ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN CÔNG MỘT CẢI TIẾN CÁCH CHỌN VÉC TƠ ĐƯA VÀO CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP NÓN XOAY GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HC thái nguyên - năm 2014 I HC THI NGUYấN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN CÔNG [ MỘT CẢI TIẾN CÁCH CHỌN VÉC TƠ ĐƯA VÀO CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP NĨN XOAY GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên, 2014 Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Bài toán quy hoạch tuyến tính phương pháp giải Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát 1.1 Dạng chuẩn dạng tắc 1.2 Đưa toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc Phương pháp đơn hình phương pháp nón xoay 2.1 Phương pháp đơn hình giải tốn QHTT dạng tắc .7 2.2 Phương pháp nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 11 2.2.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính .11 2.2.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình 11 2.2.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M .14 2.2.4 §Þnh nghÜa Nón cực tiểu (Nón-min) 17 2.3 Phương pháp nón xoay tuyến tính 18 2.3.1 Thuật tốn nón xoay tuyến tính 19 2.3.2 Bảng lặp giải tốn qui hoạch tuyến tính thuật tốn nón xoay tuyến tính ví dụ minh hoạ 21 Chương Một cách chọn véc tơ đưa vào sở 26 2.1 Lựa chọn số đưa vào sở 26 2.2 Ví dụ số minh hoạ 30 Tài liệu tham khảo 32 Mở đầu Như biết, tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) có hai dạng dạng chuẩn dạng tắc, hai dạng có quan hệ mật thiết với Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tốn có miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính, tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc tốn quy hoạch có miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính với biến có dấu khơng âm Trong kỷ trước, với phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin, lý thuyết tối ưu có bước tiến lớn, phải nói đến phương pháp thuật tốn giải tốn quy hoạch tuyến tính, gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học L.V Kantorovich (1939), George Dantzig (1947), Lemke (1954), Leonid Khachian (1979), Karmarkar (1984), Nội dung luận văn đề nghị quy tắc chọn số đưa vào sở thuật tốn nón xoay tuyến tính trình bày sách [5] giải trực tiếp toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Cụ thể đề nghị quy tắc chọn số ràng buộc đưa vào sở thay cho sở cũ làm cho số bước lặp tới lời giải giảm Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát hai dạng tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc dạng chuẩn với hai phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình phương pháp nón xoay Chương 2: Nội dung dựa phương pháp nón xoay tuyến tính trình bày chương 1, đề nghị quy tắc MAX giải tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính ví dụ số minh họa Luận văn hoàn thành dựa sách “Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay” [5] sách, tài liệu có phần tài liệu tham khảo Tác giả Vũ Văn Cơng Chương Bài tốn quy hoạch tuyến tính phương pháp giải Trong chương chúng tơi trình bày tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát hai dạng toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc dạng chuẩn Sau trình bày phương pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc phương pháp nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt Để qn lập luận ta xét tốn tìm cực đại, sau ta xét cách chuyển tốn tìm cực tiểu sang tìm cực đại Bài tốn tổng qt quy hoạch tuyến tính có dạng: n f ( x) =< C, x >= ∑ ci xi → max (1.1) i =1 n ∑a ij x j (≤, =, ≥)bi , i = 1, 2, , m j =1 x j ≥ 0, j = 1, 2, , n (1.2) (1.3) Nếu gặp toán Min, tức là: n f ( x) = ∑ c j x j → j =1 x ∈ D Thì giữ nguyên ràng buộc đưa toán Max cách: n f ( x) = −∑ c j x j → max j =1 x∈D Nếu tốn Max có phương án tối ưu x* tốn Min có * phương án x f = − f max Thật vậy, x* phương án tối ưu toán Max nên ta có: n f max Hay = − ∑ c j x* j ≥ j =1 − n n ∑c j =1 n c j x* j ∑ j =1 ≤ ∑c j =1 j j x , ∀x ∈ D j x , ∀x ∈ D j Chứng tỏ x* phương án tối ưu toán Min n f = ∑ c j x* j = − f max j =1 1.1 Dạng chuẩn dạng tắc Người ta thường xét tốn quy hoạch tuyến tính hai dạng sau: • Dạng chuẩn: n ∑c xj → max j j =1 n ∑a ij x j ≤ bi , i = 1, , m j =1 x j ≥ 0, j = 1, , n • Dạng tắc: n ∑c j =1 n ∑a j =1 ij j x j → max x j = b j , i = 1, , m x j ≥ 0, j = 1, , n 1.2 Đưa tốn QHTT dạng chuẩn tắc Bất kỳ quy hoạch tuyến tính đưa hai dạng chuẩn tắc nhờ phép biến đổi tuyến tính sau: Một ràng buộc - Tiếp theo bên phải cột bi (i ∈ I k +1 ) bảng ma trận véc tơ phương i zk +1, ∀i ∈ k nón - Mk+1 tính từ véc tơ phương I +1 zk i nón - Mk bảng lặp bước k theo công thức xoay (2.25) Sau ta tính tốn đến dòng cuối bảng dòng toạ độ đỉnh nón - Mk+1 x k+1 = ∑ bz i i∈I k +1 i k +1 (theo cơng thức (2.26)) Đến bảng nón xoay bước lặp k+1 xây dựng xong Quá trình lặp kết thúc sau hữu hạn bước định lý 2.9 Một số phần tử trung tâm cần ý xây dựng bảng nón xoay thu gọn là: - Giá trị < As , x k > +b s (k = 0,1, dương nằm cột chứa giá trị k k i 2, ) k dấu móc tròn ( < As , x k > ) tương < A , x > +bi (i = 0,1, 2, , m) k +b sk ứng với dòng sk (được cnọn đưa vào sở bước lặp k) theo mục b1) hay b2) thuật tốn nón xoay tuyến tính - Giá trị −> < C , z k sk < A ,z rk k rk i − < C , zk nằm cột chứa giá trị > > ,sk ∀i ∈ I ki sk < A ,z > dấu móc tròn ( r − < C , zr k > k sk ) tương ứng với dòng k rk < A , zk > + (được cnọn đưa sở bước lặp k) theo tiêu chuẩn (2.23) (2.24) thuật tốn nón xoay tuyến tính - Phần tử xoay < As , z r > thuộc cột chứa giá trị , ∀i ∈ k k k k k nằm dấu móc vng [ < As , zk r > ] k k I k Chương Một cách chọn véc tơ đưa vào sở Khi tốn (L) chương có kích thước lớn số chiều toán số lượng ràng buộc việc lựa chọn siêu phẳng đưa vào sở nón cực tiểu (nón – min) mấu chốt để giảm số lượng bước lặp thuật toán đề nghị chương Kết nghiên cứu phương pháp co tiệm cận ngồi giải tốn qui hoạch tuyến tính trình bày [2] đề nghị phương pháp lựa chọn véctơ đưa vào sở bước lặp biết điểm miền ràng buộc toán Trong chương này, đưa cách chọn véctơ đưa vào sở có bước di chuyển sâu phía giá trị hàm mục tiêu phương án tối ưu mà không cần dựa vào việc biết trước điểm chấp nhận toán 2.1 Lựa chọn số đưa vào sở Xét thuật tốn nón xoay tuyến tính trình bày mục 2.3.1 chương 1, bước lặp k (k=1,2,…) với J+(xk) ≠ ∅, giả sử J+(xk):={j∈{1,2, ,m}:+b >0}= {s , , , s s j k1 k2 } klk Với skj (j=1, 2, …, lk), có: < As , x k > +bs > 0, ∀j = 1, 2, , xác kj kj skj skj lk skj định tập I , I ,V theo (2.10),(2.14) (2.35) chọn r ) theo (2.36) (s + k kj Theo định lý 2.9 với skj (j=1, 2, …, lk) nón Mk(rk( skj),skj) với tập số sở tương ứng Ik(rk( skj),skj) = (Ik∪ {skj}\{rk(skj)}) nón cực tiểu (nón - min) hàm mục tiêu tốn (L) Vì /J+(xk)/ = lk, nên bước lặp k, có lk nón cực tiểu (nón - min) hàm mục tiêu Trong số skj ∈ J + ( x k ) (j=1, 2, …, lk) gọi skj số thoả mãn: r (s f (xk) k kj0 k klk ) ) { (s rk rk ( sk1 ) ) = max f (x ), fk(xrk (sk ) ), , f (x k } Rõ ràng f ( x opt x opt )≥ f( x rk ( skj ) k )≥ f( x rk ( skj ) k (3.1) k ) ≥ f ( x ), ∀j = 1, 2, , l (3.2) k lời giải toán Sau bước lặp k đề nghị cách chọn số đưa vào sở thuật tốn nón xoay tuyến tính chương gọi qui tắc chọn sở MAX (hay nói ngắn gọn quy tắc MAX): Gọi J+(xk):={j∈{1,2, ,m}:+bj>0}= {s k , sk 2, , sklk skj skj } skj Với skj (j=1, 2, …, lk ), xác định tập I , I ,V theo (2.8), (2.12) + (2.23) chọn rk (skj ) theo (2.24), sau gọi skj số thoả mãn (3.1), thấy có hai khả năng: Nếu r (s f ( xk k ) kj ) > f ( xk ) (3.3) Khi chọn số đưa vào sở sk = skj0 Nếu r (s ) f ( xk k ) = f ( x k ) (3.4) kj Thì chọn số đưa vào sở theo qui tắc min: tức sk = { j : j ∈ J + ( x k )} Từ (3.1), (3.2) (3.3) cho thấy nón – Mk+1 xây dựng rk ( skj ) với hệ sở Ik+1= ( I k ∪ {skj }) \ {rk (skj )} đỉnh tương ứng x k +1 = xk 0 Theo (3.3) ta có f ( x k +1 ) > f ( x k ) Điều có nghĩa giá trị f(x k +1 ) gần với giá trị f ( x opt ) giá trị f ( x k ) Khi giải toán thực tế có kích thước lớn dạng tốn (L) chương theo thuật tốn nón xoay tuyến tính việc chọn véctơ đưa vào sở theo quy tắc MAX trình bày làm cho số bước lặp giảm Bởi sau bước lặp k bỏ qua hàng loạt nón - cực tiểu mà giá trị hàm mục tiêu đỉnh chúng nằm khoảng ( f ( x ); f ( xkr ( s ) )) Điều có nghĩa k k kj số bước lặp toán từ bước ban đầu bước cuối thu lời giải toán giảm nhiều bước lặp so với việc mà + k bước lặp k chọn véc tơ có số sk tuỳ ý tập J (x ) để đưa vào sở bước k+1 Về thực hành tính tốn giải tốn bảng lặp ví dụ bảng A, phần bảng chứa véc tơ phương zki , thêm vào bên phải 2.lk cột tương ứng với số skj ( j = 1, 2, , lk ) (xem bảng B) Một cột giá tri < A , z i > (i ∈ I s ( j = 1, 2, , l cột bên cạnh kj skj k )) + skj i giá trị f (x )(∀i ∈ I ( j = 1, 2, ,k l + k )) để so sánh giá trị k skj i f ( x )(∀i ∈ I ( j = 1, 2, , chọn số r (s ) theo bước 2.2 thuật l ))k + k k kj tốn nón xoay tuyến tính chương Bước k Cơ sở s i < A k1 , z > k z ik … is k p k s i < A k , zk > s (∀i ∈ I+ k ) (∀i ∈ I+ … …… k … sk i i k k … … k i2 s k … … k i1 f ( x ) i f(x ) f (xik) s i … … … k … i i , zk > f (xk ) skj (∀i ∈ I+ … i f(x ) i sk1 … skj (∀i ∈ I0+ ) ) …… kn Vì hàm mục tiêu tốn qui hoạch tuyến tính (L) f(x)= ta gọi skj số theo (3.1) thoả mãn: r (s f(x k ) kj k r (s ) =< C, x k ) kj  k s  k kj >=< C, x > − < A , x > +b  k kj s rk ( skj ) < C, z > k  ) k k s k = max < C, x > −(< A , x > +b rk ( sk ) k k1 sk < C, z ) +b s k r < A ,z > k1 k > ( sk ) ; ; < C, x k > −(< A skl k rk ( skl ) , xk > ) skl k < C, z k k rk ( sklk ) >  hay skj số thoả mãn: skj Rk s kj k = − < A , x > +bskj0  rk ( kj ) s >  < C, z k = rk ( skj ) skj  < , zk > A s = max  −(< A k , x  < C, z k > +bsk ) x rk ( sk ) > k s ; ; −(< A , klk sk < A ,z k r k ( sk ) < C, z k > +bsklk ) > rk ( skl ) k > k s r ( sklk < A) klk , z k  >  k Do giải tốn qui hoạch tuyến tính với qui tắc chọn véc tơ đưa vào sở theo qui tắc MAX bảng B , cột giá trị skj f ( xki )(∀i ∈ +I ( j = 1, 2, , k l )) thay giá trị tương ứng là: < C , zi k > s s s k  R = − < A , x > (∀i ∈ I )  < A ,zi > +b kj kj kj kj k s kj + s k Bổ đề 3.1: Giải toán (L) tương ứng theo thuật tốn nón xoay tuyến tính mục 2.3.1 với cách chọn số đưa vào sở bước lặp k theo qui tắc MAX đề nghị sau hữu hạn bước lặp, nhận lời giải toán phát tốn khơng có lời giải Bổ đề dễ dàng suy từ định lý 2.9 qui tắc chọn số đưa vào sở MAX nêu Để minh họa cho việc áp dụng phương pháp lựa chọn véctơ đưa vào sở bước lặp trình bày quy tắc MAX trên, giải ví dụ số so sánh với cách giải trước chưa áp dụng quy tắc 30 2.2 Ví dụ số minh họa Giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau:  x1 + x2 →  − x ≤ 1 − x2 ≤   −3x1 − x2 + ≤ −3x − x + ≤  − x1 − x2 + ≤  −2 x1 − 5x + 10 ≤ Theo thuật tốn nón xoay tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm ta có nón cực tiểu ban đầu nón góc phần tư thứ đỉnh gốc tọa độ với tập số sở I0 ={ 1, 2} chọn số đưa vào sở số min, lời giải tìm theo bảng nón xoay thu gọn sau: Cs (1) Bước (3) Bước (4) Bước (2) Bước Bước bi 0 10 0 x x x 3 x 10 x -1 -3 -3 -1 -2 0 1/3 -1/3 1/3 -2/3 -1 5/3 -1/3 5/3 -1 -1 -2 -1 -5 0 0 0 -2/3 1/3 4/3 j j j j j A ( x ) A ( x1 ) A ( x ) A ( x ) A ( x ) -1 -2 -3 -5/3 0 0 -4/3 -3 -6 -10/3 -3 -5/3 0 10 [-3] (1/3) -1 [-1] -1 (1/3) 5/3 [-1/3] -1/3 (1) -2 [-3] 1/2 (1/3) 31 Bảng Lời giải toán nhận sau bước lặp x opt =(5/3, 4/3) 32 Bây giải lại tốn theo thuật tốn nón xoay với quy tắc MAX (2) Bc (1) Bc Bc 0 10 0 x 10 x 10 x -1 -3 -3 -1 -2 0 0 5/3 -1/3 5/3 -1 -1 -2 -1 -5 -2/5 1/5 -2/3 1/3 4/3 j j A( x ) A( x ) 0 10 -3 -1 -2 1 s01=3 -13/5 -1/5 -3 -2 s02=4 1/13 s11=3 -1 -1 s03=5 -11/5 2/11 [-3/5] (1/3) -2/5 -1/5 s12=4 Bảng 2 s13=5 -2 [-5] s04=6 (4) 33 Lời giải toán nhận sau bước lặp x opt =(5/3, 4/3) Chúng ta phân tích bước lặp bảng bảng 2, rõ ràng giải ví dụ theo thuật tốn nón xoay tuyến tính với cách chọn số đưa vào sở số (trong số số ràng buộc vi phạm) để đưa vào sở số bước lặp cho kết bảng bước, áp dụng quy tắc MAX đề nghị số bước lặp đến lời giải cho bảng bước Việc chọn số đưa vào sở theo quy tắc MAX đề nghị sử dụng thuật tốn nón xoay tuyến tính trình bày chương sau bước lặp k bỏ qua nón – cực tiểu mà giá trị hàm mục tiêu đỉnh r k( s chúng nằm khoảng ( f ( ); f ( xk x k kj ) )) Điều có nghĩa số bước lặp toán từ bước ban đầu bước cuối thu lời giải toán giảm nhiều bước lặp so với việc mà bước lặp k chúng + k ta chọn véc tơ có số sk tuỳ ý tập J (x ) để đưa vào sở bước k+1 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu Nhập môn phương pháp tối ưu NXB Khoa học kỹ thuật Năm1998 [2] Lê Thanh Huệ Một số kết tốn quy hoạch tuyến tính Luận án Tiến sĩ Tốn học (Thư viện Viện Toán học, Viện khoa học Công nghệ Việt Nam) Năm 2009 [3] Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu Các phương pháp tối ưu hoá NXB Giao thông vận tải Năm 1998 [4] Phan Quốc Khánh – Trần Huệ Nương Quy hoạch tuyến tính Nhà xuất Giáo dục Năm 2002 [5] Nguyễn Anh Tuấn - Nguyễn Văn Quý Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay NXB giáo dục Việt Nam Năm 2012 Tiếng Anh [6] A.C Belenski Minimization monotone function in a polyhedron set Automatic and Tele-Mechanics 9, 112-121(1982) [7] Nguyen Anh Tuan and Pham Canh Duong Minimization of An Almostconvex and Almost-concave Function Vietnam Journal of Mathematics Volume 24 Number 1.1996 (57-74) [8] H Tuy Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer 1998 ... Phương pháp đơn hình phương pháp nón xoay Trong mục chúng tơi trình bày sơ lược phương pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc phương pháp nón xoay [5] giải tốn quy hoạch tuyến tính. .. hai phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình phương pháp nón xoay Chương 2: Nội dung dựa phương pháp nón xoay tuyến tính trình bày chương 1, đề nghị quy tắc MAX giải tốn quy. .. pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc phương pháp nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát