Phương pháp hàm phạt • Xét tốn QHTT dạng tắc (1.25), giả thiết (1.26) Xây dựng toán bổ trợ - toán M sau: n m c x j 1 j j n a x j 1 ij j  M  xn i  i 1  xn i  bi , i  1, 2, , m, (1.28) x j  0, j 1, 2, , n  m, với M số dương vô lớn Các biến xni , i  1, 2, , m gọi biến giả, ký hiệu xu vector biến giả Phương pháp hàm phạt • Áp dụng thuật tốn đơn hình cho (1.28), pacscnđ ( x j  0, j  1, n ; xni  bi , i  1, m) với sở tương ứng ma trận đơn vị cấp m • Ta viết ∆j dạng  j   j   j M • Trong bảng đơn hình ta dòng ước lượng chia làm dòng: dòng chứa  j dòng chứa  j • Để xét dấu ∆j so sánh chúng với ta sử dụng quy tắc sau: Phương pháp hàm phạt  j  nÕu j j tùy ý, j j p q  p   q cßn  p ,  q tùy ý, p q  p   q Kết thúc thuật toán giải toán (1.28) ta đến khả sau: (i) Thu phương án tối ưu (x*, xu*) với xu* = Khi rõ ràng x* pa tối ưu toán xuất phát 1.25 Phương pháp hàm phạt (ii) Thu phương án tối ưu (x*, xu*) với xu* ≠ Khi dễ dàng thấy tốn xuất phát khơng có pacnđ (iii) Phát điều kiện đủ để hàm mục tiêu khơng bị chặn Khi tốn xuất phát có pacnd có hàm mục tiêu không bị chặn Để xác định xem tốn xuất phát có pacnd hay khơng cần phải thực pha thứ thuật tốn đơn hình hai pha, tức coi hệ số hàm mục tiêu biến thật xj với j = 1, ,n Và sau làm việc với dòng ước lượng thứ hai (dòng chứa hệ số  j ) Thí dụ 2.4 F(x) = -3x1 + x2 + 3x3 - 3x4  Giải Lập toán M: -  x1 2 x1 x   2 x2  x3  x3  x4  x4  x2  x4 x j  0; j  1,    F(x) = -3x1 + x2 + 3x3 - x4 +Mx5 +Mx6 +Mx7  2 x2  x3  x4  x5 2  x1 2 x1  x3  x4 6 +x6 x  x2  x4  x7   x j  0; j  1,  Rõ ràng tốn M có sở chấp nhận xuất phát B=(A5,A6,A7) Lập bảng đơn hình giải tốn M B A5 A6 A7 CJ M M M k xJ M -3 A1 A2 -1 -1 A3 -1 -1 -3 -2 -1 A4 -1 -1 -1 M A5 0 0 M A6 0 M A7 0 0 hJ A1 A6 A7 -3 M M k 2 A1 A3 A7 -3 M k A1 A3 A4 -3 -1 k M M 14 17 M 0 0 0 0 0 0 -4 -3 -7 -7 -2 -4 -7 -1 -5 -1 1 0 0 0 -3 -2 -2 -5 -2 -3 -2 0 0 -2 -1 -3 -4 -1 -2 -3 1 -1 -1 0 1 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 Bài tốn có phương án tối ưu x* = (14,0,17,5) F* = -3x14 +3x17-1x5 = 0 0 0 0 -1 Khi lập bảng đơn hình giải tốn M cần ý: Để tiện tính tốn ta tách k thành hàng: Một hàng chứa hệ số tự hàng khác chứa hệ số M - Trong bảng đơn hình khơng cần ghi cột biến giả x6,  x7,  x8 chúng khơng ảnh hưởng đến q trình phân tích giải tốn phương pháp đơn hình - Hiệu thuật tốn đơn hình • Một điểm yếu TTĐH lý thuyết, có thời gian tính hàm mũ Điều Klee-Minty ví dụ sau: n n j 10  x j  max, j 1 i 1 210i  j x j  xi  100i 1 , i  1, 2, , n, j 1 x j  0, j  1, 2, , n • Để giải tốn này, Thuật tốn đơn hình đòi hỏi 2n -1 bước lặp Hiệu thuật tốn đơn hình • Ví dụ Klee-Minty với n=3: 100 x1  10 x2  x3 x1 20 x1  200 x1  20 x2 x2  x3  max   100  10000 x1 , x2 , x3  • Trên thực tế: Thuật tốn đơn hình có thời gian tính O(m3) Thuật tốn thời gian tính đa thức giải QHTT Polynomial Algorithms • Ellipsoid (Khachian 1979, 1980) – đòi hỏi thời gian: O(n4 L) • n = số biến số • L = số bít cần thiết để biểu diễn liệu vào – Đây kết mang tính đột phá mặt lý thuyết – Chưa có hiệu thực tế • Karmarkar's algorithm (Karmarkar 1984) – O(n3.5 L) – Có thời gian đa thức cài đặt hiệu • Các thuật toán điểm (Interior point algorithms) – O(n3 L) – Có thể sánh với thuật tốn đơn hình! • Vượt trội so với tt đơn hình giải tốn kích thước lớn – Phương pháp mở rộng để giải toán tổng quát 3.Giải qui hoạch tuyến tính MATLAB Tính tốn khoa học Hàm LINPROG • MATLAB cung cấp hàm linprog để giải tốn QHTT • Dưới số cách sử dụng hàm – X=LINPROG(f,A,b) – X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq) – X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) – X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0) – X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS) – [X,FVAL]=LINPROG( ) – [X,FVAL,EXITFLAG] = LINPROG( ) – [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG( ) – [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=LINPROG( ) Tính tốn khoa học Hàm LINPROG • Lệnh X=LINPROG(f,A,b) giải toán QHTT: { f 'x : A x