PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (6,0 điểm) Rút gọn biểu thức: + + − 1 1 1 + 2+ = + + a b c Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: a b c     xy + x xy + x A =  x +1 + + ÷:  − − x +1 ÷  xy + 1 − xy ÷  xy − xy + ÷    Cho biểu thức với x, y > 0; xy≠ a) Rút gọn biểu thức A + =6 y b) Cho x Tìm giá trị lớn biểu thức A Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: 12x − 3x − = 3x +  x + xy − 2y =  x + 5y + =   Giải hệ phương trình: Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x + 4x = 19 − 3y Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A khơng trùng với B C) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC);HM ⊥ AB (M∈ AB); HN ⊥ AC (N ∈ AC) CN  AC  = ÷ 2· 2· sin AMN + c os OAC = BM AB   Chứng minh: Gọi D điểm nằm O C;Kẻ DE ⊥ AB (E∈ AB);DF ⊥ AC (F ∈ AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1 + + =1 Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: + x + y + z x+ y+ z≤ xyz Chứng minh rằng: …………….Hết …….…… Họ tên thí sinh:……………………………… Số báo danh:………………………………… https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Chữ ký giám thị 1:………………… Chữ ký giám thị 2:………………… HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC 2018 - 2019 Nội dung Điể m Câu ( 6, 0điểm) (1,0 đ).Rút gọn + + − Ta có 2+ + 2− = 4+2 + 4−2 = ( + 1) + ( − 1) 0,5 0,5 ( + + − 1) = = ⇒ 2+ + 2− = 2 = ( 2,0 đ) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 0,5 1 1   1 1  + + =  + + ÷ − 2 + + ÷ a b c a b c  ab bc ca  Ta có 0,5 0,5 1 1  a+b+c  =  + + ÷ − 2 ÷ a b c  abc  1 1 =  + + ÷  a b c  (do a + b + c = ) 1 + + =a b c 0,5     xy + x xy + x A =  x +1 + + 1÷:  − − x +1 ÷  xy + 1 − xy ÷ xy − xy + ÷     3.(3,0 đ) Cho biểu thức với x, y > 0; xy ≠ a) Rút gọn biểu thức A + =6 y b) Cho x Tìm giá trị lớn A a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có: A= ( x + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( − xy ) ( = = ( ( ( xy + 1) ( − xy ) : xy + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( − xy ) ( xy + 1) ( − xy ) x + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( − xy ) xy + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( − xy ) = 0,5 = 2+2 x = 2x y + xy xy ; b) (1,0đ) Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương x y , ta có: https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 1,0 0,5 + ≥2 x y ⇒ ≤9 xy xy     Dấu xảy ⇔  + =6 y (do x ) = x y ⇔ x = y = (thỏa mãn) Vậy giá trị lớn A x = y = Câu 2.( 5,0 điểm) 1.(2,5đ) Giải phương trình 12x − 3x − = 3x + x≥− Đ: + =6 x y 0,25 0,5 12x − 3x − = 3x + ( 0,5 ) ⇔ 12x − 3x − = x + 1( ÐK :12x − 3x − ≥ 0) ⇔ 144 x + x + − 72 x3 − 24 x + x = x + ⇔ 144 x − 72 x3 − 15 x + x = ⇔ x 144 x3 − 72 x − 15 x + = 0,5  x = 0(ktm) ⇔ 144 x − 72 x − 15 x + = 0(1) (1) ⇔ ( x + 1) ( 36 x − 27 x + ) = 0,5đ ( )  x = − (tm)  ⇔  36 x − 27 x + = 0(2) Giải (2) tìm hai nghiệm KL nghiệm pt… x1 = 27 + 297 27 − 297 (tm); x2 = (ktm) 72 72 0,5 0,25  x + xy − 2y =  x + 5y + = ( *)   2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình x + xy − y = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = c x = y x = -2y 0,5 0,5 ta đượ Với x = y thay vào phương trình (*) ta pt y2 +5 y +4 = 0,5 Giải phương trình, tìm y = -1; y = -4 Từ tìm x 0,25 Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta 4y + 5y + = Chứng minh 0,5đ phương trình vơ nghiệm KL nghiệm hệ 0,25đ Câu (2,0 điểm) 2 Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x + x = 19 − y https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x + x = 19 − y x + x + = 21 − y ⇔ 2( x + 1) = 3(7 − y ) (1) 0,5 Với x, y nguyên vế trái (1) chia hết từ (1) có: 3(7 − y )M2 ⇒ − y M2 ⇒ y lẻ 0,5 2 Ta lại có − y ≥ nên y = Khi 2( x + 1) = 18 0,5 Ta được: x + = ±3 , đó: x1 = 2; x2 = −4 Các cặp số (2 ; 1), ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1) KL …… 0,25 0,25 Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A khơng trùng với B C) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC);HM ⊥ AB (M∈ AB); HN ⊥ AC (N∈ AC) CN  AC  = ÷ 2· 2· sin AMN + c os OAC = BM AB   Chứng minh: Gọi D điểm nằm O C; Kẻ DE ⊥ AB (E∈ AB);DF ⊥ AC (F ∈ AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1.(2đ) Chứng minh Do sin2 = + cos2 (= = sin2 ) + cos2 CM AC2 = CH.BC ; AB2 = BH.BC Do 0,5 =1 0,25 ⇒ 0,5 (1) CM CH2 =CN.AC ; BH2 = BM AB Kết hợp với (1) ⇒ 0,5 0,25 ⇒ (đpcm) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí 0,5 Talet ta có ( CM DF = AE)(2) CM tương tự có: Nhân vế (3) (2) (3) ta có 0,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số có: 0,25 Từ CM DB.DC = EA.EB + FA.FC.(đpcm) 0,25 3.(1,5đ) CM AMHN hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4) 0,25 CM AH2 = AM.AB ⇒ AM = 0,5 CM tương tự có AN= Từ (4),(5),(6) có (5) (6) SAMHN = 0,5 Vậy giá trị lớn diện tích tứ giác AMHN Khi điểm A thuộc 0,25 đường tròn (O), cho ABC vuông cân A 1 + + =1 Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: + x + y + z Chứng minh rằng: x+ y+ z≤ 1 = a, = b, =c 1+ y 1+ z Ta đặt + x (ĐK: a, b, c > ) 1− a b + c 1− b a + c 1− c a + b ⇒x= = ,y= = ,z = = a a b b c c https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ xyz 0,5 Do x+ CM : y+ z≤ xyz ⇔ a b b c c a + + ≤ b+c c+a c+a a+b a + b b + c (*) a b 1 a b  ≤  + ÷ b+c c+a 2 a+c b+c 0,5 0,5 b c 1 b c  ≤  + ÷ c+a a +b 2b+a c +a  c a 1 c a  ≤  + ÷ a+b b+c 2 c+b a+b  Do a b b c c a 1 a b b c c a  + + ≤  + + + + + = b+c c+a c+a a+b a +b b +c  a +c b +c b +a c + a c +b a +b ÷  Vậy BĐT(*) ln đúng, suy đpcm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài (5 điểm ): Cho biểu thức: A = a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị A c, Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Bài (4,5 điểm ): a, Chứng minh b, Giải phương trình c, Tìm số tự nhiên có chữ số vừa số phương vừa lập phương https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài (4 điểm ): a, Tìm số thực x để đồng thời số nguyên b, Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức +3 Bài (6,5 điểm ): 1, Cho ABC vng A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Bx, Cy vng góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM, cắt Bx Cy P Q Chứng minh: a, AP = BP AQ = CQ b, PC qua trung điểm AH c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động cho góc BAC 90 Tìm vị trí điểm H đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn 2, Chứng minh rằng: Nếu tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Họ tên thí sinh SBD HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018-2019 THỨ TỰ Ý Bài (5đ) a (2đ) b (1,5đ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ c (1,5đ) a (1,5đ) b (1,5đ) Bài (4,5đ) c (1,5đ) Bài (4đ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a (2đ) b (2đ) 0,5đ 1a (2đ) Bài (6,5đ) 1b (1,5đ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1c (1,5đ) 2, (1đ) Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ... tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Họ tên thí sinh SBD HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018- 20 19 THỨ TỰ Ý Bài (5đ) a (2đ) b (1,5đ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ c (1,5đ) a (1,5đ)... NĂM HỌC 2018 – 20 19 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài (5 điểm ): Cho biểu thức: A = a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị A c, Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Bài... giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x + x = 19 − y https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x + x = 19 − y x + x + = 21 − y ⇔ 2( x + 1) = 3(7 − y ) (1) 0,5 Với x, y nguyên vế trái (1)