Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Tổ hợp và Số phức"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP VÀ SỐ PHỨC Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 Tổ hợp và số phức Ví dụ 1: (Đề thi đại học Môn Toán khối A năm 2012): Cho n là số nguyên dơng thoả mãn n 1 3 n n 5C C . = Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức Niuton của n 2 nx 1 , x 0. 14 x ữ Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Sử dụng điều kiện n 1 3 n n 5C C = để tìm đợc giá trị của n. Bớc 2: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Niuton. Bớc 3: Thiết lập gdk cho số hạng chứa x 5 . Bớc 4: Kết luận. lời giải chi tiết: Ta có biến đổi: n 1 3 n n 5C C = n(n 1)(n 2) 5n 6 = n = 7, vì n nguyên dơng. Khi đó, ta đợc: n 7 2 2 nx 1 x 1 14 x 2 x = ữ ữ 7 k k 2 7 k 7 k 0 x 1 C 2 x = = ữ ữ k 7 k 14 3k 7 7 k k 0 C ( 1) x 2 = = Số hạng chứa x 5 tơng ứng với: 14 3k = 5 k = 3. Do đó, số hạng cần tìm là 3 3 5 5 7 7 3 C 35 ( 1) x x . 2 16 = Ví dụ 2: (Đề thi đại học Môn Toán khối B năm 2012): Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh đợc gọi có cả nam và nữ. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Việc tính xác suất của biến cố A đợc thực hiện theo các bớc: Bớc 1. Thực hiện hai phép đếm: 2 Đếm số phần tử của không gian mẫu , tức là đếm số kết quả có thể của phép thử T. Cụ thể, ở đây là "Số cách để chọn 4 HS từ tổng 15 + 10 = 25 HS. Đếm số phần tử của tập A , tức là đếm số kết quả thuận lợi cho A. Cụ thể, ở đây ta sẽ có ba trờng hợp: Trờng hợp 1: Có 1 nam và 3 nữ. Trờng hợp 2: Có 2 nam và 2 nữ. Trờng hợp 3: Có 3 nam và 1 nữ. Bớc 2. Sử dụng công thức A P(A) . = Cách 2: Sử dụng định lí: Định lí: Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối A là: P( A ) = 1 P(A). Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1. Thực hiện hai phép tính xác suất: Xác suất P 1 chọn 4 học sinh không có nam. Xác suất P 2 chọn 4 học sinh không có nữ. Bớc 2. Sử dụng công thức P = 1 (P 1 + P 2 ). lời giải chi tiết: Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Số cách chọn 4 học sinh trong lớp là: 4 25 C 12650.= Số cách chọn 4 học sinh trong lớp có cả nam và nữ bao gồm: Trờng hợp 1: Có 1 nam và 3 nữ 1 3 15 10 C .C 1800.= Trờng hợp 2: Có 2 nam và 2 nữ 2 2 15 10 C .C 4725.= Trờng hợp 3: Có 3 nam và 1 nữ 3 1 15 10 C .C 4550.= Vậy, số cách chọn 4 học sinh trong lớp có cả nam và nữ bằng: 1800 + 4725 + 4550 = 11075. Suy ra, xác suất để 4 học sinh đợc gọi có cả nam và nữ là 11075 433 P . 12650 506 = = Cách 2: Ta lần lợt: Xác suất chọn 4 học sinh không có nam là: 4 10 1 4 25 C 21 P . C 1265 = = Xác suất chọn 4 học sinh không có nữ là: 4 15 2 4 25 C 273 P . C 2530 = = 3 Suy ra, xác suất để 4 học sinh đợc gọi có cả nam và nữ là: P = 1 (P 1 + P 2 ) 433 . 506 = Ví dụ 3: (Đề thi đại học Môn Toán khối B.b năm 2009): Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phơng trình 2 z 2 3iz 4 0. = Viết dạng lợng giác của z 1 và z 2 . Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1. Tìm nghiệm của phơng trình bằng việc sử dụng "Phơng pháp giải phơng trình bậc hai với hệ số phức". ở đây, ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Sử dụng phép tính và tính căn bậc hai của số phức. Cách 2: Sử dụng các phép biến đổi đại số. Bớc 2. Sử dụng "Phơng pháp chuyển số phức z = a + bi về dạng lợng giác"bằng phép biến đổi: 2 2 2 2 2 2 1 a b z i a b a b a b = + ữ + + + = ( ) 2 2 1 cos i.sin a b + + . lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng: ( ) 2 z 3i 1 0 = ( ) 2 z 3i 1 = 1 2 z 3i 1 z 3i 1 = = 1 2 z 1 3i z 1 3i = + = + 1 2 1 3 z 2 i 2 2 1 3 z 2 i 2 2 = + ữ ữ = + ữ ữ 1 2 z 2 cos i.sin 3 3 . 2 2 z 2 cos i.sin 3 3 = + ữ = + ữ Ví dụ 4: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.b năm 2012): Cho số phức z thoả mãn ( ) 5 z i 2 i. z 1 + = + Tìm môđun của số phức w = 1 + z + z 2 . Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, ( ) a, b Ă , z a b.i= và kết hợp với các biến đổi đơn. Cuối cùng sử dụng công thức tình mô đun. lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, ( ) a, b Ă ta có ngay: 4 ( ) 5 z i 2 i z 1 + = + (3a b 2) + (a 7b + 6)i = 0 3a b 2 0 a 7b 6 0 = + = a 1 b 1 = = z = 1 + i. Từ đó, suy ra: w = 1 + z + z 2 = 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 = 2 + 3i 2 2 w 2 3 13. = + = = 5. Ví dụ 5: (Đề thi đại học Môn Toán khối D.a năm 2012): Cho số phức z thoả mãn 2(1 2i) (2 i)z 7 8i. 1 i + + + = + + Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Biến đổi biểu thức điều kiện để tìm đợc z. ở đây cần sử dụng kiến thức về phép chia hai số phức. Bớc 2: Tìm w, rồi suy ra môdun của nó. lời giải chi tiết: Ta có biến đổi: 2(1 2i)(1 i) (2 i)z 7 8i 2 + + + = + (2 + i)z + 1 + i 2i 2 = 7 + 8i (2 + i)z = 4 + 7i 4 7i z 2 i + = + (4 7i)(2 i) 5 + = = 3 + 2i. Từ đó, suy ra: w = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i 2 2 w 4 3 = + = 5. Ví dụ 6: (Đề thi đại học Môn Toán khối D.b năm 20012): Giải phơng trình 2 z 3(1 i)z 5i 0+ + + = trên tập hợp số phức. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Sử dụng "Phơng pháp giải phơng trình bậc hai với hệ số phức" bằng phép tính và tính căn bậc hai của số phức. lời giải chi tiết: : Với phơng trình ban đầu, ta có: = 2i = (1 i) 2 . Suy ra phơng trình có các nghiệm: 1 3(1 i) (1 i) z 2 + + = = 1 2i; 2 3(1 i) (1 i) z 2 + = = 2 i. 5 Ví dụ 7: (Đề thi đại học Môn Toán khối B.a năm 2011): Tìm các số phức z, biết 5 i 3 z 1 0. z + = Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, ( ) a, b Ă kết hợp với z a b.i= và biến đổi đơn. Từ đó, sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau để thiết lập đợc một hệ phơng trình theo a, b. lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, ( ) a, b Ă ta có ngay: 5 i 3 (a bi) 1 0 a bi + = + ( ) (a bi)(a bi) 5 i 3 (a bi) 0 + + + = ( ) ( ) 2 2 a b a 5 b 3 i 0 + + = 2 2 a b a 5 0 b 3 0 + = + = 2 a a 2 0 b 3 = = a 1 a 2 . b 3 = = = Vậy, tồn tại hai số phức z 1 i 3, z 2 i 3= = thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 8: (Đề thi đại học Môn Toán khối B.b năm 2011): Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 1 i 3 z . 1 i + = ữ ữ + Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh cần sử dụng dạng lợng giác của số phức để có đợc lời giải đơn giản, cụ thể: Với z = a + bi (a, b Ă ) thì: 2 2 2 2 2 2 a b z a b i a b a b = + + ữ + + = ( ) 2 2 a b cos i.sin+ + suy ra: 1 3 1 i 3 2 i 2 2 + = + ữ ữ 2 cos i.sin 3 3 = + ữ 1 1 1 i 2 i 2 2 + = + ữ 2 cos i.sin 4 4 = + ữ Công thức moa vrơ: Với mọi số nguyên dơng n, ta có: [r(cos + i.sin)] n = r n (cosn + i.sinn). 6 Khi đó: ( ) 3 1 i 3+ = ( ) 8 cos i.sin + ; 3 3 1 i 2 2 cos i.sin 4 4 + = + ữ Nếu z = r(cos + i.sin) và z' = r'(cos' + i.sin') với r, r' 0 thì : z z' = r r' [cos( ') + i.sin( ')] khi r' > 0. Khi đó: z 2 2 cos i.sin 4 4 = + ữ = 2 + 2i. Vậy, số phức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2. lời giải chi tiết: Sử dụng dạng lợng giác: 1 3 1 i 3 2 i 2 2 + = + ữ ữ 2 cos i.sin 3 3 = + ữ 1 1 1 i 2 i 2 2 + = + ữ 2 cos i.sin 4 4 = + ữ Khi đó: 3 2 cos i.sin 3 3 z 2 cos i.sin 4 4 + ữ = + ữ ( ) 8 cos i.sin 3 3 2 2 cos i.sin 4 4 + = + ữ cos i.sin 2 2. 3 3 cos i.sin 4 4 + = + 2 2 cos i.sin 4 4 = + ữ = 2 + 2i. Vậy, số phức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2. Ví dụ 9: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.a năm 2011): Tìm các số phức z, biết 2 2 z z z.= + Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, ( ) a, b Ă kết hợp với các biến đổi đơn: z 2 = (a + bi) 2 = a 2 + b 2 i 2 + 2abi = a 2 b 2 + 2abi, 2 2 z a b= + , z a b.i= từ đó, sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhâu để thiết lập đợc một hệ phơng trình theo a, b. 7 lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, ( ) a, b Ă ta có ngay: 2 2 2 (a bi) a b (a bi)+ = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 a b 2abi a b a bi + = + + 2 2 2 2 a b a b a 2ab b = + + = 2 a 2b b(2a 1) 0 = + = 2 a 2b b 0 a 1 / 2 = = = 2 b 0 & a 0 1 1 a & 2b 2 2 = = = = 2 b 0 & a 0 1 1 a & b 2 4 = = = = a b 0 . 1 1 a , b 2 2 = = = = Vậy, tồn tại ba số phức 1 1 1 1 z 0, z i, z i 2 2 2 2 = = + = thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 10: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.b năm 2011): Tìm môđun của số phức z, biết: ( ) (2z 1)(1 i) z 1 (1 i) 2 2i. + + + = Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, ( ) a, b Ă , z a b.i= và kết hợp với các biến đổi đơn. Cuối cùng sử dụng công thức 2 2 z a b= + . lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, ( ) a, b Ă ta có ngay: [ ] ( ) 2(a bi) 1 (1 i) a bi 1 (1 i) 2 2i+ + + + = [ ] ( ) (2a 1) 2bi (1 i) a 1 bi (1 i) 2 2i + + + + = (3a 3b) (a b 2)i 2 2i + + = 3a 3b 2 a b 2 2 = + = 3a 3b 2 a b 0 = + = a b 1 b 3 = = 1 1 z i. 3 3 = Khi đó, môđun của z là 2 2 1 1 2 z . 3 3 3 = + = ữ ữ Ví dụ 11: (Đề thi đại học Môn Toán khối D.a năm 2011): Tìm các số phức z, biết z (2 3i)z 1 9i. + = Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng dạng tổng quát của số phức z = a + bi, ( ) a, b Ă kết hợp với z a b.i= và 8 biến đổi đơn. Từ đó, sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau để thiết lập đợc một hệ phơng trình theo a, b. lời giải chi tiết: Giả sử z = a + bi, ( ) a, b Ă ta có ngay: (a bi) (2 3i)(a bi) 1 9i+ + = ( a 3b) (3a 3b)i 1 9i = a 3b 1 3a 3b 9 = = a 2 b 1 = = z = 2 i. Vậy, số phức z = 2 i thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 12: (Đề thi đại học Môn Toán khối B.a năm 2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z i (1 i)z = + . Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với yêu cầu của bài toán chúng ta luôn bắt đầu với giả sử: z x yi, x,y= + Ă . Từ đó, suy ra: ( ) ( ) x yi i (1 i) x yi+ = + + ( ) ( ) ( ) x y 1 i x y x y i + = + + tới đây, sử dụng công thức tính môđun ta có chuyển đổi : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x y 1 x y x y+ = + + f(x, y) = 0. Và bằng những phép biến đổi đại số thông thờng chúng ta sẽ nhận đợc phơng trình của tập hợp điểm biểu diễn số phức z là f(x, y) = 0. lời giải chi tiết: Ta lần lợt có: i 1 i 1 + = (i 1)(i 1) 2 + + = i 33 i 1 i 1 + ữ = i; (1 i) 2 = 2i (1 i) 10 = (2i) 5 = 2 5 i = 32i; (2 + 3i)(2 3i) = 4 + 9 = 13; 1 i = i . Do đó: 33 i 1 i 1 + ữ + (1 i) 10 + (2 + 3i)(2 3i) + 1 i = 13 32i Phầnthực bằng 13 Phầnả o bằng 32 . 9 Ví dụ 13: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.a năm 2010): Tìm phần ảo của số phức z, biết ( ) ( ) 2 z 2 i 1 i 2 .= + Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng các phép biến đổi thông thờng để nhận đợc dạng tổng quát của số phức z a b.i= + . Từ đó, suy ra đợc rằng z a b.i= nên nó có phần ảo bằng b. lời giải chi tiết: Ta có ngay: ( ) ( ) 2 z 2 2i 2 i 1 i 2= + + ( ) ( ) 1 2i 2 1 i 2= + 5 i 2= + z 5 i 2. = Vậy, phần ảo của số phức z bằng 2. Ví dụ 14: (Đề thi đại học Môn Toán khối A.b năm 2010): Cho số phức z thoả mãn ( ) 3 1 i 3 z . 1 i = Tìm môdun của số phức z iz.+ Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài toán này các em học sinh chỉ cần thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Sử dụng các phép biến đổi thông thờng để nhận đợc dạng tổng quát của số phức z a b.i= + . Từ đó, suy ra đợc rằng z a b.i= Bớc 2: Đơn giản biểu thức z iz c di.+ = + Từ đó, suy ra môđun của số phức z iz+ bằng 2 2 c d .+ lời giải chi tiết: Với số phức z = x + yi (x, y Ă ) đợc biểu diễm bởi điểm M(x ; y). Ta có: k = z z i = x yi x yi i + + k 2 = 2 2 2 2 x y x (y 1) + + . (*) Xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu k = 1 thì: (*) x 2 + (y 1) 2 = x 2 + y 2 y = 1 2 . Tức là, điểm M thuộc đờng thẳng y = 1 2 . 10 . nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 093 65466 89 1 Tổ hợp và số phức Ví dụ 1: (Đề thi đại học Môn To n khối A năm 2012): Cho n là số nguyên dơng. 2. Ví dụ 9: (Đề thi đại học Môn To n khối A.a năm 2011): Tìm các số phức z, biết 2 2 z z z.= + Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với bài to n này