Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên HuếĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế
Lời giải: N.V.Sơn DĐ: 0702626549 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2018 - 2019 (Li gii gm 05 trang) Câu 1: (4,0 điểm) 2x có đồ thị C Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận đồ x thị C Tiếp tuyến M đồ thị C cắt hai đường tiệm cận đồ thị C hai điểm A B a) Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB b) Xác định tọa ®é ®iĨm M ®Ĩ chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt Gi¶i: 2a Gäi M a ; a) Ta cã y a tiếp điểm a 1 x 1 Cho hµm sè y Phương trình tiếp tuyến d đồ thị C điểm M là: y a 1 x a 2a a 1 Gi¶ sư A, B giao điểm d với đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang 2a Suy ra: A 1; , B 2a 1; a 1 x A xB 2a 1 2a xM Khi ®ã: M trung điểm đoạn thẳng AB 2a 4a 2 yM y A yB a 1 a 1 ; IB a IA.IB b) Ta có IA a Tam giác IAB vuông I nªn: IA IB AB IA IB IA2 IB IA.IB IA.IB 2 VËy chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt b»ng 2 vµ chØ khi: a M 0;1 IA IB a 1 a 1 a M 2;3 Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 2 cos x sin x cos x sin x b) Giải phương trình x x 1 x x x x x x Giải: a) Phương trình tương đương với: 1 2 cos x sin x cos x sin x sin x cos x sin x sin x cos x 2 cos x sin x cos x sin x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x 1 cos x sin x sin x 2 Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019 *Ta cã 1 tan x 1 x k k *Gi¶i (2): §Ỉt t cos x sin x cos x 2; sin x t t Phương trình trở thành: 4t t t 4t t (loai ) Víi t ta cã x k 2 cos x x k 2 4 Vậy phương trình ban đầu có họ nghiệm x k k ; x k 2 ; x k 2 k u x x u v2 b) Đặt u2 v2 2x x v x u v2 u v2 Phương trình cho trở thành: u v v u 0 2 u v2 u v u v2 u v u v u v u v 1 (vn) u v u v Víi u v ta cã x x x x Vậy phương trình cho có nghiệm x Câu 3: (4,0 ®iĨm) x3 y x x y a) Giải hệ phương trình: x, y 2 x y x y x x 10 y 10 b) Cho tËp A 0;1; 2;3; 4;5;6 Gäi S lµ tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác chọn từ phần tử tập A Chän ngÉu nhiªn sè tõ tËp S Tính xác suất để số chọn chia hết cho 15 Gi¶i: 2 x y a) §iỊu kiƯn 3 x y Phương trình thứ hệ tương đương: x 1 x 1 y y x y 1 x 1 y x 1 y 1 y x 1 Thay y x vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: x x x3 x 10 x 5x x x x 3x x x x x x x (*) Lời giải: N.V.Sơn DĐ: 0702626549 x nên VT * nên phương trình (*) vô nghiƯm b) Gäi n a1a2 a3a4 a5 lµ số tự nhiên cần tìm, chữ số lÊy tõ tËp A *Sè phÇn tư cđa tËp S số số tự nhiên có chữ số với chữ số khác lấy từ tập A Ta cã n S A64 2160 Do *Do n chia hÕt cho 15 nªn n chia hÕt cho vµ Suy ra: a5 hc a5 TH1: a5 n a1a2 a3a4 ®ã sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 1; 2;3; 4;5; 6 Khi ®ã ®Ĩ n chia hÕt cho th× a1 a2 a3 a4 Do sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 1; 2;3; 4;5; 6 nên xảy 2TH sau: i) Trong số gåm: hai sè chia hÕt cho 3, mét sè chia d 1, mét sè chia d Cã tÊt c¶: A42 2.2.2 96 sè ii) Trong sè ®ã gåm: hai sè chia d 1, hai sè chia d Cã tÊt c¶: A42 2.2 48 sè TH2: a5 n a1a2 a3a4 ®ã sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 0;1; 2;3; 4;6 Khi để n chia hết cho a1 a2 a3 a4 chia d Do sè a1 , a2 , a3 , a4 lấy từ tập 0;1; 2;3; 4;6 nên xảy 2TH sau: iii) Trong sè ®ã gåm: ba sè chia hÕt cho 3, mét sè chia d *NÕu a1 th× a2 , a3 , a4 số ba số 0; 6;1 , 0;6; 4 nªn cã 3! 3! 12 sè *NÕu a1 th× a2 , a3 , a4 số ba số 0;3;1 , 0;3; 4 nªn cã 3! 3! 12 sè *NÕu a1 a1 a2 , a3 , a4 số ba số 0;3;6 nên có 3! 3! 12 số Có tất cả: 36 sè iv) Trong sè ®ã gåm: mét sè chia hÕt cho 3, hai sè chia d 1, mét sè chia d *NÕu a1 a1 a2 , a3 , a4 số ba số 1; 2; nªn cã 3! 3! 12 sè *NÕu a1 a2 , a3 , a4 số bé ba sè 2; 4; 6 , 2; 4;3 , 2; 4;0 nªn cã 3.3! 18 sè *NÕu a1 a1 tương tự ®Ịu cã 18 sè tháa m·n Cã tÊt c¶: 12 18.3 66 sè 96 48 36 66 41 Vậy xác suất cần tính là: 2160 360 Bài 4: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x y 19 đường tròn C : x y x y Tõ mét ®iĨm M nằm đường thẳng kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn C với A, B hai tiếp điểm Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB 10 Giải: *Các tam giác IAM , IBM tam giác vuông nên đường tròn đường kính IM qua hai điểm A, B nên đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB đường tròn đường kính IM *Đường tròn C có tâm I 2;1 bán kính R Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019 2 Ta cã IH IA AH 5 10 10 IA2 IM 10 IH A I M H B 2 5a 19 5a 19 1 10 Gäi M a; Ta cã IM 10 a M 3; 2 a 139 72 Giải 139 a M ; 29 29 29 5 *Với M 3; trung điểm IM ; , phương trình đường tròn đường kính IM là: 2 2 1 x y 2 2 139 72 197 37 *Víi M ; th× trung điểm IM ; , phương trình đường tròn đường kính 29 29 58 26 2 197 37 IM lµ: x y 58 26 Bµi 5: (3,0 điểm) Cho tam giác OAB có AB a Trên đường thẳng d qua O vuông góc với mặt phẳng OAB lấy mét ®iĨm M cho OM x Gäi E , F hình chiếu vuông góc A lên MB OB Đường thẳng EF cắt đường thẳng d N a) Chứng minh AN BM b) Xác định x theo a ®Ĩ thĨ tÝch khèi tø diƯn ABMN nhá nhÊt tính giá trị nhỏ Giải: AF OB M a) Ta cã AF MB AF OM Mà AE MB nên BM AEF Do AN AEF nên AN BM E b) Theo câu a) ta cã: AN BM ON OA OM OB O OM ON OA.OB.cos 60 ON F B OA.OB.cos 60 a OM 2x N A Lời giải: N.V.Sơn DĐ: 0702626549 1 a2 a2 a2 a2 x x Do MN OAB nªn VABMN MN SOAB 3 2x 12 2x Theo bÊt đẳng thức Cô-si thì: x Suy ra: VABMN a2 a2 x 2a 2x 2x a3 12 VËy thĨ tÝch lín nhÊt cđa khèi tø diƯn ABMN lµ a3 a2 a x x 12 2x Bµi 6: (2,0 điểm) 1 2018 Tìm giá trị lớn x y z 1 3029 biÓu thøc P 2x y z x y z x y 2z Gi¶i: 11 *Xét bất đẳng thức phụ: víi mäi a, b ab 4 a b *Dùng bất đẳng thức ta có: 1 1 1 2 1 x y z x y x z x y x z 16 x y z Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 1 1 1 1 1 2 ; x y z 16 x y z x y z 16 x y z 1 3029 2018 3029 Suy ra: P 2019 4 x y z Tương tự ta có: Vậy giá trị lớn P 2019 đạt chØ x y z 2018 HẾT - ...Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019 *Ta cã 1 tan x 1 x k k *Giải (2): Đặt t cos x ... AMB đường tròn đường kính IM *Đường tròn C có tâm I 2;1 bán kính R Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019 2 Ta cã IH IA AH 5 10 10 IA2 IM 10 IH A I... 2x 12 2x Theo bất đẳng thức Cô-si thì: x Suy ra: VABMN a2 a2 x 2a 2x 2x a3 12 VËy thĨ tÝch lín nhÊt cđa khèi tø diƯn ABMN lµ a3 a2 a x x 12 2x Bài 6: (2,0 điểm) 1 2018 Tìm