Về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gian (Luận án tiến sĩ)

109 7 0
  • Loading ...
1/109 trang
Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/03/2019, 00:12

Về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gianVề đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gianVề đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gianVề đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gianVề đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gianVề đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gianVề đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gianVề đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gianVề đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gian BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN THẮNG VỀ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH VÀ CHỈNH HĨA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC BẬC NGUN VÀ BẬC PHÂN THỨ NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN THẮNG VỀ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH VÀ CHỈNH HĨA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC BẬC NGUYÊN VÀ BẬC PHÂN THỨ NGƯỢC THỜI GIAN CHUYÊN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 946 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1) PGS TS NGUYỄN VĂN ĐỨC 2) PGS TS ĐINH HUY HOÀNG Nghệ An - 2019 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số ký hiệu thường dùng luận án Lời nói đầu Chương Kiến thức sở 14 1.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh, đánh giá ổn định chỉnh hóa 14 1.2 Một số kết bổ trợ 15 Chương Đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian 2.1 Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 2.2 Các ví dụ 2.3 Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian 2.4 Chỉnh hóa phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian phương pháp Tikhonov có hiệu chỉnh 2.5 Kết luận Chương 18 18 42 50 57 61 Chương Đánh giá ổn định cho phương trình Bă urgers ngc thi gian 62 3.1 ỏnh giỏ n nh cho phng trỡnh Bă urgers ngc thi gian vi hệ số phụ thuộc thời gian 62 3.2 ỏnh giỏ n nh cho phng trỡnh Bă urgers ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian 69 3.3 Kết luận Chương 74 Chương Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian 4.1 Tính đặt chỉnh tốn chỉnh hóa 4.2 Tốc độ hội tụ 4.3 Ví dụ số 4.4 Kết luận Chương bậc phân thứ 75 75 78 86 95 Kết luận chung kiến nghị 96 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án 98 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Đức PGS TS Đinh Huy Hồng Tơi xin cam đoan cơng trình riêng Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa công bố từ trước đến Tác giả Nguyễn Văn Thắng LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Văn Đức PGS TS Đinh Huy Hoàng Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc người thầy mình: PGS TS Nguyễn Văn Đức PGS TS Đinh Huy Hoàng, người đặt toán định hướng nghiên cứu cho tác giả Các thầy hướng dẫn nhiệt tình động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Viện Sư phạm tự nhiên, Tổ mơn Giải tích, Phòng đào tạo Sau đại học phòng chức khác Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người bạn thân thiết sẻ chia, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nguyễn Văn Thắng MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN TT Các ký hiệu Giải thích ý nghĩa ký hiệu H ·, · L2 (0,1) A 10 A(t) D(A) D(A(t)) {φi }i≥1 {λi }i≥1 11 12 13 14 15 16 17 Ω Rn ut ux uxx C([0, T ], H) C ([0, T ], H) 18 19 20 U (t, s) Jα (g) v(t, g) 21 xn x Không gian Hilbert H Tích vơ hướng khơng gian Hilbert H Chuẩn không gian Hilbert H Chuẩn không gian L2 (0, 1) Tốn tử tuyến tính khơng bị chặn, tự liên hợp, xác định dương Toán tử phụ thuộc vào thời gian Miền xác định toán tử A Miền xác định toán tử A(t) Hệ sở trực chuẩn H Hệ giá trị riêng toán tử A hệ véctơ riêng sở trực chuẩn H Miền bị chặn không gian Rn Không gian thực n chiều Đạo hàm riêng cấp theo biến thời gian t Đạo hàm riêng cấp theo biến không gian x Đạo hàm riêng cấp hai theo biến không gian x Không gian hàm liên tục từ [0, T ] vào H Không gian hàm khả vi liên tục từ [0, T ] vào H Hệ tiến hóa sinh -A(t) Phiếm hàm Tikhonov với tham số hiệu chỉnh α Nghiệm phương trình parabolic nửa tuyến tính với kiện ban đầu v(0) = g Dãy {xn } hội tụ yếu tới x MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình parabolic bậc nguyên bậc phân thứ ngược thời gian dùng để mô tả nhiều tượng vật lý quan trọng Chẳng hạn, trình truyền nhiệt [43, 49], trình địa vật lý địa chất [22, 37, 58, 59], khoa học vật liệu [65], thủy động học [12], xử lý ảnh [15, 16, 48, 63], mô tả vận chuyển dòng chất lỏng mơi trường xốp [89] Ngồi ra, lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính dạng ut + A(t)u(t) = f (t, u(t)), dùng để mô tả số tượng vật lý quan trọng Chẳng hạn: a) f (t, u) = u b − c u , c > mơ hình sinh lý thần kinh hệ thống tế bào thần kinh lớn có tiềm hành động [38, 47, 67], b) f (t, u) = −σu/ + au + bu2 với σ, a, b > 0, động học enzyme [62], c) f (t, u) = −|u|p u, p f (t, u) = −up phản ứng nhiệt [62], d) f (t, u) = au − bu3 phương trình Allen-Cahn mơ tả q trình tách pha hệ thống hợp kim đa thành phần [6] phương trình GinzburgLandau siêu dẫn [39], e) f (t, u) = σu(u − θ)(1 − u)(0 < θ < 1) tốn dân số [62] Bên cạnh đó, dạng phương trỡnh Bă urgers ngc thi gian cng thng xuyờn c bắt gặp ứng dụng đồng hóa số liệu [4, 57, 69], q trình sóng phi tuyến, lý thuyết âm học phi tuyến hay lý thuyết nổ [64] ứng dụng điều khiển tối ưu [5] Các tốn nêu thường đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard [49, 75] Đối với lớp tốn ngược đặt khơng chỉnh, kiện cuối tốn thay đổi nhỏ dẫn đến tốn khơng có nghiệm có nghiệm lại cách xa nghiệm xác Vì vậy, việc đưa đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa phương pháp số hữu hiệu để tìm nghiệm gần cho tốn đặt khơng chỉnh vấn đề thời Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là:"Về đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc ngun bậc phân thứ ngược thời gian" Mục đích nghiên cứu Mục đích chúng tơi thiết lập kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho dạng phương trình parabolic bậc ngun bậc phân thứ ngược thời gian Đối tượng nghiên cứu Đối với phương trình parabolic bậc nguyên, chúng tụi trung nghiờn cu phng trỡnh kiu Bă urgers ngược thời gian, phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian Còn phương trình parabolic bậc phân thứ, chúng tơi tập trung nghiên cứu phương trình tuyến tính Phạm vi nghiên cứu Chúng tơi nghiên cứu đánh giá ổn định chỉnh hố cho phương trình parabolic bậc nguyên bậc phân thứ ngược thời gian Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp phương pháp lồi logarithm [2, 28, 32, 35], phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương [28, 30, 31, 32, 33], phương pháp chỉnh hoá Tikhonov [19, 33, 36, 75] phương pháp làm nhuyễn [20, 25, 26, 27, 29] Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án đạt số kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên phi tuyến phương trình parabolic bậc phân thứ tuyến tính Do đó, luận án góp phần làm phong phú thêm kết nghiên cứu lĩnh vực toán ngược tốn đặt khơng chỉnh Luận án làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh ngành toán Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Bài tốn đặt khơng chỉnh tốn ngược xuất từ thập niên 50 kỉ trước Các nhà toán học đề cập tới toán Tikhonov A N., Lavrent’ev M M., John J., Pucci C Ivanov V K Đặc biệt, vào năm 1963, Tikhonov A N đưa phương pháp chỉnh hóa mang tên ơng cho tốn đặt khơng chỉnh (xem [75]) Kể từ đó, tốn đặt khơng chỉnh toán ngược trở thành ngành riêng tốn vật lý khoa học tính tốn Cho H khơng gian Hilbert với tích vơ hướng ·, · chuẩn · Xét tốn tìm hàm u : [0, T ] → H cho  u + Au = f (t, u), < t ≤ T, t (1)  u(T ) − ϕ ≤ ε với A tốn tử tuyến tính khơng bị chặn tự liên hợp xác định dương không gian Hilbert H, ϕ thuộc H f : [0, T ] × H → H Đã có nhiều kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho tốn (1) trường hợp tuyến tính f ≡ [3, 8, 11, 43, 49], chẳng hạn phương pháp tựa đảo [40, 42], phương pháp phương trình Sobolev [21, 23, 41, 68], phương pháp chỉnh hóa Tikhonov [33, 75, 76], phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương [9, 28, 30, 31, 32, 33] phương pháp làm nhuyễn [25, 26, 27, 29] Tuy nhiên, toán phi tuyến, nhiều vấn đề cần quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn như, tìm đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình có hệ số phụ thuộc thời gian Vào năm 1994, Nguyễn Thành Long Alain Phạm Ngọc Định ([53]) xem xét tốn ngược cho phương trình parabolic nửa tuyến tính dạng (1) Bằng cách sử dụng nửa nhóm co liên tục mạnh sinh toán tử Aβ = −A(I + βA)−1 , β > 0, họ đạt đánh giá sai số kiểu logarithm (0, 1] nghiệm toán ban đầu nghiệm toán chỉnh hóa Vào năm 2007, 2009, Đặng Đức Trọng cộng ([77, 78]) xét toán (1) khơng gian chiều có dạng    u − uxx = f (x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ),   t (2) u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ (0, T ),     u(x, T ) − ϕ ≤ ε, ... Đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian 2.1 Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian. .. Chương Đánh giỏ n nh cho phng trỡnh Bă urgers ngc thi gian 62 3.1 Đánh giá ổn định cho phương trình Bă urgers ngc thi gian vi h s ph thuc thời gian 62 3.2 Đánh giá ổn nh cho. .. CHƯƠNG ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH VÀ CHỈNH HĨA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN Trong chương này, đưa kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian
- Xem thêm -

Xem thêm: Về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gian (Luận án tiến sĩ), Về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gian (Luận án tiến sĩ)

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay