SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015 Mơn thi : Tốn Ngày thi : 24 tháng năm 2014 Thời gian làm : 150 phút (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x(5x3  2)  2( x   1)    x (4 y  1)  y  3 2) Giải hệ phương trình  2   x ( x  12 y )  y  Bài II (2,5 điểm) 1) Chứng minh n số nguyên dương 25n  n  4n (3n  5n ) chia hết cho 65 2) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x y  xy  x  3x   3) Tìm số tự nhiên  a1; a2 ; a3 ; ; a2014  thỏa mãn  a1  a2  a3   a2014  2014  2 2  a1  a2  a3   a2014  2014  Bài III (1,5 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  1, tìm giá trị lớn biểu thức Q x y z   x  x  yz y  y  zx z  z  xy Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  , H trung điểm BC M điểm thuộc đoạn thẳng BH ( M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN  BM Gọi I trung điểm MN 1) Chứng minh bốn điểm O, M , H , I thuộc đường tròn 2) Gọi P giao điểm OI AB Chứng minh tam giác MNP tam giác 3) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ Bài V (1,0 điểm) Cho bảng vng kích thước  n (3 hàng; n cột, n số tự nhiên lớn 1) tạo vng nhỏ kích thước 11 Mỗi ô vuông nhỏ tô hai màu xanh đỏ Tìm số n bé để với cách tơ màu ln tìm hình chữ nhật tạo vng nhỏ cho vng nhỏ góc hình chữ nhật màu Hết -Lưu ý : Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh :…………………………… Số báo danh : … …… …… Chữ kí giám thị : ……………………… Chữ kí giám thị : ………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015 Mơn thi : Tốn Ngày thi : 24 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 150 phút (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 5x4  x   2 x    x  y  1  y  3 2) Giải hệ phương trình   x  y  xy  Bài II (2,5 điểm) 1) Chứng minh n số nguyên dương 5n  5n  3n   2n  9n  11n  chia hết cho 21 2) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn 5x2  y  xy  x  y   3) Chứng minh 2014 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , , a2014 thỏa mãn điều kiện 1     ln tìm số a1 a2 a2014 Bài III (1,5 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  1, chứng minh  x2  y  z    x  yz y  zx z  xy Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  , H trung điểm BC M điểm thuộc đoạn thẳng BH ( M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN  BM Gọi I trung điểm MN 1) Chứng minh bốn điểm O, M , H , I thuộc đường tròn 2) Xác định vị trí điểm M để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ 3) Khi điểm M thay đổi thỏa mãn điều kiện đề bài, chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi Bài V (1,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 36 số tự nhiên liên tiếp từ đến 36 Chứng minh 25 phần tử tập hợp A ln tìm phần tử số đôi nguyên tố Hết -Lưu ý: Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………… Số báo danh: …………………………… Chữ kí giám thị 1:…………………… Chữ kí giám thị 2:……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2016 – 2017 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 08 tháng năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) x x  24 B  với x  0, x   x 9 x 8 x 3 1) Tính giá trị biểu thức A x  25 x  2) Chứng minh B  x 3 3) Tìm x để biểu thức P  A.B có giá trị số nguyên Cho hai biểu thức A  Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình : Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2 Nếu tăng chiều dài thêm 10 m giảm chiều rộng m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Bài III (2,0 điểm) 1) 2) a) b)  3x  x   y   Giải hệ phương trình  2x    y2  x  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y  3x  m2  parabol ( P) : y  x Chứng minh (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt với m Gọi x1 x2 hoành độ giao điểm (d ) ( P) Tìm m để ( x1  1)( x2  1)  Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) ( B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C , I khác O ) Đường thẳng AI cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E ) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn AB BD 2) Chứng minh  AE BE 3) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO, d cắt BC điểm K Chứng minh HK // DC 4) Tia CD cắt AO điểm P, tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Bài V (0,5 điểm) Với số thực x, y thỏa mãn x  x   y   y, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y ………… …… Hết ………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : …………………………………… Số báo danh:…… ……….…… Họ tên, chữ kí cán coi thi số : Họ tên, chữ kí cán coi thi số : SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2016 – 2017 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 08 tháng năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) x x  24 B  với x  0, x   x 9 x 8 x 3 1) Tính giá trị biểu thức A x  25 x  2) Chứng minh B  x 3 3) Tìm x để biểu thức P  A.B có giá trị số nguyên Cho hai biểu thức A  Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình : Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2 Nếu tăng chiều dài thêm 10 m giảm chiều rộng m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Bài III (2,0 điểm) 1) 2) a) b)  3x  x   y   Giải hệ phương trình  2x    y2  x  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y  3x  m2  parabol ( P) : y  x Chứng minh (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt với m Gọi x1 x2 hoành độ giao điểm (d ) ( P) Tìm m để ( x1  1)( x2  1)  Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) ( B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C , I khác O ) Đường thẳng AI cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E ) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn AB BD 2) Chứng minh  AE BE 3) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO, d cắt BC điểm K Chứng minh HK // DC 4) Tia CD cắt AO điểm P, tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Bài V (0,5 điểm) Với số thực x, y thỏa mãn x  x   y   y, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y ………… …… Hết ………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : …………………………………… Số báo danh:…… ……….…… Họ tên, chữ kí cán coi thi số : Họ tên, chữ kí cán coi thi số : SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2016 – 2017 Môn thi: Toán Ngày thi: 08 tháng năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM (ĐỀ CHÍNH THỨC) Bài Bài I 2,0 điểm Ý 1) 2) Đáp án Tính giá trị biểu thức… Thay x  25 vào biểu thức A Tính A  13 x 8 Chứng minh B  x 3 B B B   B  3) Bài II 2,0 điểm Điểm 0,5 0,25 0,25 1,0 x x  24  x  ( x  3)( x  3) 0,25 x ( x  3)  x  24  x 3  x 3  0,25 x  x  24  x  3 x  3 x 3  x  8  x  3 0,25 x 3 x  x 3 0,25 Tìm x để biểu thức P  A.B có giá trị số nguyên x 8 P  A.B   x 8 x 3 x 3 7  0 P Ta có  x 3 Mà P  Z  P {1;2} 0,5 0,25 TH1: P   x    x  16(tm) TH2: P   x    x  (tm) 1  Vậy x   ;16 4  0,25 Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình 2,0 Gọi chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật x  m  Đk x  720  m x Chiều dài mảnh vườn sau tăng 10 m x 10  m  Chiều rộng mảnh vườn Chiều rộng mảnh vườn sau giảm m 720   m x 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài III 1) 2,0 điểm  720  Ta có phương trình PT: ( x  10).    720  x   x 10 x –1200  Tìm x1   40 loại ; x2  30 thỏa mãn ĐK Vậy mảnh vườn có chiều dài 30 m, chiều rộng 24 m Giải hệ phương trình x Đkxđ: x  y  2 Đặt  a b y2 x 1 3a  2b  Ta có hệ:   2a  b  a  Giải  b 1  x  x   x  2x   từ ta có   1  y  1  y   x2  (tmđk)  y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2; 1 2a) Chứng minh (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt … a) Hoành độ giao điểm (d ) ( P) nghiệm phương trình: x  3x  m2   x  3x  m2   1 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Xét Δ   3   m2  1  4m2   0 , m 2b) 1) Bài IV 3,5 điểm Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m hay (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt m Tìm m để ( x1  1)( x2  1)  Ta có x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) 0,25 0,5 Suy ra: x1  x2  x1 x2  m2  ( x1  1)( x2  1)   ( x1  x2 )  x1.x2  (*) 0,25 thay x1  x2  x1 x2  m2  vào (*) ta có: 0,25  m2    m  2 Vậy m  2 Chứng bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn B Vẽ hình câu a A + Chứng minh ABO  900 + Chứng minh AHO  900 O D H I E C + Suy bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn đường kính AO 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 2) Chứng minh AB BD  AE BE 1,0 B O A D I H E K C 3) + Chứng minh ABD  AEB 0,25 + Xét ABD AEB có EAB chung + Chứng minh ABD đồng dạng AEB (g.g) AB BD  + Suy AE BE Chứng minh HK // DC 0,25 0,25 0,25 1,0 + Tứ giác ABOH nội tiếp suy OBH  OAH mà OAH  HEK (do EK // AO ) suy HBK  HEK + Suy tứ giác BHKE nội tiếp 4) + Chứng minh BKH  BCD (cùng BEH ) + Kết luận HK // DC Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 B F A P O Q D H M I K E C Gọi giao điểm tia CE tia AO Q , Tia EK CD điểm M + Xét DEM có HK // DM H trung điểm đoạn DE Suy K trung điểm đoạn thẳng ME CK KE MK + ME // PQ Suy tỉ số: (cùng ) Suy O  CO OQ OP trung điểm đoạn PQ + OP  OQ; OB  OC Suy tứ giác BPCQ hình bình hành Suy CE // BF + Chứng minh COE  BOF (g.c.g)  OE  OF Mà OB  OC  OE  OB  OC  OE  OF Suy tứ giác BECF hình chữ nhật 0,25 0,25 Bài V 0,5 điểm Tìm giá trị lớn P  x  y Điều kiện x  6 y  6 0,5 Từ giả thiết ta có P  x   y  Nên P  P  P  12   x  6 y  6 Mặt khác theo Cauchy ta có  x  6 y  6  P  12  x   y   2P  24  P  2P   25   P  1  25  P  P2  P  12  0,25 x   y  x   (tmđk) P   x  y  y    Vậy giá trị lớn P x  y  Tìm giá trị GTNN P  x  y Ta có P  P  P  12  Vì  x  6 y  6  x  6 y  6   P2  P  12   (P 4)(P 3)   P  P   x  6  x  10  (tmđk) P   y  10 y      x  6  x  10 Vậy giá trị nhỏ P    y  10  y  6 Lưu ý: - Điểm toàn để lẻ đến 0,25 - Các cách làm khác cho điểm tối đa - Bài IV: Thí sinh vẽ sai hình phạm vi câu khơng tính điểm câu 0,25 Lời giải cách khác Bài V: Cách Chứng minh:  a  b    a  b2  ; P  x  y  x   y  Vì P  Xét P   x6  y6    x  y  12  ;  P2  2P  24  4  P  Vậy GTLN P  x  y  Cách x  15 x  15 y  15 y  15  y      x  6    y  6   x  6  6 x  y  30  P  Vậy GTNN P  x  y   P  x y   x   a Cách Đặt   a   b2   a  b   a  b   2ab  a  b  12  y   b  P  P  12  2ab  P  2P  24  (vì 2 Vậy GTNN P  x  y   a  b 2ab  2 ) P  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016 – 2017 Mơn thi : TỐN Ngày thi : 09 tháng năm 2016 Thời gian làm : 150 phút (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x  x3  x   x  x    x2  y  4x  2) Giải hệ phương trình  2 4 x  xy  y  y    Bài II (2,0 điểm) 1) Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn a3  b3  c3  3abc ab bc ca   abc  Tính P  a  b2  c2 b2  c  a c  a  b2 2) Tìm t t cặp số tự nhiên ( x; y ) thỏa mãn x.x  y  y  16 Bài III (2,0 điểm) 1) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh 2a 2b 2c    a  b  c a  b2 b  c c  a 2) Cho số nguyên dương n thỏa mãn  12n2  số nguyên Chứng minh  12n2  số phương Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BB, CC ' cắt điểm H Gọi M trung điểm BC Tia MH cắt đường tròn (O) điểm P 1) Chứng minh hai tam giác BPC ' CPB ' đồng dạng 2) Các đường phân giác góc BPC ', CPB ' cắt AB, AC điểm E F Gọi O ' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ; K giao điểm HM AO ' a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp b) Chứng minh tiếp tuyến E F đường tròn (O ') cắt điểm nằm đường tròn (O) Bài V (1,0 điểm) Cho 2017 số hữu tỷ dương viết đường tròn Chứng minh tồn hai số viết cạnh đường tròn cho bỏ hai số 2015 số lại khơng thể chia thành hai nhóm mà tổng số nhóm Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : ………………………………… Số báo danh :…… ……….…… Họ tên, chữ kí cán coi thi số : Họ tên, chữ kí cán coi thi số : SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016 – 2017 Môn thi : To n Ngày thi : 09 tháng năm 2016 (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) ĐỀ CHÍNH THỨC BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM I 2,0   Giải phương trình x  x3  x  x  x  Đk: x  x    1,0   x  x3  x  x  x   x  x3  x  x  x  x  x      2 x  x   0,25  x  x  x  x  x  x  (1) Đặt t  t4 t2   t   t  t   t  2t    t  t  TH1: t   x  x  (tmđk)  Từ (1)     TH2: t   x  x   x  x     x  1 x    0,5 0,25  x  1 x  (tmđk) Vậy tập nghiệm phương trình S  1;0;1; 2  x2  y  x  (1) Giải hệ phương trình  2 4 x  xy  y  y   (2) Lấy (1)+(2) ta x  xy  y  x  x     2x  y    x  2 2 1,0 0,5 0  x2  x2   2 x  y   y  2 Thử lại ta x  y  0,25 Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y   2;  II 0,25 2,0 Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn a3  b3  c3  3abc 2 a3  b3  c3  3abc   a  b  c   a  b    b  c    c  a      a  b  c    abc 1,0 0,5 Vì a, b, c đôi khác nên a  b  c  ab bc ca   a  b2  c2 b2  c  a c  a  b2 ab bc ca 1     (a  b  c)  2ab 2bc 2ca P ìm t t c p số ngu n ương  x; y  thỏa mãn x.x  y  y  16 0,5 1,0 x.x  y  y  16  x.x   y  1  15 TH1: x lẻ  x  2k   22 k 1.x  2.4k.x Vì 4k chia dư x chia dư  2.4k x chia dư 2 Mà  y  1  15 chia dư Vậy không thỏa mãn 0,25 TH2: Nếu x chẵn  x  2k  22 k x   y  1  15     2k x  y  2k.x  y   15  Vì x, y  0,25     2k.x  y   2k.x  y  nên ta có y2  k x  y    *)  k  k 2 x  y   15 2 2k   kotm   k x  y    y  *)  k  k  y  k   x  2 k  x  y     Vậy x  y  0,5 III Cho số thực ương a, b, c thỏa mãn a  b2  c  1,0  2a 2b 2c 2ab   2bc   2ca     a   b   c        a  b2 b  c c  a  a  b2   b  c2   c  a2   2ab 2bc 2ca   2(a  b  c)     2   ab bc ca  0,25 Mặt khác ta có : a  b2  2b a ; b  c  2c b ; c  a  2a c  2ab 2bc 2ca  b  ab c  bc a  ca    b a c b a c     2  2  ab bc ca  a  b  c  ab  bc  ca  abc Ta cần cm 2(a  b  c)   (a  b  c)  (ab  bc  ca)    Vì (a  b  c)2  3(a  b  c )   a  b  c   (a  b  c)2  3(ab  bc  ca)  (a  b  c)(ab  bc  ca)  a  b  c  ab  bc  ca 2a 2b 2c    a  b  c Vậy a  b2 b  c c  a 2 0,25 0,25 0,25 Chứng minh  12n2  số phương 1,0 Đặt A   12n2  Ta có A   12n2   A2  A  48n (1) Từ (1) ta có A2  A  A  2k  k    0,25 Thay vào (1) ta có k  2k  12n2 (2) Từ (2) ta có k  k  2m Thay vào (2) ta có m  m  1  3n Vì  m, m  1  nên m  m  1 TH1: m  m  3a m   b  a, b    3a  b   b   3a vô lý TH2: m   m  a m   3b  a, b  2  0,25  A  4m  4a   2a  số phương 2  0,25  0,25 IV Chứng minh hai tam giác BPC ' CPB ' đồng ạng Gọi L điểm đối xứng A qua O  BHCL hình bình hành  HL qua trung điểm BC Do P, H , M , L thẳng hàng  APH  900  A, P, C , H , B ' thuộc đường tròn đường kính AH  AB ' P  AC ' P  PC ' B  PB ' C Lại có: PBC '  PBA  PCA  PCB '  ΔPBC ' đồng dạng ΔPCB ' Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp EB PB FC PC Do PE phân giác BPC '  (1) tương tự (2)   EC  PC  FB PB PB PC EB FC Mà (3) Từ (1), (2), (3)  (4)   PC  PB ' EC  FB ' lại có ΔBHC ' đồng dạng ΔCHB ' (5) PE HE Từ (4), (5) ta có E , H , F thẳng hàng   PH phân giác góc PF HF EPF  PH qua điểm cung EF khơng chứa A Lại có ΔAEF cân A  AO ' phân giác EAF  AO ' qua điểm cung EF khơng chứa A Từ K giao điểm AO ' với PH thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔAEF  tứ giác PEKF nội tiếp Chứng minh tiếp tuyến E , F … Gọi D điểm cung BC khơng chứa A đường tròn ngoại tiếp ΔABC , Q điểm đối xứng D qua BC  tứ giác BHQC nội tiếp 1,0 0,25 0,5 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25  HBQ  HCQ Gọi E ' giao điểm HQ AB  BHE '  QCB  QHC  QBC  Lại có QHC  E ' HC '  BHE '  C ' HE '  HE ' phân giác BHC '  E '  E   QBC  QCB Hay Q  EF 1800  Aˆ  AEF Ta có DQ phân giác BDC  QDB  0,25  tứ giác BDQE nội tiếp 1800  A A  900   AEO '  BED  900  O ' E  DE Ta có BED  BQD  2   DE tiếp tuyến  O  0,25 Tương tự DF tiếp tuyến đường tròn  O  Do tiếp tuyến đường tròn  O  E F cắt điểm D nằm V đường tròn ngoại tiếp ΔABC Cho 2017 số hữu tỷ ương viết xung quanh đường tròn Giả sử ta khơng thể tìm hai số Khơng tính tổng qt ta cho số số nguyên dương không chẵn Gọi S tổng tất số đề Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu S số chẵn Ta có số khơng thể số lẻ, suy có số chẵn, có hai số cạnh khác tính chẵn lẻ, bỏ hai số ta thấy số lại khơng thể chia thành hai nhóm mà tổng số hai nhóm Trường hợp 2: Nếu S số lẻ Tồn hai số cạnh có tính chẵn lẻ (vì khơng chúng chẵn-lẻ luân phiên, xảy điều 2017 số lẻ), bỏ hai số ta thấy số lại khơng thể chia thành hai nhóm mà tổng số hai nhóm Vậy tồn hai số viết cạnh đường tròn để bỏ hai số 2015 số lại khơng thể chia thành hai nhóm mà tổng số nhóm 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý :1) Nếu thí sinh có cách giải mà khác với hướng dẫn chấm giám khảo thống chia điểm dựa vào hướng dẫn chấm dành cho câu hay ý 2) Bài IV : học sinh khơng có hình vẽ tương ứng khơng cho điểm 3) Điểm tổng toàn để lẻ đến 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016 – 2017 Môn thi : TOÁN Ngày thi : 09 tháng năm 2016 Thời gian làm : 150 phút (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình  x  1   x  x  x2  y  2x  y  2) Giải hệ phương trình  2 x  y  Bài II (2,0 điểm) 1) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a3  b3  c3  3abc a  b  c  Tính P  a2 b2 c2   b2  c2 c2  a a  b2 2) Tìm t t cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x  y  3xy  x  y   Bài III (2,0 điểm) 1) Tìm t t cặp số nguyên dương (m; n) cho (2m  1) n (2n  1) m 2) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c 11 1        2 ab bc ca 4 a b c  Bài IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường tròn Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A, B tiếp điểm) Đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) C D ( MC  MD) cho điểm O nằm tam giác BCD Gọi E điểm đối xứng C qua O Gọi S giao điểm EA BC 1) Chứng minh hai tam giác OAC MAS đồng dạng 2) Đường thẳng SD cắt (O) điểm thứ hai K Chứng minh tam giác BKC cân 3) Gọi N giao điểm MO AE Chứng minh ND  DA Bài V (1,0 điểm) Cho 101 số nguyên dương có tổng 300 viết đường tròn Chứng minh ln tồn dãy số viết liền có tổng 100 Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : ………………………………… Số báo danh :…… ……….…… Họ tên, chữ kí cán coi thi số : Họ tên, chữ kí cán coi thi số : SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016 – 2017 Môn thi : To n Ngày thi : 09 tháng năm 2016 (Dành cho thí sinh thi chun Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC BÀI I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 2,0 Giải phương trình  x  1   x  x 1,0 Điều kiện: x  x   x  1   x2  x   x2  x    x2  x   x2  x    x2  x    x2  x   x2  x    x  x  1 l   17 (tmđk)  x2  x    x   2  x x 2 Vậy phương trình có nghiệm x   17 Giải hệ phương trình 1,0  x  y  1 x  y  3   x2  y     x 1  x  y 1  y  TH1:  2    x  2 x  y 5    y  1 0,25 0,25  x   x  y   y  TH2:  2  x   x  y 5    y  Vậy hệ có nghiệm 1;  ;  2;1 ;  2; 1 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  3abc a  b  c  3 0,25 0,25 II 2 a3  b3  c3  3abc   a  b  c   a  b    b  c    c  a      a  b  c   Vì a  b  c  nên a  b  c  abc Thay a  b  c vào tính P  2 0,25 0,25 2  x2  y  2x  y   x  1   y       x2  y   x  y  0,5 ìm t t c p số ngu n  x; y  thỏa mãn x  y  3xy  x  y   2,0 1,0 0,5 0,25 0,25 1,0 x  y  3xy  x  y    x  xy  xy  y  x  y    x  y  x  y    x  y   0,5   x  y   x  y   Lập bảng x y2 x  2y 5 1 5 1 x 13 5 y 2 6 6 Vậy cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn 1;  ; 13; 6  ;  7; 6  ;  5;  0,25 0,25 III Tìm tất cặp số nguyên dương (m; n) cho (2m  1) n (2n  1) m 1,0 Giả sử  m; n  cặp số thỏa mãn u cầu tốn Vì 2m  2n  số lẻ nên m n số lẻ Khơng tính tổng quát, giả sử m  n Xét trường hợp TH1: n  Ta có m  m  TH2: n  Ta có m Mà m lẻ m   m  TH3: n  Vì  2m  1 n nên UCLN  m, n   (1) 0,25 0,25  2m  2n  1 m Từ giả thiết ta có    2m  2n  1 n Kết hợp với (1) ta có  2m  2n  1 mn (2) 0,25 Nhưng mn  5m  2m  2m  2m  2n    (2) xảy Thử lại ta cặp  m; n  thỏa mãn 1;1 ,  3;5 ,  5;3 0,25 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1,0 a a a a 1 3 1   2       2 ab a a  b  c  b a  b  ab  ac 3ab  ac 3b  c 16  b c  0,5 Tương tự b 3 1 c 3 1         2 ca 16  a b  b  c 16  c a  0,25 a b c 1 1 11 1             2 ab bc ca 16  a b c   a b c  Dấu xảy a  b  c  0,25 Chứng minh tam giác OAC MAS đồng dạng 1,0 Vậy ta có IV Xét ΔAOM ΔACS có AOM  AOB  AEB  ACS (1) Và OAM  CAS  900 (2) Từ (1) (2) ΔAOM đồng dạng ΔACF  0,25 AO AM  (3) AC AS 0,25 Xét ΔOAC ΔMAS có OAC  900  CAM  SAM (4) Từ (3) (4)  ΔOAC đồng dạng ΔMAS Chứng minh tam giác BKC cân Do ΔOAC cân O ΔOAC đồng dạng ΔMAS   ΔMAS cân M  MS  MA  MB  ΔMBS cân M  MSB  MBS  MDB  tứ giác MBDS nội tiếp  KDC  SDM  SBM  BDM  BDC  C điểm cung BK  ΔBKC cân C Chứng minh ND  DA 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 BNM  ANM  SNM  900  NAH  900  EAB  BEC  SBM H giao điểm AB OM  tứ giác BMSN nội tiếp, mà tứ giác MSDB nội tiếp  N nằm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMSD Xét tam giác DEN tam giác DCA có: DEN  DEA  DCA (1) DNE  180  DNS  1800  DBS  DAC (2) V 0,5 0,5 Từ (1) (2) ta có NDE  ADC Mà EDC  900  NDA  900  ND  DA 0,5 Chứng minh tồn 1,0 Gọi số nguyên dương theo thứ tự đường tròn a1; a2 ; ; a101 Xét tổng S1  a1 ; S2  a1  a2 ;…; S100  a1  a2   a100 TH1: Nếu số S1 , S2 , , S100 tồn số chia hết cho 100 , giả sử S k suy Sk  100 số a1 , a2 , , ak thỏa mãn đầu Sk  200 số ak 1  ak    a101  100 thỏa mãn đầu TH2: Nếu số S1 , S2 , , S100 không tồn số chia hết cho 100, theo nguyên tắc Đirichlet tồn hai số số dư chia cho 100 giả sử Sk , Sm suy Sk  Sm  am1   ak  100 số am1   ak  100 thỏa mãn đầu Sk  Sm  am1   ak  200 số am1   ak  200  ak 1   a101   am1  100 thỏa mãn đầu - Điểm toàn để lẻ đến 0,25 - Các cách làm khác cho điểm tối đa - Bài IV: Thí sinh vẽ sai hình phạm vi câu khơng tính điểm câu 0,5 0,5 UBND QUẬN LONG BIÊN TRƯỜNG THCS ĐỨC GIANG ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 - THPT NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Cho hai biểu thức:  A  x 1 B   x 3    x   : x 1 x0;x 1; x 9 x  x   x   1) Tính giá trị biểu thức A x = 49 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị nguyên x để hiệu A – B có giá trị số tự nhiên Bài 2: (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một canơ chạy sơng giờ, xi dòng 54 km ngược dòng 63 km Một lần khác, dòng sơng đó, canơ chạy giờ, xi dòng 108 km ngược dòng 84 km Tính vận tốc riêng canơ, biết vận tốc dòng nước vận tốc riêng canô không đổi Bài 3: (2 điểm)   x y 1    x2  1) Giải hệ phương trình:   5 x y 3  x 2) Cho phương trình: x2  5x  m   (ẩn: x) (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1; x2 thỏa mãn hệ thức: x13  x23  10  x1  x2  Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC Gọi D điểm cố định thuộc đoạn thẳng OC (D  O; D  C) Dựng đường thẳng d vng góc với BC điểm D, đường thẳng d cắt nửa đường tròn (O) điểm A Trên cung AC lấy điểm M (M  A; M  C), tia BM cắt đường thẳng d điểm K, tia CM cắt đường thẳng d điểm E Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) điểm N (N  B) 1) Chứng minh: Tứ giác CDNE nội tiếp 2) Chứng minh: Ba điểm C, K, N thẳng hàng CD.BD = KD.DE 3) Tiếp tuyến N nửa đường tròng (O) cắt đường thẳng d F Chứng minh: F trung điểm KE OF  MN 4) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp BKE Chứng minh I nằm đường thẳng cố định Bài 5: (0,5 điểm) Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn x.y=2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  12 x y 2x  y UBND QUẬN LONG BIÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 - THPT TRƯỜNG THCS ĐỨC GIANG NĂM HỌC: 2015-2016 MƠN: TỐN THỜI GIAN: 120 PHÚT Đáp án- Biểu điểm chấm Bài Đáp án 1.Tính giá trị biểu thức A Thay x =49 ( thỏa mãn điều kiện) vào P Bài (2 điểm) Tính P = 2.Rút gọn biểu thức B  x  5 x 1  : B    x  x    x 3     x     x 5 x 3 x 3     x 1 :  x 3   2( x  3)  x  x 1 : x 3 x 3 x 3  x 6 x 5 x 3 x 3 x 3 x 1        0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ  x 1 x 3 x  x  x 1  x 3 3.Tìm giá trị nguyên x để hiệu A-B có giá trị số tự nhiên x +Tính A-B= x 3 +Tìm x = Gọi vận tốc riêng cano x (km/h) Gọi vận tốc dòng nước y (km/h) (x > y > 0) Vận tốc cano xi dòng : x+y (km/h) Vận tốc cano ngược dòng là: x-y (km/h) Bài 54 ( h) Thời gian cano xi dòng 54km là: (2 điểm) x y 63 Thời gian cano ngược dòng 63km là: (h) x y Ta có phương trình:  Biểu điểm  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 54 63  5 x y x y Thời gian cano xuôi dòng 108km là: 108 (h) x y Thời gian cano ngược dòng 84km là: 84 (h) x y Ta có phương trình: 108 84  8 x y x y 0,25đ Ta có hệ phương trình 63  54  x  y  x  y    108  84   x  y x  y  x  24 Giải hệ phương trình tìm  y  0,25đ 0,5đ 0,25đ Vậy vận tốc riêng cano 24km/h 1.Giải hệ phương trình Điều kiện x  2 Đặt a x2 x y b a  b   2a  5b   a   b   1    x   x    Từ đó:  x  y  y    Bài (2 điểm) Giải hệ phương trình ta  1  Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  ;   6 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ   33  4m Phương trình có nghiệm dương phân biệt x1 ; x2   33    x1 x2    m  x  x   3 Có x1  x2  10.(x1  x2 ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ   x1  x2   3x1 x2 ( x1  x2 )  10( x1  x2 )  125  15(m  2)  50   m  7(tm) Vậy m= giá trị cần tìm 0,25đ 0,25đ Bài (3,5 điểm) 1)Chứng minh  N,D thuộc đường tròn đường kính Vì EC Kết luận ENDC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: K trực tâm EBC Vì CK  BE CN  BE  C,K,N thẳng hàng Chứng minh đồng dạng với KD DC    KD.DE  CD.BD BD DE 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3) Chứng minh  NFK cân  NF=FK (1) Chứng minh cân  NF=FE (2) Từ (1) và(2)  F trung điểm KE Chứng minh NF=FM  F thuộc đường trung trực MN (3) OM=ON  O thuộc đường trung trực MN (4) Từ(3)(4)  OF đường trung trực MN  OF  MN 4) Gọi H điểm đối xứng với C qua D  H cố định Chứng minh tứ giác BEKH nội tiếp  I nằm đường trung trực đoạn thẳng BH cố định M   x y 2x  y 2x  y   2x  y 2x  y    2x  y 2x  y x  y  2 xy Bài (0,5 điểm)  2x  y  5 5   2x  y 2x  y  4 2x  y 11 M  x  Dấu “=” xảy   y  x  11 Vậy M=   y  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ... tên, chữ kí cán coi thi số : Họ tên, chữ kí cán coi thi số : SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016 – 2017 Môn thi : To n Ngày thi : 09 tháng năm 2016... kí cán coi thi số : SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016 – 2017 Môn thi : To n Ngày thi : 09 tháng năm 2016 (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) ĐỀ CHÍNH...  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016 – 2017 Mơn thi : TỐN Ngày thi : 09 tháng năm 2016 Thời gian làm : 150 phút (Dành cho thí sinh thi