1 UNIVERSITE DE NICE–SOPHIA ANTIPOLIS – UFR Sciences Ecole Doctorale STIC THÈSE pour obtenir le titre de Docteur en Sciences de l’UNIVERSITE de Nice–Sophia Antipolis Discipline : Mathématiques appliquées et applications des mathématiques présentée et soutenue le Décembre 2005 par Marc POUGET Geometry of surfaces : from the estimation of local differential quantities to the robust extraction of global differential features Thèse dirigée par Frédéric CAZALS et préparée l’INRIA Sophia Antipolis, projet GEOMETRICA Rapporteurs : M Jean-Marie MORVAN, Professeur (Lyon) M Konrad POLTHIER, Directeur de recherche (Berlin) Jury : M Nicholas AYACHE, Directeur de recherche INRIA, Président du jury M Frédéric CAZALS, Chargé de recherche INRIA, Directeur de thèse M Peter GIBLIN, Professeur (Liverpool) M Jean-Marie MORVAN, Professeur (Lyon) M Sylvain PETITJEAN, Chargé de recherche LORIA M Konrad POLTHIER, Directeur de recherche (Berlin) M Jean-Philippe THIRION, Quantificare, Membre invité UNIVERSITE DE NICE–SOPHIA ANTIPOLIS – UFR Sciences Ecole Doctorale STIC THÈSE pour obtenir le titre de Docteur en Sciences de l’UNIVERSITE de Nice–Sophia Antipolis Discipline : Mathématiques appliquées et applications des mathématiques présentée et soutenue le Décembre 2005 par Marc POUGET Géométrie des surfaces : de l’estimation des quantités différentielles locales l’extraction robuste d’éléments caractéristiques globaux Thèse dirigée par Frédéric CAZALS et préparée l’INRIA Sophia Antipolis, projet GEOMETRICA Rapporteurs : M Jean-Marie MORVAN, Professeur (Lyon) M Konrad POLTHIER, Directeur de recherche (Berlin) Jury : M Nicholas AYACHE, Directeur de recherche INRIA, Président du jury M Frédéric CAZALS, Chargé de recherche INRIA, Directeur de thèse M Peter GIBLIN, Professeur (Liverpool) M Jean-Marie MORVAN, Professeur (Lyon) M Sylvain PETITJEAN, Chargé de recherche LORIA M Konrad POLTHIER, Directeur de recherche (Berlin) M Jean-Philippe THIRION, Quantificare, Membre invité Remerciements Je tiens remercier en premier lieu Frédéric Cazals, mon directeur de thèse, pour sa disponibilité et sa motivation communicative Je remercie les rapporteurs et les membres du jury d’avoir accepté de relire avec attention ce document Un grand merci tous les membres de l’équipe Géométrica pour leur accueil, leur aide et leur soutien pendant ces trois années passées Sophia Merci également tout ceux avec qui j’ai pu travailler en particulier dans les équipes Coprain, Galaad et Salsa Enfin, je remercie Nelly et ma famille qui me soutiennent et me permettent de garder confiance en moi "– Vous savez, me dit-il, les Vikings qui avaient sillonné les mers et découvert l’Amérique, c’est un mythe allégorique Les vrais Vikings sont ceux qui traversent des océans d’angoisse et découvrent des terres nouvelles Vous êtes un Viking, Rodolphe Il m’appelait Rodolphe parce qu’il me connaissait déjà – Qu’est-ce qu’il y a de vrai découvrir? – Les seules réponses possibles ce sont les questions, Maurice Les vrais Vikings, ce sont les questions Les réponses, c’est ce que les Vikings se chantent pendant la traversée pour se donner du courage." Pseudo, Emile Ajar À la mémoire de Laurent "Je ne savais pas encore que l’incompréhension va toujours plus loin que tout le savoir, plus loin que le génie, et que c’est toujours elle qui a le dernier mot Le regard de mon frère est beaucoup plus près de la vérité qu’Einstein." Pseudo, Romain Gary Contents Thesis overview 1.1 Geometry of surfaces 1.1.1 Surface representations 1.1.2 Geometry and topology of surfaces : smooth versus discrete 1.2 Estimation geometric properties : local and global aspects 1.2.1 Estimation of local differential quantities 1.2.2 Estimation of global differential properties, the example of ridges 1.2.3 Applications 1.3 Outline and contributions 1.3.1 Differential Topology and Geometry of Smooth Embedded Surfaces: Selected Topics 1.3.2 Estimating Differential Quantities using Polynomial fitting of Osculating Jets 1.3.3 Topology driven algorithms for ridge extraction on meshes 1.3.4 The implicit structure of ridges of a smooth parametric surface 1.3.5 Topologically certified approximation of umbilics and ridges on polynomial parametric surfaces 13 13 13 14 16 16 17 18 19 19 19 20 20 Résumé de la thèse 2.1 Géométrie des surfaces 2.1.1 Représentations de surfaces 2.1.2 Géométrie et topologie des surfaces: lisse versus discret 2.2 Estimation des propriétés géométriques: aspects locaux et globaux 2.2.1 Estimation des quantités différentielles locales 2.2.2 Estimation des propriétés différentielles globales, l’exemple des ridges 2.2.3 Applications 2.3 Plan de la thèse et contributions 2.3.1 Topologie et géométrie différentielles des surfaces lisses plongées: éléments choisis 2.3.2 Estimation des quantités différentielles par ajustement polynomiale des jets osculateurs 2.3.3 Algorithmes guidés par la topologie pour l’extraction des ridges sur un maillage 2.3.4 La structure implicite des ridges d’une surface paramétrée 2.3.5 Approximation topologique certifiée des ombilics et des ridges d’une surface polynomiale paramétrée 2.4 Conclusion 23 23 23 24 26 28 28 30 30 30 30 31 32 Differential Topology and Geometry 3.1 Introduction 3.1.1 Motivations for a geometric and topological analysis 3.1.2 Chapter overview 3.2 The Monge form of a surface 3.2.1 Generic surfaces 3.2.2 The Monge form of a surface 3.3 Umbilics and lines of curvature, principal foliations 3.3.1 Classification of umbilics 3.3.2 Principal foliations 3.4 Contacts of the surface with spheres, Ridges 3.4.1 Distance function and contact function 37 37 37 38 38 38 38 40 40 41 42 43 21 32 32 CONTENTS 10 3.5 3.6 3.7 3.4.2 Generic contacts between a sphere and a surface 3.4.3 Contact points away from umbilics 3.4.4 Contact points at umbilics 3.4.5 Umbilic classification in the complex plane 3.4.6 Summary of the global picture of ridges and umbilics on a generic surface 3.4.7 Illustrations Medial axis, skeleton, ridges 3.5.1 Medial axis of a smooth surface 3.5.2 Medial axis and ridges Topological equivalence between embedded surfaces 3.6.1 Homeomorphy, isotopy, ambient isotopy 3.6.2 Geometric conditions for isotopy Conclusion Estimating Differential Quantities 4.1 Introduction 4.1.1 Estimating differential quantities 4.1.2 Contributions and chapter overview 4.2 Geometric pre-requisites 4.2.1 Curves and surfaces, height functions and jets 4.2.2 Interpolation, approximation and related variations 4.2.3 Contributions revisited 4.3 Numerical pre-requisites 4.3.1 Interpolation 4.3.2 Least square approximation 4.3.3 Numerical Issues 4.4 Surfaces 4.4.1 Problem addressed 4.4.2 Polynomial fitting of the height function 4.4.3 Influence of normal accuracy on higher order estimates 4.5 Plane Curves 4.5.1 Problem addressed 4.5.2 Error bounds for the interpolation 4.6 Algorithm 4.6.1 Collecting N neighbors 4.6.2 Solving the fitting problem 4.6.3 Retrieving differential quantities 4.7 Experimental study 4.7.1 Convergence estimates on a graph 4.7.2 Illustrations 4.8 Conclusion 43 44 46 47 48 49 50 50 51 52 52 53 54 55 55 55 56 56 56 58 59 59 59 60 60 61 61 62 64 65 65 65 66 66 66 67 67 67 68 74 Ridge extraction on meshes 5.1 Introduction 5.1.1 Ridges of a smooth surface 5.1.2 Previous work 5.1.3 Contributions and chapter overview 5.2 Ridge topology and orientation issues 5.2.1 Problem addressed 5.2.2 Orientation and crossings 5.2.3 Gaussian extremality 5.2.4 Acute rule 5.3 A generic algorithm 5.3.1 Compliant triangulations 5.3.2 Generic algorithm 5.4 A Heuristic to process a triangle mesh 5.4.1 Computing the Monge coefficients using polynomial fitting 75 75 75 76 77 77 77 78 78 79 79 79 80 82 82 122 CHAPTER TOPOLOGY OF RIDGES ON POLYNOMIAL PARAMETRIC SURFACES 7.10 Conclusion This chapter develops two algorithms to investigate the ridges of parametric algebraic surfaces The first one reports a topologically certified approximation of the ridges, and is the first one to achieve such a guarantee For the practical cases where the resolution of the systems characterizing singular and critical points cannot be performed, the second one computes a certified plot at any fixed resolution These algorithms are computationally demanding in terms of algebra They are in a sense complementary to the heuristic ones developed in chapter 5, which are working directly on a triangulation of the surface, and provide a fast way to report non certified results The method developed for the computation of the topology of the ridges can be generalized for other algebraic curves It gives an alternative to usual algorithms based on the CAD Acknowledgments Jean-Pierre Merlet is acknowledged for fruitful discussions 7.11 APPENDIX: ALGEBRAIC PRE-REQUISITES 123 7.11 Appendix: Algebraic pre-requisites In this section, we summarize some basic results about Gröbner bases and their applications to solving zerodimensional systems (systems with a finite number of complex roots) The reader may refer to [CLO92],[BPR03] Lets denote by Q[X1 , , Xn ] the ring of polynomials with rational coefficients and unknowns X1 , , Xn and S = {P1, , Ps } any subset of Q[X1 , , Xn ] A point x ∈ Cn is a zero of S if Pi (x) = ∀i = s The ideal I = P1 , , Ps generated by P1 , , Ps is the set of polynomials in Q[X1 , , Xn ] constituted by all the combinations ∑Rk=1 PkUk with Uk ∈ Q[X1 , , Xn ] Since every element of I vanishes at each zero of S, we denote by V(S) = V(I) = {x ∈ Cn | p(x) = ∀p ∈ I} (resp VR (S) = VR (I) = V(I) Rn ) the set of complex (resp real) zeroes of S 7.11.1 Gröbner bases A Gröbner basis of I is a computable generator set of I with good algorithmical properties (as described below) and defined with respect to a monomial ordering In this paper, one will use the following orderings: • lexicographic order : (Lex) β X1α1 · · Xnαn