Chửụng III : Nguyeõn haứm - Tớch phaõn vaứ ửựng duùng Bi 1 Biờn son : Phm Quc Khỏnh Chng trỡnh sỏch giỏo khoa mi ca b GD T 2008 click (Khi s dng nờn chuyn v ch : on click ch ng x lý) I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm : Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu : ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ) 3 ; ) ; cos 2 2 a f x x x b f x x x π π   = ∈ −∞ +∞ = ∈ −  ÷   Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R . Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K Nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K Ví dụ 1 : a) Hàm số F(x) = x 3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x 2 trên (-∞ ; +∞) , vì F’(x) = (x 3 )’ = 3 x 2 với mọi x ∈ (-∞ ; +∞) b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 ; cos 2 2 f x x x π π   = ∈ −  ÷   Vì ( ) ( ) 2 1 ' tan ' ; cos 2 2 F x x x x π π   = = ∈ −  ÷   Nêu thêm một số ví dụ khác : c) Hàm số F(x) = 3x 2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số : ( ) ( ) 1 0;f x x x = ∈ +∞ click Định lý 1 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K . Hãy tự chứng minh định lý này . Định lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số . Chứng minh : Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x ∈ K . Khi đó (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x ∈ K Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K , nên G(x) – F(x) = C Hay G(x) = F(x) + C mọi x ∈ K F(x) + C , C ∈ R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu : ( ) ( ) ∫ f x dx = F x + C Chú ý ; Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx Ví dụ 2 : a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) , 2 2xdx x C= + ∫ Chú ý ; Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) , 2 2xdx x C= + ∫ b) Với x ∈ ( 0 ; + ∞ ) , 1 lndx x C x = + ∫ c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) , cos . sinx dx x C= + ∫ click 2. Tính chất của nguyên hàm : Tính chất 1 : ( ) ( ) ' ∫ f x dx = f x + C Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm . Ví dụ 3 : ( ) ( ) cos '. sin . cosx dx x dx x C= − = + ∫ ∫ Tính chất 2 : ( ) ( ) k k ∫ ∫ f x dx = f x dx Chứng minh : Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) Vì k ≠ 0 nên ( ) ( ) ' 1 1 '( )f x F x F x k k   = =  ÷   Theo t/c 1 ta có : ( ) ' 1 ( )k f x dx k F x dx k   =  ÷   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 k F x C F x kC C R k   = + = + ∈  ÷   ( ) F x C= + ( ) .k f x dx= ∫ Tính chất 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ± ±     ∫ ∫ ∫ f x g x dx = f x dx g x dx Tự chứng minh t/c này click Ví dụ 4 : Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 3sin 0;f x x x = + +∞ Giải : Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có : 2 1 3sin 3 sin 2 3cos 2 lnx dx xdx dx x x C x x   + = + = − + +  ÷   ∫ ∫ ∫ 3. Sự tồn tại của nguyên hàm : Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K , đều có nguyên hàm trên K . Công nhận định lý này . Ví dụ 5 : a) Hàm số ( ) 2 3 f x x= Có nguyên hàm trên ( 0 ; + ∞ ) 2 5 3 3 3 . . 5 x dx x C= + ∫ b) Hàm số ( ) 2 1 sin g x x = Có nguyên hàm trên ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z 2 1 . cot sin dx x C x = − + ∫ click 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : 0dx C= ∫ dx x C= + ∫ ( ) 1 1 1 1 x dx x C α α α α + = + ≠ − + ∫ 1 lndx x C x = + ∫ x x e dx e C= + ∫ ( ) 0 1 ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ cos . sinx dx x C= + ∫ sin . cosx dx x C= − + ∫ 2 1 . tan cos dx x C x = + ∫ 2 1 . cot sin dx x C x = − + ∫ Ví dụ 6 : Tính : ( ) 2 3 2 1 ) 2 0;a x dx x   + +∞  ÷   ∫ 2 2 3 2 x dx x dx − = + ∫ ∫ 1 3 3 2 3 3 x x C= + + click ( ) ( ) 1 ) 3cos 3 ; x b x dx − − −∞ +∞ ∫ 1 3 cos 3 3 x xdx dx= − ∫ ∫ 1 3 3sin 3 ln 3 x x C= − + 1 3 3sin ln 3 x x C − = − + Chú ý ; Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. II - PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số : a) Cho : ( ) 10 1x dx− ∫ Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 ) 10 dx , theo u và du b) Cho : ln x dx x ∫ Đặt x = e t . Hãy viết biểu thức trong dấu ∫ , theo t và dt Định lý 1 : Nếu . ( ) ( ) f u du F u C= + ∫ Và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ' .f u x u x dx F u x C= + ∫ Chứng minh : Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x) vì : F’(u) = f(u) = f(u(x)) nên (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x) click Hệ quả : Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có ( ) ( ) 1 ax b ax b a + + ∫ f dx = F + C Ví dụ 7 : Tính : ( ) sin 3 1 .x dx− ∫ Giải : Vì sin cosudu u C= − + ∫ Nên theo hệ quả ta có : ( ) ( ) 1 sin 3 1 cos 3 1 3 x dx x C− = − − + ∫ Chú ý ; Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) . Ví dụ 8 : Tính : ( ) 5 . 1 x dx x + ∫ Giải : Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và ( ) 5 5 1 1 x u dx du u x − = + Khi đó : ( ) 5 5 1 1 x u dx du u x − = + ∫ ∫ 4 5 4 5 1 1 du u du u du u u − −   = − = −  ÷   ∫ ∫ ∫ 3 4 1 1 1 1 . . 3 4 C u u = − + + Thay u = x + 1 vào kết quả , có : ( ) ( ) 5 3 1 1 1 1 . . 4 1 3 1 1 x dx C x x x   = − +  ÷ +   + + ∫ click 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : Ta có : (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính : ( ) .cos '. & cos .x x dx x dx ∫ ∫ Từ đó tính : .sin .x x dx ∫ Định lý 2 : Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ' . . ' . .u x v x dx u x v x u x v x dx= + ∫ ∫ Chứng minh : Theo công thức đạo hàm của tích , có : (u.v)’ = u’.v + v’.u Hay u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ' . . '. ' . .u x v x dx u x v x dx u x v x dx= − ∫ ∫ ∫ Vậy có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ' . . ' . .u x v x dx u x v x u x v x dx= − ∫ ∫ Chú ý ; Công thức trên còn được viết dưới dạng : . . .u dv u v v du− ∫ ∫ = Ví dụ 9 : Tính : ) ) .cos . ) ln . x a xe dx b x x dx c x dx ∫ ∫ ∫ Giải : a) Đặt u = x và dv = e x .dx , thì du = dx và v = e x nên có : . . . x x x x e dx x e e dx= − ∫ ∫ . x x x e e C= − + click b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có : .cos .sin sin .x xdx x x x dx= − ∫ ∫ .sin cosx x x C= + + c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì 1 du dx x = và v = x . Do đó : ln . .lnx dx x x dx= − ∫ ∫ .lnx x x C= + + Bài củng cố ; Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần . ( ) . . x P x e dx ∫ ( ) .cos .P x x dx ∫ ( ) .ln .P x x dx ∫ u dv ( ) P x . x e dx P(x) ????? P(x) ????? cosx.dx ????? lnx.dx ????? Ví dụ trắc nghiệm : Tính : 1 dx x− ∫ Kết quả là : A 1 C x− B 1c x− C 2 1 x C− − + D 2 1 C x + − 3. Bài tập về nhà : Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008 . nghiệm : Tính : 1 dx x− ∫ Kết quả là : A 1 C x− B 1c x− C 2 1 x C− − + D 2 1 C x + − 3. Bài tập về nhà : Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 10 0 sách giáo khoa GT 12 -. 5 1 1 du u du u du u u − −   = − = −  ÷   ∫ ∫ ∫ 3 4 1 1 1 1 . . 3 4 C u u = − + + Thay u = x + 1 vào kết quả , có : ( ) ( ) 5 3 1 1 1 1 . . 4 1 3 1