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Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banach
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❜➡♥❣ ✈✐➺❝ ✤♦ ✤↕❝ trü❝ t✐➳♣ tr➯♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❤â❛ t♦→♥ ❤å❝ ❜ð✐ Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, ✭✷✮ ð ✤➙② Ai : D(Ai ) X Y D(Ai ) ỵ ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû Ai t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✭✷✮✱ ♥â✐ ❝❤✉♥❣✱ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔♦ ❞ú ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ❉♦ ✤â✱ ♥❣÷í✐ t❛ ♣❤↔✐ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ê♥ ✤à♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✳ ▼ët tr♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ❦❤→ rë♥❣ r➣✐ ✈➔ ❤✐➺✉ q✉↔ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✳ ▼ư❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✸ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✭✷✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t♦→♥ tû A0 ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ hemi✲❧✐➯♥ tư❝✱ ❝á♥ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ✱ i = 1, , N ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ♣❤↔♥ ①↕ X tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✾❪ ❝æ♥❣ ❜è ♥➠♠ ✷✵✶✽✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✱ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ tư❝✱ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t 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= δ(ε) > s❛♦ ❝❤♦ x+y < − δ ❱➼ ❞ư ✶✳✶✳✶✶ ✭✐✮ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✱ n ợ x ữ ổ ỗ t ữủ ỷ tử ữợ tr X lim inf (y) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ X; y→x ✭✐✐✮ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ữợ tr X ợ {xn } ❝õ❛ X ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x ✭xn x✮ t❤➻ lim inf ϕ(xn ) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ X; n→∞ ✭✐✐✐✮ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ ✤✐➸♠ x ∈ X ♥➳✉ tỗ t x X s (x + λy) − ϕ(x) = x∗ , y λ→+0 λ lim ∀y ∈ X, x∗ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ●➙t❡❛✉① t x ỵ (x) ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ t❤ü❝ t➳ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈✐➺❝ t➻♠ ❝ü❝ tr ổ r ỗ trỡ t♦→♥ ♥➔② s➩ ✤÷❛ ✤➳♥ ✈✐➺❝ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ❞↕♥❣ Ai (x) = fi ✈ỵ✐ ♠é✐ i = 0, 1, , N ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ Ai ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ●➙t❡❛✉① ❝õ❛ ♠ët ỗ tữớ ỷ tử ữợ i : X → R ∪ {+∞} t❤➻ t➟♣ Si trò♥❣ ✈ỵ✐ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ϕi (x∗ ) = ϕi (x) x∈X ✭✷✳✺✮ ✈➔ ❧➔ ♠ët t➟♣ ỗ õ tr X õ S ụ ởt t ỗ õ tr X t q ữủ s r tứ ỵ ỵ ✶✳✶✳✷✷✱ ❇ê ✤➲ ▼✐♥t② ✈➔ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙②✳ ●✐↔ sû ϕ : X → R ∪ {+∞} ❧➔ ♠ët ỗ tữớ ỷ tử ữợ tr X ✈➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ●➙t❡❛✉① ❧➔ A✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✭✐✮ x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ϕ(x) tr➯♥ X ❀ ✭✐✐✮ A(x∗ ), x − x∗ ≥ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ X ❀ ✭✐✐✐✮ A(x), x 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tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✭✷✳✶✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ A0 ❧➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ hemi✲❧✐➯♥ tö❝✱ ❝á♥ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ❦❤→❝ ✤➲✉ ❧➔ t♦→♥ tû λi ✲♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✱ i = 1, , N ✳ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ N A0 (x) + α µ (Ai (x) − fiδ ) + αJ(x − x∗ ) = f0δ , i=1 ✭✷✳✻✮ ✷✺ ✈ỵ✐ α > ❧➔ t❤❛♠ sè ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤✱ µ ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❝è ✤à♥❤ t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (0, 1)✱ A0 : D(A0 ) = X → X ∗ ❧➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ hemi✲❧✐➯♥ tư❝✱ Ai : D(Ai ) = X → X ∗ ✱ i = 1, , N ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû λi ✲♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✶ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ t❤➜② Ai ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû λi ✲♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥➯♥ Ai ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû 1/λi tử st ú ỵ õ Ai ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû hemi✲❧✐➯♥ tö❝ ✭①❡♠ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✹✮✳ ợ ộ > ữỡ tr ❝â ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ xδα ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ♥➔② ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❜ê ✤➲ s❛✉✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✷ ✭①❡♠ ❬✾❪✮ ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ỗ t X ổ ủ X ụ ỗ t A0 : D(A0) = X → X ∗ ❧➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ hemi✲❧✐➯♥ tö❝✱ Ai : D(Ai ) = X → X ∗ ✱ i = 1, , N ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû λi ✲♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✱ J : X → X ∗ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X 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), = f0δ − f0 + αµ z ∈ S, i=1 ð ✤➙② xδα ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✻✮✳ ❚ø ✭✷✳✽✮ t❛ s✉② r❛ N A0 (xδα ) − A0 (z) + α µ [Ai (xδα ) − Ai (z)] i=1 ✭✷✳✾✮ + αJ(xδα − x∗ ), xδα − z N = f0δ − f0 + α µ (fiδ − fi ), xδα − z i=1 ❙û ❞ư♥❣ ✭✷✳✷✮ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ✱ tø ✭✷✳✾✮ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ J(xδα − x∗ ), xδα − z ≤ δ + N αµ xδα − z α ✭✷✳✶✵✮ ❉♦ ✤â✱ xδα − x∗ ≤ x∗ − z + + c(δ, α) α c(δ, α) x∗ − z + α + 4c(δ, α) x∗ − z α ✭✷✳✶✶✮ c(δ, α) c(δ, α) + x∗ − z , α α ð ✤➙② c(δ, α) = δ(1 + N αµ )✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❞➣② xδα ❜à ❝❤➦♥ ❞♦ δ/α✱ α → 0✳ ≤ x∗ − z + ▼➔ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t X ổ tỹ tỗ t↕✐ ❞➣② ✷✼ ❝♦♥ ❝õ❛ ❞➣② {xδα } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x ∈ X ✳ ❑❤æ♥❣ ❧➔♠ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❣✐↔ sû xδα x ❦❤✐ δ/α✱ α rữợ t t ự x S0 ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✭✷✳✻✮✱ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ Ai ✱ i = 1, 2, , N ✈➔ J t❛ ❝â A0 (x) − f0δ , x − xδα ≥ A0 (xδα ) − f0δ , x − xδα N ≥α µ Ai (xδα ) − fiδ , xδα − x i=1 ✭✷✳✶✷✮ + α J(xδα − x∗ ), xδα − x N ≥α µ Ai (x) − fiδ , xδα − x i=1 + α J(x − x∗ ), xδα − x ∀x ∈ X ❚r♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✷✮ ❝❤♦ α → 0✱ δ/α → t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ A0 (x) − f0 , x − x ≥ ∀x ∈ X ❙✉② r❛✱ x ∈ S0 ✭①❡♠ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✷✶✮✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ x ∈ Si ✈ỵ✐ i = 1, 2, , N ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✭✷✳✻✮✱ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ A0 ✈➔ ✭✷✳✷✮ t❛ ❝â N N Ai (xδα ) − fi , xδα fiδ − fi , xδα − z −z = i=1 i=1 + α1−µ J(xδα − x∗ ), z − xδα + µ f0δ − A0 (xδα ) + A0 (z) − f0 , xδα − z α ≤ δ (1 + N αµ ) xδα − z µ α + α1−µ J(xδα − x∗ ), z − xδα ∀z ∈ S ❉♦ Ai ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû λi ✲♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈➔ J ❧➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➯♥ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ s✉② r❛ N λi Ai (xδα ) − Ai (z) i=1 ≤ δ 1−µ α (1 + N αµ ) xδα − z α + α1−µ xδα − x∗ z − xδα ∀z ∈ S ❱➻ ✈➟②✱ Ai (xδα ) − fi → ❦❤✐ α → 0✱ δ/α → 0✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ♠é✐ t♦→♥ tû Ai ✱ i = 1, , N ✱ ❧➔ λi ✲♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✱ ♥➯♥ ❧➔ t♦→♥ tû ❜→♥ ✤â♥❣ ✷✽ ✭t❤❡♦ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✸✸✮✳ ❉♦ ✤â✱ tø xδα x¯ ✈➔ Ai (xδα ) − fi → s✉② r❛ Ai (x) = fi ✱ ♥❤÷ ✈➟② x ∈ Si ✭①❡♠ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✻✮✳ ❇➙② ❣✐í t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ x ¯ − x∗ ≤ z − x∗ ✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ S ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✭✷✳✽✮ t❛ ❝â J(z − x∗ ), z − xδα δ + α N αµi xδα − z ≥ ∀z ∈ S i=0 ❈❤♦ α✱ δ/α → t❛ ✤÷đ❝ J(z − x∗ ), z − x ≥ z S S t ỗ tr♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ t❤❛② z ∈ S ❜ð✐ tx + (1 − t)z ∈ S ✱ t ∈ (0, 1) s❛✉ ✤â✱ ❝❤✐❛ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ❝❤♦ (1 − t) ✈➔ ❝❤♦ t ❞➛♥ ✤➳♥ t❛ ✤÷đ❝ J(x − x∗ ), z − x ≥ ∀z ∈ S ❙✉② r❛✱ x − x∗ ≤ z − x∗ ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ S ✳ ❉♦ Si t ỗ õ S ụ ỗ õ ❞♦ ✤â ♣❤➛♥ tû x0 ∈ S ❝â x∗ ✲❝❤✉➞♥ ọ t tr ổ ỗ t X ❞✉② ♥❤➜t✱ tù❝ ❧➔ x ¯ = x0 ✳ ❚ø ✭✷✳✶✶✮ t❤❛② t❤➳ z ❜ð✐ x0 t❛ ✤÷đ❝ xδα − x∗ → x0 − x∗ ✳ ❉♦ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷ ❇❛♥❛❝❤ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ES ♥➯♥ xδα → x0 ✳ ✷✳✷✳✸ ❳➜♣ ①➾ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ◆❣❤✐➺♠ xδα ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✭✷✳✻✮ ❝â t❤➸ ①➜♣ ①➾ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛❧❡r❦✐♥ ✤÷đ❝ ♠ỉ t↔ ữỡ tr N An0 (x) + Ani (x) − finδ + αJ n (x) = f0nδ , x ∈ Xn , ✭✷✳✶✸✮ i=1 ð ✤➙② Ani = Pn∗ Ai Pn ✱ J n = Pn∗ JPn ✱ finδ = Pn∗ fiδ ✱ Pn : X → Xn ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ t✉②➳♥ t➼♥❤ tø X ❧➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ Xn ❝õ❛ X ✤÷đ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ tr➯♥ X ✱ Pn∗ : X ∗ → Xn∗ ❧➔ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ Pn ✈➔ Xn ⊂ Xn+1 ∀n; Pn x → x ❦❤✐ n → +∞ ∀x ∈ X ❑❤æ♥❣ ❧➔♠ ♠➜t t➼♥❤ ❝❤➜t tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❣✐↔ sû Pn = 1✳ ✷✾ ❈ô♥❣ ố ữ ợ tt ữ ữỡ tr õ t x,n ợ ♠é✐ 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Pn xδα s ≤ α J(xδα,n ) − J(Pn xδα ), xδα,n − Pn xδα ≤ A0 (xδα,n ) − f0δ N +α µ Ai (xδα,n ) − fiδ , Pn xδα − xδα,n i=1 + α J(Pn xδα ), Pn xδα − xδα,n ✸✵ ❍❛② αmJ xδα,n − Pn xδα s ≤ A0 (Pn xδα ) − f0δ N +α Ai (Pn xδα ) − fiδ , Pn xδα − xδα,n µ ✭✷✳✶✺✮ i=1 + α J(Pn xδα ), Pn xδα − xδα,n ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ s✉② r❛ αmJ xδα,n − Pn xδα s N A0 (Pn xδα ) ≤ + f0δ +α µ Ai (pn xδα ) + fiδ Pn xδα − xδα,n i=1 + α Pn xδα Pn xδα − xδα,n ✭✷✳✶✻✮ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä ❞➣② {xδα,n } ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ E õ tỗ t ❞➣② ❝♦♥ ❝õ❛ ❞➣② {xδα,n } ❤ë✐ tư ②➳✉✱ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔♠ ♠➜t t➼♥❤ ❝❤➜t tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❣✐↔ sû xδα,n x¯δα ✳ ❚ø ✭✷✳✶✹✮ sû ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ✱ J ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ Pn t❛ ❝â N A0 (xn )+α µ Ai (xn )−fiδ +αJ(xn )−f0δ , xn −xδα,n ≥ ∀xn ∈ Xn i=1 ð ✤➙②✱ xn := Pn x ∈ Xn ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ X ✳ ❉♦ Pn x → x ❦❤✐ n → +∞ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ X ♥➯♥ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ ❝â N A0 (x) + α µ Ai (x) − fiδ + αJ(x) − f0δ , x − x¯δα ≥ ∀x ∈ X i=1 ❙✉② r❛✱ x ¯δα ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✻✮✱ ♠➔ ✭✷✳✻✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ♥➯♥ x ¯δα = xδα ✳ ❚ø ✭✷✳✶✺✮ s✉② r❛ ❞➣② {xδα,n } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✤➳♥ xδα n ữợ t tr ❝❤♦ ❝➙✉ ❤ä✐ ❦❤✐ ♥➔♦ lim xδα,n = x0 ∈ S? α,δ→0 n→∞ ✣➦t γn (z) = (I − Pn )(z) , z ∈ S, ✸✶ ð ✤➙② I ❧➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ X ✳ ❙ü ❤ë✐ tư ❝õ❛ ❞➣② ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ {xδα,n } ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✸✮ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t ữủ ự tr ỵ s sû X ✱ X ∗✱ J ✱ Ai✱ fi✱ i = 0, 1, , N ✤÷đ❝ ❣✐↔ sỷ ữ tr ỵ S = Ni=0Si = ∅✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ δ/α✱ γn (z)/α → ✈➔ Pn x → x ❦❤✐ α → ✈➔ n → ∞ t❤➻ ❞➣② {xδα,n } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ x0 S ỵ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ❚ø ✭✷✳✶✮✱ ✭✷✳✷✮✱ ✭✷✳✶✹✮ ✈ỵ✐ z ∈ S ✱ z n = Pn z ✈➔ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai t❛ s✉② r❛ α J(xδα,n ), xδα,n − z n = A0 (xδα,n ) − f0δ N +α µ (Ai (xδα,n ) − fiδ ), z n − xδα,n i=1 ≤ A0 (z n ) − f0δ N +α µ (Ai (z n ) − fiδ ), z n − xδα,n ✭✷✳✶✼✮ i=1 n A0 (z ) − A0 (z) + δ z n − xδα,n ≤ N +α µ Ai (z n ) − Ai (z) + δ z n − xδα,n i=1 ▼➔ t❛ ❧↕✐ ❝â ¯ n (z), Ai (z n ) − Ai (z) ≤ Kγ ✭✷✳✶✽✮ ¯ ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ ❝❤➾ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ z ✱ tø ✭✷✳✶✼✮ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ð ✤➙② K J(xδα,n ), xδα,n − z n ≤ ¯ n (z) δ + Kγ (1 + N αµ ) z n − xδα,n α ❚❛ s✉② r❛ J(xδα,n ), xδα,n − J(xδα,n ), z n ¯ n (z) δ + Kγ ≤ (1 + N αµ )( xδα,n + z n ) α ✭✷✳✶✾✮ ❉♦ ✤â✱ xδα,n − xδα,n z + c¯(δ, α) c¯(δ, α) − z ≤ 0, α α ✸✷ ¯ n (z))(1 + N αµ )✳ ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ s✉② r❛ ð ✤➙② c¯(δ, α) = (δ + Kγ xδα,n ≤ c¯(δ, α) + z + α ≤ z + c¯(δ, α) + α c¯(δ, α) z + α + 4¯ c(δ, α) z α c¯(δ, α) z α ✭✷✳✷✵✮ ❈ò♥❣ ợ tt ỵ t s r ❞➣② {xδα,n } ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ X õ tỗ t {xδα,n } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x ∈ X ✳ ✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ ❣✐↔ sû xδα,n x¯ ❦❤✐ α n rữợ t t ự ♠✐♥❤ x ¯ ∈ S0 ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ J ✱ Ai ✱ i = 0, 1, , N ✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ X t❛ ❝â A0 (Pn x) − f0δ , Pn x − xδα,n = A0 (Pn x) − A0 (xδα,n ) + A0 (xδα,n ) − f0δ , Pn x − xδα,n ≥ A0 (xδα,n ) − f0δ , Pn x − xδα,n N ≥α µ Ai (xδα,n ) − fiδ , xδα,n − Pn x + α J(xδα,n ), xδα,n − Pn x i=1 N ≥ αµ Ai (Pn x) − fiδ , xδα,n − Pn x + α J(Pn x), xδα,n − Pn x i=1 ❚r♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❦❤✐ δ ✱ α → ✈➔ n → ∞ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ A0 (x) − f0 , x − x ≥ ∀x ∈ X ❱➻ ✈➟②✱ x ∈ S0 ✭①❡♠ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✷✶✮✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ x ∈ Si ✱ i = 1, 2, , N ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✭✷✳✷✮✱ ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ J ✱ Ai ✱ i = 0, 1, , N t❛ ❝â N Ai (xδα,n ) − Ai (Pn z), xδα,n − Pn z i=1 N Ai (xδα,n ) − fiδ + fiδ − Ai (Pn z), xδα,n − Pn z = i=1 ✸✸ ❍❛② N Ai (xδα,n ) − Ai (Pn z), xδα,n − Pn z i=1 = A0 (xδα,n ) − f0δ , Pn z − xδα,n + α1−µ J(xδα,n ), Pn z − xδα,n µ α N Ai (Pn z) − fiδ , Pn z − xδα,n + i=1 ≤ µ A0 (Pn z) − A0 (z) + f0 − f0δ , Pn z − xδα,n α + α1−µ J(Pn z), Pn z − xδα,n N Ai (Pn z) − Ai (z) + fi − fiδ , Pn z − xδα,n + i=1 ≤ αµ A0 (z) − A0 (Pn z) + f0 − f0δ + α1−µ Pn z Pn z − xδα,n N N i=1 ≤ fi − fiδ Ai (Pn z) − Ai (z) + + Pn z − xδα,n Pn z − xδα,n i=1 ¯ n (z) + δN αµ + Kγ ¯ n (z)N αµ δ + Kγ µ α + α1−µ Pn z Pn z − xδα,n Pn z − xδα,n ∀z ∈ S ❙û ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t λi ✲♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ✱ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ S t❛ ❝â N N λi Ai (xδα,n ) i=1 − Ai (Pn z) Ai (xδα,n ) − Ai (Pn z), xδα,n − Pn z ≤ i=1 ¯ 1−µ δ + Kγn (z) (1 + N αµ ) Pn z − xδα,n + α1−µ Pn z Pn z − xδα,n ≤α α ❉♦ ✤â✱ Ai (xδα,n ) − Ai (z) → ❦❤✐ α✱ δ/α✱ γn (z)/α → ✈➔ n → ∞✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ✱ i = 0, 1, , N ❧➔ ✤ì♥ ỹ ữ t t ỗ t r(A) ❝õ❛ t♦→♥ tû ❝ü❝ ✤↕✐ A tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ X ✈➔♦ X ∗ ❧➔ demi✲✤â♥❣ ✭①❡♠ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✸✶✮✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✻ t❛ ❝â Ai (x) = fi ✱ i = 1, 2, , N ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ x ∈ Si ✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ tø ✭✷✳✶✻✮ s✉② r❛ J(z), z − x ¯ ≥ ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ S ✳ Si t ỗ õ S ụ t ỗ õ z t x + (1 − t)z ✱ t ∈ (0, 1) tr♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ ❝❤✐❛ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ❝❤♦ (1 − t) ✈➔ ❝❤♦ t ❞➛♥ ✤➳♥ ✶✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ J(¯ x), z − x¯ ≥ ∀z ∈ S, s✉② r❛ x ¯ ≤ z ✈ỵ✐ ♠å✐ z S t ỗ õ S t ỗ t ổ X t õ x ¯ = x0 ✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❞➣② {xδα,n } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x0 ✳ ✣➦t z n := xn0 = Pn x0 tr♦♥❣ ✭✷✳✶✾✮ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❞➣② {xδα,n } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✤➳♥ x0 ✳ ✷ ✸✺ ❑➳t ❧✉➟♥ ✣➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❈ư t❤➸✿ ✭✶✮ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤❀ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❇r♦✇❞❡r✕❚✐❦❤♦♥♦✈ ❤✐➺✉ ữỡ tr t tỷ ỡ ợ t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷❛ ✤÷đ❝ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ✭✸✮ ❚r➻♥❤ ❜➔② ①➜♣ ①➾ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ♥❣÷đ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr ự ỵ tử ♠↕♥❤✳ ✸✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ P❤↕♠ ❑ý ❆♥❤✱ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ✭✷✵✵✺✮✱ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✷❪ ❚r➛♥ ❱ô ❚❤✐➺✉✱ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉ ❚❤õ② ✭✷✵✶✶✮✱ ●✐→♦ tr➻♥❤ ❚è✐ ÷✉ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✸❪ ❍♦➔♥❣ ❚ö② ✭✷✵✵✸✮✱ ❍➔♠ t❤ü❝ ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❢♦r ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥✲t②♣❡ ▼❛♣♣✐♥❣s ✇✐t❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✳ ❬✺❪ ❨✳ ❆❧❜❡r✱ ■✳P✳ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ✭✷✵✵✻✮✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ■❧❧✲♣♦s❡❞ Pr♦❜❧❡♠s ♦❢ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❚②♣❡✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ❇❡r❧✐♥✳ ❬✹❪ ❘✳P✳ ❆❣❛r✇❛❧✱ ❉✳ ❖✬❘❡❣❛♥✱ ❉✳❘✳ ❙❛❤✉ ✭✷✵✵✾✮✱ ❬✻❪ ❨✳ ❆❧❜❡r ✭✶✾✼✺✮✱ ✧❖♥ s♦❧✈✐♥❣ ♥♦♥❧✐♥❡❛r 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♦❢ ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s ❛♥❞ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✧✱ ✺✵✹ ✭❘✉ss✐❛♥✮✳ ❉♦❦❧✳ ❆❦❛❞✳ ◆❛✉❦ ❙❙❙❘✱ ✶✺✶✱ ✺✵✶✕ ... ✤÷đ❝ ❦❤✐ x = y✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✷ ❍➔♠ ϕ : X → R ∪ {+∞} ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✷✸ ✭✐✮ ♥û❛ tử ữợ tr X lim inf (y) (x) x X; yx ỷ tử ữợ ②➳✉ tr➯♥ X ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ❝õ❛ X ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x ✭xn x✮ t❤➻ lim... demi✲❧✐➯♥ tư❝ t↕✐ x ∈ D(A) ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ⊂ D(A) ✈➔ xn → x ❦❤✐ n → ∞ t❤➻ A(xn ) A(x) ❦❤✐ n → tử st tr D(A) tỗ t↕✐ ❤➡♥❣ sè L > s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ D(A) t❛ ❝â A(x) − A(y) ≤ L x − y ; ✭✈✐✮... ❚♦→♥ tû A : D(A) ⊆ X → Y ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✭✐✮ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✭❦❤↔ ✈✐ ♠↕♥❤✮ t↕✐ x ∈ D(A) tỗ t t tỷ t t tử T ∈ L(X, Y ) s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ h ∈ X t❤ä❛ ♠➣♥ x + h ∈ D(A) t❛ ❝â A(x + h) − A(x) = T h + r(x, h),