TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO MIN MAX TỔNG TÍCH – ĐA THỨC – NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Tạp chí tư liệu tốn học Các tốn phần đa phần tốn khó tới khó, số khơng phù hợp với kì thi THPT Quốc Gia nên mang tính chất giới thiệu tham khảo, tránh sâu vào vấn đề khơng cần thiết Để làm đa phần toán cần nắm kiến thức bất đẳng thức AM – GM, Cauchy – Schwarz, v.v phép biến đổi, đa thức Chebyshev… Các bạn đón chờ lời giải thời gian tới, sau câu hỏi để bạn luyện tập làm thêm giải trí ngồi học căng thẳng  Rất mong người không ném đá! Câu Giả sử f  x   ax  bx  cx  d có f  x   với x   1; 1 Tính tổng hệ số đa thức f  x  a  b  c  d đạt giá trị lớn A B 1 C D 7 Câu Cho f  x   ax  bx  c thỏa mãn f  1  , f   , f    Tìm max f  x  x  A B C Câu Có đa thức f  x   x  ax  b thỏa mãn f  x   A B C Vô số D với x   1; 1 ? D Câu Cho đa thức f  x   ax  bx  c thỏa mãn f  x   với x   1; 1 Tính giá trị a4  b 4a  3b đạt giá trị lớn c A 16 B C D Câu Giả sử đa thức f  x  có bậc khơng vượt q 4036 thỏa mãn f  k   k   2018; 2018 Tìm max f  x  với x   2018; 2018 A 2.2018 B 2018 C 4.2018 D 2018 Câu Cho hai đa thức f  x   4x  ax g  x   4x  bx  cx  d thỏa mãn điều kiện f  x  , g  x   với x   1; 1 Tính a  b  c  d A Câu Cho f  x   a x B 6 2018  a1x C 2017 D   a 2017 x  a 2018 thỏa mãn f  x   với x   1; 1 Tìm giá trị lớn a 2018 x 2018  a 2017 x 2017   a x  a với x   1; 1 A 2017 B 2017  C 2018 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor D 2018  Chinh phục olympic toán | CÁC BÀI TOÁN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu Hỏi có số tự nhiên n cho Pn  x   a x n  a 1x n 1   a n 1x  a n thỏa mãn Pn  x   với x   1; 1 thë Pn '  x   n với x   1; 1 ? A B C Vô số D Đáp án khác Câu Gọi k, e số thực để giá trị lớn hàm số y  x  kx  e đoạn  1;  đạt giá trị nhỏ Tính k  e ? A 1 B C 3 D Câu 10 Cho đa thức P  x  thỏa mãn P    P    giá trị nhỏ P  x  đoạn  0; 1 -1 Tìm giá trị nhỏ max P  x  x   0; 1 A B C D Câu 11 Gọi a, b số thực để giá trị lớn hàm số y   2;6  x2  ax  b đoạn x1 đạt giá trị nhỏ Hỏi a  b gần với số sau đây? A B 11 D C 13 Câu 12 Phương trënh 8x   2x  8x  8x    có nghiệm khoảng  0;  ? A B C D Câu 13 Tìm số nghiệm dương phương trënh x  2x  8x  x  9x   A B Câu 14 Hỏi phương trënh  x  A B C D x2 x3 x2018     có nghiệm thực ? 2018 C 2018 D 2017 Câu 15 Với số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a  b   7c ta xét hai đa thức P  x   x  ax  bx  c Q  x   x  2x  d Hỏi phương trënh P  Q  x    có tối đa nghiệm thực phân biệt ? A B C D Câu 16 Cho a,b,c 3số nguyên phân biệt đa thức P  x  có hệ số nguyên cho P  a   P  b   P  c   Hỏi phương trënh P  x    có nghiệm nguyên ? A B C D  5 9 13 Câu 17 Tính tổng tất hệ số đa thức nhận số tan , tan , tan , tan 16 16 16 16 B C 4 làm nghiệm A 1 D Câu 18 Giả sử đa thức hệ số thực f  x  có nghiệm thực Hỏi đa thức P  x   f  x   f '  x  có nghiệm thực ? | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN A B C Câu 19 Cho hệ số a, b, c D phương trënh x  ax  bx  c  thỏa mãn a , b , c  2016 Hỏi phương trënh có nghiệm lớn 2017 ? A B C D n Câu 20 Giả sử f  x  đa thức bậc n có hệ số thực thỏa mãn f     0, f '     0, , f       với   R Hỏi f  x  có nghiệm thực lớn  ? A B C n D Câu 21 Giả sử tất nghiệm đa thức f  x  bậc n số thực Hỏi đa thức af  x   f '  x  có nghiệm khơng phải số thực ( a  R ) ? A B C n D n  Câu 22 Giả sử a, b nghiệm đa thức x  x  Hỏi số nghiệm đa thức x  x  x  x  ? A a  b B  a  b  C ab Câu 23 Cho biết bất phương trënh D ab 2011      có tập nghiệm x1 x3 x5 x  2011 hợp khoảng rời Tính tổng độ dài khoảng nghiệm 1010025 1012036 1014049 A B C 2 D 1016064 Câu 24 Cho đa thức f  x  bậc n có n nghiệm thực phân biệt Cho biết tập tất số thực  để f ' f   2018 hợp số hữu hạn khoảng khơng giao Tổng độ dài khoảng ? B A n n 2018 C 2018 D 2018n Câu 25 Cho P  x   x  4x  mx  nx  p có nghiệm a, b, c,d thỏa mãn điều kiện sau a 16  b16  c16  d 16  Tính ab.log cd A e B C e D Câu 26 Với số thực a, b, c giả sử đa thức P  x   x  ax  bx  cx  có nghiệm thực Hỏi có số  a, b, c  để a  b  c đạt giá trị nhỏ ? A B Câu 27 Cho f  x   x  a x n C n 1 D   a n 1 x  a n có n nghiệm thực phân biệt ( n số nguyên dương) Giả sử a1   , a  Tìm giá trị nhỏ n A B C Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor D Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TOÁN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu 28 Xét đa thức P  x   ax  bx  c có hệ số số nguyên a  cho P  x  có nghiệm phân biệt khoảng  0;  Tìm tổng hệ số đa thức có hệ số a nhỏ A B 1 C D 7 Câu 29 Cho hàm số f  x   cos 2x  a cos  x    Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau 2      f  x     max f  x   xR  xR    A C B D 2 sin 2x  cos 2x  Câu 30 Cho f  x   với x  R Gọi M, m max  sin 2x f  x  Tính tổng M  m A e B C e D Câu 31 Cho f  x   a1 sin b1 x  a sin b x   a 2018 sin b 2018 x Giả sử f  x   sin x với x   1; 1 Khẳng định sau ? A a1 b1  a b   a 2018 b 2018  B a1 b1  a b   a 2018 b 2018  C a1 b2018  a b2017   a 2018 b1  D a1 b2018  a b2017   a 2018 b1  Câu 32 Giả sử với x  R ta ln có a  a cos x  a cos 2x   a 2018 cos 2018x  ( a i  R ) Khẳng định sau ? A a  B a  C a  D a  Câu 33 Cho số thực a, b, m, n cho f  x    a cos x  b sin x  m cos 2x  n cos 2x thỏa mãn f  x   với x  R Khẳng định sau nhất? A a  b  B m  n  C a  b  D m  n  Câu 34 Giả sử f  x   2x  ax  bx  c có nghiệm x  3 Tìm giá trị nhỏ max  a , b , c  A B C D   Câu 35 Giả sử đa thức f  x   x 2017  a 1x 2016   a 2016 x  với hệ số ak  k  1; 2016 có 2017 nghiệm thực Tìm f  2017  A 2018 B 2018.2017 C 2018 2017 D 2018 2017 Câu 36 Giả sử đa thức f  x   a 2n x 2n   a x  a 1x  a có tất hệ số a k   100; 101 Tìm số tự nhiên n nhỏ để f  x  có nghiệm thực A 99 | Chinh phục olympic toán B 100 C 49 D 50 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 37 Giả sử k số thực lớn thỏa mãn tính chất: Tất đa thức bậc f  x   x  ax  bx  cx  d với nghiệm thực dương thỏa mãn bất đẳng thức  b  a  c   kd Khẳng định sau ? A k   100; 102  B k   195; 197  C k   193; 195  D k   98; 100  Câu 38 Có số nguyên dương n cho với đa thức hệ số thực f  x  bậc n có n nghiệm thực ta ln có  n    f '  a    nf  a  f ''  a  với a  R ? A B C D Vô số Câu 39 Cho số tự nhiên n  f  x   x 2018  20182 x 2017  a x 2017  a 2016 x  với tất hệ số a i  Giả sử f  x  có 2018 nghiệm thực Gọi M, m max f  2018  Hỏi 2018 M gần với giá trị sau ? m A B C D Câu 40 Cho a,b,c số nguyên phân biệt Hỏi có đa thức P  x  có hệ số số nguyên cho P  a   b, P  b   c, P  c   a ? A B C D Câu 41 Gọi  nghiệm lớn x  3x   Hỏi có chữ số khác chữ số 0; 1; 2; ; 336 chữ số liên tiếp sau dấu phẩy  2018 biểu diễn dạng số thập phân A B C D Câu 42 Xác định hệ số tự a đa thức hệ số nguyên f  x   a n x n   a x  a biết a0  1000 f  18   f  89   2016 A 414 B 413 C 425 D 414 Câu 43 Giả sử đa thức hệ số nguyên f  x  nhận làm hai nghiệm Hỏi f  x  có bao nhiều hệ số không lớn 2 ? A B C D Câu 44 Cho đa thức f  x  bậc có nghiệm thực phân biệt Tìm số nhỏ hệ số khác f  x  ? A B C D Câu 45 Với a, b hai số nguyên, giả sử phương trënh x  ax  bx  ax   có số nghiệm có tích 1 Tích a.b có giá trị ? A B C D Câu 46 Xác định hệ số x khai triển đa thức Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH  P2018  x       x         2              Biết đa thức có 2018 dấu ngoặc 4035  2018 A 4036  2017 B 4035  2017 C 4036  2018 D Câu 47 Tìm số nghiệm đa thức f  x  biết f  x  thỏa mãn f  f  x     f  x   A B C D Câu 48 Giả sử  2016  2016 biểu diễn thành đa thức    ,  Xác định tổng hệ số đa thức A C B 2018 Câu 49 Tính tích T   sin k 1 A 4037 2018 B D k 4037 4036 2018 4037 2017 C D 4036 2017 Câu 50 Tính tổng sau: T  tan  5 9 13  5 9 13    tan  tan  tan   tan  tan  tan  tan  16 16 16 16 16 16 16 16   A 146 B 147 C 148 D 149 1 Câu 51 Cho số thực a, b, c,d thỏa mãn: Hai đồ thị hàm y  2a  y  2c  xb xd 1 cắt điểm Hỏi hai đồ thị hàm y  2b  y  2d  cắt xa xc B C điểm ? A Câu 52 Giả sử k số thực lớn thỏa mãn D 1 k      với x   0;  sin x x   2 Giá trị k ? A B C D Câu 53 Giả sử f  x   x  x  có nghiệm x , x , x , x x Đặt q  x   x  Tính P   q  xi  i 1 A 20 B 21 C 23 D 22 Câu 54 Biết hai đa thức f  x   2x  3ax  6x  g  x   2x  3bx  12x  có chung điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ a  b A 2  | Chinh phục olympic toán B C D Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 55 Với số ngun n  Giả sử a , a , , a n 1 số hữu tỷ thỏa mãn phương trënh a0  a1 n   a n 1 n 3n 1  Tính a0  a1 n 2018   a n 1 n 2018n 1 A 2018 C B 2018 D 2018 Câu 56 Kí hiệu a n giá trị nhỏ đa thức fn  x   x 2n  x 2n 1   x  x  với số tự nhiên n Tính lim a n A B Câu 57 Giả sử f  x   C D 3x  Đặt g n  x   f  f  x   với n lần f Xác định số nguyên x   dương n lớn nhỏ 2018 cho g n  x   x A 2014 B 2015 4n Câu 58 Giả sử S   k 1 C 2016 D 2017 n 1 S   Gọi A tập hợp số tự nhiên n cho k k k 1 S  S Tính số phần tử tập A ? A Vô số B C D Câu 59 Cho biết với x  tồn tam giác mà số đo cạnh số P1  x   x  x  2x  x  1, P2  x   2x  x  2x  1, P3  x   x  Hỏi có khẳng định sai khẳng định sau ? a Cạnh có độ dài lớn tam giác ứng với P1  x  b Chỉ có giá trị x để cạnh có độ dài nhỏ tam giác ứng với P3  x  c Các tam giác ứng với x  cho trước có số đo góc lớn khác  d Số đo góc lớn tam giác x  2018 A B C D Câu 60 Cho đa thức f  x  có bậc 2018 nhận đường thẳng x  2018 làm trục đối xứng 2017 Tính giá trị biểu thức f '  2018   f '''  2018    f    2018  A Vô số B C D Câu 61: Cho số thực a,b,c thỏa mãn f    1, f    1, f  1   với f  x   ax  bx  c Tìm giá trị lớn f  x  đoạn  1; 1 A B C D Câu 62: Tìm S  p  q biết p  q số thực để hàm số y  x  px  q có giá trị x2  lớn giá trị nhỏ 1 A 14 B 13 C 15 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor D 16 Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu 63: Tìm giá trị nguyên dương tham số a  cho hàm số f  x   đạt giá trị lớn nhỏ số nguyên miền nghiệm x  A B C 10 12x  x  a  x2  36 ? D 12 Câu 64: Cho P  x   ax  bx  c thỏa mãn điều kiện P  x   1, x  0; 1 Tìm giá trị nhỏ b? A 7 B 6 C 9 D 8 Câu 65: Cho số a,b thỏa mãn 2a  b  Tìm giá trị nhỏ S  2a   2b  A 1 B C 1 2 D 1 1 Câu 66: Cho số thực a,b,c thỏa mãn abc  a  c  b Tìm giá trị lớn biểu thức 2 P   a 1 b 1 c 1 10 13 A B C D 3 3 Câu 67: Xét phương trënh ax  x  bx    a  0, b   cho nghiệm số 5a  3ab  thực dương Giá trị nhỏ biểu thức P  bằng? a2  b  a  A 15 C 11 B D 12 Câu 68: Cho x,y nguyên không đồng thời Tìm giá trị nhỏ hàm số y  5x  11xy  5y A B C D Câu 69: Cho tập hợp x, y, z, t  1930, 1945, 1975, 1995 Có giá trị x,y,z,t để biểu thức A   x  y    y  z    z  t    t  x  đạt giá trị nhỏ nhất? A B 2 C Câu 70: Cho hàm số f  x  ,g  x  hàm số xác định D Với x,y ta giả sử f  x  y   f  x  y   2f  x  g  y  Biết f  x  không đồng f  x   Tìm giá trị lớn hàm số g  y  A B C D 1 Câu 71: Cho hàm số f  x   x  ax  bx  cx  d Tính tổng S  a  b  c  d giá trị lớn f  x  với x   1; 3 đạt giá trị bé nhất? A B C Câu 72: Cho hàm số f xác định tập số thực, lấy giá trị D 1 thỏa mãn điều kiện f  cot x   sin 2x  cos 2x, x  0;   Gọi m, n GTLN GTNN hàm số g  x   f  sin x  f  cos x  | Chinh phục olympic tốn Tính tổng S  m  n Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN A  24 25 C  B 1 21 25 D  Câu 73: Cho hàm số f  x   ax  bx  c  a   có f  x   f  1  Giá trị nhỏ   ;0  1  hàm số y  f  x  đoạn  ;  bằng? 2  7a B c  A c  8a 16 Câu 74: Cho hàm số f :  0;    C c  9a 16 D c  a   , x   0;  tan x  4 thỏa mãn f  tan 2x   tan x    Tìm giá trị lớn hàm số y  f  sin x   f  cos x   0;   2 A 194 B 195 C 196 Câu 75: Cho hàm số f  x  xác định f  tan x   D 197 thỏa mãn điều kiện    sin 2x  cos 2x, x    ;   2 Với a, b hai số thực thay đổi thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ S  f  a  f  b  A 25 B  C 53 D 53 Câu 76: Cho f  x    a   x     2a  b   x    8a  4b biết max f  x   f  3  Tìm   ;0  1  giá trị lớn hàm số f  x  đoạn  ;  2  A 12 B 11 C 10 D 13 Câu 77: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục có đạo hàm đoạn  1; 1 thỏa mãn f  x   0,g  x   0, x   1; 1 f '  x   g '  x   0, x   1; 1 Gọi m giá trị nhỏ hàm số h  x   2f  x  g  x   g  x  đoạn  1; 1 Mệnh đề đúng? A m  h  1  B m  h   C m  h  1   h   D m  h   Câu 78: Cho số a, b, c cho hàm số f  x   ax  bx  c thỏa mãn f  x   1, x   1; 1 a  cho P  a  2b đạt giá trị lớn Tính tổng S  a  b  c A B C Câu 79: Cho x,y dương Tëm GTNN f  x, y   A B D 4 2 y y x x x y  4 2 2  y x y x y x C D Câu 80: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a  b để hàm số sau có đồ thị cắt trục hồnh f  x   x  ax  bx  ax  Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH A B C D Câu 81: Với a,b,c thỏa mãn điều kiện  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 b  c  4  P   a  1             a  b  c  A 12  2 B 12  C  D  Câu 82: Cho a, b, c, d số nguyên thuộc đoạn  1; 100  a  b  c  d Tìm giá trị nhỏ biểu thức f  a, b, c,d   A 99 360 B a 2c  b d 28 99 C 10 D 99 350   Câu 83: Cho số thực x, a, b, c thỏa mãn a  b2  c2  4, x   0;  Gọi M, m  2 GTLN GTNN hàm số y  a  b sin x  c sin 2x Tính tổng S  M  m A B C D Câu 84: Cho số thực a, b, c thỏa mãn ax  bx  c  10, x   1; 1 biết a  đồng thời biểu thức S  a  b  c đạt giá trị lớn Tính tổng P  a  b  c A B 10 C 20 D 30 Câu 85: Cho c số thực tùy ý x, y, z, a, b số thực dương thỏa mãn đồng thời 1 1  1 1    a điều kiện  x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  b  x  y  z   c     x y z 9b  ac  b c  9a A b a c  3c B a a c  9b a b  9c C D a c x  y  z  t  Câu 86: Cho số thực x, y, z, t cho  Gọi M, m GTLN 2 x  y  z  t  GTNN P  xy  yz  zt  tx Tính tổng S  M  m A B C D a b c d Câu 87: Cho ố thực a, b, c,d khác thỏa mãn điều kiện     4, ac  bd b c d a a b c d Tìm giá trị lớn biểu thức S     c d a b A 10 B 11 C 13 Câu 88: Xét tất tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c  0, x  giá trị nhỏ biểu thức S  10 | Chinh phục olympic tốn D 12 a  b Tìm abc ba Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN A B C D Câu 89: Cho hàm số y  ax  bx  cx  d có đồ thị  C  Biết  C  cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x  x  x  trung điểm đoạn nối điểm cực trị  C  có hồnh độ x  Giá trị lớn biểu thức S  x1  x1 x2  x1 x x m, n số nguyên dương A m phân số tối giản Tính P  2m  3n n B 11 Câu 90: Cho hàm số y  m với n C 14 x2   sin   x  sin   x1 D 15  C  Tìm  để  C   cho khoảng cách điểm cực đại cực tiểu lớn ?   A     k2  B     k 4   C     k2  D     k Câu 91: Tìm số hạng lớn dãy số x n  n  20n  n  13n, n  33955 34915 33915 37715 A B C D 2 2 2mx  y  3m Câu 92: Biết hệ phương trënh  có nghiệm  x1 , y  ,  x , y  Tìm giá trị x  y  4y lớn biểu thức P   x  x    y  y  A C 14 B 16 D 15 a  b    a  b  Câu 93: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn  Gọi M, m  c  d  36  12  c  d  2 giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   a  c    b  d  Tính M  m ? A 197 B 198 C 199 D 200 Câu 94: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn a  b  c  d  Tìm giá trị lớn biểu thức S   a  2b   c  2d   ac  bd A 30 B 30 C 30 D 30 Câu 95: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn a  c  1; b  d  Tìm giá trị lớn  ab  cd biểu thức S   a  c   b  d           A 2 2 B C D Câu 96: Cho số thực a,b thỏa mãn a  b  Tìm giá trị lớn biểu thức 2 S  20a  15a  36b  48b A 14 B 16 C 13 D 15 Câu 97: Với y i  x  0, y y  y y   y n y  , tìm giá trị lớn biểu thức: Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 11 CÁC BÀI TỐN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH f  x, y   A B 2 x  y  x  y  xy   xy  x2  y2   C D  Câu 98: Cho số x,y thỏa mãn  x  2y   sin  x   cos  x    sin  2x   5 x  4y Khi giá trị biểu thức P  sin  2x   cos y có giá trị bao nhiêu? A B C Câu 99: Biết hàm số f  x  liên tục với x  D f  x  nhận giá trị 0, 1, 1, x, x, x , x Hỏi có tất hàm số khác thỏa mãn đề bài? Hai hàm số f1  x  , f2  x  gọi khác có a  A 64 B 187 C 153 mà f1  a   f2  a  D 197 n 1   Câu 100: Với n số nguyên dương x  , xét khai triển Newton  x8  x    x x   Hỏi có số n  2018 cho khai triển biểu thức có số hạng tự ? A 1009 B 403 12 | Chinh phục olympic toán C 1615 D 625 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor