Câu 1: [1H3-2-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  A B C D Lời giải Chọn A Gọi N trung điểm AC a độ dài cạnh tứ diện Ta có MN // AB   AB, DM    MN , DM   DMN Tam giác DMN có DM  DN  a a , MN  AB  2 DM  MN  DN cos DMN  2.DM MN 2  a   a 2  a         2     cos DMN   a a 2 Vậy cos  AB, DM   Câu 2: [1H3-2-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng AB CI , với I trung điểm AD A B C D Lời giải Chọn A A I M D B C Gọi M trung điểm BD Ta có: IM // AB   AB, IC    IM , IC     cos  AB, IC   cos  IM , IC   cos IM , IC  cos MIC 2 a a 3 a 3       MI  IC  MC        Mà: cos MIC   2.MI IC a a 2  cos  AB, IC   cos MIC  Câu 3: [1H3-2-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng  SAB  góc 45 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD A 48 B 51 C 42 Lời giải Chọn B  D 39  Cách Giả sử hình vng ABCD cạnh a , SD,  SAB   45  SA  AD  a Xét khơng gian tọa độ Oxyz đó: O  A , Ox  AB, Oy  AD, Oz  AS Khi ta có: a  B  a;0;0  , I  ; a;0  , D  0; a;0  , S  0;0; a  2  a  Suy IB   ;  a;0  , SD   0;  a; a  2  a2  IB, SD  51  Mặt khác: cos IB, SD  10 a2  a2 a2  a2    Cách Gọi K trung điểm AB    Giả sử hình vng ABCD cạnh a , SD,  SAB   45  SA  AD  a Gọi K trung điểm AB Vì KD // BI nên góc hai đường thẳng BI SD góc hai đường thẳng KD SD góc SDK Ta có a , SD  a KD  SK  a HD 10 Gọi H trung điểm SD Ta có cos SDK    KD a 5 Vậy góc hai đường thẳng BI SD 51 Câu 4: [1H3-2-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình vng ABCD cạnh 4a , lấy H , K cạnh AB, AD cho BH  3HA, AK  3KD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  H lấy điểm S cho SBH  30 Gọi E giao điểm CH BK Tính cosin góc hai đường thẳng SE BC 28 18 36 A B C D 39 39 39 39 Lời giải Chọn B Gọi I hình chiếu vng góc E lên AB ta có ABD  BCH  ABD  BCH  HEB  90 A H I B E K D C S I A K H E D Ta có: B C cos  SE ; BC   cos  SE ; EI   cos SEI , SH  BH tan30  a 81a 2a 39 HB HE HB 9a SE  SH  HE  3a     HE   25 HC HB HC , HE HI HE 27a SI  SH  HI  3a   27a   2a 651   HI     25  25  HB HE HB 25 , EI HI 36a    EI  BC HB 25 25 Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEI ta được: 2  2a 39   36a 2  2a 651        SE  EI  SI    25   25  18a cos SEI    2.SE.EI 2a 39 36a 39 25 Câu 5: [1H3-2-3] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần -2018) Cho hình chóp S.ABC có độ dài cạnh SA  SB  SC  AB  AC  a BC  a Góc hai đường thẳng AB SC ? A 45 B 90 C 60 D 30 Lời giải Chọn C S B A I C Ta có BC  a nên tam giác ABC vuông A Vì SA  SB  SC  a nên hình chiếu vng góc S lên  ABC  trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC vuông A nên I trung điểm BC   Ta có cos  AB, SC   cos AB, SC   AB.SC AB.SC  1 a2     BA BC BA cos BC 45    AB.SC  AB SI  IC  AB.SI 2 a2 cos  AB, SC   22    AB, SC   60 a   Cách 2: cos  AB, SC   cos AB, SC    AB.SC AB.SC Ta có AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  SB.SC.cos90  SA.SC.cos60  a2 a 2 Khi cos  AB, SC    a Câu 6: [1H3-2-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Một hình trụ tròn xoay có bán kính đáy R  Trên hai đường tròn đáy  O   O  lấy hai điểm A B cho AB  góc AB trục OO 30 Xét hai khẳng định:  I  : Khoảng cách OO AB  II  : Thể tích khối trụ V   A Cả  I   II  C Chỉ  II  B Chỉ  I  D Cả  I   II  sai Lời giải Chọn A * Gọi C hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng chứa  O  , I trung điểm AC , Ta có:  AB; OO   AB; CB   ABC  30  h  OO '  CB  AB.cos 30  * Thể tích khối trụ là: V   R h   Vậy khẳng định  II  * Khoảng cách AB trục OO là: d  AB; OO   d  OO;  ABC    OI  OA2  AI AC  AB.sin30   AI  1 3  OI    Vậy  d  AB; OO   2 khẳng định  I  Câu 7: [1H3-2-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  , BC  Tính góc hai đường thẳng AB , SC A 45 B 120 C 30 D 60 Lời giải Chọn D S B C H A Tam giác ABC vuông A tam giác SBC vuông S AB  AC  1, BC  SB  SC  1, BC  Ta có SC AB  SC SB  SA  SC.SB  SC.SA   SC.SB.cos 60       Suy cos  SC ; AB   cos SC ; AB  SC AB SC AB  Vậy góc hai đường thẳng AB , SC 60 Câu 8: [1H3-2-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [1H3-3] Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  ; BAC  60 ; BAD  90 ; DAC  120 Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng AG CD , G trọng tâm tam giác BCD 1 1 A B C D 6 Lời giải Chọn C A D B G I M C * ABC  BC  * ACD cân A có CD  AC  AD  AC AD.cos120  * ABD vng cân A có BD  * BCD có CD  BC  BD  BCD vuông B Dựng đường thẳng d qua G song song CD , cắt BC M Ta có MG // CD   AG, CD    AG, MG  Gọi I trung điểm BC , xét BDI vng B có DI  BD2  BI 2 1  2   2 IM MG IG 1 BC 1     IM  IC   ; MG  CD  ; IC CD ID 3 3 1 IG  ID  Ta có    2 Xét AIM vuông I có AM  AI  IM           2 cos AID  AI  ID  AD 2 AI ID    2      1  2   3 2    2 3 AG  AI  IG  AI IG.cos AID         2    2 Xét AMG có cos  AG , MG   cos AGM  2 AG  GM  AM 2 AG.GM  3  3  7       3         3 3 Câu 9: [1H3-2-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AB  a AA  a Góc hai đường thẳng AB BC C A B C' A' B' A 60 B 45 C 90 D 30 Lời giải Chọn A C A B C' A' B'    Ta có AB.BC  AB  BB BC  CC  AB.BC  AB.CC  BB.BC  BB.CC  AB.BC  AB.CC  BB.BC  BB.CC   a2 3a    2a  2 3a AB.BC      AB, BC    60 Suy cos AB, BC   AB BC  a 3.a   Câu 10: [1H3-2-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABCABC có đáy ABC tam giác cân AB  AC  a , BAC  120 , cạnh bên AA  a Tính góc hai đường thẳng AB BC A 90 C 45 B 30 Lời giải Chọn D D 60 C B A C B A D Trong  ABC  : kẻ AD cho ACBD hình bình hành Ta có: BC // AD Nên  AB; BC    AB; AD   BAD Ta có AD  BC  a , AB  AB  AB2  a , DB  BB2  AC  a Vậy tam giác BAD nên BAD  60 Câu 11: [1H3-2-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  2a , BC  a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng BE SC A a 30 10 B a C Lời giải Chọn A a 15 D a A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn D    Ta có MP.C ' N  MB '  B ' P C ' C  CN  MB '.C ' C  B ' P.CN (1)   Mặt khác B ' P  B ' A '  A ' P  B ' P.CN  B ' A '  A ' P CN  B ' A '.CN (2) Từ (1), (2) suy MP.C ' N  MB '.C ' C  B ' A.CN   a2 a2    MP  C ' N 2 Câu 32: [1H3-2-3] Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC ASB  BSC  CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SC AB ? A 120 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn D S C A B   Ta có: SC AB  SC SB  SA  SC.SB  SC.SA  SA.SB cos BSC  SC.SA.cos ASC  Vì SA  SB  SC BSC  ASC   Do đó: SC, AB  900 Câu 33: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc  MN , SC  bằng: A 45 B 30 C 90 Lời giải Chọn C D 60 S N C B A D M Ta có: AC  a  AC  2a  SA2  SC  SAC vuông S Khi đó: NM SC    SA.SC   NM , SC  90   MN , SC   90 Câu 34: [1H3-2-3] Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định sai? A Góc AC B1 D1 90 B Góc B1 D1 AA1 90 C Góc AD B1C 45 D Góc BD A1C1 90 Lời giải Chọn B A1 D1 B1 C1 A B D C  Ta có: AA1.B1D1  BB1.BD  BB1 BA  BC   BB1.BA  BB1.BC      (vì BB1 , BA  900 BB1 , BC  900 )   Do đó: AA1 , B1D1  900   AA1 , B1D1   900 Câu 35: [1H3-2-3] Cho hình hộp ABCD ABCD có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A AC  BD BC  AD C AB  DC B BB  BD D Lời giải Chọn B   Ta có: BB.BD  BB BA  BC  BB.BA  BB.BC   BB.BA cosBBA  cosBBC  Vì AABB ABCD hai hình thoi nên + BBA  BBC  BB.BD  suy BB khơng vng góc với BD + BBA  BBC  1800  cosBBA  cosBBC  BB.BD  suy BB  BD Nên đáp án B sai chưa có điều kiện góc BBA BBC Câu 36: [1H3-2-3] Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm CD ,  góc AC BM Chọn khẳng định đúng? A cos   B cos   C cos   D   600 Lời giải Chọn C A B D d O N M C Gọi O trọng tâm BCD  AO   BCD  Trên đường thẳng d qua C song song BM lấy điểm N cho BMCN       hình chữ nhật, từ suy ra: AC , BM  AC , CN  ACN   Có: CN  BM  a a BN  CN  2 2  AO  AB  BO  AB   BM   a 3  ON  BN  BO   cos   a ; AN  AO  ON  a 12 AC  CN  AN  AC.CN Câu 37: [1H3-2-3] Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AF EG ? A 90 B 60 C 45 Lời giải Chọn B H G I E F D C d J d' A Đặt cạnh hình lập phương a Gọi I giao trung điểm EG Qua A kẻ đường thẳng d //FI Qua I kẻ đường thẳng d //FA Suy d cắt d  J   Từ suy EG, AF  EIJ   IJ  AF  2EI  2FI  AJ  a EJ  AE  AJ  EI  IJ  AJ cos       60 2.EI EJ B D 120 Câu 38: [1H3-2-3] Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  A B C D Lời giải Chọn B A D B M C Giả sử cạnh tứ diện a   Ta có cos AB, DM  AB.DM AB DM  AB.DM a a Mặt khác   AB.DM  AB AM  AD  AB AM  AB AD  AB AM cos 300  AB AD.cos 600  a a 3 3a a a  a.a    2 4   Do có cos AB, DM  3 Suy cos  AB, DM   6 AD, CAB  DAB  600 , CD  AD Gọi  góc AB CD Chọn khẳng định ? Câu 39: [1H3-2-3] Cho tứ diện ABCD với AC  A cos  cos  B   60 Lời giải Chọn D C   30 D A D B C   Ta có cos AB, CD  AB.CD  AB CD AB.CD AB.CD Mặt khác   AB.CD  AB AD  AC  AB AD  AB AC  AB AD.cos 600  AB AC.cos 600 1  AB AD  AB AD   AB AD   AB.CD 2 4  AB.CD 1   Suy cos   Do có cos AB, CD  4 AB.CD   a ( I , J trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD : Câu 40: [1H3-2-3] Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, IJ= A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn C A J M B D I Gọi M trung điểm AC Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng MI MJ IM  MJ  IJ  Tính được: cos IMJ  2MI MJ Từ suy số đo góc hai đường thẳng AB CD là: 600 Câu 41: [1H3-2-3] Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a.b  10 Xét hai vectơ y  a  b x  a  2b, Gọi α góc hai vectơ x, y Chọn khẳng định A cos   cos   2 15 15 B cos   C cos   15 D 15 Lời giải Chọn D     Ta có x y  a  2b a  b  a x  x y   y cos   2   a  2b   a  b x y x y Câu 42:  2   a 2    b  4a.b   a   b  2  b  3a.b   2a.b   15 [1H3-2-3] [NGUYỄN KHUYẾN -HCM-2017] Cho tứ diện ABCD có AD  14, BC  Gọi M , N trung điểm cạnh AC , BD MN  Gọi  góc hai đường thẳng BC MN Tính sin  A 2 B C Lời giải Chọn B D A 14 M D N B P C Gọi P trung điểm cạnh CD , ta có    MN , BC    MN , NP  MN  PN  MP  Suy Trong tam giác MNP , ta có cos MNP  2MN NP MNP  60 Suy sin   Câu 43: [1H3-2-3] Cho tứ diện ABCD có AC  a , BD  3a Gọi M N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN a 10 2a MN  A MN  B MN  a C MN  3a Lời giải Chọn A A M E C F D N B Gọi E , F trung điểm AB CD  EN // AC   AC, BD    NE, NF   90  NE  NF (1) Ta có:   NF // BD D  NE  FM  AC   Mà:  (2)  NF  ME  BD   Từ (1), (2)  MENF hình chữ nhật 2 2 a 10  AC   BD   a   3a  Từ ta có: MN  NE  NF                2   2 Câu 44: [1H3-2-3] Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  A B C D Lời giải Chọn A A E B D H M C Khơng tính tổng qt, giả sử tứ diện ABCD có cạnh a Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  AH   BCD  Gọi E trung điểm AC  ME // AB   AB, DM    ME, MD    Ta có: cos  AB, DM   cos  ME , MD   cos ME , MD  cos EMD Do mặt tứ diện tam giác đều, từ ta dễ dàng tính độ dài a cạnh MED : ME  a , ED  MD  MED , Xét ta có: 2 a a 3 a 3       ME  MD  ED       cos EMD    ME.MD a a 2 3  Từ đó: cos  AB, DM   6 Câu 45: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc  MN , SC  A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn D S N A M D B O C Gọi O tâm hình vng ABCD  O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) Ta có: SA  SB  SC  SD  S nằm trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) Từ (1) (2)  SO   ABCD  Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN đường trung bình SAD )   MN , SC    SA, SC  2 2   SA  SC  a  a  2a Xét SAC , ta có:   SAC vuông S  SA  SC   AC  AD  2a   SA, SC    MN , SC   90 Câu 46: [1H3-2-3] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a  2cm , cạnh bên SC vng góc với đáy SC  2cm Gọi M , N trung điểm AB BC Góc hai đường thẳng SN CM A 30 B 60 Lời giải Chọn C C 45 D 90 Gọi I trung điểm BM , ta có NI //CM nên góc SN CM góc SN NI Xét tam giác SNI có SN  SC  CN    ; 1 NI  CM   6; 2 CI  CM  MI  24   26  SI  SC  CI   26  30 SN  NI  SI 12   30 12  SNI  135 Vậy cos SNI     SN NI 2.2 2.4 Vậy góc SN CM 45 Câu 47: [1H3-2-3] (SGD - Quảng Nam - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB  a , AC  a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC , AH  a Gọi  góc hai đường thẳng AB BC Tính cos  A cos   cos   B cos   C cos   Lời giải Chọn B a A' B' E C A a H B K D C' D Gọi E trung điểm AC ; D K điểm thỏa BD  HK  AB Ta có BK   ABC  BD / / AB   AB, BC    BD, BC   DBC Ta tính BC  2a  BH  a ; BD  AB  a 3  a  2a CD  AC  AD  3a  4a  a ; 3a 9a CK  CE  EK    a 4 2 BC  BK  CK  3a  3a  a cos CBD  BD  BC  CD 4a  6a  7a   2.BD.BC 2.2a.a Câu 48: [1H3-2-3] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) [1H3-2] Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 45 B 90 C 60 D 30 Lời giải Chọn B   Cách Đặt AB  a , AB.CD  AB CB  BD  BA.BC  BA.BD  a2 a2  0 2  AB  CD Cách Gọi E trung điểm CD AE  CD , BE  CD  CD   ABE   CD  AB Câu 49: [1H3-2-3] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Kẻ OH   ABC  Khẳng định nhất? A H C H trực tâm ABC ABC trọng tâm ABC ABC B H tâm đường tròn nội tiếp D H tâm đường tròn ngoại tiếp a ( I , J trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD là? A 30 o B 45o C 60o D 90 o Lời giải Câu 50: [1H3-2-3] Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a , IJ  Chọn C Gọi E , F trung điểm AC BD Khi đó, ta có:  IE / / AB  góc AB CD EIF 180o  EIF   IF / /CD  IE / / JF  / / AB   Ta lại có:    nên IEJF hình bình hành IE  JF  AB        a Mặt khác: IE  IF    nên IEJF hình thoi  2 Do đó: EIF  2JIF  2 Áp dụng hệ định lí cosin cho JIF , ta được: cos   IJ  IF  JF     300  EIF  60o 2.IJ IF Câu 51: [1H3-2-3] Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  bằng: A B C Lời giải Chọn A D Gọi E trung điểm AC Vì AB / / ME nên góc AB DM EMD (hoặc 180o  EMD ) Ta có: ME  a a , MD  DE  (độ dài trung tuyến tam giác cạnh a ) 2 Áp dụng hệ định lí cosin cho EMD , ta có: cos  AB, DM   cos  EMD   ME  MD  DE  2.ME.MD Câu 52: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I Biết SA  SB  SC  SD Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ? A SI  ( ABCD ) B AC  SD C BD  SC D SB  AD Lời giải Chọn D Theo giả thuyết ta có: SI  AC , SI  BD  SI   ABCD  (Câu A đúng) Do SI   ABCD   SI  AC mà BD  AC  AC   SBD   AC  SD (Câu B đúng) Tương tự : SI   ABCD   SI  BD mà BD  AC  BD   SAC   BD  SC (Câu C đúng) ... KD // BI nên góc hai đường thẳng BI SD góc hai đường thẳng KD SD góc SDK Ta có a , SD  a KD  SK  a HD 10 Gọi H trung điểm SD Ta có cos SDK    KD a 5 Vậy góc hai đường thẳng BI SD 51... vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng  SAB  góc 45 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD A 48 B 51 C 42 Lời giải Chọn B  D 39  Cách Giả sử hình vuông. .. đơi vng góc với SA  SB  SC  a Tính góc hai đường thẳng SM BC với M trung điểm AB A 30 C 90 B 60 Lời giải Chọn B D 120 Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM Và cắt đường thẳng SA