CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT Bài tốn 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x +x +1 Giá trị đạt x bao nhiêu? (Bài 82b, sách tập toán tập 1, trang 19-Nhà xuất Giáo dục năm 2010) Giải: Đặt: A = x + x + Ta có: A = ( x + x = (x + 3 + ) +1− 4 1 ) + ≥ ∀x 4 Đẳng thức xảy khi: x + Vậy giá trị nhỏ A là: 3 =0 ⇔ x=− 2 , đạt khi: x = − Nhận xét 1.1: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A trên, ta biến đổi biểu thức A dạng: ( ax + b ) + p (1.1) (Với a, b, p số; x biến số) Dựa vào biểu thức tổng quát ta có tốn tương tự thay a, b, p giá trị với lưu ý a ≠ Ví dụ: Cho a = 2; b = 5; p = 4, ta có: ( x + 5) + = x + 20 x + 25 + = x + 20 x + 29 Vậy ta có tốn: Bài 1.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x + 20 x + 29 Giải: Ta có: B = x + 20 x + 29 = x + 20 x + 25 + = ( x + 5) + ≥ 4∀x Vậy minB = 4, đạt khi: x = − a = ; b = 1; p = , ( x + 1) + = x + 2 x + + = x + 2 x + - Cho ta Vậy ta có tốn: Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 2x + 2x + Giải: Ta có: C = x + 2 x + = x + 2 x + + = ( x + 1)2 + ≥ 3∀x Vậy C = 3, đạt khi: x = − 2 - Cho a = 1; b = - ; p = ta có: (x − 2) + = x2 − 2x + + = x − 2x + Nên ta có tốn: Bài 1.3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = x2 − 2x + Giải: Ta có: D = x − 2 x + = x − 2 x + + = ( x − ) + ≥ 3∀x Vậy: D = 3, đạt khi: x = - Cho a = 3; b = ; p = (3 x + ) + ta có: 1 11 = 9x + 5x + + = 9x + 5x + 2 Nên ta có tốn: Bài 1.4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E = x + 5x + 11 Giải: Ta có: E = x + x + ( 11 = x + x + + = 3x + 2 ) + 1 ≥ ∀x 2 có: Vậy: E = − , đạt khi: x = - Cho a = 1; b = - ; p = -2, ta có: (x − 3) − = x − 3x + − = x − 3x + Nên ta có tốn: Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F = x − 3x + Giải: Ta có: F = x − 3x + = x − 3x + − = ( x − ) − ≥ −2∀x Vậy: F = -2, đạt khi: x = Nhận xét 1.2: Ta có ( ax + b ) + p ≥ p ∀x , ( ax + b ) ≥ ∀x Suy ra: ( ax + b ) n ≥ ∀x , với n ∈ N * Vậy mở rộng thêm biểu thức có dạng: ( ax + b ) n + p (1.2) có giá trị nhỏ Ví dụ: Cho a = 1, b = 2, n = 2, p = ta có: ( x + 2) + = ( x + x + 4) + = x + 16 x + 16 + x + 32 x + x + = x + x + 24 x + 32 x + 21 Vậy ta có tốn: Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: G = x + x + 24 x + 32 x + 21 Giải: Ta có: G = x + x + 24 x + 32 x + 21 = x + 16 x + 16 + x3 + 32 x + x + = (x + x + ) + = ( x + ) + ≥ 5∀x Vậy: G = 5, đạt khi: x = -2 - Cho a = 2, b = 1, n = 2, p = - 2, ta có: ( x + 1) + (−2) = ( x + x + 1) − = 16 x + 16 x + + 32 x + x + x − = 16 x + 32 x + 24 x + x − Từ ta có tốn: Bài 1.7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: H = 16 x + 32 x + 24 x + x − Giải: Ta có: H = 16 x + 32 x + 24 x + x − = 16 x + 16 x + + 32 x + x + x − = ( x + x + 1) − = ( x + 1) + (−2) ≥ −2∀x Vậy: H = -2, đạt khi: x = Nhận ( ax + b ) 2n xét 1.3: + p = ( ax + b ) ( ax + b ) + p n Ta −1 nhận thấy biểu thức: n Bây ta thay thừa số (ax + b) n (cx + d)n với n số chẵn xem nào? Khi thay ta có biểu thức: [ ( ax + b ) ( cx + d ) ] n + p Ví dụ: Cho a = 1, b = 0, c = 1, d = 1, p = 1, n = 2, ta có: [ x( x + 1) ] + = x ( x + x + 1) + = x4 + 2x3 + x2 + Vậy ta có tốn: Bài 1.8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: I = x + 2x3 + x + Giải: Ta có I = x + x + x + = x + x3 + x + = x ( x + x + 1) + =  x ( x + 1)  + ≥ 1∀x Vậy: I = 1, đạt khi: x = x = -1 - Cho a = c = 1, d = 1, b = -1, p = 3, n = 2, ta có: (1.3) [ ( x − 1)( x + 1) ] + = ( x − 1) + = x4 − 2x2 + Vậy ta có tốn: Bài 1.9: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: K = x4 − 2x2 + Giải: Ta có: ( ) K = x4 − 2x2 + = x2 − + = [ ( x − 1)( x + 1) ] + ≥ 3∀x Đẳng thức xảy khi: x −1 = x = ⇔ x + =  x = −1 ( x − 1)( x + 1) = ⇔  Vậy K = 3, đạt x = x = -1 - Cho a = 2, b = c = 1, d = 0, n = 2, p = -5, ta có: [ x( x + 1) ] − = x ( x + x + 1) − = 4x + 4x3 + x − Vậy ta có tiếp tốn: Bài 1.10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: L = 4x + 4x3 + x − Giải: Ta có: ( ) L = 4x4 + 4x3 + x2 − = x2 4x2 + 4x + − = [ x( x + 1) ] − ≥ −5∀x Đẳng thức xảy khi: x = x =  −1 2 x + = ⇔  x=   Vậy L = -5, đạt x = 0, x = −1 Nhận xét 1.4: Tiếp tục mở rộng cho biểu thức có chứa biến Ta có: ( ax + b ) m + p ≥ p∀x; a ≠ ( cy + d ) n + q ≥ q∀y; c ≠ ⇒ ( ax + b ) 2m + p + ( cy + d ) 2n + q ≥ p + q∀x, y (1.4) (Trong p, q số, m ∈ N * , n ∈ N * ) Đẳng thức xảy khi: x = −b −d ,y = a c Ví dụ: Cho a = b = d= n = 1, c = p = q =2, ta có biểu thức: ( x + 1) + + ( y + 1) + = x + 2x + + + y + y + + = x + y + 2x + y + Vậy ta có tốn: Bài 1.11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x + y + 2x + y + Giải: Ta có: = x2 + y2 + 2x + y + = ( x + x + 1) + + (4 y + y + 1) + = ( x + 1) + +( y + 1) + ≥ 4∀x, y 2 Đẳng thức xảy khi:  x = −1 x + =  ⇔  −1 2 y + =  y = Vậy M = 4, đạt x = -1, y = -1/2 - Cho a = 2, b = -1, n = m = c =1, d = 2, p+q = Ta có: ( x − 1) + ( y + 2) + = 4x2 − 4x + + y + y + + = 4x2 + y − 4x + y + Vậy ta có tốn: Bài 1.12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: N = 4x2 + y − 4x + y + Giải: Ta có: N = 4x2 + y − 4x + y + = (4 x − x + 1) + ( y + y + 4) + = ( x − 1) + ( y + ) + ≥ 1∀x, y 2 Đẳng thức xảy khi:  2 x − = x = ⇔  y + =  y = −2  x = Vậy N = 1, đạt khi:   y = −2 Nhận xét 1.5: Bây ta thay (ax + b) 2m biểu thức (1.4) bởi: (ax + by)2m biểu thức: (ax + by)2m +(cy + d)2n + t (1.5) có giá trị nhỏ Và tốn dạng mức độ khó tăng lên Ví dụ: Cho a = c = b = d = m = n = 1, t = Ta có: ( x + y ) + ( y + 1) + = x + xy + y + y + y + + = x + y + xy + y + Vậy ta có tốn: Bài 1.13: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y + xy + y + Giải: Ta có: P = x + y + xy + y + = x + xy + y + y + y + + = ( x + y ) + ( y + 1) + ≥ 4∀x, y 2 Vậy P = 4, đạt khi: x = 1, y = -1 Bài tốn sau có dạng trên: Bài 1.14: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Q = (x+y)2+(x+1)2+(y-x)2 (Mục: Sai đâu sửa cho đúng, Tạp chí Tốn Tuổi Thơ số 35, 37) Giải: Ta có: Q = x + xy + y + x + x + + y − xy + x = 3x + x + y + 1 1 = 3( x + x + ) − + y + 2 = 3( x + ) + y + ≥ 3 Đẳng thức xảy khi: x = −1 ,y=0 −1 , đạt khi: x = , y = 3 Vậy Q = Nhận xét 1.6: Bây hạ bậc cho hạng tử chứa biến biểu thức 2m 2n (1.5) ta có biểu thức: ( ax + by ) + ( cy + d ) + t (1.5a) Ta dự đoán xem biểu thức (1.5a) lúc có giá trị nhỏ khơng? Rõ ràng ta thấy biểu thức (1.5a) lớn t nên biểu thức khơng có giá trị nhỏ Vậy để biểu thức (1.5a) có giá trị nhỏ ta cần thay đổi điều gì? Ta cần thay đổi sau biểu thức có giá trị nhỏ nhất: ( ax − by ) 2m + ( cy − d ) 2n +t (1.6) Ví dụ: Cho a = c = t = m = n = 1, b = d = 2, ta có: ( ) ( x − 2y + ) y − +1 = x − 2 xy + y + y − 2 y + + = x + y − 2 xy − 2 y + Vậy ta có tốn: Bài 1.15: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: R = x + y − 2 xy − 2 y + Giải: Điều kiện để biểu thức có nghĩa x ≥ 0, y ≥ Ta có: R = x + y − 2 xy − 2 y + = x − 2 xy + y + y − 2 y + + = ( x − 2y ) +( y− ) + ≥ 1∀x ≥ 0, ∀y ≥ Đẳng thức xảy khi:  x − y = x = y x = ⇔ = (TM)   y − = y = y = Vậy minR = 1, đạt khi: x = 4, y = - Cho a = −1 , b = 3, c = , d = , t = , m = n = 1, ta có: 3 2 2  x   2x 3   +  − − y −     2     x 2x = − xy + y + − x +1 3 = x − xy + y − x + Vậy ta có tốn sau: Bài 1.16: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = x − xy + y − x + (Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Quỳ Hợp năm học 2007 – 2008, lớp 9) Giải: Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: x ≥ 0, y ≥ Ta có: T = x − xy + y − x + = x 2x − xy + y + − x +1 3 2  x   2x 3 −1  − ≥ =  − y  +  − ∀x ≥ 0, ∀y ≥  2 2    Đẳng thức xảy khi:  x x  − 3y = = 3y y=     3  ⇔ ⇔   2x − =  2x = x =    3 2 Vậy minT = (tm) −1 , đạt khi: x = , y = 4 - Cho a = 4009 , b = 3, c = , d = , t = , m = n = 1, ta có: 3 2 2  x   2x  4009   +  + − y −     2     x 2x 4009 = − xy + y + −2 x + + 3 2 = x − xy + y − x + 2006 Vậy ta có tốn sau: Bài 1.17: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau với x ≥ 0, y ≥ : S = x − xy + y − x + 2006 (Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Quỳ Hợp năm học 2005 – 2006, lớp 9, vịng 2) Giải: Ta có: S = x − xy + y − x + 2006 = x 2x − xy + y + − x + 2006 3 2  x   2x  4009 4009  + =  − y  +  − ≥ ∀x ≥ 0, ∀y ≥  3 2     Đẳng thức xảy khi:  x x  − 3y = = 3y y=     3  ⇔ ⇔   2x − =  2x = x =    3 2 Vậy minS = (tm) 4009 , đạt khi: x = , y = 4 Nhận xét 1.7: Như ta xét biểu thức có dạng: ( ax + b ) + p (1.1) 2n ( ax + b ) + p (1.2) n [ ( ax + b ) ( cx + d ) ] + p (1.3) ( ax + b ) m + p + ( cy + d ) n + q (ax + by)2m +(cy + d)2n + t ( ax − by ) 2m + ( cy − d ) 2n +t (1.4) (1.5) (1.6) có giá trị nhỏ nhất, dạng khai triển chúng đa thức Khi tốn u cầu tìm giá trị nhỏ biểu thức, giáo viên cần hướng dẫn học sinh ý điều gì? Khi tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức có dạng đa thức ta cần ý: 1) Đa thức có biến ta liên tưởng đến dạng tổng quát (1.1); (1.2); (1.3) từ để có hướng biến đổi thích hợp 2) Đa thức có biến ta liên tưởng đến dạng tổng quát là: (1.4); (1.5); (1.6) Ta xét đến biểu thức có giá trị nhỏ Vậy từ biểu thức ta suy biểu thức có giá trị lớn nhất? Ta nhận thấy biểu thức A có giá trị nhỏ biểu thức – A có giá trị lớn Vậy biểu thức có dạng tổng quát sau có giá trị lớn nhất: -[ ( ax + b ) + p ] (1.1’) 2n -[ ( ax + b ) + p ] (1.2’) n -{ [ ( ax + b ) ( cx + d ) ] + p } (1.3’) -[ ( ax + b ) m + ( cy + d ) n + t ] -[(ax + by)2m +(cy + d)2n + t] 2m 2n -[ ( ax − by ) + ( cy − d ) + t ] (1.4’) (1.5’) (1.6’) Với việc làm quen làm thành thạo tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức theo dạng phần trước nêu việc tìm giá trị lớn biểu thức tạo thêm dấu “-“ đằng trước biểu thức có giá trị nhỏ thật đơn giản Ví dụ: Ở 1.1: Biểu thức A = x + x + có giá trị nhỏ đạt khi: x = − , biểu thức A ' = −( x + x + 1) có giá trị lớn - , đạt khi: x = − Sau tốn tìm giá trị lớn theo dạng Bài 1.18: Tìm giá trị lớn biểu thức A1 = - 4x(x+1) Hướng dẫn giải: Đây biểu thức có biến nên ta liên tưởng đến dạng tổng quát (1.1’) (1.2’) Nhưng hạng tử có bậc cao nên ta liên tưởng đến dạng tổng quát (1.1’) Ta có: A1 = - 4x(x+1) = -[(4x2+4x+1)-1] = - (2x+1)2 + ≤ ∀x Đẳng thức xảy khi: x = −1 Vậy giá trị lớn A1 là: 1, đạt khi: x = −1 Bài 1.19: Tìm giá trị lớn biểu thức: A2 = - (x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 4) Hướng dẫn giải: Đây biểu thức có biến hạng tử có bậc cao nên ta liên tưởng đến dạng tổng quát (1.2’) (1.3’) Ta có: A2 = - (x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 4) = - [(x2-2x+1)2+3] = - [(x-1)4 +3 ] = -3- (x-1)4 ≤ −3 ∀x Đẳng thức xảy khi: x = Vậy max A2 = -3, đạt x = Bài 1.20: Tìm giá trị lớn biểu thức: A3 = - (x4 – 8x2 + 15) Hướng dẫn giải: Đây biểu thức đơn biến với hạng tử cao có bậc nên ta liên tưởng đến dạng tổng quát (1.2’) (1.3’) Ta có: A3 = - (x4 – 8x2 + 15) = - [(x4-2x2.4+42)-1] = -[(x2-4)2 – 1] = -(x2-4)2 ≤ ∀x Đẳng thức xảy khi: x2 = ⇔ x = x = -2 Bài 1.21: Tìm giá trị lớn biểu thức: A4 = 2009 – x2 – 2x – 4y2 + 4y Hướng dẫn giải Đây biểu thức chứa biến nên ta liên tưởng đến biểu thức tổng quát (1.4’) (1.5’) Nhưng khơng có hạng tử chứa lúc biến x y nên ta liên tưởng đến dạng tổng qt (1.4’) thơi! Ta có: A4 = 2009 – x2 – 2x – 4y2 + 4y = - [(x2 + 2x + 1) + (4y2 – 2.2y + 1) – 2011] = - [(x+1)2 + (2y – 1)2 – 2011] = 2011 - [(x+1)2 + (2y – 1)2 ] ≤ 2011 ∀x, y Đẳng thức xảy khi: x = -1, y = Vậy max A4 = 2011, đạt khi: x = -1, y = Bài 1.22: Tìm giá trị lớn biểu thức: A5 = 2011 – 2(x2 + y2 – y + xy ) Hướng dẫn giải Đây biểu thức có chứa biến có hạng tử xy có chứa biến, ta liên tưởng đến dạng tổng quát (1.5’) Ta có: A5 = 2011 – 2(x2 + y2 – y + xy ) = 2011 – [(2x2 + 2 xy +y2 )+(y2–2 y +1 )] + = 2012 – [( x + y )2+(y-1 )2] ≤ 2012 ∀x, y Đẳng thức xảy khi:  −  2x + y = x = ⇔  y -1 = y =1   − x = Vậy: maxA5 = 2012, đạt khi:  y =1  Bài 1.23: Tìm giá trị lớn biểu thức sau với x, y không âm: A6 = − (3x + y − 3xy − y ) Hướng dẫn giải: Biểu thức A6 có chứa biến với đặc biệt biểu thức dấu có chứa biến Như ta liên tưởng đến biểu thức tổng quát có dạng (1.6’) Ta có: A6 = − (3x + y − 3xy − y ) = − [(3x − 3xy + y ) + (3 y − y.2 + 2)] + = − ( 3x − y ) + ( y − ) ] ≤ ∀x, y không âm 2 Đẳng thức xảy khi:  x=  x − y =  3 x = y  ⇔ ⇔  y =  y − =  y =    x = Vậy max A6 = 5, đạt khi:  y =  Bài 1.24: Tìm giá trị lớn biểu thức: f(x) = x + − x − 3x (Mục: Sai đâu sửa cho số 16,18 tạp chí Tốn Tuổi Thơ 2) Giải: Điều kiện để f(x) có nghĩa là: − x − 3x ≥ ⇔ ( x + 1)(1 − 3x) ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Ta có: - 2f(x) = - 2x -2 ( x + 1)(1 − 3x) = (x-1) - ( x + 1)(1 − 3x) + (1-3x) -2 = ( ) x + − − x − ≥ −2 Suy ra: f(x) ≤ Vậy: max f(x) = 1, đạt khi: x + = − 3x ⇔ x + = − 3x ⇔ 4x = ⇔ x=0 (thỏa mãn điều kiện) Bài tốn 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x2 y2 + + 16 x + 16 y (Đề thi học sinh giỏi cấp THCS năm học 2008-2009 vòng 2, huyện Quỳ Hợp) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho số không âm 16x4, ta có: + 16 x ≥ 16 x = x Tương tự ta có: + 16 y ≥ y Suy ra: P= x2 y2 x2 y2 1 + ≤ + = + = + 16 x + 16 y x y 8 Vậy max P = 1 , đạt khi: x = ± ,y = ± 2 Nhận xét 2.1: Để giải toán ta áp dụng bất đẳng thức Côsy cho mẫu thức biểu thức Sau dùng bất đẳng thức Côsy mẫu, mẫu thức thu chứa biến Để triệt tiêu biến tử cần có thừa số chứa biến với số mũ tương ứng Ta có biểu thức tổng quát sau: ax m dy n + b + cx m e + fy n (a, b, c, d, e, f, số dương; m, n số tự nhiên khác 0) Ta thay a, b, c, d, e, f, m, n, số cụ thể ta có tốn với cách giải tương tự Chẳng hạn cho a = b = c = d = e = f = m = n = 1, ta có tốn sau: Bài 2.1: Tìm giá trị lớn biểu thức: Q= x2 y2 + 1+ x4 1+ y4 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho số không âm x4, ta có: + x ≥ x = 2x Tương tự ta có: 1+ y4 ≥ 2y2 Suy ra: Q= x2 y2 x2 y2 1 + ≤ + = + =1 2 2 1+ x 1+ y 2x 2y Vậy max P = 1, đạt khi: x = ± ,y = ± - Cho a = 1, b = 4, c = 1, d = 2, e = f = m = n = 1, ta có tốn sau: Bài 2.2: Tìm giá trị lớn biểu thức: x2 2y2 M= + + x4 1+ y4 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho số không âm x4, ta có: + x ≥ 4x4 = 4x2 Tương tự ta có: 1+ y4 ≥ 2y2 Suy ra: M= x2 2y2 x2 y2 + ≤ + = +1 = 2 4 + x 1+ y 4x 2y Vậy max M = , đạt khi: x = ± ,y = ± Bài tốn 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 4x + x2 +1 (Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp THCS năm học 2010 – 2011 bảng B, Nghệ An) Giải: Ta có: A= = x + x + x + − ( x + 1) = x2 + x2 +1 ( x + 2) − ( x + 1) x2 +1 ( x + 2) = − ≥ −1∀x x2 +1 Đẳng thức xảy khi: x = -2 Vậy A = -1, đạt khi: x = -2 Nhận xét 3.1: Tổng quát lên ta có biểu thức: ( ax + b ) c2 x2 + d +e Trong a, b, c, d, e số, x biến a ≠ , c + d ≠ Để có tốn tương tự ta thay số số tùy ý với điều kiện Ví dụ: Cho a=c=d=1, b=-1,e=2, ta có tốn sau: Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A3.1 = 3x − x + x2 +1 Giải: Ta có: A3.1 = 3x − x + x2 +1 x2 − 2x + + 2x2 + = x2 + ( x − 1) + x + = x2 +1 ( x − 1) + ≥ 2∀x = x +1 ( ) Đẳng thức xảy khi: x = Vậy A3.1= 2, đạt khi: x = - Cho a = 2, c = , b = d = 1, e = -2, ta có tốn: Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A3.2 = 4x − 2x2 + Giải: Ta có: A3.2 = 4x − 2x2 + 4x2 + 4x + − 4x2 − 2x2 + (2 x + 1) − 2( x + 1) = 2x2 + (2 x + 1) = − ≥ −2∀x 2x2 + = Đẳng thức xảy khi: x = −1 Vậy A3.2 = -2, đạt khi: x = −1 - Cho a = c = , b = 2, d = 1, e = -1, ta có tốn sau: Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A3.3 = 3x + 3x + Giải: Ta có: A3.3 = 3x + 3x + 3x + x + − 3x − 3x + ( x + 2) − (3x + 1) = 3x + ( x + 2) = − ≥ −1∀x 3x + = Đẳng thức xảy khi: x= −2 3 Vậy A3.3 = -1, đạt khi: x= −2 3 Bài toán 4: Cho x>0, y>0, z>0 thỏa mãn: x2011+y2011+z2011=3 Tìm giá trị lớn biểu thức: M = x + y2 + z2 (Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An lớp THCS năm học 2010 - 2011, bảng A) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho số x2011 2009 số ta có: 2011 2011 x 2011 + x 2011 + 1 +1+ = 2011x +  ≥ 2011 ( x ) 2009 sô '1 ⇒ x 2011 + 2009 ≥ 2011x ⇒ x2 ≤ x 2011 + 2009 2011 Tương tự ta có: (1) y2 ≤ y 2011 + 2009 2011 (2) z2 ≤ z 2011 + 2009 2011 (3) 2 Từ (1), (2), (3) suy ra: x + y + z ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 2( x 2011 + y 2011 + z 2011 ) + 3.2009 2011 2.3 + 3.2009 =3 2011 Đẳng thức xảy khi: x = y = z = Vậy max M = 3, đạt khi: x = y = z = Nhận xét 4.1: Với tốn tổng qt hóa ta có tốn sau: Bài 4.1: Cho x m + y m + z m = a , với a số, x>0, y>0, z>0, m>n Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: M1= x n + y n + z n Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho n số xm m - n số a a a a + + + ≥ m.m ( x n ) m ( ) m−n 3 3 x m + x m + + x m + n số m-n số ⇒ nx m + ( m − n) ⇒ xn ≤ a ta có: a a ≥ mx n m ( ) m−n 3 nx m + (m − n) a (1) a m.m ( ) m−n yn ≤ Tương tự ta có: ny m + (m − n) a (2) a m ( ) m−n m zn ≤ nz m +( m −n) a (3) a m.m ( ) m−n Từ (1), (2), (3) ta có: xn + yn + z n ≤ n( x m + y m + z m ) + ( m − n) a a m.m ( ) m−n n na + ma − na a = = = a m m− n m− n a m a m m.( ) ( ) 3 n Vậy max M1 = a m m− n m m −n m , đạt khi: x=y=z= m a Nhận xét 4.2: Từ toán tổng quát ta thay chữ: m, n, a số cụ thể ta có tốn chẳng hạn cho: m = 3, n=2, a=3, ta có tốn sau: Bài 4.2: Cho x + y + z = , x>0, y>0, z>0 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: M2 = x + y + z Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho số x3 số = , ta có: x3 + x3 + ≥ 3.3 ( x )3 = 3x ⇒ 2x3+1 ≥ 3x ⇒ x2 ≤ 2x3 + (1) Tương tự ta có: y2 ≤ y3 + z2 ≤ 2z3 +1 Từ (1), (2), (3) ta có: (2) (3) x2 + y + z ≤ 2( x + y + z ) + 2.3 + = =3 3 Đẳng thức xảy khi: x = y = z = Vậy max M2 = 3, đạt x = y = z = - Cho m = 4, n = 2, a = 3, ta có tốn: Bài 4.3: Cho x + y + z = , x>0, y>0, z>0 Tìm giá trị lớn biểu thức: M3 = x + y + z Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho số x4 số x4 + x4 + 1+1 ≥ 4.4 ( x ) = x ⇒ 2x4+2 ≥ 4x ⇒ x2 ≤ 2x4 + x4 + = (1) Tương tự ta có: y2 ≤ y4 +1 (2) = , ta có: z2 ≤ z4 +1 (3) (x4 + y4 + z ) + 3 + x +y +z ≤ = =3 2 Từ (1), (2), (3) ta có: 2 Đẳng thức xảy khi: x = y = z = Vậy max M3 = 3, đạt x = y = z = - Cho m = 12, n = 3, a = 39, ta có tốn sau: Bài 4.4: Cho x12 + y12 + z12 = 39 , x>0, y>0, z>0 Tìm giá trị lớn biểu thức: M4 = x + y + z Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho số x12 số 39 = 38 , ta có: x12 + x12 +x12+ 38 + 38 + + 38 ≥ 12.12 (38 )9 ( x )12 = 12.36 x ⇒ 3x12+9 38 ≥ 12.36 x ⇒ x3 ≤ 3x12 + 9.38 x12 + 39 = 12.36 4.36 (1) Tương tự ta có: y3 ≤ y12 + 39 4.36 (2) z3 ≤ z12 + 39 4.36 (3) Từ (1), x3 + y + z ≤ ( x + y + z ) + 3.3 + 3.3 4.3 = = = 33 = 27 6 4.3 4.3 4.36 12 (2), 12 12 (3) 9 ta Đẳng thức xảy khi: x = y = z = 12 38 = Vậy max M4 = 27, đạt x = y = z = - Cho m = 2012, n = 4, a = 3504 , ta có tốn sau: Bài 4.5: Cho x 2012 + y 2012 + z 2012 = 3504 , x>0, y>0, z>0 Tìm giá trị lớn biểu thức: M4 = x + y + z có: Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô sy cho số x2012 2008 số x2012 x2012 + 3504 = 3503 , ta có: +x2012+x2012+ 3503 + 3503 + + 3503 ≥ 2012.2012 (3503 ) 2008 ( x ) 2012 = 2012.2008 3502 xsố ⇒ 4x2012+2008 3503 ≥ 2012.3502 x x2012+502 3503 ≥ 503.3502 x ⇒ x4 ≤ x 2012 + 502.3503 503.3502 (1) Tương tự ta có: y4 ≤ y 2012 + 502.3503 503.3502 (2) z4 ≤ z 2012 + 502.3503 503.3502 (3) Từ (1), (2), (3) ta có: x4 + y + z ≤ ( x 2012 + y 2012 + z 2012 ) + 3.502.3503 3504 + 502.3504 503.3504 = = = 32 = 502 502 502 503.3 503.3 503.3 Đẳng thức xảy khi: x = y = z = 2012 3503 = Vậy max M5 = 9, đạt x = y = z = ... ta có tốn sau: Bài 1.16: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = x − xy + y − x + (Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Quỳ Hợp năm học 2007 – 2008, lớp 9) Giải: Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: x ≥ 0,... (1.5’) (1.6’) Với việc làm quen làm thành thạo tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức theo dạng phần trước nêu việc tìm giá trị lớn biểu thức tạo thêm dấu “-“ đằng trước biểu thức có giá trị nhỏ thật đơn giản... 3x ⇔ 4x = ⇔ x=0 (thỏa mãn điều kiện) Bài tốn 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x2 y2 + + 16 x + 16 y (Đề thi học sinh giỏi cấp THCS năm học 2008-2009 vòng 2, huyện Quỳ Hợp) Giải: Áp dụng bất đẳng