Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)

65 12 0
  • Loading ...
1/65 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/03/2019, 08:02

Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ) ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THẮM LÁT MẶT PHẲNG BỞI CÁC ĐA GIÁC ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THẮM LÁT MẶT PHẲNG BỞI CÁC ĐA GIÁC ĐỀU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2018 ✐ ❉❛♥❤ ♠ö❝ ❤➻♥❤ ✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ✶✳✹ ✶✳✺ ✶✳✻ ✶✳✼ P❤➨♣ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ P❤➨♣ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝õ❛ ❘✐❝❤♠♦♥❞ ◆➠♠ ữợ ỹ ụ ỗ t s ✳ ▼ët sè ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❉ü♥❣ 15−❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữợ ỹ 17 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✽ ✽ ✾ ✶✸ ✶✺ ✶✻ ✷✳✶ ✷✳✷ ✷✳✸ ✷✳✹ ✷✳✺ ✷✳✻ ✷✳✼ ✷✳✽ ✷✳✾ ✷✳✶✵ ✷✳✶✶ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 3α6 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 1α4 + 2α8 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 1α3 + 2α12 ✳ ✳ ✳ ✳ ổ tỗ t ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 2α5 + 1α10 ✳ ✳ ✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 1α4 + 1α6 + 1α12 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❛✲▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 4α4 ✈➔ ❜✲❧♦↕✐ 1α3 + 2α4 + 1α6 ❑❤æ♥❣ ❝â ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 2α3 + 2α6 ❦✐➸✉ ❛✮ ✳ ✳ ❑❤æ♥❣ ❝â ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 2α3 + 1α4 + 1α12 ✳ ✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 4α3 + 1α6 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 3α3 + 2α4 ❦✐➸✉ ❛✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 3α3 + 2α4 ❦✐➸✉ ❜✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✸ ✷✸ ✷✹ ✷✺ ✷✻ ✷✼ ✷✼ ✷✽ ✷✾ ✷✾ ✸✳✶ ✸✳✷ ✸✳✸ ✸✳✹ ✸✳✺ ▲→t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ tù ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ tù ỗ ó t ỳ t ✳ ✳ ●❤➨♣ t❤➔♥❤ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤ ✳ ✳ ✳ ❱➼ ❞ö ✸✳✶✳✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✸✶ ✸✷ ✸✸ ✸✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐ ✸✳✻ ✸✳✼ ✸✳✽ ✸✳✾ ✸✳✶✵ ✸✳✶✶ ✸✳✶✷ ✸✳✶✸ ✸✳✶✹ ✸✳✶✺ ✸✳✶✻ ✸✳✶✼ ✸✳✶✽ ✸✳✶✾ ✸✳✷✵ ❱➼ ❞ö ✸✳✶✳✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✸✻ ✹✵ ✹✷ ✹✸ ✹✸ ✹✹ ✹✺ ✹✻ ✹✽ ✹✾ ✺✶ ✺✸ q = SABCD ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❧ö❝ ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❇❛ ❦✐➸✉ ❧→t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚ê♥❣ ❝→❝ ❣â❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ✶✴✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤ ♥❤ä ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤ù♥❣ ỵ Ptrs t tự tũ ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❍➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❉ò♥❣ ♥❣✉②➯♥ t➢❝ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♣❤õ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚✐❛ ❧✐➯♥ ✤ỵ✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▼ð ✤➛✉ ✶ ✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➔ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✷ ❉ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✱ ❤➔♠ ❊✉❧❡r ✈➔ ❝→❝ sè ❋❡r♠❛t✳ ❉ü♥❣ n−❣✐→❝ ✤➲✉ ✈ỵ✐ n ❝â ❞↕♥❣ 2k 3.5.17 ✳ ✶✳✸✳✶ ❉ü♥❣ 15−❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸✳✷ ❉ü♥❣ 17−❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✷✳✶ ✷✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ sè ❤å❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧→t ♣❤➥♥❣ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✶ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✈ỵ✐ s❛♦ ♣❤➥♥❣ ✤➾♥❤ ✷✳✷✳✷ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✈ỵ✐ s❛♦ ♣❤➥♥❣ ✤➾♥❤ ✷✳✷✳✸ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✈ỵ✐ s❛♦ ♣❤➥♥❣ ✤➾♥❤ ✷✳✷✳✹ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✈ỵ✐ s❛♦ ♣❤➥♥❣ ✤➾♥❤ ✸ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✸✳✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❝â ✸ ✤❛ ❣✐→❝ ❝â ✹ ✤❛ ❣✐→❝ ❝â ✺ ✤❛ ❣✐→❝ ❝â ✻ ✤❛ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✈ ✶ ✹ ✹ ✹ ✻ ✾ ✶✷ ✶✷ ✶✻ ✶✽ ✶✽ ✷✵ ✷✷ ✷✺ ✷✻ ✷✽ ✸✵ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✸✳✶✳✶ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝✱ tù ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✸✵ ✸✳✶✳✷ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ❧ö❝ ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✐✈ ✸✳✷ ✸✳✸ ✸✳✶✳✸ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ♥❣ô ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❍➻♥❤ ❤å❝ tr➯♥ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✷✳✶ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ Ptrs ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✷✳✸ ❚ù ❣✐→❝ ✈➔ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✸✾ ✸✾ ✹✸ ✹✹ ✹✺ ✹✼ ✺✽ ✈ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ P❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ t✐♥ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❍å❝ ❑❤♦❛ ❍å❝ ✲ ✣↕✐ ❍å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ tỉ✐ ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❞ü ❦❤â❛ ❤å❝✱ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ qỵ t ổ ợ ❑✶✵❇✷ ✭✷✵✶✻ ✲ ✷✵✶✽✮ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ♥❤ú♥❣ tự qỵ ụ ữ t tỉ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝✳ ✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♠ët ❝→❝❤ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤✱ tỉ✐ ❧✉ỉ♥ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü ữợ ú ù t t P ❱✐➺t ❍↔✐✱ ●✐↔♥❣ ✈✐➯♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❍å❝ ❍↔✐ P❤á♥❣✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ t❤➛② ✈➔ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ tr✐ ➙♥ ♥❤➜t ❝õ❛ tỉ✐ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ t❤➛② ✤➣ ❞➔♥❤ ❝❤♦ tỉ✐✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ t tợ ỳ ữớ ổ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❤é trñ ✈➔ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❳✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦ ❍↔✐ P❤á♥❣✱ t❤→♥❣ ✳✳✳ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ◆❣÷í✐ ✈✐➳t ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤➢♠ ✶ ▼ð ✤➛✉ ✶✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❧➔ ♠ët ❝❤õ ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ❊✉❝❧✐❞❡✳ P❤➨♣ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✶✼ ❝↕♥❤ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ①✉➜t s➢❝ ♠➔ ●❛✉ss ✤➣ ❝è♥❣ ❤✐➳♥ ❝❤♦ ♥❤➙♥ ❧♦↕✐✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔✿ ❍➣② ♣❤õ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜➡♥❣ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉❄ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ✧❧→t ❦➼♥✧ ♠➦t ♣❤➥♥❣❄ ❈ò♥❣ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â✱ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❣➻ ✤➳♥ sè ❤å❝❄ ❚r➻♥❤ ❜➔② qt t tr ỵ ✤➸ tæ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✧▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✧✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔✿ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧à❝❤ sû✱ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ♠ët sè ✤❛ ❣✐→❝ tữợ ố ỳ ỹ tữợ ♣❛ ✈ỵ✐ ❝→❝ sè ❋❡r♠❛t✳ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✭❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉✮ tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♣❤õ ♠➦t ♣❤➥♥❣✳ ✲ ❇ê s✉♥❣ t❤➯♠ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤♦ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ❦❤â ð tr÷í♥❣ ❚❍❈❙ ✈➔ ❚❍P❚ ❣â♣ ♣❤➛♥ ✤➔♦ t↕♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❤å❝ ❣✐ä✐ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝✳ ✷✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✱ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ♠ët sè ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣ tữợ ợ t t t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✷ ỵ t rở s ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥✿ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ tr➯♥ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➔ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❇➔✐ t ỹ tữợ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❞ü♥❣ ❤➻♥❤ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❤å❝✿ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤â ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ sè ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠é✐ ✤❛ ởt ụ ỹ ữủ tữợ ❝♦♠ ♣❛ tø t❤í✐ ①❛ ①÷❛ ♥❤÷♥❣ ♣❤↔✐ ✷✵✵✵ ♥➠♠ s❛✉ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤ỉ♥❣ t➻♠ r❛ ✤÷đ❝ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ♠ët t❤➜t ❣✐→❝ ✤➲✉✳ ❍â❛ r❛ ❝â ♥❤✐➲✉ ✤❛ ổ ỹ ữủ tữợ ✭n = 7, 9, 11, 13, ✮✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❜❛♦ ỗ ❊✉❧❡r ✈➔ ❝→❝ sè ❋❡r♠❛t ✶✳✸✳ ❉ü♥❣ n− ❣✐→❝ ✤➲✉ ợ n õ 2k 3.5.17 ữỡ t t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✣➙② ❧➔ ♣❤➛♥ trå♥❣ t➙♠ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ❝→❝ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ✤÷đ❝ ♠ët ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣✿ ❈â ✶✶ ✈➔ ❝❤➾ ✶✶ ❧♦↕✐ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉✳ ❈❤÷ì♥❣ ỗ s t số ❤å❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✷✳✷✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❇➔✐ t♦→♥ ❧→t ♣❤➥♥❣ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♣❤õ✱ ✤â ❧➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❤➻♥❤ tờ ủ ữỡ ợ t t t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❜❛♦ ỗ t t ♥❤❛✉✳ ✸ ✸✳✷✳ ❍➻♥❤ ❤å❝ tr➯♥ ❧→t ♣❤➥♥❣✳ ✸✳✸✳ ❈→❝ t ổ ọ ữợ ữ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠é✐ æ✱ tù❝ ❧➔ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❞ü♥❣ tr➯♥ ✷ ❝↕♥❤ ❤✉②➲♥✱ ❜➡♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ ♠➔✉ ✤ä✱ õ ỵ Ptrs ỏ t r➡♥❣✿ ♠é✐ ỉ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✷ ❤❛✐ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ♠➔ tø ✤â ❝â t❤➸ ❝ë♥❣ ❧↕✐ ✤➸ ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ♠➔✉ ✤ä✿ ▼ët ❝→❝❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ ❝➢t t❤❡♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✳ ✣â ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ỵ ự ❣✐→❝ ❚❛ ❝â t❤➸ ①➨t ❝→❝ ❤➻♥❤ ♣❤ù❝ t↕♣ ❤ì♥✳ ❚❛ ❜➢t ✤➛✉ ✈ỵ✐ ♠ët ❧→t ♣❤➥♥❣ tù ❣✐→❝ tò② þ✳ ▲➜② ✶ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ♥❤➜t ✈➔ ✤→♥❤ ❞➜✉ ❝→❝ ✤✐➸♠ s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✤÷đ❝ s➢♣ ①➳♣ ♥❤÷ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤✳ ◆è✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ ✤→♥❤ ❞➜✉ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤ ✈➔ tæ ♠➔✉ ✤ä ✭❝↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ t ữủ ỗ tự ỗ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✭♣❤➛♥ ♠➔✉ ①❛♥❤ tr➯♥ ❤➻♥❤ ✸✳✶✹✮✳ ▲→t ♣❤➥♥❣ ữ t tự tũ ỵ õ t ỹ ữủ tứ tự ỗ tũ ỵ ✭①❡♠ ♣❤➛♥ tù ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✮✳ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ❣✐↔✐✱ ❝â t❤➸ ❝♦✐ ❝→❝❤ ❧➔♠ ♥❤÷ tr ởt ủ ỵ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✸✳ ❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝â ♠ët ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ọ ổ ữủ ố ợ ♥❤❛✉ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ✸✳✶✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ s1 + s2 ❜➡♥❣ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ s3 + s4✳ ✹✺ ❍➻♥❤ ✸✳✶✺✿ ❍➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ♠ët tù ❣✐→❝ ✭ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ✷ ❝↕♥❤ ✤è✐ ❞✐➺♥✮ ❦❤ỉ♥❣ ✈÷đt q✉→ ♥û❛ tê♥❣ ✤ë ❞➔✐ ✷ ❝↕♥❤ ❦✐❛ ❝õ❛ tù ❣✐→❝✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❝❤➾ ❦❤✐ ✷ ❝↕♥❤ ♥➔② s♦♥❣ s♦♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✺✳ ❚❤í✐ ❝ê ①÷❛ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠ët tù ❣✐→❝ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ♥û❛ tê♥❣ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ✤è✐ ❞✐➺♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝→❝❤ t➼♥❤ ♥❤÷ ✈➟② ❝❤➾ ❝❤♦ ❦➳t q✉↔ ✤ó♥❣ ❦❤✐ tù ❣✐→❝ ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✻✳ ✭▼✶✶✻✾✲sè ❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ t↕♣ ❝❤➼ ❑✈❛♥t✮ ●✐↔ sû P tũ ỵ tr ỳ t ABCD ự ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♥â ❦❤ỉ♥❣ ✈÷đt q✉→ P A.P C + P B.P D ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✼✳ ❈❤♦ ❧ö❝ ❣✐→❝ ❝â t➙♠ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ❇❛ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♥â ❧➜② ✤è✐ ①ù♥❣ t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♥â ❜➡♥❣ ♠ët ♥û❛ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ỵ ú t ự ởt ỵ t t tữợ P ỵ t ứ t ABC tũ ỵ ỹ r ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ CAB1, BCA1, ABC1✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ t➙♠ P, Q, R ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳ ✹✻ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ P❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❞♦ ❉✳❋✳ ❘✐❝❜✐ ✤➲ ①✉➜t✳ ❉ü♥❣ t➜t ❝↔ ❤➻♥❤ ✈➩ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✭♥❤÷ ❤➻♥❤ ✸✳✶✻✮✿ ❚➜t ❝↔ t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔✉ tr➢♥❣ ❜➡♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤➣ ❝❤♦✳ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ tæ ♠➔✉ ❧➔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❞ü♥❣ tr➯♥ ABC ỗ t ❣✐→❝ ✤➣ ❝❤♦✱ ✸ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ t↕♦ ❜ð✐ ❝→❝ t➙♠✮ ❝❤✉②➸♥ t❤➔♥❤ ❤➻♥❤ ✈➩ t✐➳♣ t❤❡♦ ♥❤í ♣❤➨♣ q✉❛② 1200 ✱ t➙♠ q✉❛② ❧➔ t➙♠ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳ ❚ø ✤â s✉② r❛✱ t t ỗ t ữợ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➯✉ ♠➔ ❝â t➙♠ trò♥❣ ✈ỵ✐ t➙♠ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔✉ ①❛♥❤ ❤♦➦❝ ♠➔✉ ✈➔♥❣✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ SQM ✈➔ SQN ❧➔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ s➩ ❜✐➳♥ t❤➔♥❤ ❝❤➼♥❤ ❝❤ó♥❣ q✉❛ ♣❤➨♣ q✉❛② ❣â❝ 1200 ợ t q tữỡ ự R S ◆❤÷♥❣ ❦❤✐ ✤â ❝❤➼♥❤ ❝→❝ t➙♠ ❝õ❛ ❍➻♥❤ ✸✳✶✻✿ ✣à♥❤ ỵ tt t tổ t t ữợ t ữớ ữợ ✤ä✮✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ t❛♠ ❣✐→❝ ◆❛♣♦❧❡♦♥ P QR ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳ ✣â ❧➔ ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈➛♥ ♥â✐ t r ữợ tỹ sỹ tỗ t t t ❣✐→❝ ABC ✈➔ ✹✼ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC1 , CAB1 ✳ ❚❛ ❞ü♥❣ tr➯♥ ✷ ❝↕♥❤ AC1 D, EB1 A ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ∆ABC ✭❝❤ó♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ tø ∆ABC q✉❛ ♣❤➨♣ q✉❛② 1200 q✉❛♥❤ t➙♠ R ✈➔ P t ữủ ỗ ỗ ú ỵ r AD = BC = AE ✈➔ ∠DAE = 600 ✭✈➻ tê♥❣ ❝→❝ ❣â❝ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔✉ −−→ tr➥♥❣ t↕✐ ✤➾♥❤ A ❜➡♥❣ 1800 ✮✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔ ∆ADE ✤➲✉✳ ❱➨❝ tì BC ♥❤➟♥ −−→ −−→ ✤÷đ❝ tø AD q✉❛ ♣❤➨♣ q✉❛② t➙♠ S ✱ ❣â❝ q✉❛② 1200 ✱ ♠➔ ✈➨❝ tì DE ♥❤➟♥ −−→ −−→ −−→ ✤÷đ❝ tø AD q✉❛ ♣❤➨♣ q✉❛② t➙♠ S ✱ ❣â❝ q✉❛② 1200 ✳ ❇ð✐ ✈➟②✱ BC = DE ✳ −−→ −−→ −−→ −−→ ❚÷ì♥❣ tü✱ CB1 = C1 D ✈➔ B1 E = BC1 ✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❝→❝ ❝↕♥❤ ✤è✐ ❞✐➺♥ ❝õ❛ ❧ư❝ ❣✐→❝ BCB1 EDC1 ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✈➔ s♦♥❣ s♦♥❣✳ ❈→❝ ❧ö❝ ❣✐→❝ ♥❤÷ ✈➟② ❝â t❤➸ ❧→t ✤÷đ❝ ♠➦t ♣❤➥♥❣✳ ❚ø ✤à♥❤ ỵ t ỏ t ữủ ổ tự t t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ◆❛♣♦❧❡♦♥ P QR✳ ❈→❝ t➙♠ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ tỉ ♠➔✉ ❝â t❤➸ ①➨t ♥❤÷ út ữợ t ộ t ỗ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✮✳ ❚❛ ❝♦✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤♦✐ ❧➔ ✶ t❤➻ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ P QR ❜➡♥❣ 1/2✿ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ❧ư❝ ❣✐→❝ t➻♠ ✤÷đ❝ ❝â t❤➸ t➼♥❤ q✉❛ ❝→❝ ♥ót✿ tr♦♥❣ ♥â ❝â ✤ó♥❣ ✸ ♥ót ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥ót ♥➔♦ ð tr➯♥ ❝↕♥❤✱ ❜ð✐ ✈➟② ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♥â ❜➡♥❣ ✸✱ tù❝ ❧➔ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✻ ❧➛♥ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ∆P QR✳ ◆❤÷♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧ư❝ ❣✐→❝ ỗ t ABC t ❞ü♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ❱➟② t❛ ❝â √ √ √ a2 b c 6SP QR = 3SABC + + + √ 4 (a + b2 + c2 ) =⇒ SP QR = SABC + 24 ✸✳✸ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧→t ♣❤➥♥❣ ❦❤→❝ ❤❛② ❣➦♣ ❧➔ ❝→❝ ❧→t ♣❤➥♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❤♦➦❝ ❧→t ♣❤➥♥❣ ❝â t❤➯♠ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ r➔♥❣ ❜✉ë❝✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② r➜t ✤❛ ❞↕♥❣✱ ♥❣÷í✐ t❛ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤↔♥ ❝❤ù♥❣ ✭✤➦❝ ❜✐➺t →♣ ❞ư♥❣ ỵ rt ữỡ t ữỡ ỹ ❤↕♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t↕♦ ❝❛❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣✱✳✳✳ ❚❛ ①➨t ♠ët sè ✈➼ ❞ö ✭t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❬✶❪✱ ❬✸❪✮✳ ✹✽ ❱➼ ❞ư ✸✳✸✳✶✳ ❇➯♥ tr♦♥❣ ♠ët ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝↕♥❤ ữớ t t ỗ trỏ õ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✶✳ ❈â t❤➸ ✤➦t ✤÷đ❝ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣ ♠ët t➜♠ ❜➻❛ ❤➻♥❤ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✼ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ổ ổ ởt ỗ ❦❤ỉ♥❣❄ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈➙✉ tr↔ ❧í✐ ❧➔ ❝â✳ ❈→❝❤ ✶✳ ❉ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞✐➺♥ t➼❝❤✳ ✲ ❱➩ ✸✺ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ + = ✈ỵ✐ t➙♠ t ỗ ♥❤ä ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝↕♥❤ ✶✵✵ ♠é✐ ♣❤➼❛ ✼✱ ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ ổ ỗ t õ 100 14 = 86 ✲ ●å✐ S1 ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✸✺ ❤➻♥❤ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✽✱ S2 ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ ✽✻✳ ✲ ❚❛ t❤➜② S1 < S2 ✈➻ S1 ≤ 35.π.82 < 35.3, 2.64 = 7168 ≤ 7396 − 862 = S2 õ tỗ t A tr ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ ✽✻✱ ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ❝→❝ ❤➻♥❤ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✽✳ ❍➻♥❤ trá♥ (A, 7) ❧➔ ❤➻♥❤ trá♥ ❝➛♥ ỹ ũ ỵ rt Pữỡ ♣❤→♣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ 100 = 16 ✳ ỵ rt tỗ t ởt ổ B ổ ự t ởt ỗ ọ ổ B t ổ B ỗ t➙♠ ✈ỵ✐ B ✱ ❝â ❝↕♥❤ ✶✹ ✭❝↕♥❤ 16 32 ①✉è♥❣ ❝↕♥❤ 14✮✳ ✲ ❈❤✐❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ ✶✵✵ t❤➔♥❤ ✸✻ æ ✈✉æ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ = ✹✾ ✲ ❉ü♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ B ✳ ❘ã r➔♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ ♥➔② t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➔✐ t♦→♥✳ ❍➻♥❤ ✸✳✶✽✿ ❉ò♥❣ ♥❣✉②➯♥ t rt t ợ ũ ữỡ ♣❤→♣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛ ❝â t❤➸ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➝♥ ✤ó♥❣ ♥➳✉ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➦t t❤➯♠ ởt ỗ ỳ ỵ rt tữớ ữủ sỷ ự sỹ tỗ t tt ũ t ỗ ❇➯♥ tr♦♥❣ ♠ët ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝↕♥❤ ✶✵✵✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➦t ỗ trỏ õ õ t❤➸ ✤➦t ✤÷đ❝ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣ ♠ët t➜♠ ❜➻❛ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝↕♥❤ ✶✵ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❣→❝ ❧➯♥ ởt ỗ ổ tr♦♥❣ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✶✱ ✤➦t ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❝❤ù❛ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥✳ ❱➼ ❞ư ✸✳✸✳✹✳ ❈❤ù♥❣ r tr ởt ỳ t tữợ 10 × 13 ❝â t❤➸ ①➳♣ ✤÷đ❝ t❤➔♥❤ ❞➣② ❝→❝ ❤➻♥❤ trá♥ ❦❤æ♥❣ ❣→❝ ❧➯♥ ♥❤❛✉ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❜➡♥❣ ✶✵✵✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳➨t ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝↕♥❤ ✶✵ ✭♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✮✳ ●✐↔ sû t❛ ❝❤✐❛ ♠é✐ ❝↕♥❤ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ t❤➔♥❤ n ✤♦↕♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✱ ✤ë ❞➔✐ ♠é✐ ✺✵ 10 ✤÷đ❝ n2 ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ♥❤ä✳ ❚r♦♥❣ ♠é✐ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ♥❤ä ✈➩ ❤➻♥❤ n trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✳ 5 ❇→♥ ❦➼♥❤ ♠é✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❤ä ❧➔ ✳ ❚ê♥❣ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➡♥❣ n2 = n n 5n✳ ✣➸ tê♥❣ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➡♥❣ ✶✵✵✵ t❛ ♣❤↔✐ ❝â 5n = 1000, tù❝ ❧➔ n = 200✳ ữ t ổ 10 ì 10 t❤➔♥❤ ✷✵✵ ✤♦↕♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✱ ♠é✐ ✤♦↕♥ ❞➔✐ ✱ t❛ ✤÷đ❝ ✹✵✳✵✵✵ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ♥❤ä✳ ❈→❝ ❤➻♥❤ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ 20 ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ①➳♣ t❤➔♥❤ ❞➣② ❦❤æ♥❣ ❣→❝ ❧➯♥ ♥❤❛✉ ✈➔ tê♥❣ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➡♥❣ 40.000 = 1000 40 ✤♦↕♥ = ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉ ✤➙② ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♣❤õ✿ ❚❛ ♥â✐ ♠ët ❤➻♥❤ H ✤÷đ❝ ♣❤õ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➻♥❤ Fi , i = 1, , n ♥➳✉ ♠é✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤➻♥❤ H ✤➲✉ t❤✉ë❝ ➼t ♥❤➜t ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❤➻♥❤ Fi , i = 1, , n✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ H ✤÷đ❝ n ♣❤õ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➻♥❤ Fi , i = 1, , n ♥➳✉ H ⊆ Fi i=1 ❱➼ ❞ö ✸✳✸✳✺✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✐✳ ❈â t❤➸√♣❤õ ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ trá♥ ✤➣ ❝❤♦ ❜ð✐ ✸ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ❝ò♥❣ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➡♥❣ 3✳ ✐✐✳ ❑❤ỉ♥❣ t❤➸ ♣❤õ√✤÷đ❝ ❤➻♥❤ trá♥ ✤➣ ❝❤♦ ❜ð✐ ✸ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ❝ò♥❣ ❜→♥ ❦➼♥❤ ♥❤ä ❤ì♥ 3✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ √ ✐✳ ❉ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ (O, 2)✳ ❚❛ ❝â AC = 3✳ ❉♦ ❣â❝ ∠AOC = 1200 > 900 ♥➯♥ t➙♠ O ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ AC ✱ ❞♦ ✤â ❤➻♥❤ trá♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ AC ♣❤õ ∆AOC ✈➔ ♣❤õ ❤➻♥❤ q✉↕t AOC ✳ ❚÷ì♥❣ tü ❤➻♥❤ trá♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ AB ♣❤õ ❤➻♥❤ q✉↕t AOB ✱ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ BC ♣❤õ ❤➻♥❤ q✉↕t BOC ✳ ◆❤÷ ✈➟② ❜❛ ❤➻♥❤ trá♥ √ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ AC, AB, BC ✭❜→♥ ❦➼♥❤ 3✮✱ ♣❤õ ❦➼♥ (O)✳ √ ✐✐✳ ❳➨t ✤÷í♥❣ trá♥ (O , r) ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ C ∈ (O)✱ tr♦♥❣ ✤â r < 3✳ ●✐↔ √ sû (O ) ❝➢t (O) t↕✐ D✳ ❚❛ ❝â CD ≤ 2r < 3✳ ❱➩ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC √ ♥ë✐ t✐➳♣ (O)✱ t❛ ❝â AC = 3✳ ✺✶ ❉♦ ❝✉♥❣ CD ♥❤ä ❤ì♥ ❝✉♥❣ CA ♥➯♥ ❝✉♥❣ CD < 1200 ✳ ◆❤÷ ✈➟② ❤➻♥❤ trá♥ (O , r) ❦❤æ♥❣ ♣❤õ ❦➼♥ ❝✉♥❣ 1200 ❝õ❛ (O)✱ ❞♦ ✤â ✸ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ r ❦❤æ♥❣ ♣❤õ ❦➼♥ ❤➻♥❤ trá♥ (O)✳ ❍➻♥❤ ✸✳✶✾✿ ❇➔✐ t♦→♥ ♣❤õ ▼ët sè ✈➼ ❞ö s❛✉ ❧➔ ❝→❝ ❜➔✐ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ t♦→♥ q✉è❝ t➳ ♠➜② ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✳ ▼é✐ ❜➔✐ ✤➲✉ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ❣✐↔✐✳ ❑❤✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❧ü❛ ❝❤å♥ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ sû ❞ö♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✤❛ t ỵ rt ✷✵✶✺ ❝â t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ◆✳❚✳ ❉ô♥❣ tr♦♥❣ ❬✶❪✳ ❱➼ ❞ö ✸✳✸✳✻✳ ✭■▼❖ ✷✵✶✸✱ #2✮ ❈❤♦ ✷✵✶✸ ✤✐➸♠ ✤ä ✈➔ ✷✵✶✹ ✤✐➸♠ ①❛♥❤ ❜➜t ❦ý tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❝â ✸ ✤✐➸♠ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣✳ ▼ët ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❣å✐ ❧➔ ✧❤♦➔♥ ❤↔♦✧ ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ❝â ỗ số ♥❤ä ♥❤➜t ❝→❝ sè k s❛♦ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ❤♦➔♥ ❤↔♦ ❧✉ỉ♥ ❝â t❤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❜ð✐ k ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✷✵✶✸ ❧➔ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ k ♠➔ ❝â t❤➸ ✤↔♠ ❜↔♦ rữợ t t r ❤➻♥❤ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♠➔ ✷✵✶✸ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❧➔ ❝➛♥ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ❤♦➔♥ ❤↔♦✳ ❳➨t ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✹✵✷✼ ❝↕♥❤ A1 A2 A4027 ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤ì♥ ✈à✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤➾♥❤ A2k+1 ❧➔ ♠➛✉ ✤ä ✈ỵ✐ k ∈ {0, 1, 2, , 2013} ❝á♥ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❦❤→❝ ♠➛✉ ①❛♥❤✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ j ∈ {1, 2, , 4026} ❝→❝ ❝✉♥❣ ♥❣➢♥ Aj Aj+1 ♣❤↔✐ ❣✐❛♦ ✈ỵ✐ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛✳ ❉♦ ✤â ❝â ✹✵✷✻ ✤✐➸♠ ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤ì♥ ✈à ợ ữớ ộ ữớ õ t❤➸ ❝â ➼t ♥❤➜t ✷ ✤✐➸♠ ♥➯♥ t❛ ❝➛♥ ❝â ➼t ♥❤➜t ✷✵✶✸ ✤÷í♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✤â✳ ✺✷ ❇➙② ❣✐í t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❧✉ỉ♥ t↕♦ ✤÷đ❝ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ❤♦➔♥ ❤↔♦ tø ✈✐➺❝ sû ❞ư♥❣ ✷✵✶✸ ✤÷í♥❣✳ ●✐↔ sû ❝â ✷✵✶✸ ✤✐➸♠ ✤ä ✈➔ ✷✵✶✹ ✤✐➸♠ ①❛♥❤✳ W1 , W2 , , Wk ỗ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥➔②✳ ◆➳✉ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ❜❛♦ ỗ ọ W1 t s õ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ m t→❝❤ ♠➦t ♣❤➥♥❣ t❤➔♥❤ ✷ ♠✐➲♥ ♠➔ ♠ët tr♦♥❣ ❝❤ó♥❣ ❝❤➾ ❝❤ù❛ W1 ✳ ●✐↔ sû {R1 , , R2012 } ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✤ä ❦❤→❝ W1 ✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ j ∈ {1, 2, , 1006} t❛ ①➨t ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ R2j−1 R2j ✿ ❈â ❤❛✐ ữớ t lj lj s s ợ R2j1 R2j s❛♦ ❝❤♦ ♠✐➺♥ ❣✐ú❛ lj ✈➔ lj ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ❜➜t ❦ý ✤✐➸♠ ♥➔♦ ❦❤→❝ R2j−1 ✈➔ R2j ✳ ❈→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ m, l1 , l1 , l2 , l2 , , l1006 , l1006 t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ❤♦➔♥ ❤↔♦✳ ◆➳✉ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ W1 , W2 , , Wk ❧➔ ♠➛✉ ①❛♥❤ t❤➻ ❝â ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ p s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ W1 W2 t→❝❤ ♠➦t ♣❤➥♥❣ t❤➔♥❤ ✷ ♠✐➲♥ ♠➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❝❤➾ ❝❤ù❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ W1 , W2 ỵ B1 , B2 , , B2012 ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ①❛♥❤ ❝á♥ ❧↕✐✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ j ∈ {1, 2, , 1006} t❛ ①➨t ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ B2j−1 B2j ✿ ❈â ✷ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ lj ✈➔ lj s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ B2j−1 B2j s❛♦ ❝❤♦ ♠✐➲♥ ❣✐ú❛ lj ✈➔ lj ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ❜➜t ❦ý ✤✐➸♠ ♥➔♦ ❦❤→❝ B2j−1 ✈➔ B2j ✳ ▲ó❝ ✤â ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ p, l1 , l1 , l2 , l2 , , l1006 , l1006 t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ❤♦➔♥ ❤↔♦✳ ❱➼ ❞ö ✸✳✸✳✼✳ ✭■▼❖ ✷✵✶✹✱ #6✮ ●✐↔ sû ❝â n ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ✷ ✤÷í♥❣ ♥➔♦ s s ổ õ ữớ ỗ q✉②✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝â t❤➸ tæ ➼t ♥❤➜t n ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ♥➔♦ ❝â ❜✐➯♥ t♦➔♥ ❧➔ ♠➔✉ ①❛♥❤✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû t❛ ①➨t t❤✉➟t t♦→♥ ✭❚✮ s❛✉✿ ✣➛✉ t✐➯♥ t❛ tỉ ✶ ✤÷í♥❣ ❜➜t ❦ý ♠➛✉ ①❛♥❤❀ s❛✉ ✤â ❝á♥ tỉ t❤➯♠ ✤÷í♥❣ ♥➔♦ ✤â ♠➛✉ ①❛♥❤ ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♠✐➲♥ ♥➔♦ ❝â ❜✐➯♥ ♠➛✉ ①❛♥❤ t❤➻ t❛ ❧↕✐ tæ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ ✤â✱ ❝á♥ ♥➳✉ ❦❤ỉ♥❣ tỉ ✤÷đ❝ t❤➯♠ t❤➻ ❞ø♥❣ ❧↕✐✳ ●å✐ sè ✤÷í♥❣ ✤➣ tỉ ①❛♥❤ ✈➔♦ t❤í✐ ✤✐➸♠ ❞ø♥❣ ❧↕✐ ❧➔ k ✳ ◆➳✉ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ k ≥ n t❤➻ t❤✉➟t t♦→♥ ✭❚✮ ❧➔ ❤♦➔♥ ❤↔♦ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ P❤↔♥ ❝❤ù♥❣✿ ❚❛ ❣å✐ ✤÷í♥❣ ❝➜♠ ♥➳✉ ♥â ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ tỉ ♠➔✉ ①❛♥❤ ✈➔ ♥➳✉ tæ ♥â ♠➔✉ ①❛♥❤ t❤➻ s➩ ❝â ♠✐➺♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝â ❜✐➯♥ t♦➔♥ ♠➔✉ ①❛♥❤✳ ❚❛ q✉❛♥ k(k − 1) ✭✤✐➸♠ ♥ót ①❛♥❤❂ ✤✐➸♠ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ✷ ✤÷í♥❣ ①❛♥❤✮✳ ❈♦♥ sè ♥➔② ❜➡♥❣ ❝❤➦♥ tr➯♥ ❝õ❛ sè ✤÷í♥❣ ❝➜♠ ♠➔ s→t t❤➜②✿ ❙è ✤✐➸♠ ♥ót ①❛♥❤❂ ✺✸ t❛ ♠✉è♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ✤➙② r ỵ tữ ộ ữớ ữủ ợ út tr õ ộ út ữủ ợ ổ q✉→ ✷ ✤÷í♥❣ ❝➜♠ t❤➻ sè ✤÷í♥❣ ❝➜♠ ❦❤ỉ♥❣ ✈÷đt q✉→ ✷ ❧➛♥ sè ✤✐➸♠ ♥ót ①❛♥❤✱ tù❝ ❦❤ỉ♥❣ q✉→ 2ì k(k 1) = k(k 1) ữớ ▼ët ✤÷í♥❣ ❝➜♠ t↕♦ r❛ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝â ❜✐➯♥ t♦➔♥ ①❛♥❤ ✈➔ ❝â ✶ ✤♦↕♥ ❜✐➯♥ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤÷í♥❣ ❝➜♠ ✤â✳ ❚r➯♥ ♠✐➲♥ ✤â ❝â ✷ ✤➾♥❤ ♥ót ①❛♥❤ ợ ữớ t ①❛♥❤ ①✉➜t ♣❤→t tø ✷ ✤➾♥❤ ✤â ✈➲ ♣❤➼❛ ✷ tr ữớ t ợ ✤➾♥❤ ①❛♥❤ ❣➛♥ ❧✐➲♥ ❦➲ ❝â t❤➸ trò♥❣ ♥❤❛✉ t❤➔♥❤ ởt ữ t ợ ổ trũ ữ ộ ữớ ự ợ t t t ợ ữủ ộ út õ ✹ t✐❛ ①❛♥❤ ①✉➜t ♣❤→t✱ tù❝ ❧➔ ♥â t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ✹ t✐❛ ❧✐➯♥ ✤ỵ✐ ❝❤♦ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝➜♠ ✭❞➵ t❤➜② ✶ t✐❛ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ❧➔ t✐❛ ợ ữớ ũ ú ữ số t ợ số út ì4 số t ợ số ữớ ì2 r ợ số ữớ ≤ sè ♥ót ①❛♥❤ × = × sè ♥ót ①❛♥❤ = k(k + 1) = k − k ✳ ❱➟② ♥➳✉ n > k t❤➻ tr♦♥❣ sè n − k > k − k ✤÷í♥❣ ❝❤÷❛ tỉ ❝â ➼t ♥❤➜t ✶ ✤÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❜à ❝➜♠ ✈➔ t❛ ❝â t❤➸ tỉ ①❛♥❤ ✤÷í♥❣ ✤â✱ ✈ỉ ỵ t t ✭■▼❖ ✷✵✶✺✱ #1✮ ●å✐ V ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ V ❧➔ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ✷ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❜➜t ❦ý A, B V tỗ t tự C ∈ V s❛♦ ❝❤♦ CA = CB ✳ ❚❛ ♥â✐ r V ổ õ t ữ ổ tỗ t↕✐ ♠ët ❜ë ✹ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t A, B, C, P ∈ V s❛♦ ❝❤♦ P A = P B = P C ✳ ✐✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ n t tỗ t ởt t ủ V ❜➡♥❣ ❝â ✤ó♥❣ n ✤✐➸♠✳ ✐✐✳ ❱ỵ✐ ♥❤ú♥❣ n ≥ t tỗ t t ủ V ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❝â t➙♠ ✈ỵ✐ ✤ó♥❣ n ✤✐➸♠✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳➨t tø ♠ët sè ❣✐→ trà ♥❤ä ❝õ❛ n✿ 10 ❱ỵ✐ n = 3, ❞➵ t❤➜② V = {A, B, C} ❧➔ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ∆ABC ✤➲✉ ✈➔ ❦❤✐ ✤â V ❦❤æ♥❣ ❝â t➙♠✳ 20 ợ n = 4, tữỡ tỹ trữớ ủ tr t ❝â t❤➸ ❣❤➨♣ ✷ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ t❤➔♥❤ ❤➻♥❤ t❤♦✐ ✈➔ ❝â t➟♣ ❤đ♣ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② V ❝â t➙♠✿ BA = BC = BD ✈➔ DA = DB = DC ✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ V ỗ t õ õ t ❚❤➟t ✈➟②✱ ✹ ✤✐➸♠ ❧➟♣ t❤➔♥❤ ✻ ❝➦♣ ✤✐➸♠ ✱ ♠é✐ ❝➦♣ ❝â ➼t ♥❤➜t ✶ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝õ❛ ú số t ỵ rt tỗ t ➼t ♥❤➜t ✷ ❝➦♣ ✤✐➸♠ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ●å✐ ❤❛✐ ❝➦♣ ✤✐➸♠ ✤â ❧➔ (A1 , A2 ), (B1 , B2 ) ✈➔ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝❤✉♥❣ ❧➔ C ✳ ◆➳✉ t➜t ❝↔ A1 , A2 , B1 , B2 ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤➻ V ❝â ➼t ♥❤➜t ✺ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t C ổ ỵ ❝â ✶ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✭❦❤æ♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝↔ ✷ ✈➻ ♥➳✉ ✈➟② ✷ ❝➦♣ trò♥❣ ♥❤❛✉✮✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ A2 ≡ B1 ✳ ❑❤✐ ✤â CA1 = CA2 = CB1 = CB2 ✳ ❉♦ ✤â✱ C ❧➔ t➙♠ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❜ë ✸ ✤✐➸♠ A1 , A2 , B2 ✱ tù❝ ❧➔ V ❝â t➙♠✳ 30 ❱ỵ✐ n = 5, ♥➳✉ ❝â t➙♠ ✤✐➸♠ ♥❤÷ ❦❤✐ n = t❤➻ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ✷ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝â ❝ò♥❣ ✶ ✤➾♥❤✱ ❦❤ỉ♥❣ ❞➼♥❤ ✈➔♦ ♥❤❛✉✳ ❚❛ ✤÷đ❝ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔ ❝â t➙♠ ✈ỵ✐ ✺ ✤✐➸♠✳ ◆➳✉ t❛ ❦❤ỉ♥❣ ♠✉è♥ t➟♣ ❝â t➙♠✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ✺✺ tr♦♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ABCDE t❤➻ ✷ ✤➾♥❤ A, B ❝õ❛ AB ❝→❝❤ ✤➲✉ D ❝á♥ ✷ ✤➾♥❤ A, C ❝õ❛ AC ❝→❝❤ ✤➲✉ B ✳ ❚÷ì♥❣ tü ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❦❤→❝✱ ❞♦ ✤â✱ ✈ỵ✐ ABCDE ❧➔ ♥❣ơ ❣✐→❝ ✤➲✉ t➟♣ V = {A, B, C, D, E} ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â t➙♠✳ 40 ❱ỵ✐ n > 5✱ ❞ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ s✉② ❧✉➟♥ tr➯♥ t❛ ❝â ❣✐↔ t❤✉②➳t s❛✉✿ ❛✮ n t tỗ t t n ❜➡♥❣ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â t➙♠✳ ❜✮ ◆➳✉ n ❝❤➤♥ t❤➻ ụ tỗ t t n ữ t➟♣ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ ❝â t➙♠✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❛✮ ❝❤➾ ❝➛♥ sû ❞ư♥❣ n−❣✐→❝ ✤➲✉ ✈ỵ✐ n ❧➫✳ ❈❤ó þ r➡♥❣ ❦❤✐ n ❝❤➤♥ t➟♣ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ n−❣✐→❝ ✤➲✉ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ t➟♣ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ❜✮✱ ❦❤✐ n ợ ỡ t trữớ ❤ñ♣ n = ✈➔ t❤➯♠ ✈➔♦ ✤â ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝â ❝❤✉♥❣ ✶ ✤➾♥❤✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ①➨t 2m(2m − 1) = 2m2 − m ❝➦♣ ✤✐➸♠ ✭❦❤æ♥❣ s➢♣ t❤ù tü✮✳ ▼é✐ ❝➦♣ ✤✐➸♠ ❝â ➼t ♥❤➜t ✶ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✭❝→❝❤ ✤➲✉✮ tr♦♥❣ sè ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ V ✈➔ ✈➻ V ❝â 2m ✤✐➸♠ ♥➯♥ s➩ ❝â ✤✐➸♠ P ∈ V 2m2 − m ❧➔ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝õ❛ ➼t ♥❤➜t = m − ❝➦♣ ✤✐➸♠ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ 2m ❱➻ < ♥➯♥ t❤ü❝ r❛ P ♣❤↔✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝õ❛ ✭➼t ♥❤➜t✮ m ❝➦♣ ✤✐➸♠ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ◆➳✉ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ m ❝➦♣ ✤â ✤➲✉ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤➻ tê♥❣ ❝ë♥❣ ❝â 2m + = n + t P ổ ỵ ữ õ ❝➦♣ ✤✐➸♠ ❝â ❝❤✉♥❣ ✶ ✤✐➸♠✱ ✈➼ ❞ö ❝➦♣ (A, B) ✈➔ ❝➦♣ (B, c)✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â P A = P B = P C ✱ tù❝ P ❧➔ t➙♠ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❜ë ✤✐➸♠ (A, B, C)✳ n = 2m ≥ 4✿ V ❧➟♣ t❤➔♥❤ Cn2 = ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✽✳ ✭✻✹✱ ❬✶❪✮ ❈❤♦ ✹ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✱ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ❝ơ♥❣ ❝â ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❦❤æ♥❣√ t❤➸ ♣❤õ t➜t ❝↔ ✹ ✤✐➸♠ ➜② ❜ð✐ ♠ët ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ q✉→ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✾✳ ✭✻✻✱ ❬✶❪✮ ❈❤♦ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝ ỗ ữủ t ỗ trỏ ❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ ✶✱ ✤ỉ✐ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ ✈➔ ❝â t➙♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤❛ ❣✐→❝✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✶✵ trỏ õ ỗ t ợ ỗ s ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✵✳ ✭✻✼✱ ❬✶❪✮ ❇➯♥ tr♦♥❣ ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✸✺✱ ✤➦t ✺ t❛♠ ❣✐→❝✱ ♠é✐ t õ t ự r tỗ t↕✐ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ ❝❤✉♥❣ ❦❤æ♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ ✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✶✳ ✭ ❚❤➼ ❞ư ✹✶✱ ❬✶❪✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝â t❤➸ ❝❤✐❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❝➙♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❝➙♥ ✤æ✐ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✷✳ ✭ ❚❤➼ ❞ư ✹✹✱ ❬✶❪✮ ❛✳ ❈❤♦ ♠ët tí ❣✐➜② ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ ✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝â t❤➸ ❝➢t ✤÷đ❝ tø tí ❣✐➜② ✤â ✺ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➡♥❣ ✶✳ ❜✳ ❈❤♦ ♠ët tí ❣✐➜② ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ a✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ a ✤➸ ❝â t❤➸ ❝➢t ✤÷đ❝ tø tí ❣✐➜② ✤â ✺ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➡♥❣ ✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✸✳ ✭■▼❖ ✷✵✶✻✱ #6✱ ❇➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ ➳❝❤✮ ❈â N ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤æ✐ ♠ët ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❝â ✸ ✤♦↕♥ t ỗ q ữ tr ộ õ N − ✤✐➸♠ ♥ót ❝➢t ✈➔ ✷ ♥ót ✤➛✉ ✤✉ỉ✐✳ ❚❤➛② ▼✐♥❤ ❝❤ì✐ trá ♥❤÷ s❛✉✿ ✣➦t N ❝♦♥ ➳❝❤ ✈➔♦ N ✤✐➸♠ ♥ót ♥❣♦➔✐ ❝ò♥❣ ✭♥ót ✤➛✉ ✤✉ỉ✐✮ N t õ ộ rỗ t❤➛② ✈é t❛② N ❧➛♥✳ ▼é✐ ❧➛♥ ✈é t❛② t❤➻ tt ỗ tớ ụ tr t õ t ữợ ố ✤à♥❤ tø ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t ✤➳♥ ✤➛✉ ❜➯♥ ❦✐❛ tø ♥ót ✤❛♥❣ ✤ù♥❣ s❛♥❣ ♥ót t✐➳♣ t❤❡♦✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ ❛✮ ◆➳✉ N ❧➫ t❤➻ ❝â t❤➸ ✤➦t ➳❝❤ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ ♥❤↔② ♥❤÷ ✈➟② ❦❤ỉ♥❣ ❝â ❧➛♥ ♥➔♦ ❝â ✷ ❝♦♥ ➳❝❤ ❝ò♥❣ ♥❤↔② ✈➔♦ ✶ ♥ót✳ ❜✮ ◆➳✉ N ❝❤➤♥ t❤➻ ❞ò ✤➦t ➳❝❤ ❦✐➸✉ ❣➻ ❝ơ♥❣ ❝â ❧ó❝ ❝â ✷ ❝♦♥ ➳❝❤ ❝ò♥❣ ♥❤↔② ✈➔♦ ✶ ♥ót ð ♠ët ❧➛♥ ✈é t❛② ♥➔♦ ✤â✳ ✺✼ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✶✳ ◆❤➢❝ ❧↕✐ ✈➲ ♣❤➨♣ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ tữợ t ❜➔✐ t♦→♥ ❧→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ợ t q t ữủ t ♥❣♦➔✐ r❛ ❦❤æ♥❣ ❝á♥ ❦✐➸✉ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❑➳t q✉↔ ♥➔② ữủ tr tt ỹ t ỳ ủ ỵ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✻❪ ❝õ❛ ❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✳ ✸✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❦➳t q✉↔ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥✿ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜➡♥❣ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ tr➯♥ ❝→❝ ❧→t ♣❤➥♥❣✱ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ✤➦t r❛✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❤➟♥ t❤➜② ❝â ❝→❝ ữợ ự t t t q ❜➔✐ t♦→♥ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳ ✲ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ ❝→❝ ✤❛ ❞✐➺♥ ✤➲✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳ ✺✽ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ❱ô ❍ú✉ ❇➻♥❤ ✭✷✵✶✻✮✱ ♥ë✐✱ ❚õ s→❝❤ ❙♣✉t♥✐❦✳ ❍➻♥❤ ❤å❝ tê ❤ñ♣✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ q✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ P ỵ tt trữớ t ỹ tữợ ❚❤↕❝ s➽ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✸❪ ❱✐❦t♦r Pr❛s♦❧♦✈✱ ✭❚r❛♥s❧❛t❡❞ ❛♥❞ ❡❞✐t❡❞ ❜② ❉✐♠✐tr② ▲❡✐t❡s✮ ✭✶✾✽✾✮✱ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ P❧❛♥❡ ❛♥❞ ❙♦❧✐❞ ●❡♦♠❡tr②✱ ❱✳✶ P❧❛♥❡ ●❡♦♠❡tr②✱ ▼♦s❝♦✇✱ ◆❛✉❦❛✱ ❈❤❛♣t❡r ✻✱ ❈❤❛♣t❡r ✽✱ ❈❤❛♣t❡r ✷✺✱ ❈❤❛♣t❡r ✷✼✳ ❬✹❪ P❛✉❧ ❨✐✉ ✭✶✾✾✽✮✱ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ●❡♦♠❡tr②✱ ✭Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❱❡rs✐♦♥✮✱ ❉❡✲ ♣❛rt❡♠❡♥t ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❋❧♦r✐❞❛ ❆t❧❛t✐❝ ❯♥✐✈❡rs✐t②✳✭ ❈❤❛♣t❡r ✶✱ tr ợởũớủờốộ ẽờồũ ốỗ ữồũỷồúóợởỹớốờợõ õớũ ợ ỡồ ợởỡợóợợõ ẽờồũỷ ốỗ ùõốởỹớỷừ ìíỵãỵóãỵëü✲ íèêỵâ✱ ✃âàíò✱ ❮ỵìåð ✵✽✲✶✾✽✻✳ ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THẮM LÁT MẶT PHẲNG BỞI CÁC ĐA GIÁC ĐỀU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS
- Xem thêm -

Xem thêm: Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ), Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều (Luận văn thạc sĩ)

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay