Đang tải... (xem toàn văn)
các wavelet Haar là một chuỗi các chức năng hình vuông rescaled mà cùng nhau tạo thành một gia đình wavelet hoặc cơ sở. Phân tích Wavelet tương tự như phân tích Fourier ở chỗ nó cho phép một hàm mục tiêu trong một khoảng thời gian được biểu diễn dưới dạng cơ sở trực giao
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ LỜI MỞ ĐẦU Cuộc sống phát triển nhu cầu thơng tin người phong phú, dẫn đến phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật, loại hình thơng tin vơ tuyến, hình thức xử lý tín hiệu, đặc biệt công nghệ xử lý ảnh Vấn đề đặt yêu cầu ngày cao việc xử lý tín hiệu để đảm bảo vừa nén liệu, tiết kiệm dung lượng đường truyền tín hiệu, vừa đảm bảo loại trừ nhiễu tín hiệu có khả khơi phục lại tín hiệu với chất lượng tốt Có nhiều phương pháp xử lý tín hiệu với nhiều thuật tốn, biến đổi tốn học nghiên cứu Trong số đó, biến đổi Haar xem phép biến đổi mới, có nhiều tiềm năng, phát triển mạnh mẽ với ưu điểm vượt trội so với phép biến đổi truyền thống Haar cho phép phân tích tín hiệu miền thời gian tần số Do đó, biến đổi Haar ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, từ y sinh tới công nghệ xử lý ảnh Trong báo cáo này, em xin phép giới thiệu về:"Tìm hiểu phép biến đổi Haar, khảo sát, phân tích xây dựng ứng dụng phép biến đổi Haar xử lý ảnh” MỤC LỤC NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ .1 LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN PHÉP BIẾN ĐỔI HAAR 1.1.Tổng quan 1.2 Haar wavelet 1.3 Chức Haar hệ thống Haar 1.4 Ma trận Haar 1.5 Haar biến đổi 1.5.1 Giới thiệu 1.5.2 Thuộc tính .10 1.5.3 Haar biến đổi đảo ngược haar biến đổi .10 1.6 Biến đổi haar rời rạc 11 1.6.1 Chức biến đổi haar rời rạc .11 1.6.2 Biến đổi haar rời rạc 12 1.7 Ký haar biến đổi 13 1.8 Ứng dụng biến đổi haar 14 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI HAAR 15 Xây dựng ứng dụng 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO .19 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN PHÉP BIẾN ĐỔI HAAR 1.1.Tổng quan Trong toán học, wavelet Haar chuỗi chức "hình vng" rescaled mà tạo thành gia đình wavelet sở Phân tích Wavelet tương tự phân tích Fourier chỗ cho phép hàm mục tiêu khoảng thời gian biểu diễn dạng sở trực giao Trình tự Haar cơng nhận sở wavelet biết đến sử dụng rộng rãi ví dụ giảng dạy Các chuỗi Haar đề xuất vào năm 1909 Alfréd Haar Haar sử dụng hàm để đưa ví dụ hệ thống trực giao cho khơng gian hàm tích phân vng khoảng thời gian đơn vị [0, 1] Các nghiên cứu wavelet, chí thuật ngữ "wavelet", không đến sau Như trường hợp đặc biệt wavelet Daubechies , wavelet Haar gọi Db1 Haar wavelet wavelet đơn giản Những bất lợi kỹ thuật wavelet Haar khơng phải liên tục , khơng phải khác biệt Tuy nhiên, tài sản lợi cho việc phân tích tín hiệu với chuyển đổi đột ngột, chẳng hạn giám sát lỗi công cụ máy 1.2 Haar wavelet Chúng ta bắt đầu với hàm wavelet Alphré Haar (nhà toán học Hungary) giới thiệu năm 1910 Hình 1.2: Bốn hàm Haar wavelet Hàm Haar wavelet thứ gọi hàm scaling (scaling function), xác định sau: 1(t) (t) 1, t , Hàm Haar wavelet thứ hai gọi wavelet mẹ (mother wavelet): Giá trị hàm w(t) điểm rời rạc không quan trọng lắm, tương tự trườnghợp khai triển Fourier ta quy ước cho w(t) = 0, điểm t=0,1/2,1 Hàm Haar wavelet thứ ba hàm Haar wavelet thứ tư dạng nén hàm wavelet mẹ,được gọi hàm wavelet (daughter wavelet), xác định sau: Hàm scaling j(t) wavelet w(t) mở rộng lên toàn tập số thực R cách cho nhận giá trị bên ngồi khoảng bản: Khi ta có biểu diễn 1.3 Chức Haar hệ thống Haar Đối với cặp n , k số nguyên Z , hàm Haar ψ n , k định nghĩa dòng thực R theo cơng thức Hàm hỗ trợ khoảng thời gian mở phải , n , k = [ k 2 - n , ( k +1) - n ) , tức , biến ngồi khoảng thời gian Nó có tích phân chuẩn không gian Hilbert L ( R ) , Các hàm Haar trực giao hai chiều, δ i , j đại diện cho đồng Kronecker Đây lý cho trực giao: hai khoảng hỗ trợ In1,k1 In2,k2 không nhau, sau chúng bị phân tách, người khác, nhỏ hai hỗ trợ, nói In1,k1, chứa phần nửa khoảng thời gian khác, hàm khơng đổi Trong trường hợp này, sản phẩm hai hàm Haar hàm hàm Haar đầu tiên, sản phẩm có tích phân=0 Các hệ thống Haar dòng thực tập hợp hàm Nó hồn thành L ( R ): Hệ thống haar đường thẳng sở trực giao L ( R ) 1.4 Ma trận Haar Ma trận Haar × liên kết với Haar wavelet Sử dụng biến đổi wavelet rời rạc , người ta biến đổi chuỗi (a 0,a1, …,a2n,a2n+1) chí độ dài thành chuỗi vector hai thành phần ((a0,a1),…, (a2n,a2n+1)) Nếu nhân phải vector với ma trận H2, người ta nhận kết ((s0,d0),…,(sn,dn)) giai đoạn biến đổi Haar-wavelet nhanh Thông thường phân tách chuỗi s d tiếp tục với việc chuyển đổi chuỗi s Trình tự s thường gọi phần trung bình , d gọi phần chi tiết Nếu có chuỗi có độ dài bội số bốn, ta tạo khối gồm phần tử biến đổi chúng theo cách tương tự với ma trận Haar × kết hợp hai giai đoạn biến đổi Haar-wavelet nhanh.So sánh với ma trận Walsh , ma trận / -1 khơng địa hố.Nói chung, ma trận Haar 2N × 2N bắt nguồn phương trình sau Ở đâu A ma trận m × n B ma trận ap × q, biểu thị Ma trận Haar điểm khơng chuẩn hóa H8 hiển thị bên Lưu ý rằng, ma trận ma trận Haar khơng chuẩn hóa Ma trận Haar yêu cầu biến đổi Haar cần chuẩn hóa Từ định nghĩa ma trận Haar H, người ta quan sát điều đó, khơng giống biến đổi Fourier, H có phần tử thực (ví dụ, 1, -1 0) khơng đối xứng Lấy ma trận Haar điểm H8làm ví dụ Hàng H8 đo lường giá trị trung bình hàng thứ hai H8 đo thành phần tần số thấp vector đầu vào Hai hàng nhạy cảm với nửa thứ hai véc tơ đầu vào tương ứng, tương ứng với thành phần tần số vừa phải Bốn hàng lại nhạy cảm với bốn phần vector đầu vào, tương ứng với thành phần tần số cao 1.5 Haar biến đổi Biến đổi Haar đơn giản biến đổi wavelet Sự biến đổi nhân chéo hàm với Haar wavelet với thay đổi trải dài khác nhau, giống phép biến đổi Fourier nhân chéo hàm chống lại sóng sin với hai pha nhiều đoạn trải dài 1.5.1 Giới thiệu Biến đổi Haar chức biến đổi lâu đời nhất, đề xuất vào năm 1910 nhà toán học người Hungary Alfréd Haar Nó tìm thấy hiệu ứng dụng nén tín hiệu hình ảnh kỹ thuật điện máy tính cung cấp cách tiếp cận đơn giản hiệu mặt tính tốn để phân tích khía cạnh địa phương tín hiệu Biến đổi Haar bắt nguồn từ ma trận Haar Một ví dụ ma trận chuyển đổi Haar 4x4 hiển thị bên Biến đổi Haar coi q trình lấy mẫu hàng ma trận biến đổi hoạt động mẫu có độ phân giải tốt mịn hơn.So sánh với biến đổi Walsh , / -1, không địa hố 1.5.2 Thuộc tính Biến đổi Haar có thuộc tính sau: Khơng cần nhân Nó u cầu bổ sung có nhiều phần tử có giá trị khơng ma trận Haar, thời gian tính tốn ngắn Nó nhanh biến đổi Walsh , có ma trận gồm −1 Độ dài đầu vào đầu giống Tuy nhiên, độ dài phải sức mạnh 2, tức N=2k,k € N Nó sử dụng để phân tích tính cục tín hiệu Do thuộc tính trực giao hàm Haar, thành phần tần số tín hiệu đầu vào phân tích 1.5.3 Haar biến đổi đảo ngược haar biến đổi Biến Haar y n hàm n-input x n Yn=Hn*Xn Ma trận biến đổi Haar thực trực giao Do đó, phép biến đổi Haar nghịch đảo bắt nguồn phương trình sau Ở đâu I ma trận nhận dạng Ví dụ, n = Do đó, biến đổi Haar nghịch đảo Xn=HT*yn 10 Ví dụ: Hệ số biến đổi Haar tín hiệu = = điểm x4=[1,2,3,4]T tìm thấy Tín hiệu đầu vào sau tái tạo hoàn toàn phép biến đổi Haar nghịch đảo 1.6 Biến đổi haar rời rạc 1.6.1 Chức biến đổi haar rời rạc Các hàm Haar rời rạc xác định hàm cách lấy mẫu hàm Haar n điểm Ngoài ra, chúng coi độc lập tập hợp chức cụ thể không gian Hilbert hàm nhóm dyitic G 2n theo thứ tự 2n xác định tương tự với hàm Haar Nhớ lại nhóm dyitic đơn hàng 2n sản phẩm trực tiếp n nhóm cyclic Các hàm Haar rời rạc biểu diễn cách thuận tiện dạng hàng (2nn) ma trận biểu thị ma trận Haar Các ma trận Haar xem xét theo thứ tự tự nhiên xếp theo thứ tự hàng Các hàm Haar rời rạc bậc n biểu diễn (2 nn) ma trận H8(n), theo thứ tự xếp đưa quan hệ lặp lại sau đây: 11 Và Iq ma trận nhận dạng thứ tự q Ma trận Haar theo thứ tự tương ứng với thứ tự tự nhiên Hadamard ma trận Walsh, bắt nguồn theo cách sau Quy trình đảo ngược bit áp dụng cho biểu thức nhị phân số hàng ma trận Haar xếp Sau đó, số xếp theo thứ tự ngày tăng giá trị tương đương thập phân chúng tập hợp Thủ tục biểu thị thủ tục đảo ngược bit zonal 1.6.2 Biến đổi haar rời rạc Một đặc tính bật hàm Haar trừ hàm haar (0, t), hàm Haar thứ i tạo hạn chế hàm j (1) - thứ từ không, phép nhân với √2 chia tỷ lệ khoảng thời gian [0,1] Các thuộc tính đưa thơng báo quan tâm hàm Haar, chúng liên quan mật thiết đến lý thuyết wavelet Do đó, hàm Haar cặp xung hình chữ nhật lẻ, wavelet đơn giản cuối Động lực cho việc sử dụng biến đổi wavelet rời rạc thu thông tin phân biệt đối xử cách cung cấp độ phân giải ff di ff phần ff erent mặt phẳng thời gian tần số Biến đổi Wavelet cho tên miền không gian tên miền cấu trúc khơng tìm thấy kết nối với nội dung thời gian nội phổ Các phương thức Wavelet kết nối chặt chẽ với sở cổ điển hàm Haar; mở rộng giãn nở wavelet tạo hàm sở Haar Gọi Ψ: R → R, hàm Haar wavelet xác định theo công thức: Bất kỳ hàm Haar (ngoại trừ hàm haar (0, t)) tạo cơng thức: Ψj i (t) = √2jΨ (2jt − i), i = 0,1, , 2j −1 j = 0,1, , log2 N −1 Hằng số √2j chọn cho tích vô hướng = 1, Ψj i ∈ L2 (R) Ifone xem xét hàm wavelet khoảng thời gian khác với [0,1], số chuẩn hóa khác Ví dụ: Ψ0 = haar (1, t), Ψ1 = haar (2, t), Ψ1 = haar (3, t),Ψ 20 = h a ar (4, t), Ψ2 = haar (5, t), Ψ2 = haar (6, t), Ψ2 = haar (7, t) Nói chung Ψj i = haar (2j + i, t) Từ ví dụ này, hàm Ψj i (t) trực giao với Do đó, thu khoảng tuyến tính khơng gian vectơ Wj = span {Ψj i} i = 0, , 2j −1 Một tập hợp hàm độc lập tuyến tính {Ψj i (t)} i = 0, , 2j −1 bao trùm Wj gọi sóng 12 Gọi Φ: R → R, hàm Haar mở rộng xác định theo công thức: Tương tự thuộc tính hàm wavelet, hàm rộng xác định họ hàm: Φj i (t) = √2jΦ (2jt − i), i = 0,1, , 2j −1 j = 0,1, , log2 N −1 Hằng số √2j chọn cho tích vơ hướng = 1, Φj i ∈ L2 (R) Trong phân tích đa biến, sở Haar có tính chất quan trọng: Vj = Vj − ⊕ Wj – (trong ⊕ viết tắt tính trực giao khơng gian Vj Wj).Khơng gian vectơ Wj coi bổ sung trực giao Vj Vj + Nói cách khác, để Wj khơng gian tất hàm Vj + 1, trực giao với tất hàm Vj Do đó, hàm sở Ψj i Wj với hàm sở Φj i dạng Vj sở cho Vj + hàm sở Ψj i Wj trực giao với hàm sở Φj i Vj Từ đặc tính hàm Haar, mơ tả trên, sau wavelet thu hẹp (giảm theo tỷ lệ) lũy thừa hai Mỗi wavelet nhỏ sau dịch gia số với chiều rộng nó, cho hồn chỉnh wavelet quy mơ hồn tồn bao trùm khoảng thời gian Từ phương trình đề cập, người ta kết luận rằng, wavelet thu nhỏ lại theo lũy thừa 2, biên độ nhân lên lũy thừa √2 1.7 Ký haar biến đổi Đề cập đến bước thuật toán tính tốn nhanh cho phép biến đổi Haar, biến Haar ký giới thiệu tương tự với biến đổi ký hiệu bắt nguồn từ phép biến đổi Walsh nhanh Bên cạnh tính tốn dấu Haar chuyển tiếp nghịch đảo cách sử dụng biểu đồ nhanh, biến đổi tính tốn trực tiếp từ định nghĩa đệ quy liên quan đến liệu biến đổi biến miền Nhiều thuộc tính phổ Haar ký tương tự với đặc trưng phổ Walsh ký hiệu Các ưu điểm tính tốn phổ Haar so với Walsh mở rộng đến biến đổi ký hiệu tương ứng chúng Do đó, thuận lợi từ quan điểm tính toán để sử dụng phép biến Haar ký hiệu, nơi biến đổi ký hiệu Walsh sử dụng, tức là, để chuyển đổi phân tách chức thử nghiệm mạch logic Bên cạnh ứng dụng thiết kế logic, biến đổi sử dụng có nhu cầu mã hóa vectơ nhị phân / ternary vào miền phổ kích thước Một ứng dụng mã hóa bảo mật hệ thống truyền thơng 13 1.8 Ứng dụng biến đổi haar Do yêu cầu tính tốn thấp, phép biến đổi Haar sử dụng chủ yếu để nhận dạng mẫu xử lý ảnh Do đó, việc xử lý tín hiệu hình ảnh hai chiều vùng ứng dụng hiệu biến đổi Haar cấu trúc giống wavelet chúng Trong khu vực này, thường báo cáo hệ thống wavelet trực giao đơn giản tạo từ hàm Haar wavelet Hơn nữa, wavelet coi tổng quát hóa hàm Haar biến đổi Biến đổi phù hợp công nghệ truyền thơng để mã hóa liệu, ghép kênh kỹ thuật số Ví dụ, việc áp dụng biến đổi Haar khơng chuẩn hóa hệ thống ghép kênh phân chia Nền kinh tế băng thông cho kênh kỹ thuật số ghép kênh dựa biến đổi Haar trình bày Đối với ứng dụng thời gian thực, chip Haar nhanh dựa phần cứng phát triển Trong Ref, khái quát hóa chức biến đổi Haar sử dụng xử lý lời nói kỹ thuật số với ứng dụng thiết bị máy tính điều khiển giọng nói robot Hệ thống điều khiển dựa phổ Haar cho máy bay quân thảo luận Ref Các ứng dụng Haar biến đổi kiểm sốt thơng tin liên lạc trình bày Ref Trong Ref, dạng khác hàm Haar sử dụng tính tốn gần hàm phân tích Một thảo luận ngắn gọn ứng dụng khác nhau, việc sử dụng hàm Haar Walsh có số ưu điểm so với biến đổi Fourier, đưa Ref 14 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI HAAR Xây dựng ứng dụng Máy ảnh đại có khả tạo hình ảnh với độ phân giải phạm vi hàng chục megapixel Những hình ảnh cần phải nén trước lưu trữ chuyển Biến đổi Haar sử dụng để nén ảnh Ý tưởng chuyển hình ảnh thành ma trận phần tử ma trận đại diện cho điểm ảnh hình ảnh Ví dụ, ma trận 256 × 256 lưu cho hình ảnh 256 × 256 Nén ảnh JPEG liên quan đến việc cắt ảnh gốc thành × ảnh phụ Mỗi hình ảnh phụ ma trận × Khi phép biến đổi Haar tính tốn lượng liệu chuyển đến góc bên trái Hình cho thấy hình ảnh Lena ban đầu sau biến đổi Haar wavelet Hình 2.1: ảnh lena ban đầu 15 Hình 2.2: ảnh lena sau lần biến đổi Haar Sau hai biến đổi Haar wavelet: Hình 2.3: ảnh lena sau hai lần biến đổi Haar 16 Sau ba biến đổi Haar wavelet: Hình 2.4: ảnh lena sau ba lần biến đổi Haar Cuối sau bốn lần biến đổi Haar wavelet: Hình 2.5: ảnh lena sau bốn lần biến đổi Haar Sau lần phép biến đổi thực hiện, kích thước hình vng chứa thơng tin quan giảm xuống theo hệ số 17 KẾT LUẬN Sau hồn thành đề tài “Tìm hiểu phép biến đổi Haar, khảo sát, phân tích xây dựng ứng dụng phép biến đổi Haar xử lý ảnh”, chúng em học hỏi thêm nhiều điều bổ ích khơng kiến thức học lớp mà có kiến thức thực tiễn Trong trình thực đề tài chúng em rút nhiều kinh nghiệm quý báu cho thân, nhận thấy thiếu sót kiến thức kịp thời trau dồi bù đắp phần thiếu sót học tập ghế nhà trường Đề tài giúp chúng em nâng cao kinh nghiệm kiến thức chuyên môn Chúng em xin cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình thầy Lã Quang Trung giúp chúng em hoàn thành đề tài Chúng em hy vọng thầy bạn có thêm nhiều ý kiến đóng góp để đề tài hồn thiện tốt 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aizenberg NN, Phó chủ tịch Rudko, Sisuev EV Chức Haar ánh xạ rời rạc Tehn Kibernetika 1975, 6: 86–94 (bằng tiếng Nga) [2] Besslich PhW, Trachtenberg LA Biến đổi dấu hiệu: biến đổi phi tuyến tính khơng đổi với hệ số lượng tử Trong: Moraga C, biên tập viên Lý thuyết ứng dụng kỹ thuật quang phổ Đại học Dortmund Press; Tháng 10 năm 1988 [3] Beauchamp KG Các ứng dụng Walsh hàm liên quan với phần giới thiệu lý thuyết New York: Báo chí học thuật; 1984 [4] Boiko LL Tổng quát Fourier – Haar biến đổi nhóm Abelian Trong: Yaroslavsky LP, biên tập viên Xử lý tín hiệu số ứng dụng Moscow: Nauka; 1981 p 12–22 (bằng tiếng Nga) 5] Buron AM, Michell JA, Sloana M Chip đơn nhanh Haar biến đổi với tốc độ megahertz Trong: Moraga C, biên tập viên Lý thuyết ứng dụng kỹ thuật quang phổ Đại học Dortmund Press; Tháng 10 năm 1988, tr 8–17 19