Đang tải... (xem toàn văn)
Đề số 1. Chuyên Bắc Ninh. Năm học 20142015Câu I. ( 1, 5 điểm ) Cho phương trình (1) , với ẩn x , tham số m .1) Giải phương trình (1) khi m = 12) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho nhỏ nhất.Câu II. ( 1,5 điểm )Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số y = x + 21) Vẽ các đồ thị (P) và (d) . Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị .2) Tìm a và b để đồ thị ∆ của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1Câu III .( 2,0 điểm )1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24km . Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B .2 ) Giải phương trình Câu IV . ( 3,0 điểm )Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H .Vẽ hình bình hành BHCD . Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M .1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn.2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng BM = CD và góc BAM = góc OAC .3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G . Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.Câu V .( 2, 0 điểm )1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 .2) Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau . Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau..................Hết...............Hướng dẫn sơ lược đề thi môn toán dành cho tất cả thí sinh năm học 20142015Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc NinhCâu I. ( 1, 5 điểm )Giải:1) GPT khi m =1+ Thay m =1 v ào (1) ta được x2 + 2x 8 = 0 ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0 x = { 4 ; 2 }KL : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 4 hoặc x = 22) xét PT (1) : (1) , với ẩn x , tham số m .+ Xét PT (1) có (luôn đúng ) với mọi m => PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m+ Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có : + Lại theo đề và (I) có :A = = ( x1 + x2 )2 – 2 x1x2 = ( 2m )2 + 2 ( 2m + 6 ) = 4m2 + 4m + 12= ( 2m + 1)2 + 11 ≥ 11 với mọi m => Giá trị nhỏ nhất của A là 11 khi m = KL : m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.Câu II. ( 1,5 điểm )Giải : 1) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào đồ thị ta có giao điểm của d và (P) là 2 điểm M ( 1 ; 1); N ( 2 ; 4 )2) Do đồ thị ∆ của hàm số y = ax + b song song với (d) y = x + 2Nên ta có: a = 1.∆ cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 1 nên ta thay x = 1 vào pt (P) ta được: y = 1Thay x = 1; y = 1 vào pt ∆ ta được a = 1 ; b = 0=>Phương trình của ∆ là y = xCâu III .( 2,0 điểm )Giải:1) Đổi 30 phút = ½ giờGọi x ( km h ) là vận tốc người đi xe đạp t ừ A > B ( x > 0 ) .Vận tốc người đó đi từ B> A là: x + 4 (kmh)Thời gian người đó đi từ A > B là: Thời gian người đố đi từ B về A là: Theo bài ra ta có: => x = 12 ( tm ) . KL : Vậy vận tốc của người đi xe đáp từ A đến B là 12 kmh.2) ĐKXĐ 0 ≤ x ≤ 1 Đặt 0 < a = + PT mới là : a + a = { 3 ; 1 } => a = 1 > 0 + Nếu a = 1 = > x = { 0 ; 1 } ( tm)KL : Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là x = 0; x = 1Câu IV . ( 3,0 điểm )Giải 1) Chứng minh các tứ giác ABMD , AMDC nội tiếpDo BHCD là hình bình hành nên:Ta có: BDCC’ => BD AB => ABD = 90oCó:AA’ BC nên: MD AA’ => AMD = 90o=> ABD + AMD = 180o=> tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính AD.Chứng minh tương tự ta có tứ giác AMDC nội tiếp đường tròn đường kính AD.=> A, B ,C,D , M nằm trên cùng một đường tròn2) Xét (O) có dây MDBC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD+ Theo phần 1) và BCMD => góc BAM =góc OAC3)Chứng minh OK là đường trung bình của tam giác AHD => OKAH và OK = AH hay ()+ Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => , từ đó suy ra G là trọng tâm của tam giác ABCCâu V .( 2, 0 điểm )Giải:1) Giá trị nhỏ nhất của P là 2011 khi a =b = 14P = a2 2 ab + b2 + 3(a2 + b2 + 4 + 2ab – 4a – 4b ) + 4. 2014 – 12= (ab)2 + 3 (a + b – 2)2 +8044 ≥ 8044P≥ 2011Dâu “=” xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2011 khi và chỉ khi a = b = 1.2) Gọi 6 thành phố đã cho là A,B,C,D,E,F+ Xét thành phố A .theo nguyên l í Dirichlet ,trong 5 thành phố còn lại thì có ít nhất 3 thành phố liên lạc được với A hoặc có ít nhất 3 thành phố không liên lạc được với A ( vì nếu số thành phố liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 và số thành phố không liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 thì ngoài A , số thành phố còn lại cũng không vượt quá 4 ) . Do đó chỉ xảy ra các khả năng sau :• Khả năng 1 :số thành phố liên lạc được với A không ít hơn 3 , giả sử B,C,D liên lạc được với A . Theo đề bài trong 3 thành phố B,C,D có 2 thành phố liên lạc được với nhau . Khi đó 2 thành phố này cùng với A tạo thành 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau .• Khả năng 2 :số thành phố không liên lạc được với A , không ít hơn ,giả sử 3 thành phố không liên lạc được với A là D,E,F . Khi đó trong bộ 3 thành phố ( A,D,E) thì D và E liên lạc được với nhau ( v ì D,E không liên lạc được với A )Tương tự trong bộ 3 ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên lạc được với nhau , F và D liên lạc được với nhau và như vậy D,E,F l à 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau .Vậy ta có ĐPCMĐề số 2. Chuyên Bến Tre. Năm học: 20142015Câu 1: (2,5 điểm)a) Rút gọn biểu thức sau: b) Cho biểu thức: với i) Rút gọn biểu thức B ii) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyênCâu 2: (2,5 điểm)Cho hệ phương trình với là tham số.a) Giải hệ với m = 3. b) Giải và biện luận hệ theo m. c) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm là số nguyên.Câu 3: (2 điểm)Cho phương trình bậc hai: (1), với m là tham số.i) Giải phương trình (1) khi m = 4ii) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Câu 4: (3 điểm)Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB(M không trùng với các điểm A và B).a) Chứng minh MD là đường phân giác của góc BMC b) Cho AD=2R.Tính diện tích của tứ giác ABDC theo R c) Gọi O là tâm đường tròn đường kính AD.Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AMB và dây AB theo R. d) Gọi K là giao điểm của AB và MD,H là giao điểm của AD và MC.Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy.ĐÁP ÁNCâu 1: a) Ta có: b) i) Với x > 0, x ≠ 1 ta có:ii) Ta có: Do x nguyên nên:B nguyên ⇔ guyên ⇔ x – 1 là ước của 2 ⇔ Vậy các giá trị của x cần tìm là Câu 2:a) (1)Với m = 3, hệ phương trình (I) trở thành: Khi m = 3 hệ có nghiệm (1;–1)b) Ta có: Khi m = 2: () ⇔ 0x = 5 (vô nghiệm) ⇒ Hệ vô nghiệmKhi m = –3: () ⇔ 0x = 0. Hệ phương trình có vô số nghiệm x ∈ ℝ, y = Khi , ta có: Hệ (I) có nghiệm duy nhất Kết luận: + m = 2: (I) vô nghiệm+ m = –3: (I) có vô số nghiệm x ∈ ℝ, y = + m ≠ 2 và m ≠ –3: (I) có nghiệm duy nhất c) Theo câu b, (I) có nghiệm ⇔ m ≠ 2.Khi m = –3, (I) có nghiệm nguyên chẳng hạn x = 1, y = 2Khi m ≠ 2 và m ≠ –3: (I) có nghiệm nguyên ⇔ ∈ ℤ ⇔ m – 2 là ước của 1⇔ m – 2 = 1 hoặc m – 2 = –1⇔ m = 3 hoặc m = 1Vậy các giá trị m cần tìm là m ∈ {–3;1;3}Câu 3:a) (1)i) Với m = 4, phương trình (1) trở thành hoặc Vậy tập nghiệm của (1) là {1;3}ii) Phương trình (1) có hai nghiệm (luôn đúng ∀ m)Khi đó, theo định lý Vi–ét: Ta có: Vậy m ∈ {0;2015} là giá trị cần tìm.Câu 4: a) Vì B và C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD = ACD = 90oXét hai tam giác vuông ABD và ACD có chung cạnh huyền AD, hai cạnh góc vuông AB và AC bằng nhau (do ∆ ABC đều)⇒ ∆ ABD = ∆ ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)⇒ BAD = CAD (1)Vì AMBD là tứ giác nội tiếp nên:BMD = BAD (2)Vì AMDC là tứ giác nội tiếp nên:CMD = CAD (3)Từ (1), (2) và (3) => BMD = CMD⇒ MD là phân giác của góc BMC.b) Ta có: Xét ∆ ABD vuông tại B có: Vì ABC là tam giác đều nên Vì AB = AC, DB = DC nên AD là trung trực của BC⇒ AD ⊥ BC.Tứ giác ABDC có AD ⊥ BC nên c) Vẽ OI ⊥ AB tại I. Xét tam giác vuông OIA ta có: ⇒ Diện tích tam giác AOB là (đvdt)Ta có: (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)Diện tích hình quạt AOB là (đvdt)Suy ra diện tích hình viên phân cần tìm là (đvdt)d) Gọi J là giao điểm của AM và BD.Vì M , B thuộc đường tròn đường kính AD nên DM ⊥ AJ, AB ⊥ DJ⇒ K là trực tâm của tam giác AJD⇒ JK ⊥ AD⇒ JK BC (cùng ⊥ AD) (4)Tứ giác AMKH có KMH = KAH (=BMD) nên là tứ giác nội tiếp⇒ KHA = 180o – KMA = 180o – 90o = 90o⇒ KH ⊥ AD⇒ KH BC (cùng ⊥ AD) (5)Từ (4) và (5), theo tiên đề Ơ–clít về đường thẳng song song, ta có J, K, H thẳng hàng.Vậy AM, BD và KH đồng quy tại J.Đề số 3. Chuyên Toán Sư Phạm Hà Nội. Năm học: 20142015Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn và Chứng minh rằng Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số: là một số chính phươngCâu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MNAP.Chứng minh rằng1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=4502.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quyCâu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất 2 phần tử và nếu x ∈ A, y ∈ A, x > y , thì :
46 ĐỀ THI TỐN VÀO 10 HỆ CHUN (CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Mục Lục Trang -2- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Đề số Chuyên Bắc Ninh Năm học 2014-2015 Câu I ( 1, điểm ) Cho phương trình x + 2mx − 2m − = (1) , với ẩn x , tham số m 1) Giải phương trình (1) m = x12 + x22 2) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho nhỏ Câu II ( 1,5 điểm ) Trong hệ toạ độ , gọi (P ) đồ thị hàm số y = x2 (d) đồ thị hàm số y = -x + 1) Vẽ đồ thị (P) (d) Từ , xác định toạ độ giao điểm (P) (d) đồ thị 2) Tìm a b để đồ thị ∆ hàm số y = ax + b song song với (d) cắt (P) điểm có hồnh độ -1 Câu III ( 2,0 điểm ) 1) Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24km Khi từ B trở A người tăng vận tốc thêm 4km so với lúc , thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B x + − x + x (1 − x ) = ) Giải phương trình Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường thẳng AH M 1) Chứng minh năm điểm A, B ,C , D , M thuộc đường tròn 2) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh BM = CD góc BAM = góc OAC 3) Gọi K trung điểm BC , đường thẳng AK cắt OH G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Câu V ( 2, điểm ) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 2) Có thành phố thành phố có thành phố liên lạc với Chứng minh thành phố nói tồn thành phố liên lạc với Trang -3- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Hết Hướng dẫn sơ lược đề thi mơn tốn dành cho tất thí sinh năm học 2014-2015 Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh Câu I ( 1, điểm ) Giải: 1) GPT m =1 + Thay m =1 v (1) ta x2 + 2x - = ( x + ) ( x – ) = x = { - ; } KL : Phương trình có nghiệm phân biệt x = x = 2) xét PT (1) : x + 2mx − 2m − = (1) , với ẩn x , tham số m ∆ '(1) = m + 2m + = (m + 1) + > + Xét PT (1) có phân biệt x1 ; x2 với m (luôn ) với m => PT (1) ln có hai nghiệm + Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có : x1 + x2 = −2m (I ) x1 x2 = −(2m + 6) x12 + x22 + Lại theo đề (I) có :A = = ( x1 + x2 )2 – x1x2 = ( - 2m )2 + ( 2m + ) = 4m2 + 4m + 12 − = ( 2m + 1)2 + 11 ≥ 11 với m => Giá trị nhỏ A 11 m = − KL : m = thỏa mãn yêu cầu toán Câu II ( 1,5 điểm ) Giải : 1) Lập bảng giá trị vẽ đồ thị hàm số: Trang -4- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Dựa vào đồ thị ta có giao điểm d (P) điểm M ( ; 1); N ( -2 ; ) 2) Do đồ thị ∆ hàm số y = ax + b song song với (d) y = -x + Nên ta có: a = -1 ∆ cắt (P) điểm có hồnh độ – nên ta thay x = -1 vào pt (P) ta được: y = Thay x = -1; y = vào pt ∆ ta a = -1 ; b = =>Phương trình ∆ y = - x Câu III ( 2,0 điểm ) Giải: 1) Đổi 30 phút = ½ Gọi x ( km /h ) vận tốc người xe đạp t A -> B ( x > ) Vận tốc người từ B-> A là: x + (km/h) Thời gian người từ A -> B là: Thời gian người đố từ B A là: 24 x 24 x+4 Theo ta có: 24 24 48( x + 4) 48 x x ( x + 4) − = ⇔ − = ⇔ x + x − 192 = x x+4 2 x( x + 4) x( x + 4) x( x + 4) Trang -5- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN => x = 12 ( t/m ) KL : Vậy vận tốc người xe đáp từ A đến B 12 km/h x + 1− x ⇒ 2) ĐKXĐ ≤ x ≤ Đặt < a = + PT : a + a2 −1 = x(1 − x) a2 −1 = ⇔ a + 2a − = ⇔ (a − 1)(a + 3) = a = { -3 ; } => a = > x + 1− x = ⇔ x + − x + x(1 − x) = ⇔ x(1 − x) = + Nếu a = = > x = { ; } ( t/m) KL : Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x = 0; x = Câu IV ( 3,0 điểm ) Giải 1) Chứng minh tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp Do BHCD hình bình hành nên: Ta có: BD//CC’ => BD ⊥ AB => ABD = 90o Có:AA’ ⊥ BC nên: MD ⊥ AA’ => AMD = 90o Trang -6- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN => ABD + AMD = 180o => tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính AD Chứng minh tương tự ta có tứ giác AMDC nội tiếp đường tròn đường kính AD => A, B ,C,D , M nằm đường tròn 2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD + Theo phần 1) BC//MD => góc BAM =góc OAC 3)Chứng minh OK đường trung bình tam giác AHD => OK//AH OK = + Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => G trọng tâm tam giác ABC AH hay OK = AH OK GK = = ⇒ AG = 2GK AH AG (*) , từ suy Câu V ( 2, điểm ) Giải: 1) Giá trị nhỏ P 2011 a =b = 4P = a2 - ab + b2 + 3(a2 + b2 + + 2ab – 4a – 4b ) + 2014 – 12 = (a-b)2 + (a + b – 2)2 +8044 ≥ 8044 P≥ 2011 Dâu “=” xảy a = b => a = b = a + b − = Vậy giá trị nhỏ P 2011 a = b = 2) Gọi thành phố cho A,B,C,D,E,F + Xét thành phố A theo nguyên l í Dirichlet ,trong thành phố lại có thành phố liên lạc với A có thành phố không liên lạc với A ( số thành phố liên lạc với A không vượt số thành phố không liên lạc với A không vượt ngồi A , số thành phố lại khơng vượt q ) Do xảy khả sau : • Khả : số thành phố liên lạc với A khơng , giả sử B,C,D liên lạc với A Theo đề thành phố B,C,D có thành phố liên lạc với Khi thành phố với A tạo thành thành phố đôi liên lạc với Trang -7- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN • Khả : số thành phố không liên lạc với A , không ,giả sử thành phố không liên lạc với A D,E,F Khi thành phố ( A,D,E) D E liên lạc với ( v ì D,E khơng liên lạc với A) Tương tự ( A,E,F) v ( A,F,D) th ì E,F liên lạc với , F D liên lạc với D,E,F l thành phố đôi liên lạc với Vậy ta có ĐPCM Đề số Chuyên Bến Tre Năm học: 2014-2015 Câu 1: (2,5 điểm) A= 3−4 3+4 − +1 5−2 a) Rút gọn biểu thức sau: x +2 x −2 B = − ÷ ÷ x+ x x + x +1 x −1 ( b) Cho biểu thức: ) x > 0, x ≠ với i) Rút gọn biểu thức B ii) Tìm giá trị nguyên x để B nhận giá trị nguyên Câu 2: (2,5 điểm) Cho hệ phương trình mx + y = 3 x + (m + 1) y = −1 a) Giải hệ với m = Trang -8- với m tham số TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN b) Giải biện luận hệ theo m c) Tìm m ngun để hệ có nghiệm số nguyên Câu 3: (2 điểm) Cho phương trình bậc hai: x − mx + m − = (1), với m tham số i) Giải phương trình (1) m = x1 , x2 ii) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 1 x1 + x2 + = x1 x2 2014 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.Gọi M điểm di động cung nhỏ AB(M không trùng với điểm A B) a) Chứng minh MD đường phân giác góc BMC b) Cho AD=2R.Tính diện tích tứ giác ABDC theo R c) Gọi O tâm đường tròn đường kính AD.Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn cung AMB dây AB theo R d) Gọi K giao điểm AB MD,H giao điểm AD MC.Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy ĐÁP ÁN Câu 1: a) Ta có: Trang -9- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN 3−4 3+4 − +1 5− A= (3 = )( ( 3) )− ( − −1 −1 )( ) − ( 3) + 5+ 52 22 − 11 26 + 13 − 11 13 = = 2− − 2+ 4−2 4+2 − 2 2 = −1 − +1 ÷ 2 = −1 − −1 = (−2) = − 2 = ( ) ( ( ) ) x +2 x −2 B = − ÷ ÷ x+ x x + x +1 x −1 ( b) B= = = = ( ( x +2 x +2 ( x+ )( ( − )( x +1 ) ( x + 1) ( x −1 − ) x + x x −1 x −2 ) ( x +1 x −2 ) x − − ( x − x − 2) ( ) x +1 x x ( x + 1) ( x − 1) ) ( )( x +1 ( ) ( ) ) x+ x ( ) x −1 ) x+ x ) x +1 = 2x x −1 i) Với x > 0, x ≠ ta có: B= ii) Ta có: 2x 2( x − 1) + 2 = = 2+ x −1 x −1 x −1 Do x nguyên nên: Trang -10- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Hệ có nghiệm (1;2) c) x2 + 2x – = Có ∆’ = + = > Câu a) Bảng giá trị x -2 -1 y = –x2 -4 -1 -1 -4 Đồ thị: b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): –x2 = 4x – m ⇔ x2 + 4x – m = (1) (d) (P) có điểm chung ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = 22 – (–m) = + m = ⇔ m = –4 Vậy m = –4 Câu a) x2 – 5x + 3m + = Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ = 52 – 4(3m + 1) > ⇔ 21 – 12m > Trang -263- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN 21 12 m< Với m < 21 12 , ta có hệ thức x1 + x2 = x1 x2 = 3m + (Viét) | x1 − x2 |= ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 52 − 4(3m + 1) = 21 − 12m => =>| x12 − x22 |=| ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) |=| 5( x1 − x2 ) |= | x1 − x2 |= 21 − 12m | x12 − x22 |= 15 ⇔ 21 − 12m = 15 ⇔ 21 − 12m = ⇔ 21 − 12m = ⇔ 12m = 12 ⇔ m = Ta có tm Vậy m = giá trị cần tìm ( x − 1) = x − x + 3(1) b) (1) ( x − 1)2 = x − x + ⇔ ( x − x + 1) = x − x + (2) t = t + ⇔ t − t − = ⇔ (t − 2)(t + 1) = Đặt t = x2 – 2x + 1, t≥0, phương trình (2) trở thành t = (tm) t = –1 (loại) Với t = có x2 − x + = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = ± Vậy tập nghiệm phương trình (1) {1− Câu Trang -264- 2;1 + } TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên ACB = ADB = 90o ⇒ FCH = FDH = 90o ⇒ FCH + FDH = 180o Suy tứ giác CHDF nội tiếp b) Vì AH ⊥ BF, BH ⊥ AF nên H trực tâm ∆ AFB ⇒ FH ⊥ AB ⇒ CFH = CBA(= 90o − CAB) ⇒ ∆CFH : ∆CBA( g g ) ⇒ c) Vì FCH = FDH = 90o CF CH = ⇒ CF CA = CH CB CB CA nên tứ giác CHDF nội tiếp đường tròn tâm I đường kính FH => IC = ID Mà OC = OD nên ∆ OCI = ∆ ODI (c.c.c) => COI = DOI => OI phân giác góc COD d) Vì OC = CD = OD = R nên ∆ OCD => COD = 60o Có CAD = COD = 30o => CFD = 90o − CAD = 60o Xét góc nội tiếp góc tâm chắn cung CD (I), có CID = 2CFD = 120o => OIC = OID = CID = 60o Trang -265- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Mặt khác COI = DOI = OI = COD = 30o => OID + DOI = 90o => ∆OID OD 2R = o sin 60 Suy Vậy I ln thuộc đường tròn 2R O; ÷ 3 Câu Từ điều kiện đề ta có ab + bc + ca 1 =3⇔ + + =3 abc a b c Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có: a + bc ≥ a bc = 2a bc ⇒ a ≤ = a + bc 2a bc bc 1 1 1 a 1 1 ≤ + ÷⇒ ≤ + ÷ b c b c a + bc b c b 11 1 c 11 1 ≤ + ÷; ≤ + ÷ b + ca c a c + ab a b Tương tự ta có: a b c 11 1 + + ≤ + + ÷= a + bc b + ca c + ab a b c 2 Suy Trang -266- vuông D TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Đề số 45 Chuyên Sơn La Năm học: 2016-2017 Câu I (2.0 điểm) x P= + ( x > 0; x ≠ 1) ÷: x −1 x − x +1 x− x Cho biểu thức Rút gọn biểu thức P P> Tìm giá trị x để Câu II (1.5 điểm) Cho phương trình: x2-5x+m=0 (1) (m tham số) Giải phương trình m = Tìm m để phương trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn: |x1-x2|=3 Câu III (2.0 điểm) Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc tơ Câu IV ( 3.5 điểm) Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn S1 + S = S Gọi S, S1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: Câu V ( 1.0 điểm) d Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a+b ≤ 2 P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức: HẾT -( Cán coi thi không giải thích thêm) Trang -267- 1 + a b TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƠN LA VÀ PTDT NỘI TRÚ TỈNH SƠN LA NĂM HỌC 2016-2017 Câu I(2đ): a Rút gọn biểu thức: x P= + ( x > 0; x ≠ 1) ÷: x −1 x − x +1 x− x ( x − 1) x = + ÷ ÷ x ( x − 1) x ( x − 1) x = 1+ x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x + 1)( x − 1) x x x −1 = x = P> b)Tìm giá trị x để x −1 > 2( x − 1) > x x > x Với x > 0, x ≠ P> Vậy với x > Câu II(1,5đ): Trang -268- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Với m = phương trình trở thành: ∆ = (−5) − 4.1.6 = 25 − 24 = > x2 − 5x + = a x1 = −(−5) + −(−5) − = 3; x2 = =2 2 => phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 ; x2 b) Để phương trình có nghiệm ta phải có ≥0 (−5) − 4.1.m ≥ 25 − 4m ≥ 25 m ≤ (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai cho ta x1 + x2 = (2) x1 x2 = m Mặt khác theo u cầu tốn phương trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3 hai vế đẳng thức dương, bình phương hai vế ta được: (| x1 − x2 |) = 32 ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 9(3) Thay (2) vào (3) ta được: 52 − m = m = Thoả mãn (1) với m = giá trị cần tìm để phương trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3 Câu III(2đ): v1 v2 (v1 > 0; v > 0, Gọi vận tốc xe thứ xe thứ hai theo thứ tự là: km/giờ) Vì tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên ta có phương trình thứ nhất: v1-v2=10(1) 120 t1 = ( h) v1 Thời gian ô tô thứ hết quảng đường AB là: 120 t2 = ( h) v2 Thời gian ô tô thứ hai hết quảng đường AB là: Vì Ơ tơ thứ đến trước ô tô thứ hai 0,4 nên ta có phương trình thứ hai: 120 120 120(v1 − v2 ) t2 − t1 = 0, − = 0, = 0, 4(2) v2 v1 v1v2 Thay (1) vào (2) ta được: Trang -269- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN 120.10 = 0, => v1v2 = 3000(3) v1v2 v1 = v2 + 10 Từ (1) => thay vào (3) ta được: (3) v2 (v2 + 10) = 3000 v2 + 10v2 − 3000 = v = 50(TM ) v = −55( L) Khi v2=50=>v1=50+10=60 Vậy vận tốc xe thứ 60 km/giờ; vận tốc xe thứ hai 50 km/giờ Câu IV(3,5đ): Xét tứ giác ABCD có : AB = CD OA = OB = OC = OD ( Đường kính đường tròn bán kính đường tròn) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật b Tứ giác ACBD hình chữ nhật nên: = CAD= BCE =90o (1) Lại có CBE sđ BC (góc tạo tiếp tuyến dây cung); = ACD sđ AD (góc nội tiếp), mà BC =AD (do BC = AD cạnh hình chữ nhật)⇒CBE =ACD (2) Từ (1) (2) suy ∆ACD ~ ∆CBE c Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE =DFE (3) Từ (2) (3) suy ACD=DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn a d Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: Trang -270- S1 EB = S EF TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN S1 EB = S EF => S BF = S EF Tương tự ta có S1 S2 + = => S1 + S2 = S S S Từ suy ra: Câu V(1đ): Cách 1: Với a, b ta ln có: (a - b)2 ≥0 a + b − 2ab ≥ a + b ≥ 2ab a + b + 2ab ≥ 4ab (a + b) ≥ 4ab (*) Vì a, b dương nên ab a+ b dương bất đẳng thức (*) trở thành: a +b 1 4 ≥ + ≥ => P ≥ ≤2 ab a+b a b a+b a+b mà a+b 4 => ≥ => P ≥ a +b 2 Dấu “ = ” xảy (a − b)2 = a = b = a + b = 2 Vậy P= Cách 2: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 ≥ 0⇒ (a + b)2 ≥ 4ab => (*) giải tiếp ta co − si co − si 1 } } 2.2 4 P= + ≥ ≥ = ≥ = a b a+b a +b 2 ab Cách 3: Với hai số a > 0, b > ta có Dấu “ = ” xảy a =b = 2 Vậy P= Cách 4: Ta chứng minh toán sau: Cho a, b số dương 1 + ≥ (*) a b a+b Chứng minh rằng: Thật áp dụng vất đẳng thức cô sinh cho hai số dương a b, a + b ≥ ab (1) 1 + ≥2 (2) a b ab Trang -271- 1 ; a b ta được: TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Do vế (1) (2) dương nên nhân vế với vế hai BĐT dương chiều, tađược: 1 ( a + b)( + ) ≥ a b Dấu đẳng thức xảy a=b ≥ Áp dụng (*) => P => P ≥ a+b ≤ 2 => 1 4 ≥ => ≥ = 2(3) a +b 2 a+b 2 a+b dấu "=" xẩy (1), (2) (3) đồng thời xẩy dấu "=" kết hợp với điều kiện ta có: a = b 1 => a = b = = a b a + b = 2 a=b= Khi đó: Vậy minP = Cách 5: Bằng phương pháp tương đương ta chứng minh toán sau: Cho a, b số dương Chứng minh 1 + ≥ a b a+b rằng: => bạn giải tiếp Cách 6: Cho hai số x, y dương a, b hai số ta có: (a + b)2 a b a b (a + b ) ≤ + hay + ≥ (1) x+ y x y x y x+ y ( Bất đẳng thức Svac – xơ) a b = x y Đẳng thức xảy Thật áp dụng bất đẳng thức Bun nhiacopxki cho a 2 b a b2 ÷ ( x )2 + ( y )2 ( + )( x + y ) = + ÷ ÷ ÷ x y x y ÷ 2 a b a b (a + b ) ≥ ( a + b) => ( + )( x + y ) ≥ (a + b) hay + ≥ x y x y x+ y ( ) Áp dụng (1) ta có: 12 12 (1 + 1) (1 + 1) + ≥ hay P ≥ = = ÷ x+ y 2 x y x+ y Dấu "=" xẩy khỉ 1 = a b hay a=b kết hợp với điều kiện ta có:Vậy minP = Hết Trang -272- a=b= TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Đề số 46 Chuyên SPHN Năm học: 2016-2017 Câu (2 điểm) Cho biểu thức minh P = –1 1+ a 1− a 1 P = + −1 − ÷ ÷ ÷ a ÷ − a − + a a 1+ a − 1− a với < a < Chứng Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng d: y = 2mx – với m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm d (P) m = b) Chứng minh với giá trị m, d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi y1, y2 tung độ | y12 − y22 |= A, B Tìm m cho Câu (1,5 điểm) Một người xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách 120 km Vận tốc quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc quãng đường AB sau vận tốc 4 quãng đường AB đầu Khi đến B, người nghỉ 30 phút trở lại A với vận tốc lớn vận tốc quãng đường AB lúc 10 km/h Thời gian kể từ lúc xuất phát A đến xe trở A 8,5 Tính vận tốc xe máy quãng đường người từ B A? Câu (3,0 điểm) Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng M nằm A, B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, dựng hai tam giác AMC BMD Gọi P giao điểm AD BC a) Chứng minh AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB + DP.DA = AB c) Đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC BMPD cắt PA, PB tương ứng E, F Chứng minh CDFE hình thang Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh 5a + + 5b + + 5c + ≥ Trang -273- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN ––––––––Hết––––––– ĐÁP ÁN Câu Với < a < ta có: 1+ a P= + 1+ a − 1− a ( 1− a ) ( 1− a) ( 1+ a) − ( ( ( ) − a − ÷ 2 a÷ 1− a a ) − a 1+ a (1 − a )(1 + a ) − = + 1+ a − 1− a a2 a 1− a 1+ a − 1− a 1− a 1+ a 1+ a 1− a = + − ÷ a2 a ÷ + a − − a 1+ a − 1− a = + a + − a − a + a − (1 − a) − (1 + a) 2a 1+ a − 1− a 1+ a + 1− a − = 1+ a − 1− a =− ) ( 1+ a + 1− a ( )( 1+ a − 1− a ) 2a 1+ a − 1− a ) 2a 1+ a −1+ a 2a =− =− = −1 2a 2a Câu a) Khi m = ta có d : y = 2x – (P): y = –x2 Trang -274- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUN Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: x = −1 + ⇒ y = −3 + 2 Với x = −1 − ⇒ y = −3 − 2 Với Vậy giao điểm ( −1 + )( 2; −3 + 2 ; −1 − 2; −3 − 2 b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P): ) − x = 2mx − ⇔ x + 2mx − = (*) Phương trình (*) có ∆’ = m2 + > ⇒ (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d cắt (P) hai điểm phân biệt Áp dụng Viét ta có: Khi ta có x1 + x2 = −2m ⇒| x1 − x2 |= ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m + = m + x1 x2 = −1 y1 = 2mx1 − ⇒| y12 − y22 |=| (2mx1 − 1) − (2mx2 − 1) | y2 = 2mx2 − ⇒| y12 − y22 |=| (2mx1 − − 2mx2 + 1)(2mx1 − + 2mx2 − 1) |=| m( x1 − x2 )[m( x1 + x2 ) − 1] | =| 4m(2m + 1)( x1 − x2 ) |= m(2m2 + 1) | x1 − x2 |= | m | (2m2 + 1)2 m + | y12 − y22 |= ⇔ 64m2 (2m + 1) (m2 + 1) = 45 ⇔ 64(4m + m + 1)(m + m2 ) = 45 Ta có m +m =t ≥0 Đặt m4 + m2 = Suy m=± Vậy 64t (4t + 1) = 45 ⇔ 256t + 64t − 45 = ⇔ t = có phương trình 16 (vì t ≥ 0) ⇔ 16m + 16m − = ⇔ m = ± 16 2 Câu Gọi vận tốc người xe máy quãng đường AB đầu (90 km) x (km/h) (x > 0) Trang -275- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Vận tốc người xe máy quãng đường AB sau 0,5x (km/h) Vận tốc người xe máy quay trở lại A x + 10 (km/h) 90 30 120 + + + = 8,5 x 0,5 x x + 10 Tổng thời gian chuyến ⇔ 90 60 120 150 120 + + =8⇔ + = ⇔ 75( x + 10) + 60 x = x( x + 10) x x x + 10 x x + 10 ⇔ x − 95 x − 750 = ⇔ x = 30 (do x > 0) Vậy vận tốc xe máy quãng đường người từ B A 30 + 10 = 40 (km/h) Câu a) Vì CMA = DMB = 60o ⇒ CMB = DMA = 120o Xét ∆ CMB ∆ AMD có CM = AM MCB = MAD CMB = DMA ⇒ ∆CMB = ∆AMD (c.g c ) ⇒ MBC = MDA MB = MD Suy AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Vì AMPC tứ giác nội tiếp nên Trang -276- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN CPM = 180o − CAM = 120o = CMB ⇒ ∆CPM : ∆CMB ( g g ) ⇒ ⇒ CP.CB = CM ⇒ CP.CB = CM Vậy Tương tự CP CM = CM CB DP.DA = DM CP.CB + DP.DA = CM + DM = AM + BM = AB c) Ta có EF đường trung trực PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân E Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM ⇒ PE = PM Tương tự PF = PM Ta có CM // DB nên PCM = PBD Mà BMPD tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD Suy PCM = PMD ⇒ ∆CPM : ∆MPD( g g ) ⇒ Ta lại có CPM = DPM = 120o CP PM CP PE = ⇒ = MP PD PF PD Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE hình thang Câu Vì a, b, c khơng âm có tổng nên a (1 − a ) ≥ a ≥ a ≤ a, b, c ≤ ⇒ b(1 − b) ≥ ⇒ b ≥ b c(1 − c ) ≥ c ≥ c 5a + ≥ a + 4a + = ( a + 2) = a + Suy 5b + ≥ b + 2; 5c + ≥ c + Tương tự 5a + + 5b + + 5c + ≥ (a + b + c) + = Do (đpcm) Trang -277- ...TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Mục Lục Trang -2- TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Đề số Chuyên Bắc Ninh Năm học 2014-2015 Câu I ( 1, điểm ) Cho... TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN 90 30 + = x x − 10 180( x − 10) 60 x x ( x − 10) + = x( x − 10) x( x − 10) x( x − 10) 240 x − 1800 = x − 90 x x − 330 x + 1800 = 90 = 3(h) 30 Giải x=30... điểm) Cho hệ phương trình mx + y = 3 x + (m + 1) y = −1 a) Giải hệ với m = Trang -8- với m tham số TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN b) Giải biện luận hệ theo m c) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm