ĐÁP ÁN BÀI TẬP NGUYÊN HÀM PHẦN 01 Cho f (x), g(x) hàm số liên tục R Tìm khẳng định sai ? A ∫ kf (x)dx = k ∫ C ∫ f (x) g(x)dx = ∫ Khẳng định ∫ f (x)dx với k số f (x)dx ∫ f (x) g(x)dx = ∫ g(x)dx f (x)dx ∫ g(x)dx B ∫ [f (x) − g(x)] dx = ∫ f (x)dx − ∫ g(x)dx D ∫ [f (x) + g(x)] dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx sai, khơng có tính chất tích phân tích tích tích phân (chỉ áp dụng với phép toán cộng, trừ)→đáp án C (Đề Tham Khảo – Lần 3) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x A f (x)dx = − + C x Ta có: ∫ f (x)dx = ∫ (x ∫ + ) dx = − + C x + C→ − x cos 3xdx = sin 3x + C C ∫ cos 3xdx = − D x sin 3x + C + + C x x ∫ f (x)dx = + + C x đáp án A sin(ax + b) + C a , đó: ∫ sin 3x B ∫ cos 3xdx = D ∫ cos 3xdx = sin 3x + C sin 3x cos 3xdx = + C + C → đáp án B (THPTQG – 2017 – 103 – 8) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = sin x A ∫ sin xdx = cos x + C C ∫ sin xdx = sin 2x + C sin xdx = ∫ sin xdx = −2 cos x + C → B ∫ sin xdx = sin x + C D ∫ sin xdx = −2 cos x + C B ∫ x đáp án D Công thức nguyên hàm sau công thức sai? C ∫ dx = ln x + C x a x a dx = + C (0 < a ≠ 1) ln a dx = ln x + C x dx + C (α ≠ −1) dx = ln|x| + C → x dx = ln|5x − 2| + C dx = tan x + C cos x 5x − dx B ∫ = − 5x − ln|5x − 2| + C dx D ∫ = ln|5x − 2| + C 5x − dx = ax + b đáp án A 5x − Ta có ∫ α+1 D ∫ sai cơng thức ∫ ln|5x − 2| + C = 5x − C ∫ x dx = x (THPTQG – 2017 – 102 – 2) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = A ∫ α α + Công thức ∫ f (x)dx = ∫ cos(ax + b)dx = A ∫ f (x)dx = x A ∫ Ta có ∫ 3 (THPTQG – 2017 – 101 – 2) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = cos 3x Ta có ∫ x2 C x x + B x ∫ ln|ax + b| + C a , đó: ∫ dx ln|5x − 2| + C → = 5x − Trong hàm số sau đây, hàm số nguyên hàm f (x) = đáp án A 2x + 2017 B A ln|2x + 2017| Ta có: ∫ Chú ý: ∫ dx f (x)dx = ∫ 2x + 2017 dx = ax + b ln|ax + b| + C a ∫ d (2x + 2017) = ln|2x + 2017| = 2x + 2017 C − ln|2x + 2017| ln|2x + 2017| + C → D ln|2x + 2017| đáp án B Trang 1/5 (Đề Thử Nghiệm – Lần 2) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = cos 2x f (x)dx = C ∫ f (x)dx = sin 2x + C Ta có ∫ sin 2x + C A ∫ f (x)dx = ∫ B ∫ f (x)dx = − sin 2x + C D ∫ f (x)dx = −2 sin 2x + C sin 2x + C → cos 2xdx = đáp án A Chú ý: Ta có ∫ sin(ax + b) + C a cos(ax + b)dx = (THPTQG – 2017 – 104 – 9) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x x A ∫ x x dx = ln + C B ∫ x dx = + C C ∫ x dx = x+1 + C x+1 D ∫ ln Ta có ∫ a x + C , đó: ∫ x dx = + C→ + C 2017 B 11 2x+1 2017 Nguyên hàm hàm số f (x) = e A 2e Ta có: I 12 + x + C A ∫ (e x −x )dx = ∫ C ∫ (e x = ∫ − e − e (e x −x −x )dx = e x )dx = − e − e −x x )dx = e x x −x x −x + C + e đáp án D Chú ý: ∫ a bx+c a D 2017 2x+1 + C ln 2017 bx+c dx = + C b ln a ) − e −x + C x C 2e − x + C→ x − x + C D 2e x + 2x + C đáp án C + C→ đáp án D Chú ý: ∫ e ax+b B ∫ (e D ∫ (e dx = x x − e −x − e )dx = − e −x )dx = e ax+b e + C a x x + e + e −x −x + C + C (1 − 2x) 12 + C B (1 − 2x) + C f (x)dx = ∫ (1 − 2x) dx = − ∫ C 5(1 − 2x) (1 − 2x) d (1 − 2x) = − + C (1 − 2x) + C → 12 D − (1 − 2x) + C D ∫ x√xdx = đáp án A (Lương Thế Vinh – Lần 2) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x√x B ∫ 2 x√xdx = x √x + C ∫ Ta có: ∫ x√xdx = ∫ C x √x + C x√xdx = (x) dx = ∫ 2 2 (x) + C = x √x + C → 5 x√xdx = x √x + C √x + C đáp án A (Đề Minh Họa – Lần 1) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = √2x − (2x − 1)√2x − + C A ∫ f (x)dx = C ∫ f (x)dx = − Có ∫ √2x − + C 1 f (x)dx = ∫ √2x − 1dx = ∫ (2x − 1) 2d(2x − 1) = Tính ∫ x (3 cos x − ) dx B ∫ f (x)dx = (2x − 1)√2x − + C D ∫ f (x)dx = √2x − + C x x B −3 sin x + + C ln ∫ x x (3 cos x − )dx = ∫ x + C C sin x + ln a cos xdx − ∫ x + C + C ln a tổng quát là: ∫ mx+n dx = D sin x − a ln a m + C ln 3 + C ln x x mx+n a ln 3 dx = sin x + C1 − x a dx = đáp án B x Ta có: ∫ (2x − 1) + C = (2x − 1)√2x − + C → , kết A −3 sin x − 17 + C −x A 16 + C Nguyên hàm hàm số f (x) = (1 − 2x) Ta có: ∫ 15 −x − 1)dx = 2e − e −x − e + C→ ln 2017 (2e − e ln 2017 2x+1 (2 − e x 2017 C 2017 B e e (2 − e x x 2x+1 + C = Nguyên hàm hàm số f (x) = e A − 14 x = ∫ Ta có: I 13 2017 ln 2017 dx = 2x+1 + C 2x+1 Ta có: ∫ đáp án B 2x+1 2x+1 ln Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 2017 A 2017 + C x + x x a dx = ln a 10 x dx = + C2 = sin x− + C→ đáp án D Chú ý: Ta có ln (Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = sin 3x − cos 3x Trang 2/5 A ∫ f (x)dx = cos 3x − sin 3x + C C ∫ f (x)dx = − cos 3x − Ta có: ∫ ∫ 18 f (x)dx = ∫ sin 3x + C cos(ax + b) + C ; a = ∣ x + 2∣ ln∣ ∣ ∣ x − 2∣ B I = ∫ ∣ x − 2∣ ln∣ ∣ ∣ x + 2∣ dx Ta có I = − x2 dx = − ∫ (x − 2)(x + 2) Nếu ∫ f (x)dx = e A e x x + cos 2x + sin 2x + C sin(ax + b) + C a dx C I = dx sau: ∫ (ax + b)(cx + d) (ax + b)(cx + d) 19 sin 3x + C đáp án C Chú ý: ∣ x − 2∣ ln∣ ∣ ∣ x + 2∣ D I 1 ∣ x − 2∣ ∣ x + 2∣ = − (ln∣ ∣) + C = ln∣ ∣ + C→ ∣ x + 2∣ ∣ x − 2∣ 4 dx nhanh với dạng nguyên hàm ∫ f (x)dx = cos 3x + = ∫ − x A I D ∫ cos(ax + b)dx = (Chuyên KHTN – Hà Nội) Tìm nguyên hàm I f (x)dx = cos 3x + sin 3x + C sin 3x + C → (3 sin 3x − cos 3x)dx = − cos 3x − sin(ax + b)dx = − B ∫ = ∣ x + 2∣ ln∣ ∣ ∣ x − 2∣ đáp án D Chú ý: Ta có cơng thức tính ∣ ax + b∣ ∣) = (ln∣ + C ∣ cx + d∣ ad − bc f (x) B e x − cos 2x C e x D e + cos 2x x + cos 2x Ta có: $f(x)=\left[ \int{f(x)\text{d}x} \right]'={{\left( {{e}^{x}}\text{+ }\sin 2x+C \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}+2\cos 2x$→đáp án C 20 (THPTQG – 2017 – 101 – 27) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ′ (x) = − sin x f (0) = 10 Mệnh đề đúng? A f (x) = 3x + cos x + B f (x) = 3x + cos x + C f (x) = 3x − cos x + D f (x) = 3x − cos x + 15 Do f ′ ′ (x) = − sin x ⇒ f (x) = ∫ f (x)dx = ∫ (3 − sin x)dx =3x + cos x + C (∗) Khi (∗) f (0) = 10 ⇔ + C = 10 ⇔ C = − → f (x) = 3x + cos x + → 21 đáp án A (THPTQG – 2017 – 103 – 13) Cho F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = e x + 2x thỏa mãn F (0) = Tính F (x) A F (x) = e x + x + B F (x) = 2e x + x F (x) = f (x)dx = C F (x) = 2e + x + (e x + 2x)dx = e x + x + C (∗) D F (x) = e x + x Khi F (0) = (∗) ⇔ + C = ⇔ C = − → F (x) = e x + x → + 2 2 + 2 Ta có: − x đáp án D 22 (THPTQG – 2017 – 104 – 28) Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = sin x + cos x thỏa mãn F ( A F (x) = cos x − sin x + B F (x) = − cos x + sin x + C F (x) = − cos x + sin x − D F (x) = − cos x + sin x + Ta có: F (x) = ∫ (sin x + cos x) dx = − cos x + sin x + C (∗) Khi ∗) F ( π ) = 2 ( π ) = ⇔ + C = ⇔ C = 1− → F (x) = − cos x + sin x + → đáp án D 23 Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = biết F ( cos 3x π ) = √3 A B F (x) = tan 3x − 3√3 √3 F (x) = − tan 3x − 3 Ta có F (x) = ∫ dx = cos2 3x tan 3x + C Khi đó: F ( π C F (x) = √3 tan 3x + 3 4√3 + C = √3 ⇔ C = − ) = √3 ⇔ D F (x) = √3 tan 3x − 3 √3 √3 → tan 3x − ⇒ F (x) = 3 đáp án D 24 x B F (x) = A F (x) = 3e x Ta có: I 25 Một nguyên hàm hàm số y = 3x e = ∫ 3x e x dx = ∫ x2 e d x Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = e = x2 e x2 e + C→ C F (x) = 3x e x D F (x) = D x e x đáp án B t anx cos x A e tan x + C B e tan x + tan x + C C e tan x tan x + C e tan x cos2 x + C Trang 3/5 e Ta có: ∫ t anx dx = ∫ e t anx d tan x = e tan x đáp án A + C→ cos x 26 Đẳng thức sau sai? 1 x − sin 2x + C A ∫ sin xdx = C ∫ tan xdx = x − tan x + C Ta có ∫ có: ∫ 2 1 − cos 2x dx = x − sin 2x + C 2 sin xdx = ∫ tan xdx = ∫ ( − 1) dx = tan x − x + C ∫ 1 x + sin 2x + C B ∫ cos xdx = D ∫ cot xdx = −x − cot x + C 2 1 + cos 2x dx = x + sin 2x + C 2 cos xdx = ∫ Suy A, B Ta , suy C sai→đáp án C cos x 27 Tính nguyên hàm I 28 sin 6x 2 x − cos 3x + + C 12 3 B I = sin 6x x + cos 3x − + C 12 C I = sin 6x 2 x + cos 3x − + C 12 3 D I = sin 6x x − cos 3x + + C 12 = ∫ (1 − sin 3x + sin 3x)dx = ∫ sin 6x x + cos 3x − + C→ 12 Cho f ′ = B S ′ f (x)dx = ∫ (2x + 1) dx = x + x + = ⇔ x π ) = 2 Ta có: F (x) = ∫ 1,  x2 C S + x + C = cos 6x ) dx = log2 |x1 | + log2 |x2 | D S = + + C = ⇔ C = ⇒ f (x) = x ⇔ C F ( π ) = D F ( π ) = C = ⇒ F (x) = − cos x + ⇒ F ( π ) = → x − C ∫ f (x)e 2x ′ 2x C F (3) = D F (3) = dx = ln|x − 1| + C − − − − → C = ⇒ F (x) = ln|x − 1| + ⇒ F (3) = ln + 1→ dx = 2x + 2x + C − 2x + C 2e ′ − 4xe f (x) = (e 2x ) 2x − 4x = ′ ⇒ f (x)e e2x 2x Do F (x) = x nguyên hàm f (x)e 2x x − π )⋅ F (2)=1 f (x)dx = ∫ dx = −x đáp án B F (2) = Tính F (3) B F (3) = ln + ′ Suy đáp án A (THPTQG – 2017 – 101 – 32) Cho F (x) = x nguyên hàm hàm số f (x)e Tìm nguyên hàm hàm số f f (x)e + x + Do giả thiết đồ thị hàm số y = F (x) qua điểm M (0; 1) − cos x + C A F (3) = ln − A ∫ đồ thị hàm số y = F (x) qua điểm M (0; 1) Tính giá trị củaF ( (Đề Thử Nghiệm – Lần 2) Biết F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = Cách 1: Ta có F (x) = ∫ − sin 3x − Tính tổng S Khi f (1) = ⇔ sin x π ) = −1 B F ( sin x dx = ( + x − = ⇒ x1 x2 = −2⇒ S = log2 |x1 | + log2 |x2 | = log2 |x1 x2 | = log2 |−2| = 1→ ⇒ F (0) = (− cos 0) + C = 31 = Biết F (x) nguyên hàm của hàm số f (x) = A F ( − cos 6x ) dx = ∫ đáp án B f (x) = ⇔ x (1 − sin 3x + f (1) = Phương trình f (x) = có hai nghiệm x (x) = 2x + Ta có: f (x) = ∫ 30 = A S 29 (1 − sin 3x) dx A I Ta có I = = ∫ 2x 2x ′ ⇒ F (x) = f (x)e = − 4x 2x Khi đó: ∫ B ∫ f (x)e D ∫ f (x)e ′ 2x ′ 2x ⇔ 2x = f (x)e ′ f (x)e 2x 2x dx = ∫ dx = −x dx = −2x + x + C e2x (x)e 2x + 2x + C 2x ⇔ f (x) = ′ đáp án B Suy ra: (2 − 4x)dx = 2x − 2x + C = − 2x + 2x + C → đáp án D 32 Gọi F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = (x A T Ta có: ∫ = 8526 (x 2 + 1) dx = ∫ x ′ 2x + 2x x + thỏa mãn F (1) = dx = 28 15 Tính giá trị T C 7544 2x + + x + C Khi đó: F (1) = = 5F (6) − 30F (4) + 18 D 2012 28 + 28 ⇔ 15 + + C = ⇔ C = 15 + x ⇒ T = 5F (6) − 30F (4) + 18 = 1000 → + Cho f x = 1000 + 1) ⇒ F (x) = 33 B T (x) = (2x − 1) − (x − 1) thỏa mãn f (2) = − ⋅ đáp án B Biết phương trình f (x) = −1 có nghiệm x = x Tính T = 2017 x0 Trang 4/5 A T = 2017 Ta có: f (x) = ∫ B T − − (x − 1) dx = − + ⇔ C = −1 ⇒ f (x) = − + x − − = −1 ⇔ x = x0 = ⇒ T = 2017 = 1→ D T = 2017 Khi Ta có: − x − 2x − 1 + 2x − + C x − 2x − = √2017 1 + C = − f (x) = −1 ⇔ − 34 C T 1 ⇔ ′ f (x)dx = ∫ (2x − 1) f (2) = − = đáp án B Gọi F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = 4x − Đồ thị hàm số y = F (x) y = f (x) cắt điểm trục tung Tìm tọa độ điểm chung hai đồ thị y = F (x) y = f (x) A (0; −1) ( Ta có: F (x) = ∫ 2x ; 3) B (0; −2) ( (4x − 1)dx = 2x − x + C = 4x − ⇔ 2x 2 − x + C ; 8) C (0; −2) ( ; 14) D (0; −1) ( Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị y = F (x) y = f (x) là: − 5x + + C = (1) Đồ thị hàm số y = F (x) y = f (x) cắt điểm trục tung nên { phương trình (1) có nghiệm x = → + C ; 9) = ⇔ C = −1 Khi (1) trở thành: 2x − 5x = ⇔ x = x = y = −1 x = ⇔ x = → đáp án y = D 35 ⋅ x2 + (a + b)x + ab Cho hàm số f (x) xác định f (x) = B ∫ f (x)dx = ∣ x + a∣ ∣ + C ln∣ ∣ x + b∣ b − a D ∫ f (x)dx = ∣ x + b∣ ∣ + C ln∣ ∣ x + a∣ b − a A ∫ ∣ x + b∣ ∣ + C f (x)dx = ln∣ ∣ x + a∣ C ∫ ∣ x + a∣ ∣ + C f (x)dx = ln∣ ∣ x + b∣ Ta có: x = (x + a)(x + b) ( x thức: ∫ 36 )dx = ∫ b − a + (a + b)x + ab ∣ x + a∣ )dx = ln∣ ∣ + C→ ∣ x + b∣ b − a x + b 1 ⇒ ∫ ( − x + a ∣ ax + b∣ = (ln∣ ∣) + C ad − bc ∣ ∣ cx + d (ax + b)(cx + d) dx x x B A = x 2x+3 dx = ∫ 4x+3 12 dx = + C 4x+3 F (x) = ln [ln 2.F (1)] ⇒ A = 10 = Khi đó: F (0) = 2 2x+3 thỏa mãn F (0) = = (x + a)(x + b) ⋅ ln 2 [ln 2.F (1)] 10 ⇔ C = Suy ln ] ln 10 + C = ln Tính A = ∣ x + a∣ ln∣ ∣ ∣ x + b∣ b − a D A = 32 2 ⇔ ln ln [ln dx = ∫ + (a + b)x + ab C A = 16 4x+3 Ta có: ∫ đáp án B Chú ý: Có thể áp dụng ln cơng Ta được: ∫ (Chuyên Thái Bình – Lần 3) Một nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = A A = 1 ( − ) b − a x + b x + a = + (a + b)x + ab Nguyên hàm hàm số f (x) = 32→ đáp án D Trang 5/5 ... (x) = 3 đáp án D 24 x B F (x) = A F (x) = 3e x Ta có: I 25 Một nguyên hàm hàm số y = 3x e = ∫ 3x e x dx = ∫ x2 e d x Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = e = x2 e x2 e + C→ C F (x) = 3x e x D F (x)... dụng ln cơng Ta được: ∫ (Chun Thái Bình – Lần 3) Một nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = A A = 1 ( − ) b − a x + b x + a = + (a + b)x + ab Nguyên hàm hàm số f (x) = 32→ đáp án D Trang 5/5 ... 2x+1 2x+1 ln Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 2017 A 2017 + C x + x x a dx = ln a 10 x dx = + C2 = sin x− + C→ đáp án D Chú ý: Ta có ln (Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) =