝â gv, v = h∗ hv, v = hv, hv ❝✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ f, g ∈ B L2 (E) ✱ ❦❤✐ ✤â f ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ f − g ∈ B L2 (E) g ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ f − g + ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ (f − g)v, v 0B(L2 (E)) ✳ ✈ỵ✐ ♠å✐ v ∈ L2 (E)✳ ❞✳ ❘ã r➔♥❣ πa ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ πa ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ♥â✳ ▲➜② ❜➜t ❦➻ v ∈ L2 (E) ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ E ✳ ❚❛ ❝â πa (v) 2 = πa (v)(t) dµ 2 = a(t)v(t) dµ E E a 2 v(t) dµ a v E ❉♦ ✤â πa ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ πa ≤ a ✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ πa a ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ ε > 0✱ ≥ ✈➻ t❛ ❝â a = sup a(t) tỗ t ởt t õ E ợ tE < à() < ∞ s❛♦ ❝❤♦ a(t) ≥ a − ε ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ ∆✳ ❈❤å♥ x : E → R ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ x(t) = √ χ∆ (t) ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ E ✱ ð ✤➙② µ(∆) χ∆ (t) = ♥➳✉ t ∈ ∆ tr♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝á♥ ❧↕✐ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ✈➔ x ∈ L (E) x 2 = x(t) dµ = E ❉♦ ✤â πa ≥ ax 2 = µ(∆) a(t) dµ ≥ ∆ a ∞ −ε ✶✶✺ ❱➻ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ ε > 0✱ ♥➯♥ t❛ ❝â πa ≥ a ✳ ❱➻ ✈➟② t❛ ❝â πa = a ✳ ❚ø ❝→❝❤ ✤➦t πa ❞➵ ❞➔♥❣ s✉② r❛ r➡♥❣ πa = ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = ∈ C(E)✳ ❡✳ ✲ ❱ỵ✐ ♠å✐ x, y, z ∈ C(E) ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ v ∈ L2 (E)✱ t❛ ❝â p x − y (v)(t)v(t)dµ = π|x−y|p v, v = x−y E v(t) dµ E 0B(L2 (E)) ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ ❉♦ ✤â✱ tø ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❜✳ t❛ ❝â π|x−y|p d(x, y) p 0B(L2 (E)) ✳ ❚ø ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❞✳ t❛ s✉② r❛ d(x, y) = 0B(L2 (E)) ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ x = y ✳ ✲ ❚ø ❝→❝❤ ✤➦t d ✈➔ πa t❛ ❝â d(x, y) = π|x−y|p = π|y−x|p = d(y, x)✳ ✲ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ |x − z|p ≤ 2p |x − y|p + |y − z|p ✈ỵ✐ ♠å✐ p > ✈➔ tø t t t ổ ữợ t õ |xz|p v, v x(t) − z(t) = p v(t) dµ E 2p |x(t) − y(t)|p + 2p |y(t) − z(t)|p v(t) dµ E 2 2p |x(t) − y(t)|p v(t) dµ + = E p 2p |y(t) − z(t)|p v(t) dµ E p = π|x−y|p v, v + π|y−z|p v, v = 2p π|x−y|p v, v + 2p π|y−z|p v, v = 2p π|x−y|p + 2p π|y−z|p v, v ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ 2p (π|x−y|p + π|y−z|p )v, v − π|x−z|p v, v 0, ♥❣❤➽❛ ❧➔ 2p (π|x−y|p + π|y−z|p ) − π|x−z|p v, v ❚ø ✭✸✳✹✸✮ ✈➔ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❜✳ t❛ s✉② r❛ 2p (π|x−y|p + π|y−z|p ) − π|x−z|p 0B(L2 (E)) ✭✸✳✹✸✮ ✶✶✻ õ tữỡ ữỡ ợ d(x, z) |xz|p 2p (|xy|p + π|y−z|p )✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â 2p 1B(L2 (E)) d(x, y) + d(y, z) ✳ ❱➻ ✈➟②✱ C(E), B L2 (E) , d, s ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè B L2 (E) ✈ỵ✐ ❤➺ sè s = 2p 1B(L2 (E)) 1B(L2 (E)) ✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ C(E), B L2 (E) , d, s ❧➔ ✤➛② ✤õ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû {fn }∞ n=1 ❧➔ ❞➣② ❈æs✐ tr♦♥❣ C(E), B L2 (E) , d, s ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ợ t > tỗ t ởt số tü ♥❤✐➯♥ N (ε) s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ n, m N (ε)✱ t❛ ❝â d(fn , fm ) < ε✳ ◆❤í ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ b✲♠➯tr✐❝ d ✈➔ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❞✳ tữỡ ữỡ ợ |fn fm |p = fn − fm p < ε✳ ❚ø ✤➙② t❛ s✉② r❛ ❞➣② {fn }∞ n=1 ❧➔ ❞➣② ❈æs✐ tr♦♥❣ C(E)✳ ❱➻ C(E) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤➛② ✤õ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ “ sup ”✱ ♥➯♥ fn → f ∈ C(E)✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ p d(fn , f ) = π|fn −f |p = fn − f ≤ ε, ♥❣❤➽❛ ❧➔ fn → f tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ C(E), B L2 (E) , d, s ✳ ❚ø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ t❛ ❦➳t ❧✉➟♥ C(E), B L2 (E) , d, s ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✤➛② ✤õ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✈ỵ✐ s = 2p 1B(L2 (E)) ✳ ❈❤♦ C(E), B L2(E) , d, s ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✤➛② ✤õ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗✲✤↕✐ sè tr♦♥❣ ❇ê ✤➲ ✸✳✹✳✶✳ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ s❛✉✳ ✸✳✹✳✷ ỵ K t, x(r) dr, t E x(t) = η(t) + E ð ✤➙② x, η ∈ C(E)✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙② ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✿ ✶✳ K : E × R → R s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠é✐ t ∈ E ❤➔♠ K t, x(r) ❧➔ ❦❤↔ t➼❝❤ t❤❡♦ ❜✐➳♥ r tr➯♥ E ✈➔ K t, x(r) ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ tr➯♥ E × E ỗ t tử : E ì E R ợ sup tE (t, r) dr E s❛♦ ❝❤♦ ✶✶✼ ✈ỵ✐ p > ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ t, r ∈ E ✱ ♠å✐ x, y ∈ C(E)✱ t❛ ❝â K t, x(r) − K t, y(r) ψ(t, r) x(r) − y(r) p p + x(r) − y(r) p ❑❤✐ ✤â✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✹✹✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ u ∈ C(E)✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ ✈ỵ✐ ♠é✐ t ∈ E ❤➔♠ K t, x(r) ❧➔ ❦❤↔ t➼❝❤ t❤❡♦ ❜✐➳♥ r tr➯♥ E ✈➔ K t, x(r) ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ tr➯♥ E × E ✱ ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ①→❝ ✤à♥❤ →♥❤ ①↕ f : C(E) → C(E) ❝❤♦ ❜ð✐ K t, x(r) dr, ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C(E), t ∈ E f (x) (t) = η(t) + E ❱ỵ✐ ❜➜t ❦➻ x, y ∈ C(E) ✈➔ ❜➜t ❦➻ v ∈ L2 (E)✱ t❛ ❝â d f (x), f (y) = π|f (x)−f (y)|p = sup π|f (x)−f (y)|p v, v v =1 p f (x) − f (y) v(t)v(t)dt = sup v =1 E K t, x(r) − K t, y(r) dr = sup v =1 E E E ψ(t, r) p ψ(t, r) p E |x − y|p sup + |x − y|p t∈E p x(r) − y(r) p + x(r) − y(r) E sup v =1 | v(t) |2 dt E sup v =1 p |x − y|p dr + |x − y|p p p dr p v(t) dt p ψ(t, r) dr sup E |x − y| d(x, y) = + |x − y|p + d(x, y) d(x, y) = = ϕ d(x, y) , + d(x, y) v =1 v(t) dt v(t) dt E ✶✶✽ ð ✤➙② ϕ : B L2 (E) ♠å✐ ξ ∈ B L2 (E) + + → B L2 (E) + ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ϕ ξ(v) = ξ(v) ✈ỵ✐ + ξ(v) ✈➔ v ∈ L2 (E)✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ϕ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ s♦ s→♥❤ ❝❤✉➞♥ s✉② rë♥❣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜② ξ1 , ξ2 ∈ B L2 (E) + ✈ỵ✐ ξ1 ξ2 ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ ξ1 + ξ1 ξ2 + ξ2 ξ1 + ξ1 ξ2 ξ2 = + ξ2 + ξ2 ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â ϕ(ξ1 ) = ξ1 + ξ1 ❱ỵ✐ ♠å✐ ξ ∈ B L2 (E) = + = ϕ(ξ2 ) ❜➡♥❣ ❝→❝❤ q✉② ♥↕♣ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ϕn (ξ) = ξ n ξ +1 ✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â ξ lim ϕn (ξ) = lim n→∞ n ξ +1 n→∞ = lim n→∞ ξ n ξ +1 = ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ lim ϕn (ξ) = n→∞ B L2 (E) ❚ø ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❛ ❦➳t ❧✉➟♥ r➡♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ỵ ữủ tọ õ ữỡ tr t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭✸✳✹✹✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ u ∈ C(E)✳ s ự tọ r tỗ t ❤➔♠ K ✱ ψ ✈➔ η t❤ä❛ ♠➣♥ t➜t ❝↔ tt ỵ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤✐ t✉②➳♥ x(t) = t + − ln √ e sin t + r sin t x(r) dr + x(r) [0,1] ✈ỵ✐ t ∈ [0, 1]✳ ✣➦t η(t) = t + − ln √ e sin t, ψ(t, r) = r sin t ✈ỵ✐ t, r ∈ [0, 1], ✭✸✳✹✺✮ ✶✶✾ K t, x(r) = r sin t x(r) + x(r) ✈ỵ✐ x ∈ C[0, 1] ✈➔ t, r ∈ [0, 1] ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿ ✶✳ η ∈ C[0, 1] ✈➔ K t, x(r) ❧➔ ❦❤↔ t➼❝❤ t❤❡♦ ❜✐➳♥ r tr➯♥ [0, 1] ✈➔ K t, x(r) ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ tr➯♥ [0, 1] × [0, 1]✳ ✷✳ ψ(t, r) ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ [0, 1] × [0, 1] ✈➔ sup | ψ(t, r) | dr t∈[0,1] [0,1] ✸✳ ❱ỵ✐ p > 1✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ t, r ∈ [0, 1] ✈➔ x, y ∈ C[0, 1]✱ t❛ ❝â K t, x(r) − K t, y(r) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✶✳ ψ(t, r) ❱➻ η(t) = t + − ln √ e p x(r) − y(r) p + x(r) − y(r) p sin t ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ [0, 1] ♥➯♥ x(r) ❧➔ ❦❤↔ + x(r) t➼❝❤ t❤❡♦ ❜✐➳♥ r tr➯♥ [0, 1] ✈➔ K t, x(r) ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ tr➯♥ [0, 1] × [0, 1]✳ η ∈ C[0, 1]✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ x ∈ C[0, 1] ♥➯♥ K t, x(r) = r sin t ✷✳ sup t∈[0,1] [0,1] | ψ(t, r) | dr = sup t∈[0,1] | r sin t | dr ✸✳ ▲➜② ❜➜t ❦➻ x, y ∈ C[0, 1]✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠é✐ r, t ∈ [0, 1]✱ t❛ ❝â | K t, x(r) − K t, y(r) | y(r) x(r) − r sin t = r sin t + x(r) + y(r) x(r) y(r) = |r sin t| − + x(r) + y(r) = |ψ(t, r)| p x(r) y(r) − + x(r) + y(r) = |ψ(t, r)| p x(r) − y(r) + x(r) + y(r) p ψ(t, r) p x(r) − y(r) + x(r) + y(r) p p ✶✷✵ = ψ(t, r) p ψ(t, r) p x(r) − y(r) + x(r) + y(r) + x(r) y(r) x(r) − y(r) p + x(r) − y(r) ψ(t, r) p x(r) − y(r) p p p + x(r) − y(r) p ❉♦ ✤â✱ K ✱ ψ ✈➔ η t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ ữỡ tr t õ ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ u ∈ C[0, 1] ✶✷✶ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤÷ì♥❣ ✸ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥✱ ❝❤ó♥❣ tổ t ữủ ỳ t q s ữ r ỵ ỵ sỹ tỗ t ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ s✉② rë♥❣ ✈➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ ❝❤✉➞♥ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ số ỗ tớ ự t q ự sỹ tỗ t ởt ợ ữỡ tr t t q ữủ tr➼❝❤ tø ❜➔✐ ❜→♦✿ ❚✳ ❱✳ ❆♥ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◗✉❛♥✳ ✭✷✵✶✽✮✱ ✏●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ϕ✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ♦♥ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ b✲ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✑ ❏✳ ❆❞✈✳ ▼❛t❤✳ ❙t✉❞✳✱ ✶✶ ✭✸✮✱ ữ r ỵ sỹ tỗ t↕✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❜ë ✤æ✐ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➙② ❞ü♥❣ ❱➼ ❞ư ✸✳✸✳✺ ✤➸ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♠ö❝ ♥➔② ❧➔ ♠ð rë♥❣ t❤➟t sü ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❣➛♥ ✤➙② ❝õ❛ ❚✐❛♥q✐♥❣ tr♦♥❣ ❬✹✽❪✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✤÷đ❝ tr➼❝❤ tø ❜➔✐ ❜→♦✿ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈➼❝✱ P✳ ❱❡tr♦✱ ❆✳ ◆❛st❛s✐ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◗✉❛♥✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❈♦✉♣❧❡❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ ❙❝✐❡♥t✐❢✐❝ P✉❜❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❚❤❡ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ◆♦✈✐ P❛③❛r✱ ❙❡r✳ ❆✿ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳ ■♥❢♦r♠✳ ❆♥❞ ▼❡❝❤✳✱ ✾ ✭✶✮✱ ✽✶✲✾✵✳ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ✶✷✷ ❦➳t ❧✉➟♥ ■✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤✉♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ự sỹ tỗ t t ♠ët sè ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦➳t q t ữủ sỹ tỗ t ởt ợ ữỡ tr t t q ữ r ỵ sỹ tỗ t trũ ợ ❝→❝ →♥❤ ①↕ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ T ✲❝♦ s✉② rë♥❣ ✈➔ →♥❤ ①↕ (ψ, L)✲T ✲❤➛✉ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✤➛② ✤õ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ữ r ỵ sỹ tỗ t tỗ t t t ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❜ë ✤ỉ✐ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ ②➳✉ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ ✤➛② ✤õ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✳ ✸✮ ✣÷❛ r❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ỵ sỹ tỗ t tỗ t ♥❤➜t ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ s✉② rë♥❣✱ ϕ✲❝♦ ❝❤✉➞♥ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ợ tr tr C số ữ r ỵ sỹ tỗ t tỗ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❜ë ✤æ✐ ❝❤♦ ♠ët sè →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳ ✹✮ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦➳t q t ữủ ự sỹ tỗ t ởt ợ ữỡ tr t ❞ü♥❣ ♠ët sè ❝→❝ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❝→❝ t q ỗ tớ ự tọ t q t ✤÷đ❝ ❧➔ sü ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❝â✳ ■■✳ ❑✐➳♥ ♥❣❤à ❚r♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ tỵ✐ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ t✐➳♣ tö❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ◆❣❤✐➯♥ ự sỹ tỗ t t ởt số ❧ỵ♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ự t sỹ tỗ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✳ ✶✷✸ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥ ✶✳ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈➼❝✱ ❚✳ ❱✳ ❆♥ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◗✉❛♥✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❙♦♠❡ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡ ♣♦✐♥t r❡s✉❧ts ❢♦r T ✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ♠❛♣♣✐♥❣s ♦♥ ♣❛rt✐❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✑✱ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❛♥❞ ❈♦♥tr♦❧✳✱ ✷✷ ✭✹✮✱ ✺✹✺✲✺✻✺✳ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧②s✐s✿ ✷✳ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈➼❝✱ P✳ ❱❡tr♦✱ ❆✳ ◆❛st❛s✐ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◗✉❛♥✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❈♦✉♣❧❡❞ ❙❝✐❡♥t✐❢✐❝ ♣✉❜❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ✉♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ◆♦✈✐ P❛③❛r✱ ❙❡r✳ ❆✿ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳ ■♥❢♦r♠✳ ❆♥❞ ▼❡❝❤✳✱ ✾ ✭✶✮✱ ✽✶✲✾✵✳ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ✸✳ ❚✳ ❱✳ ❆♥ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◗✉❛♥✳ ✭✷✵✶✽✮✱✏●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ϕ✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ♦♥ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ b✲ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✑ ❙t✉❞✳✱ ✶✶ ✭✸✮✱ ✺✺✽✲✺✼✺✳ ❏✳ ❆❞✈✳ ▼❛t❤✳ ✹✳ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈➼❝✱ ◆✳ ❉❡❞♦✈➼❝✱ ❚✳ ❱✳ ❆♥ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◗✉❛♥✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❙♦♠❡ ❝♦✲ ✐♥❝✐❞❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❛❧♠♦st ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ (ϕ, L)✲T ✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ✐♥ ♣❛r✲ t✐❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✑ ✭✤❛♥❣ ❣û✐ ✤➠♥❣✮✳ ✺✳ ❚✳ ❱✳ ❆♥ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◗✉❛♥✳ ✭✷✵✶✽✮✱ ✏❖♥ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ♥♦♥✲ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ❝♦♥❡ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ♦✈❡r ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛s✑ ✭✤❛♥❣ ❣û✐ ✤➠♥❣✮✳ ✻✳ ▲✳ ❚✳ ◗✉❛♥✳ ✭✷✵✶✽✮✱ ✏❈♦✉♣❧❡❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ ❝♦♥❡ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ♦✈❡r ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✑ ✭✤❛♥❣ ❣û✐ ✤➠♥❣✮✳ ✶✷✹ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❬✶❪ ▼✳ ❆❜❜❛s ❛♥❞ ●✳ ❏✉♥❣❝❦✳ ✭✷✵✵✽✮✱ ✏❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t r❡s✉❧ts ❢♦r ♥♦♥❝♦♠♠✉t✐♥❣ ♠❛♣♣✐♥❣s ✇✐t❤♦✉t ❝♦♥t✐♥✉✐t② ✐♥ ❝♦♥❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✸✹✶ ✭✶✮✱ ✹✶✻✲✹✷✵✳ ❬✷❪ ❆✳ ❆❣❤❛❥❛♥✐✱ ▼✳ ❆❜❜❛s ❛♥❞ ❏✳ ❘✳ ❘♦s❤❛♥✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✏❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ✇❡❛❦ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ♣❛rt✐❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ▼❛t❤✳ ❙❧♦✈❛❝❛✳✱ ✹✱ ✾✹✶✲✾✻✵✳ ❬✸❪ ❆✳ ❆❣❤❛❥❛♥✐✱ ❘✳ ❆r❛❜✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✏❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ (ψ, φ, θ)✲❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ♣❛rt✐❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ q✉❛❞r❛t✐❝ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✸✱ ❆rt✐❝❧❡ ■❉ ✷✹✺✳ ❬✹❪ ❙✳ ❆❧♠❡③❡❧✱ ◗✳ ❍✳ ❆♥s❛r✐ ❛♥❞ ▼✳ ❆✳ ❑❤❛♠s✐✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ♣♦✐♥t t❤❡♦r②✳ ❙♣r✐♥❣❡r✳ ❚♦♣✐❝s ✐♥ ❢✐①❡❞ ❬✺❪ ❚✳ ❱✳ ❆♥✱ ▲✳ ◗✳ ❚✉②❡♥ ❛♥❞ ◆✳ ❱✳ ❉✉♥❣✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏❙t♦♥❡✲t②♣❡ t❤❡♦r❡♠ ♦♥ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✑✱ ❚♦♣♦❧♦❣② ❆♣♣❧✳✱ ✶✽✺✲✶✽✻✱ ✺✵✲✻✹✳ ❬✻❪ ❈✳ ❇❛✐✳ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❈♦✉♣❧❡❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✻ ✭✼✵✮✱ ✶✲✶✷✳ ❬✼❪ ❙✳ ❇❛♥❛❝❤✳ ✭✶✾✷✷✮✱ ✏❙✉r ❧❡s ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❞❛♥s ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ❛❜str❛✐ts ❡t ❧❡✉r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❛✉① ❡q✉❛t✐♦♥s ✐t❡❣r❛❧❡s✑✱ ❋✉♥❞✳ ▼❛t❤✳✱ ✸✱ ✶✸✸✲✶✽✶✳ ❬✽❪ ❙✳ ❇❛t✉❧ ❛♥❞ ❚✳ ❑❛♠r❛♥✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏ C ∗ ✲✈❛❧✉❡❞ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ t②♣❡ ♠❛♣✲ ♣✐♥❣s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✺ ✭✶✹✷✮✱ ✶✲✾✳ ❬✾❪ ❚✳ ●✳ ❇❤❛s❦❛r✱ ❱✳ ▲❛❦s❤♠✐❦❛♥t❤❛♠✳ ✭✷✵✵✻✮✱ ✏❋✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ ♣❛rt✐❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✑✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧✳✱ ✻✺✱ ✶✸✼✾✲✶✸✾✸✳ ❬✶✵❪ ❉✳ ❲✳ ❇♦②❞ ❛♥❞ ❙✳ ❲✳ ❲♦♥❣✳ ✭✶✾✻✾✮✱ ✏❖♥ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s✑✱ Pr♦❝✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✷✵✱ ✹✺✽✲✹✻✹✳ ✶✷✺ ❬✶✶❪ ▼✳ ❇♦r✐❝❡❛♥✉✱ ▼✳ ❇♦t❛ ❛♥❞ ❆✳ P❡tr✉s❡❧✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ✏▼✉❧t✐✈❛❧✉❡❞ ❢r❛❝t❛❧s ✐♥ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❈❡♥t✳ ❊✉r✳ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✽ ✭✷✮✱ ✸✻✼✲✸✼✼✳ ❬✶✷❪ ❋✳ ❊✳ ❇r♦✇❞❡r✳ ✭✶✾✻✽✮✱ ✏❖♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛✲ t✐♦♥s ❢♦r ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✑✱ ■♥❞❛❣✳ ▼❛t❤✳✱ ✸✵✱ ✷✼✲✸✺✳ ❬✶✸❪ ▲✳ ❇✳ ❈✐r✐❝✳ ✭✶✾✼✹✮✱ ✏❆ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❇❛♥❛❝❤ ♣r✐♥❝✐♣❧❡✑✱ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✹✺✱ ✷✻✼✲✷✼✸✳ ❬✶✹❪ ❙✳ ❈③❡r✇✐❦✳ ✭✶✾✾✸✮✱ ✏❈♦♥tr❛❝t✐♦♥ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ▼❛t❤✳ ❯♥✐✈✳ ❖str❛✈✳✱ ✶✱ ✺✲✶✶✳ Pr♦❝✳ ❆❝t❛ ❬✶✺❪ ❙✳ ❈③❡r✇✐❦✳ ✭✶✾✾✽✮✱ ✏◆♦♥❧✐♥❡❛r s❡t✲✈❛❧✉❡❞ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ b✲ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❆tt✐ ❙❡♠✳ ▼❛t❤✳ ❋✐s✳ ❯♥✐✈✳ ▼♦❞❡♥❛✳✱ ✹✻✱ ✷✻✸✲✷✼✻✳ ❬✶✻❪ ◆✳ ❱✳ ❉✉♥❣ ❛♥❞ ❱✳ ❚✳ ▲✳ ❍❛♥❣✳ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❖♥ r❡❧❛①❛t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts ❛♥❞ ❈❛r✐st✐✬s t❤❡♦r❡♠ ✐♥ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❏✳ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✶✽✱ ✷✻✼✲✷✽✹✳ ❬✶✼❪ ◆✳ ❱✳ ❉✉♥❣✱ ❱✳ ❚✳ ▲✳ ❍❛♥❣ ❛♥❞ ❉✳ ❉♦❧✐❝❛♥✐♥✲❉❥❡❦✐❝✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❆♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ r❡s✉❧ts ✐♥ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛ ✈❛❧✉❡❞ b✲♠❡tr✐❝ ❛♥❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❆♣♣❧✳ ●❡♥✳ ❚♦♣♦❧✳✱ ✶✽ ✭✷✮✱ ✷✹✶✲✷✺✸✳ ❬✶✽❪ ◆✳ ❱✳ ❉✉♥❣ ❛♥❞ ❱✳ ❚✳ ▲✳ ❍❛♥❣✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❘❡♠❛r❦s ♦♥ ❝②❝❧✐❝ ❝♦♥tr❛❝✲ t✐♦♥s ✐♥ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✑✱ ❘❡✈✳ ❘✳ ❆❝❛❞✳ ❈✐❡♥❝✳ ❊①❛❝t❛s ❋➼s✳ ◆❛t✳ ❙❡r✳ ❆ ▼❛t✳ ❘❆❈❙❆▼✳✱ ✶✶✶ ✭✶✮✱ ✷✹✼✲✷✺✺✳ ❬✶✾❪ ❍✳ ▲✳ ●✉❛♥❣ ❛♥❞ ❩✳ ❳✐❛♥✳ ✭✷✵✵✼✮✱ ✏❈♦♥❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s✑✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✸✸✷✱ ✶✹✻✽✲ ✶✹✼✻✳ ❬✷✵❪ ❍✳ ❍✉❛♥❣ ❛♥❞ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈✐✁❝✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ❝♦♥❡ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ♦✈❡r ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✑✱ ❏✳ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❙❝✐✳ ❆♣♣❧✳✱ ✽✱ ✼✽✼✲✼✾✾✳ ❬✷✶❪ ❍✳ ❍✉❛♥❣ ❛♥❞ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈✐✁❝✳ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❙♦♠❡ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t r❡s✉❧ts ♦❢ ❣❡♥✲ ❡r❛❧✐③❡❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♠❛♣♣✐♥❣s ♦♥ ❝♦♥❡ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ♦✈❡r ❇❛♥❛❝❤ ❛❧✲ ❣❡❜r❛s✑✱ ❏✳ ❈♦♠♣✉t✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✷✵ ✭✸✮✱ ✺✻✻✲✺✽✸✳ ❬✷✷❪ ❍✳ ❍✉❛♥❣✱ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈✐✁❝ ❛♥❞ ●✳ ❉❡♥❣✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❆ s❤❛r♣ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦♥ ❝♦♥❡ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ ♦✈❡r ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛s✑✱ ❏✳ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❙❝✐✳ ❆♣♣❧✳✱ ✶✵ ✭✷✮✱ ✹✷✾✲✹✸✺✳ ✶✷✻ ❬✷✸❪ ❍✳ ❍✉❛♥❣✱ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈✐✁❝ ❛♥❞ ❏✳ ❱✉❥❛❦♦✈✐✁❝✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏❖♥ s♦♠❡ r❡❝❡♥t ❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡ ❛♥❞ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ✐♥ ♣❛rt✐❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✺✿ ✻✸✱ ❞♦✐✿ ✶✵✳✶✶✽✻✴s✶✸✻✻✸✲✵✶✺✲ ✵✸✵✽✲✸✳ ❬✷✹❪ ◆✳ ❍✉ss❛✐♥❛ ❛♥❞ ▼✳ ❍✳ ❙❤❛❤❜✳ ✭✷✵✶✶✮✱ ✏❑❑▼ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ❝♦♥❡ b✲ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❈♦♠♣✉t✳ ▼❛t❤✳ ❆♣♣❧✳✱ ✻✷✱ ✶✻✼✼✲✶✻✽✹✳ ❬✷✺❪ ◆✳ ❍✉ss❛✐♥✱ ❘✳ ❙❛❛❞❛t✐ ❛♥❞ P✳ ❘✳ ❆❣r❛✇❛❧✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✏❖♥ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ❛♥❞ wt✲❞✐st❛♥❝❡ ♦♥ ♠❡tr✐❝ t②♣❡ s♣❛❝❡s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✹ ✭✽✽✮✱ ✶✲✶✹✳ ❬✷✻❪ ▼✳ ❏♦✈❛♥♦✈✐✁❝✱ ❩✳ ❑❛❞❡❧❜✉r❣ ❛♥❞ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈✐✁❝✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ✏❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t r❡s✉❧ts ✐♥ ♠❡tr✐❝✲t②♣❡ s♣❛❝❡s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✵✱ ❆rt✐❝❧❡ ■❉ ✾✼✽✶✷✶✳ ❬✷✼❪ ❚✳ ❑❛♠r❛♥✱ ▼✳ P♦st♦❧❛❝❤❡✱ ❆✳ ●❤✐✉r❛✱ ❙✳ ❇❛t✉❧ ❛♥❞ ❘✳ ❆❧✐✳ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❚❤❡ ❇❛♥❛❝❤ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✐♥ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✻ ✭✶✵✮✱ ✶✲✼✳ ❬✷✽❪ ❘✳ ❑❛♥♥❛♥✳ ✭✶✾✻✽✮✱ ✏❙♦♠❡ r❡s✉❧ts ♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥ts✑✱ ❙♦❝✳✱ ✻✵✱ ✼✶✲✼✻✳ ❇✉❧❧✳ ❈❛❧✳ ▼❛t❤✳ ❬✷✾❪ ▼✳ ❆✳ ❑❤❛♠s✐ ❛♥❞ ◆✳ ❍✉ss❛✐♥✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ✏❑❑▼ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ♠❡tr✐❝ t②♣❡ s♣❛❝❡s✑✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧✳✱ ✼✸ ✭✾✮✱ ✸✶✷✸✲✸✶✷✾✳ ❬✸✵❪ ❇✳ ▲✐ ❛♥❞ ❍✳ ❍✉❛♥❣✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❋✐①❡❞ ♣♦✐♥t r❡s✉❧ts ❢♦r ✇❡❛❦ ϕ✲ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ✐♥ ❝♦♥❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ♦✈❡r ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛✲ t✐♦♥s✑✱ ❏✳ ❋✉♥❝t✳ ❙♣❛❝❡s✳✱ ✷✵✶✼✱ ✶✲✶✷✳ ❬✸✶❪ ❍✳ ▲✐✉ ❛♥❞ ❙✳ ❳✉✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✏❈♦♥❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ♦✈❡r ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛s ❛♥❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♠❛♣♣✐♥❣s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✸✱ ✶✲✶✵✳ ❬✸✷❪ ❩✳ ▼❛ ❛♥❞ ▲✳ ❏✐❛♥❣✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ r❡❧❛t❡❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✺ ✭✷✷✷✮✱ ✶✲✷✷✳ ❬✸✸❪ ❩✳ ▼❛✱ ▲✳ ❏✐❛♥❣ ❛♥❞ ❍✳ ❙✉♥✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✏ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ r❡❧❛t❡❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✹ ✭✷✵✻✮✱ ✶✲✶✶✳ ❬✸✹❪ ❙✳ ▼♦r❛❞✐ ❛♥❞ ▼✳ ❖♠✐❞✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ✏❆ ❢✐①❡❞✲♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ✐♥t❡❣r❛❧ t②♣❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ❛♥♦t❤❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✑✱ ■♥t✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ✭❘✉s❡✮✳✱ ✹✱ ✶✹✾✶✲✶✹✾✾✳ ✶✷✼ ❬✸✺❪ ●✳ ❏✳ ▼✉r♣❤②✳ ✭✶✾✾✵✮✱ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛s Pr❡ss✱ ■♥❝✳ ❛♥❞ ♦♣❡r❛t♦r t❤❡♦r②✳ ❆❝❛❞❡♠✐❝ ❬✸✻❪ ❩✳ ▼✉st❛❢❛✱ ❏✳ ❘✳ ❘♦s❤❛♥✱ ❱✳ P❛r✈❛♥❡❤ ❛♥❞ ❩✳ ❑❛❞❡❧❜✉r❣✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✏❋✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ❢♦r ✇❡❛❦❧② T ✲❈❤❛tt❡r❥❡❛ ❛♥❞ ✇❡❛❦❧② T ✲ ❑❛♥♥❛♥ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ✐♥ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❏✳ ■♥❡q✉❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✹ ✭✹✻✮✱ ❞♦✐✿✶✵✳✶✶✽✻✴✶✵✷✾✲✷✹✷❳✲✷✵✶✹✲✹✻✳ ❬✸✼❪ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈✐✁❝✱ P✳ ❱❡tr♦✱ ❆✳ ◆❛st❛s✐ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◗✉❛♥✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❈♦✉♣❧❡❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ C ∗ ✲❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❙❝✐✳ P✉❜❧✳ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈✳ ◆♦✈✐ P❛③❛r ❙❡r✳ ❆✿ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳ ■♥❢♦r♠✳ ▼❡❝❤✳✱ ✾ ✭✶✮✱ ✽✶✲✾✵✳ ❬✸✽❪ ❆✳ ❈✳ ▼✳ ❘❛♥ ❛♥❞ ▼✳ ❈✳ ❇✳ ❘❡✉r✐♥❣s✳ ✭✷✵✵✹✮✱ ✏❆ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ♣❛rt✐❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ s❡ts ❛♥❞ s♦♠❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ♠❛tr✐① ❡q✉❛t✐♦♥s✑✱ Pr♦❝✳ ❆♠✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✶✸✷✱ ✶✹✸✺✲✶✹✹✸✳ ❬✸✾❪ ❆✳ ❘❛③❛♥✐ ❛♥❞ ❱✳ P❛r✈❛♥❡❤✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✏❙♦♠❡ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ❢♦r ✇❡❛❦❧② T ✲❈❤❛tt❡r❥❡❛ ❛♥❞ ✇❡❛❦❧② T ✲❑❛♥♥❛♥✲❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❘✉ss✐❛♥ ▼❛t❤✳ ✭■③✳ ❱❯❩✮✳✱ ✺✼ ✭✸✮✱ ✸✽✲✹✺✳ ❬✹✵❪ ❇✳ ❊✳ ❘❤♦❛❞❡s✳ ✭✶✾✼✼✮✱ ✏❆ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ✈❛r✐♦✉s ❞❡❢✐♥✐t♦♥s ♦❢ ❝♦♥✲ tr❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s✑✱ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✷✷✻✱ ✷✺✼✲✷✾✵✳ ❬✹✶❪ ❏✳ ❘✳ ❘♦s❤❛♥✱ ❱✳ P❛r✈❛♥❡❤ ❛♥❞ ■✳ ❆❧t✉♥✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✏❙♦♠❡ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡ ♣♦✐♥t r❡s✉❧ts ✐♥ ♦r❞❡r❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ❛ s②st❡♠ ♦❢ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✑✱ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳ ❈♦♠♣✉t✳✱ ✷✷✻✱ ✼✷✺✲✼✸✼✳ ❬✹✷❪ ❏✳ ❘✳ ❘♦s❤❛♥✱ ❱✳ P❛r✈❛♥❡❤ ❛♥❞ ❩✱ ❑❛❞❡❧❜✉r❣✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✏❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ❢♦r ✇❡❛❦❧② ✐s♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ♦r❞❡r❡❞ b✲ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❏✳ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❙❝✐✳ ❆♣♣❧✳✱ ✼✱ ✷✷✾✲✷✹✺✳ ❬✹✸❪ ❏✳ ❘✳ ❘♦s❤❛♥✱ ❱✳ P❛r✈❛♥❡❤✱ ❙✳ ❙❡❞❣❤✐✱ ◆✳ ❙❤♦❜❦♦❧❛❡✐ ❛♥❞ ❲✳ ❙❤❛t❛♥❛✇✐✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✏❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❛❧♠♦st ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ (ψ; ϕ)s ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ♦r❞❡r❡❞ b✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✸✱ ❆rt✐❝❧❡ ■❉ ✶✺✾✳ ❬✹✹❪ ❲✳ ❘✉❞✐♥✳ ✭✶✾✾✶✮✱ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s✳ ▼❝●r❛✇✲❍✐❧❧✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ◆❨✱ ❯❙❆✱ ✷♥❞ ❡❞✐t✐♦♥✳ ❬✹✺❪ ■✳ ❆✳ ❘✉s ❛♥❞ ▼✳ ❆✳ ❙❡r❜❛♥✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✏❇❛s✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r② ❛♥❞ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥❝❡ ♦❢ ❛ ♠❡tr✐❝ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠✑✱ ❈❛r♣❛t❤✐❛♥ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✷✾ ✭✷✮✱ ✷✸✾✲✷✺✽✳ ✶✷✽ ❬✹✻❪ ■✳ ❆✳ ❘✉s ❛♥❞ ▼✳ ❆✳ ❙❡r❜❛♥✳ ✭✷✵✵✽✮✱ ✏❙♦♠❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❈❛✉❝❤② ▲❡♠♠❛ ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✑✱ ❚♦♣✐❝s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❈♦♠♣✉t✳ ❙❝✐✳ P❤✐❧✳✱ ✭✷✵✵✽✮✱ ✶✼✸✲✶✽✶✳ ❬✹✼❪ ❲✳ ❙❤❛t❛♥❛✇✐♠ ❛♥❞ ❆✳ ❆❧✲❘❛✇❛s❤❞❡❤✳ ✭✷✵✶✷✮✱ ✏❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❛❧♠♦st ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ (ψ; φ)− ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ♦r❞❡r❡❞ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✷✱ ❆rt✐❝❧❡ ■❉ ✽✵✳ ❬✹✽❪ ❈✳ ❚✐❛♥q✐♥❣✳ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❙♦♠❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ C ∗ ✲ ❛❧❣❡❜r❛✲✈❛❧✉❡❞ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❛r❳✐✈ ✿✶✻✵✶✳✵✼✶✻✽✈✶✱ ✶✲✶✶✳ ❬✹✾❪ ❉✳ ❲❛r❞♦✇s❦✐✳ ✭✷✵✶✷✮✱ ✏❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❛ ♥❡✇ t②♣❡ ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ❞♦✐✿✶✵✳✶✶✽✻✴✶✻✽✼✲✶✽✶✷✲✷✵✶✷✲✾✹✱ ✶✲✻✳ ❬✺✵❪ ❙✳ ❳✉ ❛♥❞ ❙✳ ❘❛❞❡♥♦✈✐✁❝✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✏❋✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✲ ✐③❡❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♠❛♣♣✐♥❣s ♦♥ ❝♦♥❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ♦✈❡r ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛s ✇✐t❤♦✉t ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ♥♦r♠❛❧✐t②✑✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✶✹✱ ✶✲✶✷✳
- Xem thêm -

Xem thêm: Định lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụng (Luận án tiến sĩ), Định lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay